Variétés diérentielles. Variétés riemanniennes Prérequis

Géométrie Diérentielle A.AWANE Département de Mathématiques FSB-UH2C [email protected]

Géométrie Diérentielle - Master AG -2015/2016

A.Awane

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Points et vecteurs Les points de l'espace constituent un ensemble E dont les éléments sont désignés par : A, B , . . . , P , Q , . . . , M , N , . . . À tout couple (A, B ) ∈ E est associé un vecteur noté :

−→

AB vériant les propriétés suivantes :

−→ −→ AB = −BA −→ −→ −→ AB = AC + CB −→ − − Fixons O ∈ E , alors il existe un vecteur unique → v t.q. AB = → v. → − Inversement ; pour tout vecteur v , ∃!A ∈ E tel que : −→

− OA = → v A.Awane

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Points et vecteurs

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Espace ane Dénition d'un espace ane Soit E un espace vectoriel. Soit E un ensemble dont les éléments notés A, B , . . . , et appelés points. On dit que E est un espace ane de direction l'espace vectoriel E , s'il existe une application E × E −→ E , notée

−→ (A, B ) 7−→ AB vériant les propriétés suivantes : −→ −→ 1 AB = −BA ; −→ −→ −→ 2 AB = AC + CB (Relation de Chasles) ; 3

− Pour tout point O ∈ E , alors pour tout vecteur → v ∈E , ∃!A ∈ E tel que : −→ → OA = −v A.Awane

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Repère dans un espace ane − Pour tout → u ∈ E et pour tout élément point A ∈ E , il existe un point unique B ∈ E tel que : −→

− AB = → u On écrit :

− B = A+→ u

Repère dans un espace ane Soit E un espace ane de direction un espace vectoriel E de dimension n. On appelle repère ane de E ; un (n + 1) − uplet
− − O; → e 1, . . . , → en
− − dans lequel O ∈ E et → e 1, . . . , → e n est une base de E . A.Awane

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Repère dans un espace ane − Pour tout → u ∈ E et pour tout élément point A ∈ E , il existe un point unique B ∈ E tel que : −→

− AB = → u On écrit :

− B = A+→ u

Repère dans un espace ane Soit E un espace ane de direction un espace vectoriel E de dimension n. On appelle repère ane de E ; un (n + 1) − uplet
− − O; → e 1, . . . , → en
− − dans lequel O ∈ E et → e 1, . . . , → e n est une base de E . A.Awane

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Champs de vecteurs sur Rn  Il est utile de résoudre des équations diérentielles  Isaac NEWTON . Principes mathématiques de la philosophie naturelle

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Champs de vecteurs sur Rn

Champs de vecteurs sur R2 et R3 : X R2 et X R3 → − → − → − 1 X (x , y ) = u (x , y ) i + v (x , y ) j ; → − → − 2 Gradient : ∇f (x , y ) = ∂ f (x , y ) i + ∂ f (x , y ) j ; ∂x ∂y 3

Dans R3 → − → − → − ∇f (x , y , z ) = ∂∂ xf (x , y , z ) i + ∂∂ yf (x , y , z ) j + ∂∂ yf (x , y , z ) k . ; ∇f est normal au plan tangent T (M , S ) ; où S est la surface d'équation f (x , y , z ) = 0. Bien entendu la fonction f est supposée régulière ;

4

Rotationnel d'un champ de vecteurs :

→ −

→ − → −

Rot X = ∇ ∧ X A.Awane

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Courbe intégrale d'un champ de vecteurs Dénition → − Soit X ∈ X (U ) ; U étant un ouvert de Rn On appelle courbe → − − intégrale de V , toute courbe → γ : I −→ U dérivable telle que : −−−−→ − → − → − 0 ∀t ∈ I ; γ (t ) = X (M (t )) où M (t ) ∈ En : OM (t ) = → γ (t ).

