LOGARITAMSKE JEDNAČINE I NEJEDNAČINE Pre nego što krenete u reševanje jednačine savetujemo vam da se podsetite OSNOVNIH SVOJSTAVA I DEFINICIJE LOGARITAMA: log a b = x ⇔ b = a x je definicija a svojstva su: 1. log a 1 = 0 2. log a a = 1 3. log a ( xy ) = log a x + log a y x 4. log a = log a x − log a y y 5. log a x n = n log a x 1 6. log a s x = log a x s 7. log a b ⋅ log a a = 1 tj. log a b =

1 log b a

8. Za prelazak na neku novu bazu c: log a b =

log c b log c a

9. a log a b = b

1) Rešiti jednačine: a) log 3 (2 x + 3) = 2 b) log 4 (3x + 4) = 3 c) log 3 x + 1 =

1 2

Rešenje: a) log 3 (2 x + 3) = 2 → Iskoristićemo definiciju log A B = ⊗ ⇔ B = A⊗ Dakle:

2 x + 3 = 32 2x + 3 = 9 2x = 6 x=3

2x + 3 > 0 uz uslov

2 x > −3 x>−

3 2

3 Pošto je 3 > − , rešenje x = 3 je “dobro’’ 2

1

b)

log 4 (3x + 4) = 3 → Opet po definiciji 3 x + 4 = 43 3 x + 4 = 64 3 x = 60

3x + 4 > 0

uslov

x = 20

3 x > −4 4 x>− 3

Rešenje zadovoljava uslov! 1 v) log 3 x + 1 = → Primetimo da nema osnova, pa dopišemo 10 po dogovoru. 2 1 log10 3 x + 1 = 2 1 3x + 1 > 0 3 x + 1 = 10 2 uz uslov 3x + 1 > 0 3 x + 1 = 10....... /() 2 kvadriramo 1 3x = 9 x>− 3 x=3 1 3 > − , dobro je rešenje. 3 2) Rešiti jednačine: a) log 2 ( x − 1) + log 2 ( x + 2) = 2 b) log( x 2 + 19) − log( x − 8) = 2 v) log(5 − x) + 2 log 3 − x = 1 Rešenja:

Iskoristićemo log a x + log a y = log a ( xy ) log 2 ( x − 1) + log 2 ( x + 2) = 2 log 2 ( x − 1)( x + 2) = 2 → Uslovi x − 1 > 0 i x + 2 > 0 x > 1 i x > −2 x Dalje po definiciji: log a b = x ⇔ b = a

a)

( x − 1)( x + 2) = 2 2 x 2 + 2x − x − 2 = 4 x2 + x − 6 = 0 x1, 2 =

−1± 5 2

x1 = 2 x 2 = −3 Dalje se pitamo da li rešenja zadovoljavaju uslove: x > 1 i

x > −2

x ∈ (1, ∞ )

x1 = 2 → Zadovoljava x2 = −3 → Ne zadovoljava Dakle, jedino rešenje je x = 2

2

b) log( x 2 + 19) − log( x − 8) = 2 Dopišemo najpre osnovu 10 log10 ( x 2 + 19) − log10 ( x − 8) = 2 x Pošto je log a x − log a y = log a y x 2 + 19 log10 = 2 naravno uz uslove: x 2 + 19 > 0 i x − 8 > 0 x −8 x >8 2 x + 19 = 10 2 x−8 x 2 + 19 = 100 x−8 x 2 + 19 = 100( x − 8)

x 2 + 19 = 100 x − 800 x 2 − 100 x + 819 = 0 100 ± 82 2 x1 = 91 x1, 2 =

x2 = 9 Oba rešenja “dobra’’ jer su veća od 8 v) log(5 − x) + 2 log 3 − x = 1 2

log(5 − x) + log 3 − x = 1 log(5 − x) + log(3 − x) = 1 Uslovi su: 5− x > 0 − x > −5

i

x<5

3− x > 0 − x > −3 x<3

Dakle uslov je x < 3

(5 − x)(3 − x) = 101 15 − 5 x − 3 x + x 2 − 10 = 0 x 2 − 8x + 5 = 0 8 ± 44 8 ± 2 11 2(4 ± 11) = = = 4 ± 11 2 2 2 x1 = 4 + 11 ≈ 7,32 x1, 2 =

x 2 = 4 − 11 ≈ 0,68 x1 = 4 + 11 ne zadovoljava uslov, pa je jedino rešenje: x = 4 − 11 3

3) Rešiti jednačine: a) log 2 x − 3 log x + 2 = 0 5 b) log 2 x + log x 2 = 2

Rešenja: a) Uvodimo smenu log x = t uz uslov x > 0 log 2 x − 3 log x + 2 = 0 t 2 − 3t + 2 = 0 t1, 2 =

