KUPA Kupa je oblo feometrijsko telo čija je osnova krug, a omotač je deo obrtne konusne površi sa vrhom u tački S. S

s

H

r

Osa kupe je prava koja prolazi kroz vrh kupe i centar osnove kupe . Ako je osa normalna na osnovu kupe reč je o pravoj kupi, inače se radi o kosoj kupi.

S

s

H

O

r osa kupe

Obeležavanje: -

r je poluprečnik osnove( 2r je prečnik osnove) H je visina kupe s je izvodnica kupe B je baza (osnova) M je omotač P površina, V zapremina 1

Opšte početne formule za površinu i zapreminu kupe iste su kao i formule za P i V piramide.

1 V = B⋅H 3

i

P = B+M Pogledajmo najpre mrežu kupe.

s

s

M = srπ

B = r 2π

P = B+M P = r 2π + srπ

1 V = BH 3 1 2 V = r πH 3

P = rπ (r + s ) 2

Pogledajmo i osni presek:

s

H

rr osni presek

Osni presek je trougao , čija je površina:

Pop =

2r ⋅ H 2

to jest

Pop = r ⋅ H

Još trebamo paziti da ako u tekstu zadatka kaže da se radi o ravnostranoj kupi , onda je osni presek jednakostranični trougao i važi da je :

2r = s

Znajte da kupa može nastati i obrtanjem pravouglog trougla oko jedne od svojih kateta:

c

b

a

c

c=s

b

b=H a=r

c=s b=r

a=H

a Obrtanje oko katete a

Obrtanje oko katete b

3

r = 6cm H = 11cm. V =?

1 V = B⋅H 3 1 V = r 2π ⋅ H 3 1 V = 62 π ⋅11 3 1 V = 36π ⋅11 skratimo 36 i 3 sa 3 3 V = 12π ⋅11 V = 132π cm3

4

V = 3π cm3 B = 3π cm 2 P=? Najpre tražimo visinu H primenjujući početnu formulu za zapreminu: 1 V = BH 3 1 3π = 3π ⋅ H ovde skratimo trojke i π 3 3= H H = 3cm Iz površine baze ćemo lako naći poluprečnik B= r 2π 3π = r 2π

r2 = 3 r = 3cm Primenom Pitagorine teoreme ćemo naći izvodnicu s: s2 = H 2 + r 2

s 2 = 32 + 3

2

s2 = 9 + 3 s 2 = 12 s = 12 = 4 ⋅ 3 = 2 3cm

I konačno, površina je:

5

P = rπ (r + s ) P = 3π ( 3 + 2 3) P = 3π ⋅ 3 3 P = 3π 3 P = 3π ⋅ 3

2

P = 9π cm 2

V = 800π cm3 2r : H = 5 : 6 ( prečnik osnove i visina su u razmeri 5:6) P=?

12r = 5 H odavde izrazimo H 12r H= 5 Sada ovo menjamo u formulu za zapreminu: 1 V = r 2π H 3 1 12r 800π = r 2π ⋅ pokratimo... 3 5 4r 3 800= 5 3 4r = 4000 → r 3 = 1000 → r 3 = 103 → r = 10cm

Dalje nam treba izvodnica s, koju ćemo naći preko Pitagorine teoreme: s2 = r 2 + H 2 s 2 = 10 2 + 242 s 2 = 100 + 576 s 2 = 676 s = 676 s = 26cm 6

Konačno, površina je: P = rπ (r + s ) P = 10π (10 + 26) P = 10π ⋅ 36 P = 360π cm 2

O = 6rcm H = 4cm A) s = ? B) P = ? V) V = ? Iz obima osnove ćemo naći poluprečnik osnove r O = 2rπ 6π = 2rπ 2r = 6 r = 3cm

s

H

Primenom Pitagorine teoreme dobijamo izvodnicu: s2 = r 2 + H 2 s 2 = 32 + 4 2 r

s 2 = 9 + 16 s 2 = 25 s = 25 s = 5cm

Dalje nije teško naći površinu i zapreminu:

7

P = rπ (r + s ) P = 3π (3 + 5) P = 3π ⋅ 8 P = 24π cm 2 1 V = r 2π H 3 1 V = 32 π ⋅ 4 3 1 V = 9π ⋅ 4 3 V = 12π cm3

P = 90π cm 2 B = 25π cm 2 V =? Krećemo od opšte formule za površinu: P = B+M 90π = 25π + M M = 90π − 25π M = 65π cm 2 Iz baze ćemo lako naći poluprečnik r B = r 2π 25π = r 2π r 2 = 25 r = 25 r = 5cm Vratimo se u omotač da nañemo izvodnicu s

