Parábola y su ecuación cartesiana

Paquete de Evaluación de Matemáticas III

LA PARÁBOLA NOS MANTIENE EN CONTACTO La chismosa Parábola Según la leyenda de Maratón de Herodoto, el soldado Filípides recorrió los 240 km que separan Atenas de Esparta portando un mensaje de ayuda. Ahora basta un click para enviar un mensaje a todo el mundo. El funcionamiento de las sociedades humanas es posible gracias a la comunicación. Esta consiste en el intercambio de mensajes entre los individuos. En las sociedades contemporáneas existen múltiples medios de comunicación, sin los cuales no es posible imaginar el desarrollo actual de algunas actividades humanas. Un ejemplo es la telecomunicación, que tiene por objetivo establecer la comunicación a distancia, y que como toda comunicación lleva asociada la entrega de cierta información, que desde el punto de vista técnico la propia función aporta información al mensaje, a través de un lenguaje.

Esta información se obtiene de varias fuentes de información: sonido, imagen, dato, señales biomédicas, señales meteorológicas... y en definitiva cualquier forma de señal analógica o digital. Estas fuentes se procesan, buscando la forma más eficiente de trasmitirlas, estudiándolas tanto en el tiempo como en la frecuencia. Lo que ha provocado el desarrollo acelerado de los instrumentos y/o dispositivos que faciliten esta función, tal es el caso de las antenas parabólicas, receptoras, transmisoras o full dúplex (reciben y transmiten simultáneamente).

Parábola y su ecuación cartesiana

Paquete de Evaluación de Matemáticas III

¿Cuánto he aprendido? Evaluación de la unidad

La parábola es una sección cónica, que resulta del corte a un cono recto por un plano paralelo a la recta que genera al cono (la generatriz).

La parábola es el lugar geométrico de todos los puntos que se encuentran a la misma distancia de un punto fijo (foco) y una recta fija (directriz)

Para las siguientes preguntas, en una hoja aparte, resuelve lo que se te pide, justifica ampliamente tu respuesta y elige la opción que concuerde con ella.

2 Seminario de álgebra y geometría

Parábola y su ecuación cartesiana

Paquete de Evaluación de Matemáticas III

1. La parábola se define como el conjunto de todos los puntos del plano que:

A. equidistan del foco y del vértice B. equidistan del foco y la directriz C. equidistan del vértice y la directriz D. están a 4p del vértice

2. La figura es una parábola, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?

A. DP  QP B. VP  FQ C. RH  FR D. RP  PV

A. perpendicular al eje de simetría y está a una distancia p del vértice.

3. La directriz de la parábola es la recta:

B. paralela al eje de simetría y a una distancia 4p del vértice. C. paralela al eje de simetría y a una distancia p de foco. D. perpendicular al eje de simetría y a una distancia p del foco. A. de la directriz al vértice es 4p.

4. Cuando se trata de una parábola ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es cierta? La distancia..

B. del foco a la directriz es igual a la distancia del vértice al foco. C. del vértice al foco es igual 4p. D. de un punto de la parábola al foco es igual que la distancia del punto a la directriz

3 Seminario de álgebra y geometría

Parábola y su ecuación cartesiana

Paquete de Evaluación de Matemáticas III

A. x  5 y B. y  20 x 2 C. x  20 y

5. ¿Cuál es la ecuación ordinaria de la parábola con vértice en el origen y F (– 5, 0)?

2

2

D. y  5 x 2

A. x 2  12 y

6. ¿Cuál es la ecuación ordinaria de la parábola con vértice en el origen y directriz x  3  0?

B.

y  12 x

C.

x  3 y

2

2

D. y 2  3x 7. ¿Cuál es la ecuación ordinaria de la parábola con vértice en (2,3) y foco F (2, 6)?

A. B. C. D.

8. ¿Cuál es la ecuación ordinaria de la parábola con vértice V(– 3, – 1) y foco F(– 8,– 1)?

A. B. C. D.

9. ¿Cuál es la ecuación ordinaria de

A.

la parábola con vértice V(– 3, – 1)

B.

y directriz en y  3 ?

C. D.

10. ¿Cuál es la ecuación ordinaria de

A.

la parábola con V (7, – 2) y

B.

directriz x  1?

