COPIA DA CONSEGNARE

Calcolo delle Probabilit`a (A-L)/Probabilit`a e Statistica (A-Z) DOCENTE: Mirko D’Ovidio

ESAME SCRITTO: 05-07-2016

NOME E COGNOME :scrivi nome scrivi nome scrivi nome MATRICOLA :scrivi matricola matricola CORSO: AT 

GEST ;

DATA ORALE: 12/07 

19/07 

Risolvere gli esercizi argomentando tutti i passaggi e consegnare solo questa copia (senza la brutta). Tutti i conti vanno riportati nella parte dedicata allo svolgimento (fronte/retro). Le probabilit`a vanno calcolate come numeri frazionari (senza cifre decimali), non si richiede di esplicitare tutti i calcoli (solo i passaggi necessari), i passaggi vanno motivati (ma brevemente). Esercizio A Una scatola contiene 10 dadi truccati e 20 dadi regolari. I dadi truccati sono costruiti in modo che la faccia col numero 6 non esca mai, le altre facce sono invece equiprobabili. 0. Calcolare P (ΩT ) dove ΩT =”evento certo per il dado truccato”=”esce una faccia con un numero”. Mario prende n ≤ 30 dadi a caso (in blocco) dalla scatola e si chiede, lanciando i dati estratti, con quale probabilit` a 1. la somma dei numeri sulle facce `e pari a n 2. la somma dei numeri sulle facce `e pari a 180 Decide di prendere (dagli n estratti) solo i dadi truccati e prima di selezionarli, si chiede con quale probabilit`a 3. ci sono k ∈ Z dadi truccati Inoltre Mario si chiede, se avesse estratto con ripetizione, lanciando i dati, con quale probabilit`a 4. ci sono 2 dadi truccati se il primo dado selezionato `e truccato 5. la somma dei numeri sulle facce `e pari a n Soluzioni: 0. (0 PUNTI) P (ΩT ) = 5 15 , 1. (2 PUNTI) se ci sono k dadi truccati e n − k dadi regolari con probabilit`a (ipergeometrica)     10 20 30 pk = k n−k n allora P (la somma dei numeri sulle facce `e pari a n) =

n X

pk

k=0

1 1 5k 6n−k

che `e la probabilit` a di avere n volte la faccia col numero 1 e 1 =P (ci sono k uno dai dadi trauccati | ci sono k dadi truccati su n) 5k 1 =P (ci sono n − k uno dai dadi regolari | ci sono k dadi truccati su n) 6n−k 2. (2 PUNTI)  n 1 P (180) = P (∅, almeno un dado truccato) + P (180, nemmeno un dado truccato) = 0 + p0 6 se posso prendere n = 30 dadi regolare per cui 6 × 30 = 180. I dadi regolari sono 20, quindi P (180) = P (∅) = 0. 3. (2 PUNTI)   0, k < 0 pk , 0 ≤ k ≤ n P (ci sono k dadi truccati) =  0, k > n 4. (2 PUNTI) si ha 10/30 P (2 dadi truccati|il primo ´e truccato) = P (un dado truccato su n − 1) = 10/30



  n−2 n − 1 10 10 1− 1 30 30

5. (2 PUNTI) P (la somma dei numeri sulle facce `e pari a n) =

n X k=0

dove pk `e la densit` a di una Bin(n, 10/30).

pk

1 1 5k 6n−k

Esercizio B

Sia fX,Y (x, y) = κ e−

(y−x)2 2

−xy

,

(x, y) ∈ R2

la densit` a della v.a. (X, Y ). 6. Trovare κ. 7. Scivere le marginali delle v.a. X e Y 8. Dire se X ⊥ Y 9. Scrivere la densit` a della v.a. Z = (X + Y )2 9*. (FACOLTATIVO) Scrivere la densit` a della v.a. W = X 2 + Y 2 R z ν−1 (Sug. Si pu` o considerare la Beta B(α, γ) = Γ(α)Γ(γ) (z − x)ν−1 dx legato alla densit`a Beta.) Γ(α+γ) e l’integrale 0 x Soluzioni: 6. (2,5 PUNTI) κ = (2π)−1 7. (2,5 PUNTI) fX (x) = e−x