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Groupe à un paramètre de diéomorphismes Dénition Groupe à un paramètre de diéomorphismes de E , est une application diérentiable ϕ : R × E −→ E vériant :

∀t ∈ R, ϕt : x 7−→ ϕt (x ), est un diéomorphisme de E , ∀s , t ∈ R, ϕs+t = ϕs ◦ ϕt et ϕ0 = idE

Exercice Montrer que les les applications suivantes dénissent des groupes à un paramètre de diéomorphismes de R2 et R3 respectivement :

ϕt (x , y ) = e it .(x + iy ) ; ϕt (x , y ) = (t + x , y ) ;

ϕt (x , y , z ) = (cos(t )x − sin(t )y ; sin(t )x + cos(t )y , z ). A.Awane

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Groupe à un paramètre de diéomorphismes Dénition Groupe à un paramètre de diéomorphismes de E , est une application diérentiable ϕ : R × E −→ E vériant :

∀t ∈ R, ϕt : x 7−→ ϕt (x ), est un diéomorphisme de E , ∀s , t ∈ R, ϕs+t = ϕs ◦ ϕt et ϕ0 = idE

Exercice Montrer que les les applications suivantes dénissent des groupes à un paramètre de diéomorphismes de R2 et R3 respectivement :

ϕt (x , y ) = e it .(x + iy ) ; ϕt (x , y ) = (t + x , y ) ;

ϕt (x , y , z ) = (cos(t )x − sin(t )y ; sin(t )x + cos(t )y , z ). A.Awane

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Courbe intégrale d'un champ de vecteurs Exercice On considère les champs de vecteurs X et Y sur R2 et R3 dénis par :

→ −

→ −

→ −

→ −

→ −

→ −

→ −

X (x , y ) = −y i + x j , Y (x , y , z ) = −y i + x j + z k

1

Donner une illustration des champs X et Y .

2

Déterminer les trajectoires des champs X et Y .

3

Interpréter les champs et leurs trajectoires sur la gure suivante :

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Flot local d'un champ de vecteurs Dénition → − Soit X ∈ X (Rn ). On appelle ot local de X en un point x0 de Rn , la donnée d'un intervalle J de R contenant 0, d'un ouvert U0 de Rn et d'une application ϕ : J × U0 −→ M ,, (t , x ) 7−→ ϕ(t , x ) :

∀x ∈ U0 ,

− d ϕ(t , x ) → = X (ϕ(t , x )) et ϕ(0, x ) = x dt

Exercice 1 Montrer qu'à chaque groupe à un paramètre est associé un champ de vecteurs unique dont les trajectoires sont les courbes t 7−→ ϕ(t , x ) . 2

En utilisant le théorème de Cauchy-Lipschitz, montrer que tout X ∈ X (Rn ) admet un ot local en chaque point Rn . A.Awane

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Flot local d'un champ de vecteurs Dénition → − Soit X ∈ X (Rn ). On appelle ot local de X en un point x0 de Rn , la donnée d'un intervalle J de R contenant 0, d'un ouvert U0 de Rn et d'une application ϕ : J × U0 −→ M ,, (t , x ) 7−→ ϕ(t , x ) :

∀x ∈ U0 ,

− d ϕ(t , x ) → = X (ϕ(t , x )) et ϕ(0, x ) = x dt

Exercice 1 Montrer qu'à chaque groupe à un paramètre est associé un champ de vecteurs unique dont les trajectoires sont les courbes t 7−→ ϕ(t , x ) . 2

En utilisant le théorème de Cauchy-Lipschitz, montrer que tout X ∈ X (Rn ) admet un ot local en chaque point Rn . A.Awane