C. D.

x  22

 12( y  3)

 y  2  12( x  3) x  22  12( y  3)  y  22  12( x  3) 2

x  32  20 ( y  1)  y  12  5( x  3)

 y  12  20( x  3)  x  3  5( y  1) 2

 x  3  x  3  y  1  y  1

 8( y  1)  16( y  1)  8( x  3)  16( x  3)

2

2

2

2

 y  2  32( x  7)  y  2  32( x  7) 2

2

 x  7   24( y  2) 2

x  7

2

 24( y  2)

4 Seminario de álgebra y geometría

Parábola y su ecuación cartesiana

Paquete de Evaluación de Matemáticas III

11. ¿ Cuál es la ecuación ordinaria de la parábola con vértice V(4, 9), LR = 8

A.

x  4y  0

B.

x  4y  0

C.

y  4x  0

D.

y  4x  0

B.

y que abre hacia abajo?

C.

12. ¿ Cuál es la ecuación general de la parábola con vértice en el origen y su foco (1,0)?

2

2

2

2

 8( x  4)  8( x  4)

 8( y  9)  8( y  9)

2

2

2

2

A. x  8 y  0 2

13. ¿ Cuál es la ecuación general de la parábola con vértice en el origen y su directriz

D.

 y  9  y  9 x  4  x  4

A.

y   2?

B.

y  8x  0

C.

x  8y  0

D.

y  8x  0

2

2

2

A. x 2  12 x  8 y  28  0

14. ¿ Cuál es la ecuación general de la parábola con vértice en (– 6, 1) y

B.

y  8 x  2 y  49  0

foco F(– 8,1)?

C.

x  12 x  8 y  44  0

D.

y  8x  2 y  5  0

A.

x  14 y  24 y  169  0

15. ¿ Cuál es la ecuación general de la

2

2

2

2

parábola con vértice en (– 7, 5) y foco

B. y  24 x  10 y  143  0

F (– 7,– 1)?

C.

2

x  14 x  24 y  71  0 2

D. y 2  24 x  10 y  193  0 5 Seminario de álgebra y geometría

Parábola y su ecuación cartesiana

Paquete de Evaluación de Matemáticas III

A. y 2  16 y  14 y  49  0

16. ¿ Cuál es la ecuación general de la parábola con vértice en (0,– 7) y

B.

directriz y  3  0 ?

x  16 y  112  0 2

C. y  16 x  14 y  112  0 2

17. ¿ Cuál es la ecuación general de la parábola con foco en ( 6 , 0 ) y directriz x  10  0 es ?

D.

x  16 y  112  0

A.

x  16 x  8 y  64  0

B.

y 2  8 x  64  0

2

2

2 C. x  16x  8 y  48  0

D.

y 2  8 x  48  0

A.

y  5 x  16 y  39  0

B.

y  5 x  16 y  89  0

C.

x  10 x  5 y  65  0

D.

x  10 x  5 y  15  0

A.

y  16 x

B.

x  8y

C.

x  16 y

D.

y  8 x

A.

x  20 y

parábola con vértice V( 0, 0 ) y

B.

y  10 x

directriz x = 5?

C.

y  20 x

18. ¿ Cuál es la ecuación general de la parábola con LR = 5 unidades, vértice V(– 5, 8 ) y que abre hacia la derecha?

19. ¿ Cuál es la ecuación ordinaria de la parábola con vértice en el origen y foco en F(– 4, 0 )?

20. ¿ Cuál es la ecuación ordinaria de la

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

D. x 2  10 y 6 Seminario de álgebra y geometría

Parábola y su ecuación cartesiana

Paquete de Evaluación de Matemáticas III

21. ¿ Cuál es la ecuación ordinaria de la

A.

x  12 y

parábola con vértice en el origen,

B.

x  12 y

C.

y  12 x

D.

y  12 x

A.

x  12  12 y  5

B.

 y  52  12x  1

C.

 y  52  48x  1

D.

x  12  48 y  5

A.

x  2

que abre hacia abajo y su lado recto mide 12 unidades?

22. ¿ Cuál es la ecuación ordinaria de la parábola con vértice V( 1, 5 ) y directriz y = – 7?

23. ¿ Cuál es la ecuación ordinaria de la

2

2

2

2

 16 y  6 

2

parábola con vértice V( – 2, 6 ) y

B.

directriz x = 2?

