Pemodelan domain waktu (State-space) DESMAS ARIFIANTO PATRIAWAN

Model Matematika Klasikal atau disebut domain frekuensi teknik (Bab2).

State-space atau modern atau teknik domain waktu (Bab3).

Klasik atau Teknik domain frekuensi Kelebihan ◦ Mengubah persamaan turunan kedalam persamaan aljabar melalui transfer function. ◦ Cepat menyediakan informasi stabilitas dan respon transient.

Kelemahan ◦ Hanya dapat diaplikasikan pada system linier. Sistem Linear Time-Invariant (LTI) atau yang mendekati.

◦ NB: Batasan dari LTI menjadi masalah pada tahun 1960 ketika aplikasi luara angkasa menjadi penting.

State-space atau modern atau teknik domain waktu Kelebihan ◦ Menyediakan penyatuan metode dari pemodelan, analisis dan desain pada area luas dari berbagai macam system dengan menggunakan aljabar matriks. ◦ Nonliner, variasi waktu dan system multivariable.

Kekurangan ◦ Tidak secepat metode klasik dalam menyediakan informasi. ◦ Membutuhkan perhitungan sebelum dinterpretasikan secara fisik.

Representasi state-space Pada system LTI dapat direpresentasikan dalam format state-space dengan persamaan diferensial vector-matriks sebagai: x (t )  A x(t )  Bu (t )

Dynamic equation(s)

y (t )  C x(t )  Du (t )

Measurement equations

Dengan 𝑡 ≥ 𝑡0 dan inisial kondisi 𝑥(𝑡0 ). Vektor 𝑥, 𝑦 dan 𝑢 adalah state, vector output dan input.

Matriks A, B, C dan D adalah system input, output dan matrik feedforward.

Definisi System variables: macam-macam variable yang merespon dari input atau inisial kondisi.

State variables: pengaturan terkecil dari variable system independent linier sebagai pengaturan inisial kondisi dan aplikasi input secara sempurna menentukan tingkah laku kedepan dari pengaturan.

State vector: (n x 1) vector column dimana elemen-elmennya adalah variable state. State space: n-dimensi space dimana sumbu dari state variable.

Graphic representation of state space and a state vector

Bilangan minimum dari sate variable adalah sama: Order dari DE (diferensial equation) mendiskripsikan system.

Order dari polynomial denominator dari TF model itu sendiri. Number (bilangan) dari elemen penyimpan energy independent dalam system.

NB: ingat state variable harus linier independen! Jika tidak, anda tidak dapat ntuk menyelesaikan dari semua variable system, atau menulis persamaan state.

Contoh 3.1

Contoh 3.2

Contoh kasus: Penyerapan obat paramedik Kelebihan dari state-space kemampuan untuk medekati dari focus pada bagian komponen dari system dan merepresentasikan system multi-input, multi-output. Kita mendiskripsikan distribusi dari obat dalam tubuh dengan memisahkan pada proses dalam sebuah wadah: dosage, absorption site, blood, peripheral compartment, dan urine.

Setiap 𝑥𝑖 adalah jumlah obat dalam wadah khusus.

Asumsikan dosage dilepas pada tingkat sebanding dengan kadarnya.

d x1   K1 x1 dt

Asumsikan tingkat akumulasi dari di situs adalah fungsi linier dari dosis kompartemen donor dan dosis pendudu, kemudian: d dt d dt d dt d dt

x 2  K1 x1  K 2 x 2 x 3  K 2 x 2  K 3 x 3  K 4 x 4  K5 x 5 x 4  K5 x 3  K 4 x 4 x5  K 3 x 3

Definisikan state vector sebagai jumlah dosage dalam setiap wadah dan asumsikan kita mengukur dosage setiap wadah, sehingga:  x1  x  2 d    x3   dt    x4   x5 

 K1  K  1  0   0  0

y  Ix

0

0

0

 K2

0

0

K2

 ( K 3  K5 )

K4

0

K5

 K4

0

K3

0

0  x1  0  x 2    0  x 3    0  x 4  0  x5 

Mengubah Transfer Function kedalam State-space State variable tidaklah unik. Sebuah system dapat menjadi akuratdengan beberapa perbedaan pengaturan dari state variable. Terkadang state variable dipilh karena bermakna fisika. Terkadang karena mereka menghasilkan persamaan state yang tunduk pada fungsi matematika. Terkadang dapat juga dengan perjanjian.