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Variétés Dénitions Une variété topologique de dimensionn est un espace topologique M dont chaque point possède un voisinage ouvert homéomorphe à un ouvert de Rn . Un système de coordonnées locales (ou carte) de M est un couple (U , ϕ) tel que U ∈ O (M ) ϕ est un homéomorphisme de U de M sur un ouvert de Rn . L'ouvert U est appelé domaine de ϕ . Un atlas de M est une famille (Ui , ϕi )i ∈I dont les domaines Ui recouvrent M . Un atlas A = (Ui , ϕi )i ∈I de M est dit de classe C k si les changements de cartes :

ϕj ◦ ϕi−1 : ϕi (Ui ∩ Uj ) −→ ϕj (Ui ∩ Uj ) sont des C k =diéomorphismes dès que dès que Ui ∩ Uj 6= ∅. A.Awane

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Variétés Dénition On appelle variété diérentiable de dimension n et de classe C k , une variété topologique de dimension n munie d'un atlas A de classe C k . Exercice 1

Montrer que les droites du plan est une variété diérentiable de dimension 2 de classe C ∞ .

2

Montrer que la sphère S 2  S 2 = (x , y , z ) ∈ R3 /x 2 + y 2 + z 2 = 1

est une variété diérentiable de dimension 2 et de classe C ∞ . A.Awane

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Variétés Dénition On appelle variété diérentiable de dimension n et de classe C k , une variété topologique de dimension n munie d'un atlas A de classe C k . Exercice 1

Montrer que les droites du plan est une variété diérentiable de dimension 2 de classe C ∞ .

2

Montrer que la sphère S 2  S 2 = (x , y , z ) ∈ R3 /x 2 + y 2 + z 2 = 1

est une variété diérentiable de dimension 2 et de classe C ∞ . A.Awane

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Projections stéréographiques

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Projections stéréographiques Pôle nord et pôle sud de la sphère S 2 :

N = (0, 0, 1), S = (0, 0, −1) ∀M = (x , y , z ) ∈ UN = S 2 − {N } , l'équation paramétrique de la droite (NM ), est donnée par :  0  x = tx y 0 = ty   0 z = 1 + t (z − 1)

t ∈ R.

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Projections stéréographiques Pôle nord et pôle sud de la sphère S 2 :

N = (0, 0, 1), S = (0, 0, −1) ∀M = (x , y , z ) ∈ UN = S 2 − {N } , l'équation paramétrique de la droite (NM ), est donnée par :  0  x = tx y 0 = ty   0 z = 1 + t (z − 1)

t ∈ R.

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Projections stéréographiques (MN ) coupe XOY au point M 0 (x',y',z') tel que z 0 = 0, et donc t = 1−1 z . La projection stéréographique issue du pôle nord N de la sphère S 2 est l'application ϕN : UN −→ R2 dénie par :   y x , ϕN (x ; y , z ) = 1−z 1−z Exercice 1 Déterminer la projection stéréographique ϕS issue du pôle sud de la sphère S 2 . 2

Montrer que ϕN et ϕS sont des homéomorphismes.

3

Calculer ϕN ◦ ϕS−1 et ϕS ◦ ϕN−1 .

4

En déduire que la sphère S 2 est une variété diérentiable de dimension 2 et de classe C ∞ . A.Awane

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Projections stéréographiques (MN ) coupe XOY au point M 0 (x',y',z') tel que z 0 = 0, et donc t = 1−1 z . La projection stéréographique issue du pôle nord N de la sphère S 2 est l'application ϕN : UN −→ R2 dénie par :   y x , ϕN (x ; y , z ) = 1−z 1−z Exercice 1 Déterminer la projection stéréographique ϕS issue du pôle sud de la sphère S 2 . 2

Montrer que ϕN et ϕS sont des homéomorphismes.

3

Calculer ϕN ◦ ϕS−1 et ϕS ◦ ϕN−1 .