C.

 x  2  y  6

D.

 y  6

A.

 x  9  y  2

24. ¿ Cuál es la ecuación ordinaria de la

 16 y  6 

2

 16 x  2 

2

2

 16 x  2 

2

D.

 x  9  4 y  2  y  2    x  9   y  2  4 y  9

A.

y  8x  0

parábola con vértice en el origen y

B.

y  8x  0

directriz x  2 es ?

C.

x  2y  0

parábola con vértice V( – 9, – 2 )

B.

LR = 1 y que abre hacia arriba?

C.

25. ¿ Cuál es la ecuación general de la

2

2

2

2

2

2

D. x 2  2 y  0 7 Seminario de álgebra y geometría

Parábola y su ecuación cartesiana

Paquete de Evaluación de Matemáticas III

A. x 2  20x  4 y  100  0

26. ¿ Cuál es la ecuación general de la parábola con vértice V( 10, 0 ) y

B. x 2  20x  4 y  100  0

foco F( 10, – 1 )?

C. y 2  4 x  40  0 D. y 2  4 x  40  0

27. ¿ Cuál es la ecuación general de la parábola con vértice V( 2, – 3 ) y foco F( – 9,– 3 )?

A.

y  44 x  6 y  79  0

B.

x  44 y  4 x  128  0

C.

y  44 x  6 y  97  0

2

2

2

D. x 2  44 y  4 x  136  0 28. ¿ Cuál es la ecuación general de la parábola con vértice V( 4, 5 ) y directriz y  9  0 ?

A.

x  8 x  16 y  96  0

B.

y  16 x  10 y  89  0

C.

x  8 x  16 y  64  0

2

2

2

D. y 2  16 x  10 y  39  0 29. ¿ Cuál es la ecuación general de la parábola con foco F( 2, – 5 ) y directriz y – 3 = 0 ?

A.

x  4 x  16 y  12  0

B.

x  4 x  32 y  28  0

C.

x  4 x  16 y  20  0

2

2

2

D. x 2  4 x  32 y  164  0 30. ¿ Cuál es la ecuación ordinaria de la parábola cuya ecuación general es

x  4y  4  0 ?

A.

x  4 y  4

B.

x  4 y  1

C.

x  4 y  4

D.

x  4 y  1

2

2

2

2

2

8 Seminario de álgebra y geometría

Parábola y su ecuación cartesiana

Paquete de Evaluación de Matemáticas III

A. x  3 y  3

31. ¿ Cuál es la ecuación ordinaria de la

2

parábola con ecuación general

x  3y  3  0?

B.

x  3 y  3

C.

x  3 y  1

2

2

2

D. x  3 y  1 2

32. ¿ Cuál es la ecuación ordinaria de la parábola con ecuación general

y  8 x  16  0 ?

A.

y  8 x  2

B.

y  8 x  2

C.

y  8 x  1

D.

y  8 x  1

2

33. ¿ Cuál es la ecuación ordinaria de la parábola con ecuación general

y  x  4y  0?

parábola con ecuación general

x  4 x  12 y  16  0 ?

 y  2    x  4 

C.

 y  2  x  4

D.

 y  2    x  4 

A.

 x  2   12 y  1

B.

 x  2   12 y  1

C.

 x  2   12 y  1

D.

 x  2   12 y  1

2

2

2

2

2

2

2

2

C.

 y  4   8 x  2   y  4   8 x  6   y  4   8 x  32 

D.

 y  4   8 x  48

B.

y  8 x  8 y  32  0 ?

2

B.

A.

parábola con ecuación general

2

 y  2  x  4

2

35. ¿ Cuál es la ecuación ordinaria de la

2

A.