Format fasa-variable Pertimbangkan persamaan turunan:

dny d n 1 y d y  a     a0 y  b0u n 1 n n 1 dt dt dt dimana y adalah variabel pengukuran dan u adalah input. Bilangan minimum dari state variable adalan n sejak persamaan turunan adalah dari nth order.

Pilih output dan turunan sebagai state variable. x1  y x 2  y  x1  x 2

First row of state equations

 d n 1 y x n  n 1  x n 1  x n dt dny x n  n  a 0 x1  a1 x 2  a n 1 x n  b0 u dt

Last row of state equations

Atur dalam format vector-matrik  x1  x  2  d     dt   x  n 1   x n 

 0  0      0  a 0

1

0



0

1









0

0



 a0

 a0 

 x1  x   2  y 1 0 0  0     x  n 1   x n 





0   x1   0  0   x2   0                  1   x n 1   0   a 0   x n  b0  Catatan format dari TF

b0 Y ( s)  U ( s) s n  a n 1 s n 1 a1 s1  a 0

Contoh 3.4

equivalent block diagram showing phase-variables. Note: y(t) = c(t)

Tranfer Function dengan polynomial numerator

Pada blok pertama:

Kemudian

X 1 ( s)  R ( s)

  x1   0 d    x2   0   a dt  x3   0  a3

1 / a3 a 2 2 a1 a0 3 s  s  s a3 a3 a3

1 0 a  1 a3

   0   x1   0  1   x2    0 u 1 a2     x3    a3   a3 

Persamaan pengukuran (observasi) didapatkan dari TF yang kedua





C ( s )  Y ( s )  b2 s 2  b1s  b0 X 1 ( s )  b2 s 2 X 1  b1sX 1  b0 X 1 Tetapi, sX 1  X 2 and sX 2  X 3 Jadi, Y ( s )  b2 X 3  b1 X 2  b0 X 1 y  b0

b1

 x1  b2  x2   x3 

Contoh 3.5

Mengubah dari State-space (SS) ke dalam Transfer Function (TF) x (t )  A x(t )  Bu (t ) y (t )  C x(t )  Du (t ) Dengan t  t0 dan inisial kondisi zero. Dengan mengunalan Transformasi Laplace ,

s X ( s )  A X ( s )  BU ( s )  X ( s )  sI  A BU ( s ) 1

Y ( s )  C X ( s )  DU ( s )  C sI  A BU ( s )  DU ( s ) 1





 C sI  A B  D U ( s ) 1

Dalam kasus ini SISO (Single - Input, Single - Output) systems :

Y (s) CadjsI  AB  detsI  AD 1  C sI  A B  D  U (s) detsI  A

Contoh 3.6 Kerjakan dengan Tangan

Kerjakan menggunakan Matlab dengan perintah “ss” dan “tf”.

Linearization Demonstrasi dari bagaimana membuat linier sebuah model state-space nonlinier tentang nominal solusi. Aplikasi dari melinierkan sebagai guidance dan pengendali pada misi ke bulan.

Lihat Contoh 3.7

Tugas 1 1.

Sebutkan tahapan-tahapan dalam melakukan pemodelan??

2.

Carilah transformasi laplace dari persamaan berikut 𝑓 𝑡 = 4𝑒 𝑎𝑡 𝑢 (𝑡)

3.

Cari invers transformasi laplace dari persamaan berikut 𝐹 𝑠 = (𝑠+3)2

1