4

En déduire que la sphère S 2 est une variété diérentiable de dimension 2 et de classe C ∞ . A.Awane

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Projections stéréographiques (MN ) coupe XOY au point M 0 (x',y',z') tel que z 0 = 0, et donc t = 1−1 z . La projection stéréographique issue du pôle nord N de la sphère S 2 est l'application ϕN : UN −→ R2 dénie par :   y x , ϕN (x ; y , z ) = 1−z 1−z Exercice 1 Déterminer la projection stéréographique ϕS issue du pôle sud de la sphère S 2 . 2

Montrer que ϕN et ϕS sont des homéomorphismes.

3

Calculer ϕN ◦ ϕS−1 et ϕS ◦ ϕN−1 .

4

En déduire que la sphère S 2 est une variété diérentiable de dimension 2 et de classe C ∞ . A.Awane

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Surfaces régulières Dénitions Soit f une application d'un ouvert W de R3 à valeurs réelles, de classe C k avec (k ≥ 1) et soit  M = f −1 (0) = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 | f (x1 , x2 , x3 ) = 0 6= ∅ On dit que M est régulière si, pour tout p ∈ M , le gradient ;   ∂f ∂f ∂f (∇f ) (p ) = , , 6= 0. ∂ x1 ∂ x2 ∂ x3 Théorème

Si M est régulière, alors, M est une variété diérentiable de dimension 2 de classe C k . A.Awane

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Surfaces régulières Dénitions Soit f une application d'un ouvert W de R3 à valeurs réelles, de classe C k avec (k ≥ 1) et soit  M = f −1 (0) = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 | f (x1 , x2 , x3 ) = 0 6= ∅ On dit que M est régulière si, pour tout p ∈ M , le gradient ;   ∂f ∂f ∂f (∇f ) (p ) = , , 6= 0. ∂ x1 ∂ x2 ∂ x3 Théorème

Si M est régulière, alors, M est une variété diérentiable de dimension 2 de classe C k . A.Awane

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L'espace projectif réel RP (n) Dans l'espace Rn+1 − {0} on dénit la relation binaire  ∼  par : − − − → − u ∼→ v ⇐⇒ ∃λ ∈ R∗ tel que → v = λ→ u

“∼” est une relation d'équivalence. L'espace quotient RP (n) et est appelé espace projectif réel :

Rn+1 − {0} ∼ n + 1 p : R − {0} −→ RP (n) la surjection canonique, RP (n) muni de la topologie quotient. x la classe d'équivalence de x . Pour chaque i = 1, ..., n + 1, on pose : RP (n) =

Ui = (x1 , · · · , xn+1 ) ∈ Rn+1 |xi 6= 0 ∈ O Rn+1 − {0} et ϕi : Ui −→ Rn dénie par : xi −1 xi +1 xn+1 x1 ϕi (x1 , · · · , xn+1 ) = ( , · · · , , ) xi xi xi xi 



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L'espace projectif réel RP (n) Dans l'espace Rn+1 − {0} on dénit la relation binaire  ∼  par : − − − → − u ∼→ v ⇐⇒ ∃λ ∈ R∗ tel que → v = λ→ u

“∼” est une relation d'équivalence. L'espace quotient RP (n) et est appelé espace projectif réel :

Rn+1 − {0} ∼ n + 1 p : R − {0} −→ RP (n) la surjection canonique, RP (n) muni de la topologie quotient. x la classe d'équivalence de x . Pour chaque i = 1, ..., n + 1, on pose : RP (n) =

Ui = (x1 , · · · , xn+1 ) ∈ Rn+1 |xi 6= 0 ∈ O Rn+1 − {0} et ϕi : Ui −→ Rn dénie par : xi −1 xi +1 xn+1 x1 ϕi (x1 , · · · , xn+1 ) = ( , · · · , , ) xi xi xi xi 



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L'espace projectif réel RP (n) Dans l'espace Rn+1 − {0} on dénit la relation binaire  ∼  par : − − − → − u ∼→ v ⇐⇒ ∃λ ∈ R∗ tel que → v = λ→ u