2

34. ¿ Cuál es la ecuación ordinaria de la

2

2

2

2

2

2

9 Seminario de álgebra y geometría

Parábola y su ecuación cartesiana

Paquete de Evaluación de Matemáticas III

A. Vertical, abre hacia arriba

36. La parábola con ecuación

x  6 x  y  0 , es:

B. Horizontal, abre hacia la derecha

2

C. Vertical, abre hacia abajo D. Horizontal, abre hacia izquierda

37. La parábola con ecuación

A. Horizontal, abre hacia la derecha

y  x  y  1  0 , es:

B. Vertical, abre hacia arriba

2

C. Vertical, abre hacia abajo D. Horizontal, abre hacia la izquierda A. Vertical, abre hacia arriba

38. La parábola con ecuación

6 y  5 x  y  11  0 , es: 2

B. Vertical, abre hacia abajo C. Horizontal, abre hacia la derecha D. Horizontal, abre hacia la izquierda

A. Horizontal, abre hacia la derecha

39. La parábola con ecuación

y  8 x  64  0 , es: 2

B. Vertical, abre hacia arriba C. Vertical, abre hacia abajo D. Horizontal, abre hacia la izquierda

40. La longitud del lado recto de la

A. 2

parábola con ecuación 2 y  8 x  0 ,

B. 4

es:

C. 8

2

D. 16

10 Seminario de álgebra y geometría

Parábola y su ecuación cartesiana

Paquete de Evaluación de Matemáticas III

41. Las coordenadas del vértice de la

A. ( 0, 1 )

parábola con ecuación

y  8x  8  0 , 2

B. (– 1, 0 ) C. ( 1, 0 )

son:

D. ( 0, – 1) A. ( – 3, 2 )

42. Las coordenadas del vértice de la parábola con ecuación,

B. ( – 4, 2 )

y  4 x  4 y  16  0 son:

C. ( 4, – 2 )

2

D. ( 3, – 2 ) A. ( – 5, – 3 )

43. Las coordenadas del vértice de la parábola con ecuación,

B. ( 5, 3 )

x  10 x  4 y  37  0 son:

C. ( 5, – 3 )

2

D. ( – 5, 3 ) 44. La longitud del lado recto de la

A. 8

parábola con ecuación,

B. 16

x  2 x  16 y  31  0 es:

C. 4

2

D. 2 45. La longitud del lado recto de la

A. 3

parábola con ecuación

B. 6

y  12 x  24  0 , es:

C. 12

2

D. 24 46. La ecuación de la directriz de la parábola y  12 x  24  0 , es:

A.

x 1  0

B.

y50

2

C. D.

x 5  0 y 3 0

11 Seminario de álgebra y geometría

Parábola y su ecuación cartesiana

Paquete de Evaluación de Matemáticas III

47. La longitud del lado recto de la

A. 15

parábola y  14x  2 y  15  0 ,

B. 2

2

C. 3.5

es:

D. 14

48.

Las coordenadas del vértice de la

A. ( 6, – 6 )

parábola y  4 x  12 y  12  0 ,

B. ( – 6, 6 )

son:

C. ( – 6, 3 )

2

D. ( 3, 6 )

A. x   2

49. La ecuación de la directriz de la parábola x  6 x  8 y  41  0 ,

B. x   4

es:

C. y   2

2

D. y  3 A. x  2

50. La ecuación de la directriz de la

B. y  6

parábola y  8 x  2 y  31  0 , 2

C. y  2

es:

D. x  6

A. ( 3, – 2 )

51. Las coordenadas del foco de la parábola x  6 x  8 y  41  0 , son: 2

B. ( – 4, 3 ) C. ( 3. – 6 ) D. ( – 4, – 2 )

12 Seminario de álgebra y geometría

Parábola y su ecuación cartesiana

52.

Paquete de Evaluación de Matemáticas III

A. x  3

La ecuación de la directriz de la

B. x   4

2 parábola y  16x  16  0 , es:

C. y  4 D. y  3 A. y  7.5

53. La ecuación de la directriz de la parábola x  6 x  4 y  17  0 ,

B. x  2  0

es:

C. x  4  0

2

D. y   7.5 A. ( – 4, – 1 )

54. Las coordenadas del foco de la parábola y  8 x  2 y  31  0 ,

B. ( – 4, 1 )

son:

C. ( – 2. 3 )

2

D. ( 2, 1 ) 55. Las coordenadas del foco de la

A. ( 0 , – 8)

parábola x  8 y  8  0 , son:

