COPIA DA CONSEGNARE

Calcolo delle Probabilit`a (A-L) DOCENTE: Mirko D’Ovidio

ESAME SCRITTO: 21-07-2017 (FILA A)

ESAME ORALE: fine luglio

NOME E COGNOME :scrivi nome scrivi nome scrivi nome MATRICOLA :scrivi matricola matricola

Esercizio A Estrazione del lotto rivisitata. Si estraggono 5 palline da un urna U contenete |U | = 49 palline numerate da 1 a 49. L’estrazione viene fatta in blocco e si ripete ogni settimana, una volta estratte le palline vengono reinserite in U . Calcolare : 0) P(di estrarre il numero 94)=

1) P(di estrarre il numero 5)=

2) P(di estrarre il numero 5 la seconda settimana)=

3) P(di non estrarre il numero 5 per 7 settimane)=

4) P(di estrarre il numero 5 se non `e stato estratto per le precedenti 7 settimane)=

5) P(di estrarre due volte il numero 5 nella stessa settimana)=

6) P(di estrarre due volte il numero 5 in due settimane successive)=

7) P(di estrarre due numeri pari nella stessa settimana)= Soluzioni:

0) 0; 1) p =

1 1




48 4




/|C49,5 |; 2) p; 3) (1 − p)7 ; 4) p; 5) 0; 6) p2 ; 7)

24 2




25 3




/|C49,5 |

Esercizio B

Siano X, Y ∼ U nif {1, 2} due v.a. (i.i.d.) .

8) Scrivere la tabella di contingenza. 9) Scrivere la densit` a della trasformazione U = XY . Siano X, Y due v.a. i.i.d. con densit` a Exp(8): calcolare le densit`a delle trasformazioni 10) Z = 1/X 11) W = 1/(X − Y ) 12) S = X + Y Y =1 Y =2 X=1 1/4 1/4 1/2 Soluzioni: 8) X=2 1/4 1/4 1/2 1/2 1/2 1 9) sia pk = P (U = k) con k ∈ IU = {1, 2, 3, 4} e spet(U ) = {1, 2, 4}, si ha che p1 = p4 = 1/4, p2 = 1/2, p3 = 0; 10) FZ (z) = e−8/z , z ∈ (0, ∞) (verifica della continuit`a, evento impossibile e certo), fZ (z) = 8z −2 e−8/z 11) calcolo FW , verifico continuit` a, e. impossibile, e. certo , calcolo fW  8/w   1−e , w≤0 e−8/w e8/w 8 8 1 (w) + 7 1(0,∞) (w), w ∈ R FW (w) = ⇒ fw (w) = (−∞,0)  w2 w2  1 + 7 e−8/w , w > 0 8 8 12) fS (s) =

82 2−1 −8s e 1(0,∞) (s), Γ(2) s

s∈R

Sia Xk ∼ N (1/2, σk2 ), k ∈ N una successione di v.a. indipendenti., studiare la convergenza delle successioni: Pn 13) X n = n−1 k=1 Xk se σk2 = 2−3 , per ogni k Pn 14) Zn = n−1/2 k=1 (Xk − 1/2) se σk2 = 1 per ogni k Pn 15) In = n−1 k=1 ln(Xk ) se σk2 = 1 per ogni k. Dire se In `e una soluzione per qualche problema Monte Carlo.

Esercizio C

P

d

P

Soluzioni: 13) X n → 1/2 per la L.D.G.N.; 14) Zn → N (0, 1) per il T.L.C.; 15) In → I = X1 ∼ N (1/2, 1) e In `e una soluzione MC che approssima I.

R R

ln(x)fX1 (x)dx dove

COPIA DA CONSEGNARE

Calcolo delle Probabilit`a (A-L) DOCENTE: Mirko D’Ovidio

ESAME SCRITTO: 21-07-2017 (FILA B)

ESAME ORALE: fine luglio

NOME E COGNOME :scrivi nome scrivi nome scrivi nome MATRICOLA :scrivi matricola matricola

Esercizio A Estrazione del lotto rivisitata. Si estraggono 5 palline da un urna U contenete |U | = 69 palline numerate da 1 a 69. L’estrazione viene fatta in blocco e si ripete ogni settimana, una volta estratte le palline vengono reinserite in U . Calcolare : 0) P(di estrarre il numero 96)=

1) P(di estrarre il numero 5)=

2) P(di estrarre il numero 5 la seconda settimana)=

3) P(di non estrarre il numero 5 per 17 settimane)=

4) P(di estrarre il numero 5 se non `e stato estratto per le precedenti 17 settimane)=

5) P(di estrarre due volte il numero 5 nella stessa settimana)=

6) P(di estrarre due volte il numero 5 in due settimane successive)=

7) P(di estrarre due numeri pari nella stessa settimana)= Soluzioni:

0) 0; 1) p =

1 1




68 4




/|C69,5 |; 2) p; 3) (1 − p)17 ; 4) p; 5) 0; 6) p2 ; 7)

34 2




35 3




/|C69,5 |

Esercizio B Siano X, Y due v.a. (i.i.d.) che descrivono il lancio di due monete non truccate: spet(X) = spet(Y ) = {T, C}. 8) Scrivere la tabella di contingenza. 9) Scrivere la densit` a della trasformazione  U=

1, se X = Y 2, se X 6= Y

Siano X, Y due v.a. i.i.d. con densit` a Exp(2): calcolare le densit`a delle trasformazioni 10) Z = 1/X 11) W = 1/(X − Y ) 12) S = X + Y Y =T Y =C 1/4 1/4 1/2 Soluzioni: 1/4 1/4 1/2 1/2 1/2 1 9) sia pk = P (U = k) con k ∈ IU = {1, 2} e spet(U ) = {1, 2}, si ha che p1 = p2 = 1/2; 10) FZ (z) = e−2/z , z ∈ (0, ∞) (verifica della continuit`a, evento impossibile e certo), fZ (z) = 2z −2 e−2/z 11) calcolo FW , verifico continuit` a, e. impossibile, e. certo , calcolo fW  2/w   1−e , w≤0 e2/w e−2/w 2 2 1 (w) + 1(0,∞) (w), w ∈ R ⇒ fw (w) = FW (w) = (−∞,0)  w2 w2  1 + 1 e−2/w , w > 0 2 2 X=T 8) X=C

12) fS (s) =

22 2−1 −2s e 1(0,∞) (s), Γ(2) s

s∈R

Sia Xk ∼ N (1/8, σk2 ), k ∈ N una successione di v.a. indipendenti., studiare la convergenza delle successioni: Pn 13) X n = n−1 k=1 Xk se σk2 = 1/8, per ogni k Pn 14) Zn = n−1/2 k=1 (Xk − 1/8) se σk2 = 1 per ogni k Pn 15) In = n−1 k=1 tan(Xk ) se σk2 = 1/8 per ogni k. Dire se In `e una soluzione per qualche problema Monte Carlo.

Esercizio C

P

d

P

Soluzioni: 13) X n → 1/8 per la L.D.G.N.; 14) Zn → N (0, 1) per il T.L.C.; 15) In → I = X1 ∼ N (1/8, 1/8) e In `e una soluzione MC che approssima I.

R R

tan(x)fX1 (x)dx dove