Matem´aticas II (Bloque 3 - Nocturno) Nombre:

Fecha: Examen (responder a todas las cuestiones de forma razonada).

1. a) Enunciar el teorema de Bolzano. b) ¿Se puede asegurar que las curvas f (x) = x3 + 1 y g(x) = sen x − 3 se cortan en alg´ un punto del intervalo [-2,2]?; ¿y en el [0,4]?.

√

2. Calcular:



3x − 3 a) l´ım x→3 6 − 2x

b) l´ım

x→∞

x+3 x−5

x2  x+1

3. Hallar el valor de a y b sabiendo que la siguiente funci´on es derivable en todo punto de R:  f (x) =

ax2 + (2a + 3)x + a + 3 si x ≤ 1 x2 + (2 − b)x − b − 3 si x > 1

1 4. Averiguar en qu´e punto la curva y = x3 + x2 − x tiene recta tangente paralela a su recta tangente 3 en el punto x = 1. Escribir la ecuaci´on de ambas rectas tangentes.

5. Calcula√la derivada de las siguientes funciones: √ sen x a) y = cos x b) y = ln x2 + (ln x)2 ; b) y = sen(arc cos 1 − x2 ). e Soluciones:

I.E.S. ”Carolina Coronado” - Departamento de Matem´aticas - Curso 2011 - 2012