B. ( – 3, 0)

2

C. ( – 1, 0) D. (3, 0)

56. La parábola con ecuación

A. arriba B. la izquierda

x  8 y  0 , abre hacia: 2

C. la derecha D. abajo 57. La parábola con ecuación

A. abajo

x  6 x  y  0 , abre hacia: 2

B. la izquierda C. la derecha D. arriba 13 Seminario de álgebra y geometría

Parábola y su ecuación cartesiana

Paquete de Evaluación de Matemáticas III

58. La parábola con ecuación

A. la izquierda

x  4 y  4  0 , abre hacia: 2

B. la derecha C. abajo D. arriba

59. La parábola con ecuación 2 y 2  8 x  0 abre hacia:

A. la izquierda B. la derecha C. abajo D. arriba

60. La parábola con ecuación 3 y 2  12x  0 abre hacia:

A. la izquierda B. la derecha C. abajo D. arriba

61. ¿Cuál es la ecuación de la parábola

A. y 2  2 x

cuya gráfica es más cerrada?

B. x 2  4 y C. y 2  10x D. x 2  y

62. ¿Cuál es la ecuación de la parábola

A. y 2  2 x

cuya gráfica es más abierta?

B. x 2  4 y C. y 2  10x D. x 2  y A. 2 y 2   6 x  2

63. ¿Cuál es la ecuación de la parábola

B. x 2  4 y  10

cuya gráfica es más abierta?

C. y 2  12x  4 D. 4 x 2  2 y

14 Seminario de álgebra y geometría

Parábola y su ecuación cartesiana

Paquete de Evaluación de Matemáticas III

64. ¿Cuál es la ecuación de la parábola

A. y 2  6 x  6

cuya gráfica es más cerrada?

B. x 2  4 y  12 C. 4 y 2  8 x D. x 2  8 y

65. Determina la ecuación de la parábola de la siguiente figura, los puntos marcados tienen coordenadas enteras:

A. x  12 x  y  32  0 2

B. x  12 x  4 y  20  0 2

C. y  4 x  8 y  40  0 2

D. y  x  8 y  22  0 2

66. Determina la ecuación de la parábola de la siguiente figura, los puntos marcados tienen coordenadas enteras:

A. x 2  2 x  4 y  7  0 B. x 2  2 x  4 y  9  0 C. y  4 x  4 y  8  0 2

D. y 2  4 x  4 y  0

15 Seminario de álgebra y geometría

Parábola y su ecuación cartesiana

Paquete de Evaluación de Matemáticas III

67. Determina la ecuación de la parábola de la siguiente figura, los puntos marcados tienen coordenadas enteras:

A.

y  6 x  12 y  36  0 2

B. x  6 y  36  0 2

C. x  9 y  36  0 2

D. y 2  6 x  12 y  36  0

A. y 2  2 x  4 y  2  0

68. Determina la ecuación de la parábola de la siguiente figura, los puntos marcados tienen coordenadas enteras:

B. y 2  8 x  20  0 C. y 2  8 x  4 y  20  0 2 D. y  4 x  4 y  8  0

16 Seminario de álgebra y geometría

Parábola y su ecuación cartesiana

Paquete de Evaluación de Matemáticas III

Respuestas a ¿Cuánto has aprendido? Evaluación de la unidad

1. B definición de parábola. 2. C R es un punto de la parábola, por lo tanto, la distancia al foco ̅̅̅̅ es igual a la distancia a la directriz ̅̅̅̅

3. A La directriz de la parábola es la recta perpendicular al eje de simetría y está a una distancia p del vértice. 4. D La parábola es el conjunto de todos los puntos del plano que equidistan del foco y a la directriz. 5. B

Horizontal negativa, p=5 y 2  4 px

y 2  45x y 2  20 x

6. B

Horizontal negativa, p=3 y 2  4 px

y 2  43x y 2  12 x

30

Parábola y su ecuación cartesiana

7.

Paquete de Evaluación de Matemáticas III

A

Vertical positiva,

( x  h ) 2  4 p( y  k ) V(2,3) y p=3

( x  2) 2  43( y  3)

( x  2) 2  12( y  3)

8.

C Horizontal negativa

 y  k 2  4 px  h p=5

 y  12  45x  3

 y  12   20x  3

9.

B

Vertical negativa,

( x  h ) 2  4 p( y  k ) V(– 3,– 1) y p=4

( x  3) 2  44 ( y  1) ( x  3) 2  16( y  1)

10. B

Horizontal positiva

 y  k 2  4 px  h p=8

 y  22  48x  7  y  22  32x  7 31 Seminario de álgebra y geometría

Parábola y su ecuación cartesiana

Paquete de Evaluación de Matemáticas III

11. D

Vertical negativa,

( x  h ) 2  4 p( y  k ) LR= 8 ;

p=2

( x  4) 2  42 ( y  9)

 x  4  8( y  9) 2

12.