2

/2

√ √ 2 / 2π, x ∈ R; fY (y) = e−y /2 / 2π, y ∈ R

8. (2,5 PUNTI) fX,Y (x, y) = fX (x)fY (y) quindi X ⊥ Y 9. (2,5 PUNTI) Si vede che P (Z ≤ z) = P (|X + Y | ≤

√

z) = 2P (0 ≤ V ≤

√

z)

dove V ∼ N (0, 2). Allora, Z ∼ Gamma(1/4, 1/2). 9*. (4 PUNTI) Usando la formula di convoluzione per densit`a continue si ottiene che W ∼ Gamma(1/2, 1) cio`e una Exp(1/2).

Esercizio C (GEST) Sia Xk , k ∈ N una successione di v.a. indipendenti. Si considerino le trasformazioni X(n) = max {Xk } 1≤k≤n

Sn =

n X

¯ n = 1 Sn X n

Xk

k=1

10. Scrivere la f.r. di X(n) nel caso Xk ∼ X `e degenere in a per ogni k ∈ N 11. Caratterizzare Sn nel caso Xk ∼ X per ogni k ∈ N dove   0, x < 0 1 , 0≤x<1 FX (x) =  8 1, x ≥ 1

x ∈ R.

Dire chi `e X. ¯ n nel caso Xk ∼ Ber(1/8) per ogni k ∈ N 12. Studiare la convergenza di X 1

13. Se Xk ∼ X per ogni k ∈ N dove fX (x) = 81 x− 8 −1 1(1,∞) (x), x ∈ R, dire quale integrale pu`o essere approssimato con ¯ n usando il metodo MC X Soluzioni: 10. (2,5 PUNTI) Si ottiene  FX (x) =

0, 1,

x
quindi X(n) `e degenere in a 11. (2,5 PUNTI) X ∼ Ber(7/8) quindi Sn ∼ Bin(n, 7/8) ¯ n → 1/8 in probabilit` 12. (2,5 PUNTI) X a per n → ∞ R∞ 1 13. (2,5 PUNTI) 1 81 x− 8 dx Esercizio C (AT) Sia P la popolazione oggetto di studio dove si vuole studiare il fenomeno caratterizzato dalla v.a. X con densit` a ( 2 x −x 2θ , x ≥ 0, θ > 0 θe fX (x; θ) = 0, x<0 Dato il campione x = (x1 , x2 , . . . , xn ), 10. determinare lo stimatore θˆM V di MV per θ 11. determinare lo stimatore θˆM OM per θ con il metodo dei momenti Se X ∼ N (µ, 1/3), dato il campione x = (x1 , x2 , . . . , xn ) 12. determinare un intervallo di confidenza per µ al livello α = 5% 13. verificare H0 : µ = 2/5 con α = 3% se da un campione di numerosit`a 25 si `e ottenuto x ¯oss = 3/4 14. determinare n tale che si commetta un errore  ≤ 0.01 con probabili`a pari al 90% nella stima della media µ. Soluzioni: 10. (2 PUNTI) da

d dθ

log L(θ, x) =

11. (2 PUNTI) θˆM OM =

2 π

1 n

Pn

1 2θ 2

k=1

Pn

k=1

xk

12. (2 PUNTI) (¯ x − l, x ¯ + l) dove l =

x2k −

n θ

= 0 si ricava θˆM V =

1 2n

Pn

k=1

x2k


2

1.96 √ 3 n

¯ n − 2/5)√n|H0 ∼ N (0, 1) quindi al livello α = 0.03 si trova A = (2/5 − l, 2/5 + l) 13. (2 PUNTI) Sotto l’ipotesi nulla, (X dove l = 2.17 15 . Quindi non posso accettare l’potesi nulla.
1 2 14. (2 PUNTI) n ≥ 1.65 e 552 . 0.01 3 , il minimo n `