“∼” est une relation d'équivalence. L'espace quotient RP (n) et est appelé espace projectif réel :

Rn+1 − {0} ∼ n + 1 p : R − {0} −→ RP (n) la surjection canonique, RP (n) muni de la topologie quotient. x la classe d'équivalence de x . Pour chaque i = 1, ..., n + 1, on pose : RP (n) =

Ui = (x1 , · · · , xn+1 ) ∈ Rn+1 |xi 6= 0 ∈ O Rn+1 − {0} et ϕi : Ui −→ Rn dénie par : xi −1 xi +1 xn+1 x1 ϕi (x1 , · · · , xn+1 ) = ( , · · · , , ) xi xi xi xi 



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L'espace projectif réel RP (n) Dans l'espace Rn+1 − {0} on dénit la relation binaire  ∼  par : − − − → − u ∼→ v ⇐⇒ ∃λ ∈ R∗ tel que → v = λ→ u

“∼” est une relation d'équivalence. L'espace quotient RP (n) et est appelé espace projectif réel :

Rn+1 − {0} ∼ n + 1 p : R − {0} −→ RP (n) la surjection canonique, RP (n) muni de la topologie quotient. x la classe d'équivalence de x . Pour chaque i = 1, ..., n + 1, on pose : RP (n) =

Ui = (x1 , · · · , xn+1 ) ∈ Rn+1 |xi 6= 0 ∈ O Rn+1 − {0} et ϕi : Ui −→ Rn dénie par : xi −1 xi +1 xn+1 x1 ϕi (x1 , · · · , xn+1 ) = ( , · · · , , ) xi xi xi xi 



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L'espace projectif réel RP (n) Exercice Montrer que les applications ϕi : Ui −→ Rn induisent une structure de variété diérentiable de dimension n et de classe C ∞ sur RP (n). On identiant RP (2) avec S 2 /R où R est la relation binaire sur S 2 qui identie le point x avec −x on a la représentation suivante de l'espace projectif réel RP (n):

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Diérentiabilité d'une fonction réelle Soit (M , A) une variété diérentiable de classe C k et de dimension n, et soient p ∈ M et f : M −→ R une fonction dénie dans un voisinage de p . Dénition On dit que f est diérentiable au point p , s'il existe une carte (U , ϕ) ∈ A en p , telle que l'expression locale

f ◦ ϕ −1 de la fonction f dans cette carte est diérentiable au point ϕ(p ). Exercice Montrer que cette dénition est intrinsèque. A.Awane

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Diérentiabilité d'une fonction réelle Soit (M , A) une variété diérentiable de classe C k et de dimension n, et soient p ∈ M et f : M −→ R une fonction dénie dans un voisinage de p . Dénition On dit que f est diérentiable au point p , s'il existe une carte (U , ϕ) ∈ A en p , telle que l'expression locale

f ◦ ϕ −1 de la fonction f dans cette carte est diérentiable au point ϕ(p ). Exercice Montrer que cette dénition est intrinsèque. A.Awane

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Diérentiabilité d'une fonction réelle Soit (M , A) une variété diérentiable de classe C k et de dimension n, et soient p ∈ M et f : M −→ R une fonction dénie dans un voisinage de p . Dénition On dit que f est diérentiable au point p , s'il existe une carte (U , ϕ) ∈ A en p , telle que l'expression locale

f ◦ ϕ −1 de la fonction f dans cette carte est diérentiable au point ϕ(p ). Exercice Montrer que cette dénition est intrinsèque. A.Awane

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Diérentiabilité d'une fonction réelle Étant donné deux v.d. (M , A) et (N , B) de classe C k et de dimensions n et m resp. munies des atlas A = (Ui , ϕi )i ∈I et B = (Vj , ψj )j ∈J resp., p ∈ M et f : M −→ N une application dénie dans un voisinage de p . Dénition f est diérentiable en p , s'il ∃ (Ui , ϕi ) ∈ A en p , et ∃ (Vj , ψj ) ∈ B en f (p ) t.q. l'expression locale de la fonction f dans les cartes (Ui , ϕi ) et (Vj , ψj ) : ψj ◦ f ◦ ϕi−1 est diérentiable au point ϕi (p ). Exercice Montrer que cette dénition est intrinsèque. A.Awane