D

Horizontal positiva y 2  4 px

p=1

y 2  41x y 2  4x y 2  4x  0 3

13.

A Vertical positiva,

x 2  4 py

p=2

x 2  42  y

x2  8y

x2  8y  0 14.

B

Horizontal negativa

 y  k 2   4 px  h p=2

 y  12  42x  6 y 2  2 y  1  8 x  48 y 2  8 x  2 y  49  0

32 Seminario de álgebra y geometría

Parábola y su ecuación cartesiana 15.

Paquete de Evaluación de Matemáticas III

C Vertical negativa,

( x  h ) 2  4 p( y  k ) p=6

( x  7) 2  46( y  5) x 2  14 x  49  24 y  120

x 2  14 x  24 y  71  0 D Vertical negativa, p=4

16.

( x  h ) 2  4 p( y  k ) ( x  0) 2  44 ( y  ( 7)) x 2  16 y  112 x 2  16 y  112  0

B Horizontal negativa

17.

 y  k 2  4 px  h

p=2

 y  02  42x  8 F(6,0)

y 2  8 x  64

y 2  8 x  64  0

18.

A Horizontal positiva

 y  k 2  4 px  h 4p=5

 y  8 2

p

5 4

 5  4 x  5 4

y 2  16 y  64  5 x  25

y  5 x  16 y  39  0 2

33 Seminario de álgebra y geometría

Parábola y su ecuación cartesiana 19

Paquete de Evaluación de Matemáticas III

A Horizontal negativa y 2  4 px

p=4 y 2  44 x

y  16 x 2

20. C Horizontal negativa y 2  4 px

p=5 y 2  45x

y  20 x 2

21.

B Vertical negativa Lado recto 12; 4p=12

p=3

x 2  4 py

x 2  43 y

x  12 y 2

22.

D Vertical positiva,

( x  h ) 2  4 p( y  k ) V(1,5) y p=12

( x  1) 2  412( y  5)

x  12  48 y  5

34 Seminario de álgebra y geometría

Parábola y su ecuación cartesiana

23.

Paquete de Evaluación de Matemáticas III

C Horizontal negativa

 y  k 2  4 px  h p=4

 y  62  44x  2

 y  6

2

 16 x  2 

24. A Vertical positiva,

4p=1

p

1 4

( x  h ) 2  4 p( y  k ) 1 ( x  9) 2  4 ( y  2) 4

 x  9  y  2 2

25.

B Horizontal positiva y 2  4 px

p=2

y 2  42 x

y 2  8x y  8x  0 2

26.

A Vertical negativa,

( x  h ) 2  4 p( y  k ) p=1

( x  10) 2  41( y  0) x 2  20x  100  4 y x 2  20x  4 y  100  0

35 Seminario de álgebra y geometría

Parábola y su ecuación cartesiana 27.

Paquete de Evaluación de Matemáticas III

A Horizontal negativa

 y  k 2  4 px  h p=11

 y  32  411x  2 y 2  6 y  9  44x  88

y 2  44 x  6 y  79  0 28.

C Vertical negativa,

( x  h ) 2  4 p( y  k ) p=4

( x  4) 2  44 ( y  5) x 2  8 x  16  16 y  80

x  8x  16 y  64  0 2

29.

C Vertical negativa,

( x  h ) 2  4 p( y  k ) p=4 y V(2,– 1)

( x  2) 2  44 ( y  1) x 2  4 x  4  16 y  16

x  4 x  16 y  20  0 2

30.