3 ±1 2

t1 = 2 t2 = 1 Vratimo se u smenu log10 x = 2

log10 x = 1

i

x = 10 2 x = 100

b) log 2 x + log x 2 = log 2 x +

x = 101 x = 10

5 2

kako je log a b =

1 log b a

1 5 = → Uvodimo smenu log 2 x = t uz uslove x > 0 i x ≠ 1 log 2 x 2

1 5 t + = → Sve pomnožimo sa 2t t 2 2 2t + 2 = 5t 2t 2 − 5t + 2 = 0 t1, 2 =

5±3 4

t1 = 2 t2 =

1 2

Vratimo se u smenu : log 2 x = 2 x = 22 x=4

ili

log 2 x = x=2

1 2

1 2

x= 2

4

4) Rešiti jednačine: a) log 2 x + log 4 x + log 16 x = 7 b) log 3 x ⋅ log 9 x ⋅ log 27 x ⋅ log 81 x =

2 3

Rešenje: U oba primera ćemo koristiti da je: log a S x =

1 log a x S

a)

log 2 x + log 4 x + log16 x = 7

uslov x > 0

log 2 x + log 22 x + log 24 x = 7 1 1 log 2 x + log 2 x + log 2 x = 7 /⋅ 4 2 4 4 log 2 x + 2 log 2 x + 1 log 2 x = 28 7 log 2 x = 28 log 2 x = 4 x = 2 4 ⇒ x = 16 b)

2 3 2 log 3 x ⋅ log 32 x ⋅ log 33 x ⋅ log 34 x = 3 1 1 1 2 log 3 x ⋅ log 3 x ⋅ log 3 x ⋅ log 3 x = 2 3 4 3 1 2 log 34 x = 24 3 4 log 3 x = 16 ⇒ log 3 x = t

log 3 x ⋅ log 9 x ⋅ log 27 x ⋅ log 81 x =

t 4 − 16 = 0 ⇒ (t 2 ) 2 − 4 2 = (t 2 − 4)(t 2 + 4) = 0 (t − 2)(t + 2)(t 2 + 4) = 0 odavde je t = 2 ili t = -2 Kada se vratimo u smenu log 3 x = 2 x=3 x=9

2

ili

log 3 x = −2 x = 3− 2 x=

1 9

5

5) Rešiti jednačine: a) log 5 (4 x − 6) − log 5 (2 x − 2) = 2 b) log(7 − 2 x ) − log(5 + 4 x ) + log 7 = 0

Rešenja:

a) log 5 (4 x − 6) − log 5 (2 x − 2) = 2 Kako je

log a x − log a y = log a

x y

Imamo: 4x − 6 =2 5 2x − 2 2 4x − 6 = 5 x 2 −2 4 x − 6 = 5(2 x − 2)

log

4 x − 6 = 5 ⋅ 2 x − 10 4 x − 5 ⋅ 2 x + 4 = 0 ⇒ smena 2 x = t t 2 − 5t + 4 = 0 t1, 2 =

5±3 2

t1 = 4 t2 = 1

Vratimo se u smenu: 2x = 4 2 x = 22

ili

2x = 1 x=0

x=2 Uslovi za datka su: 4 x − 6 > 0

i 2x − 2 > 0

Rešavanje uslova bi nam donelo dodatni posao.... Ovde je najbolje da proverimo rešenja u početnoj jednačini,zamenimo jedno pa drugo rešenje i zaključimo → x=2 je jedino rešenje 6

b)

log(7 − 2 x ) − log(5 + 4 x ) + log 7 = 0

log10 (7 − 2 x ) − log10 (5 + 4 x ) + log10 7 = 0 log10 (7 − 2 x ) ⋅ 7 = log10 (5 + 4 x )............... / ANTILOGARITMOVANJE (7 − 2 x ) ⋅ 7 = 5 + 4 x 49 − 7 ⋅ 2 x = 5 + 4 x 49 − 7 ⋅ 2 x − 5 − 4 x = 0 −4 x − 7 ⋅ 2 x + 44 = 0 / (−1) 4 x + 7 ⋅ 2 x − 44 = 0...................................smena 2 x = t t 2 + 7t − 44 = 0 −7 ± 15 t1,2 = 2 t1 = 4 t2 = −11 Vratimo se u smenu: 2x = 4

ili

2 x = −11 nema rešenja

2 x = 22 x=2 Uslovi su 7 − 2 x > 0 i

5 + 4 x > 0 a rešenje je x = 2 i ono ih očigledno zadovoljava!

6) Rešiti jednačine: a) x1+ log3 x = 3 x b) x log 4 x − 2 = 23(log 4 x −1) Rešenja: Ovo je tip zadataka gde moramo logaritmovati obe strane za odgovarajuću osnovu! a) x1+ log3 x = 3 x................ / log 3 log 3 x1+ log3 x = log 3 3 x važi log a b n = n log a b (1 + log 3 x) log 3 x = log 3 3 + log 3 x............ ⇒ smena log 3 x = t (1 + t ) ⋅ t = 1 + t t + t2 = 1+ t t 2 = 1 − t + t ⇒ t 2 = 1 ⇒ t = ±1 Vratimo se u smenu: log 3 x = 1 ili log 3 x = −1 x = 31

ili

x=3

ili

x = 3−1 1 x= 3 7

b) x log 4 x − 2 = 23(log 4 x −1) → logaritmujemo za osnovu 4 log 4 x log 4 x − 2 = log 4 23(log4 x −1) (log 4 x − 2) log 4 x = 3(log 4 x − 1) log 4 2 (log 4 x − 2) log 4 x = 3(log 4 x − 1) log 22 2 (log 4 x − 2) log 4 x = 3(log 4 x − 1) ⋅