8

M = srπ 65π = s ⋅ 5π

naravno, kao i uvek, skratimo π

65 = s ⋅ 5 65 s= 5 s = 13cm Sad upotrebimo Pitagorinu teoremu s2 = r 2 + H 2 132 = 52 + H 2 169 = 25 + H 2 H 2 = 169 − 25 H 2 = 144 H = 144 H = 12cm

1 V = r 2π H 3 1 V = ⋅ 52 π ⋅12 3 1 V = ⋅ 25π ⋅12 3 V=100π cm 3

skratimo 12 i 3 sa 3

2r = 18cm P = 216π cm 2 Pop = ?

Kako se beše izračunava površina osnog preseka? Pogledajmo sliku:

s

H

rr osni presek

9

Pop =

2rH 2

to jest : Pop = r ⋅ H

Iz 2r = 18 ,jasno je da je r = 9cm Nadjimo visinu: P = rπ (r + s ) 216π = 9π (9 + s )

s2 = H 2 + r 2 skratimo π

152 = H 2 + 92

216 = 9(9 + s )

225 = H 2 + 81

216 9 9 + s = 24

H 2 = 225 − 81

s = 24 − 9

H = 144

s = 15cm

H = 12cm

9+s =

H 2 = 144

Sad je lako:

Pop = r ⋅ H Pop = 9 ⋅12 Pop = 108cm2

Pop = 16 3cm 2 P=? 0

60

s

H

0

s

0

60

r 2r = s osni presek

60

Osni presek je jednakostranični trougao — to nam govori da je 2r = s

10

Za površinu osnog preseka ćemo upotrebiti formulu za površinu jednakostraničnog trougla: a△ 2 3 4 s2 3 16 3 = 4 2 s 16 = 4 2 s = 16 ⋅ 4 P△ =

skratimo 3

s 2 = 64 s = 64 s = 8cm Kako je 2r = s , onda je 2r = 8, pa je jasno: r = 4cm

P = rπ (r + s ) P = 4π (4 + 8) P = 4π ⋅12 P = 48π cm2

Uočimo par činjenica: -

visine su im iste dužina osnovne ivice piramide je : a = 6 2 da nañemo poluprečnik osnove kupe...tu će nam pomoći “ pogled odozdo”:

11

r=d/2 a

a

Uočavamo da je poluprečnik osnove kupe ustvari polovina dijagonale kvadrata! d a 2 6 2 2 6⋅2 Dakle: r = = = = = 6cm 2 2 2 2 Izračunajmo sada odnos zapremina: r 2π H a 2 H : ( ovde kratimo H, jer su im iste , i trojke) 3 3 = r 2π : a 2

Vkupa : V piramida =

a 2 2 ) π :a 2 2 2 a ⋅2 π : a 2 (pokratimo a i 2 i 4) = 4 =(

=

π 2

:1

( proširimo sa 2)

=π :2 Šta primećujemo? Pa podatak da je poluprečnik osnove kupe r =

a = 6 2 je takoñe nepotreban!

d a 2 6 2 2 6⋅2 = = = = 6cm nam nije ni trebao i podatak da je 2 2 2 2

Dovoljno je znati da je : r =

d a 2 = 2 2

12

O = 36π cm A) P = ? B ) V=?

Uočimo najpre na slici trougao BOS. S

45

0

s

H

A

O

r

45

0

B

H=r On je očigledno jednakokrako pravougli trougao!

To nam govori da je H = r. Izvodnica s je ustvari dijagonala

kvadrata čija je stranica r. Iz obima osnove ćemo naći poluprečnik r , onda istovremeno imamo i H, a izvodnica s ćemo kao dijagonalu kvadrata naći kao : s = r 2 O = 2rπ 36π = 2rπ 36 = 2r r = 18cm → H = 18cm → s = 18 2cm

13

P = rπ (r + s ) P = 18π (18 + 18 2) ovde , ako se setite, izvučite 18 kao zajednički ispred zagrade) P = 18π ⋅18(1 + 1 2) P = 324π (1 + 2)cm2 1 V = r 2π H 3 1 2 V = 18 π ⋅18 3 1 V = 324 ⋅ π ⋅18 3 V = 1944π cm3

O = 8π m H = 3m V =?

O = 2rπ 8π = 2rπ 2r = 8 r = 4m 1 V = r 2π H 3 1 V = 42 π ⋅ 3 3 V = 16π m3

14

15