D

x2  4 y  4  0

31. C

x  3y  3  0 2

x 2  4 y  4

x 2  3y  3

x  4 y  1

x 2  3 y  1

2

36 Seminario de álgebra y geometría

Parábola y su ecuación cartesiana

y  8 x  16  0

32. B

2

Paquete de Evaluación de Matemáticas III

y  x  4y  0

33. B

2

y 2  8 x  16

y 2  4 y  x

y  8 x  2

y2  4 y  4  x  4

2

 y  2    x  4  2

x  4 x  12 y  16  0

34. A

2

35. B

2

x 2  4 x  12 y  16

y 2  8 y  8 x  32

x 2  4 x  4  12 y  16  4

y 2  8 y  16  8 x  32  16

x  22  12 y  12  x  2   12 y  1

y 2  8 y  16  8 x  48

 y  4   8 x  6  2

2

36. C

x  6x  y  0 2

37. A

x 2  6x  9   y  9

x  32

  y  9

2

2

2

1 5  y   x 2 4 

Vertical, abre hacia abajo

6 y  5 x  y  11  0

y  x  y 1  0

y2  y  x  1 1 1 y2  y   x 1 4 4

x 2  6x   y

38. D

y  8 x  8 y  32  0

Horizontal, abre hacia derecha 39.

A

y  8 x  64  0 2

6 y 2  y  5x  11

y 2  8 x  64

2

1 1 1 y 2  y     5 x  11  6 144  12 

y 2  8x  8

2

1 1585   y    5x  12  144 

Horizontal, abre hacia la derecha

2

1 317     y    5 x   12  144   

Horizontal, abre hacia la izquierda 37 Seminario de álgebra y geometría

Parábola y su ecuación cartesiana

2 y  8x  0

42. A

y 2  8x  8

y 2  4x

y 2  8 x  1

Lado recto es 4p=4

V(1, 0)

y  4 x  4 y  16  0 2

43. D

x  10 x  4 y  37  0 2

y 2  4 y  4 x  16

x 2  10x  4 y  37

y 2  4 y  4  4 x  16  4

x 2  10x  25  4 y  37  25

 y  22  4 x  12

x  52

 4 y  12

 y  22  4x  3

x  52

 4 y  3

V(– 5, 3)

x  2 x  16 y  31  0 2 x  2 x  16 y  31 2

45. C

y  12 x  24  0 2

y 2  12 x  24

x 2  2 x  1  16 y  31  1

x  12  16 y  32 x  12  16( y  2)

y 2  12( x  2)

LR =12

LR =16 46. A

2

y 2  4x  0

V(– 3, 2) 44. B

y  8x  8  0

41. C

2

40. B

Paquete de Evaluación de Matemáticas III

y  12 x  24  0 2

y 2  12 x  24 y 2  12( x  2) V(2,0)

4p=12

p=3

Directriz x  1 x 1 0

38 Seminario de álgebra y geometría

Parábola y su ecuación cartesiana

y 2  14x  2 y  15  0

47. D

Paquete de Evaluación de Matemáticas III

48. B

y  4 x  12 y  12  0 2

y 2  2 y  14x  15

y 2  12 y  4 x  12

y 2  2 y  1  14x  15  1

y 2  12 y  36  4 x  12  36

( y  1) 2  14 x  14

( y  6) 2  4 x  24

( y  1) 2  14( x  1)

( y  6) 2  4( x  6)

LR= 14

V(– 6,6)

49. C x  6 x  8 y  41  0 2

x 2  6 x  8 y  41 x 2  6 x  9  8 y  41  9

( x  3) 2  8 y  32 ( x  3) 2  8( y  4) V(3,– 4) y directriz

y  2

50. D y  8 x  2 y  31  0 2

y 2  2 y  8 x  31 y 2  2 y  1  8 x  31  1 ( y  1) 2  8 x  32

( y  1) 2  8( x  4) V(4,1) 4p=8 p=2 Directriz

x6

51. C x  6 x  8 y  41  0 2

x 2  6 x  8 y  41 x 2  6 x  9  8 y  41  9

( x  3) 2  8 y  32 ( x  3) 2  8( y  4) V(3,– 4) y F(3,– 6) 39 Seminario de álgebra y geometría

Parábola y su ecuación cartesiana

Paquete de Evaluación de Matemáticas III

y 2  16x  16  0

52. A

y 2  16x  16 y 2  16( x  1) V(– 1,0)

4p=16

p=4

x3

directriz

x 2  6 x  4 y  17  0

53. D

x 2  6 x  4 y  17

x 2  6 x  9  4 y  17  9 ( x  3) 2  4 y  26

( x  3) 2  4( y  6.5) V(– 3,– 6.5)

4p = 4 ; p = 1

directriz y  7.5 ;

Vertical, abre hacia arriba 54.