1 2

Smena log 4 x = t :

3 (t − 1) 2 2t (t − 2) = 3(t − 1)

(t − 2) ⋅ t =

2t 2 − 4t = 3t − 3 2t 2 − 4t − 3t + 3 = 0 2t 2 − 7t + 3 = 0 t1, 2 =

7±5 4

t1 = 3 t2 =

1 2

Dakle:

log 4 x = 3

ili

log 4 x =

x = 43 x = 64

ili ili

x = 42 x=2

1 2

1

Za logaritamske nejednačine koristimo iste “trikove’’ kao za jednačine, ali vodimo računa: 1) Kad je osnova veća od 1 (a > 1) prepisujemo znak nejednakosti jer je funkcija rastuća. 2) Kad je osnova izmedju 0 i 1 (0 < a <1) okrećemo znak nejednakosti jer je tada funkcija opadajuća. Kad postavimo uslove tj. oblast definisanosti, nadjemo i rešimo nejednačinu, trebamo naći njihov presek.

8

1) Reši nejednačine: a) log 2 (3x + 4) ≥ 0 b) log 1 (4 x − 3) < 0 2

v) log 2 (3x − 5) < 1

Rešenja: a)

log 2 (3x + 4) ≥ 0 uslov

3x + 4 > 0

3x + 4 ≥ 2

3 x > −4 4 x>− 3

o

3x + 4 ≥ 1 3 x ≥ −3

x ≥ −1 ne okrećemo smer nejednakosti jer je osnova veća od 1 Sad upakujemo rešenje i oblast definisanosti.

Konačno: x ∈ [− 1, ∞ ) b) log 1 (4 x − 3) < 0 2

PAZI: Okrećemo znak! o 1 4x − 3 >   2 4x − 3 > 1 4x > 4 x >1

uslov:

4x − 3 > 0 4x > 3 x>

3 4

Upakujemo ova dva:

Konačno: x ∈ (1, ∞)

9

v)

log 2 (3x − 5) < 1 3 x − 5 < 21 3x − 5 < 2 3x < 7 7 x< 3

3x − 5 > 0

uslov

3x > 5 5 x> 3

5 7 x ∈ ,  3 3 2) Rešiti nejednačine: a) log( x − 2) > log x b) log 0,5 (2 x + 6) > log 0,5 ( x + 8)

Rešenja: a) log( x − 2) > log x x−2> x x−x > 2 0x > 2

uslovi:

x−2>0 i x >0 x>2 i x>0 Dakle x > 2

Ovo nema rešenja, pa cela nejednačina nema rešenja! b) log 0,5 (2 x + 6) > log 0,5 ( x + 8) PAZI:Okreće se smer 2x + 6 < x + 8 2x − x < 8 − 6 x<2

Uslovi: 2x + 6 > 0 ∧ x + 8 > 0 x > −3 ∧ x > −8 Uslovi daju : x > −3

Upakujemo: x ∈ (−3,2) konačno rešenje

10

3) Rešiti jednačine: a) log 3 ( x 2 − 5 x + 6) < 0 b) log 0,5 ( x 2 − 4 x + 3) ≥ −3

Rešenja: a) log 3 ( x 2 − 5 x + 6) < 0

uslov

x2 − 5x + 6 > 0 5 ±1 2

x 2 − 5 x + 6 < 3o

x1, 2 =

x2 − 5x + 6 < 1

x1 = 3

x2 − 5x + 5 < 0

x2 = 2

5± 5 2 5+ 5 x1 = ≈ 3, 62 2 5− 5 x2 = ≈ 1,38 2 x1,2 =

x ∈ ( −∞ ,2) ∪ (3, ∞ ) Rešenje uslova

5− 5 5+ 5   rešenje zadatka konačno rešenje dobijemo kad upakujemo ova dva x ∈  ,  2 2  

Dakle:

5− 5   5+ 5     Konačno rešenje: x ∈   2 ,2  ∪  3, 2     

11

b)

log 0,5 ( x 2 − 4 x + 3) ≥ −3

uslov:

x 2 − 4 x + 3 ≤ (0,5) −3 1 x − 4x + 3 ≤   2 2 x − 4 x + 3 ≤ 23

−3

2

x2 − 4x + 3 > 0 x1, 2 =

4±2 2

x1 = 3 x2 = 1

x2 − 4x + 3 ≤ 8 x2 − 4x + 3 − 8 ≤ 0 x2 − 4x − 5 ≤ 0 x1,2 =

4±6 2

x1 = 5 x2 = −1

x ∈ [− 1,5] Upakujemo rešenja:

Konačno rešenje: x ∈ [− 1,1) ∪ (3,5]

12