D

y  7 .5  0

y 2  8 x  2 y  31  0 y 2  2 y  8 x  31

y 2  2 y  1  8 x  31  1

( y  1) 2  8 x  32 ( y  1) 2  8( x  4) V(4,1) 4p=8 p=2

directriz

F(2,1) 55. B

y 2  8x  8  0

y 2  8 x  8

y  8x  1 2

V(– 1,0) 4p=8 p=2

x  6;

x 60

El término cuadrático en y, indica que la parábola es horizontal, el signo negativo del término derecho que abre hacia la izquierda.

F(– 3,0) 40 Seminario de álgebra y geometría

Parábola y su ecuación cartesiana

56. D

Paquete de Evaluación de Matemáticas III

x2  8y  0

El término cuadrático en x, indica que la

x 2  8 y

parábola es vertical, el signo negativo del término derecho que abre hacia abajo.

57. A

x2  6x  y  0 x2  6x   y

x2  6x  9   y  9 ( x  3)  ( y  9) 2

58. D

59.

60.

B

A

El término cuadrático en x, indica que la parábola es vertical, el signo negativo del término derecho que abre hacia abajo.

x2  4 y  4  0

El término cuadrático en x, indica que la

x2  4 y  4

parábola es vertical, el signo positivo del

x 2  4( y  1)

término derecho que abre hacia arriba.

2 y  8x  0 2 y 2  8x y2  4x 2

El término cuadrático en y, indica que la parábola es horizontal, el signo positivo del término derecho que abre hacia la derecha.

3 y 2  12x  0

El término cuadrático en y, indica que la

3 y  12 x

parábola es horizontal, el signo negativo del

2

y 2   4x

término derecho que abre hacia la izquierda.

61. D La más cerrada es la que tiene el

62. C La más abierta es la que tiene el

coeficiente menor del término lineal,

coeficiente mayor del término lineal,

en valor absoluto.

en valor absoluto.

63. C La más abierta es la que tiene el

64. C La más cerrada es la que tiene el

coeficiente mayor del término lineal,

coeficiente menor del término lineal,

en valor absoluto.

en valor absoluto.

41 Seminario de álgebra y geometría

Parábola y su ecuación cartesiana

65. A Es una parábola vertical positiva, su ecuación es de la forma

Paquete de Evaluación de Matemáticas III

66. C Es una parábola horizontal positiva, su ecuación es de la forma

( x  h) 2  4 p( y  k ) su vértice – Se sustituye ( x  6) 2  4 p( y  4) , como

( y  k ) 2  4 p( x  h) su vértice V(1,2) Se sustituye ( y  2) 2  4 p( x  1) , como

pasa por el punto J(4,0) también se

pasa por el punto I(2,4) también se

sustituye (4  6) 2  4 p(0  4) y se despeja

sustituye

el valor de p

el valor de p

(2)  16 p ; 2

1 p 4

Entonces la ecuación queda: 1 ( x  6)2  4 ( y  4) 4

(2) 2  4 p ;

p 1

Entonces la ecuación queda:

( y  2) 2  41( x  1)

y 2  4 y  4  4x  4

x  12x  36  y  4 2

y 2  4x  4 y  8  0

x 2  12x  y  32  0 67. B Es una parábola vertical positiva,

(4  2) 2  4 p(2  1) y se despeja

68. C Es una parábola horizontal

su ecuación es de la forma

negativa, su ecuación es de la forma

( x  h) 2  4 p( y  k ) su

( y  k ) 2  4 p( x  h) su vértice V(3,– 2)

– Se sustituye ( x  0) 2  4 p( y  6) , como

Se sustituye ( y  2) 2  4 p( x  3) , como

pasa por el punto I(– 6,0) también se

pasa por el punto J(1,2) también se

sustituye (6  0)  4 p(0  6) y se

sustituye

2

despeja el valor de p

3 36  24 p ; p  2 Entonces la ecuación queda: 3 ( x  0) 2  4 ( y  6) 2

(2  2) 2  4 p(1  3) y se

despeja el valor de p

16  4 p 2 ;

p2

Entonces la ecuación queda:

( y  2) 2  42( x  3)

y 2  4 y  4  8 x  24

x 2  6( y  6)

y 2  8x  4 y  20  0

x 2  6 y  36  0

42 Seminario de álgebra y geometría