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Diérentiabilité d'une fonction réelle Étant donné deux v.d. (M , A) et (N , B) de classe C k et de dimensions n et m resp. munies des atlas A = (Ui , ϕi )i ∈I et B = (Vj , ψj )j ∈J resp., p ∈ M et f : M −→ N une application dénie dans un voisinage de p . Dénition f est diérentiable en p , s'il ∃ (Ui , ϕi ) ∈ A en p , et ∃ (Vj , ψj ) ∈ B en f (p ) t.q. l'expression locale de la fonction f dans les cartes (Ui , ϕi ) et (Vj , ψj ) : ψj ◦ f ◦ ϕi−1 est diérentiable au point ϕi (p ). Exercice Montrer que cette dénition est intrinsèque. A.Awane

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Diérentiabilité d'une fonction réelle Étant donné deux v.d. (M , A) et (N , B) de classe C k et de dimensions n et m resp. munies des atlas A = (Ui , ϕi )i ∈I et B = (Vj , ψj )j ∈J resp., p ∈ M et f : M −→ N une application dénie dans un voisinage de p . Dénition f est diérentiable en p , s'il ∃ (Ui , ϕi ) ∈ A en p , et ∃ (Vj , ψj ) ∈ B en f (p ) t.q. l'expression locale de la fonction f dans les cartes (Ui , ϕi ) et (Vj , ψj ) : ψj ◦ f ◦ ϕi−1 est diérentiable au point ϕi (p ). Exercice Montrer que cette dénition est intrinsèque. A.Awane

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Remarques Remarques 1

2

Un atlas de classe C k donne un choix particulier de fonctions diérentiables, bien entendu, une fonction f peut être diérentiable par rapport à un atlas sans l'être par a rapport à un autre, les atlas A = {id R } et  par exemples, 3 B = x 7−→ x donnent des choix diérents pour les fonctions réelles diérentiables.

Rang d'une application diérentiable. Le rang de


l'application linéaire d ψj ◦ f ◦ ϕi−1 ϕ (p) ne dépend pas des cartes locales (Ui , ϕi ) et (Vj , ψj ) . il exprime donc une propriété intrinsèque de l'application f , on l'appelle rang de f au point p , et on le note rgp (f ) . On a donc rgp (f ) ≤ min(n, m). i

A.Awane

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Partition de l'unité Théorème

(Fonction plateau) Soient M une variété diérentiable de

dimension n de classe C k et p un point de M. Il existe deux ouverts V et W de p dans M tels que W ⊂ V et une fonction f : M −→ R de classe C k , nulle sur M − V , égale à 1 sur W et qui vérie 0 < f (x ) < 1 pour tout x ∈ V − W .

A.Awane

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Partition de l'unité Dénitions 1 Un recouvrement ouvert (Ui ) i ∈I d'un espace topologique T est dit localement ni, si pour tout x ∈ T , il existe un voisinage U de x tel que l'ensemble {i ∈ I | Ui ∩ U 6= 0} / est ni. 2

Un recouvrement ouvert (Ui )i ∈I d'un espace topologique T est dit plus n qu'un autre recouvrement (Vj )j ∈J , si chaque élément Ui du premier recouvrement est contenu au moins dans un élément Vj du second : ∀i ∈ I , ∃j ∈ J : Ui ⊂Vj

3

Un espace topologique T est dit paracompacte si, il est séparé et si de tout recouvrement ouvert de T , il existe un recouvrement ouvert plus n localement ni.

A.Awane

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Partition de l'unité 1

Une partition de l'unité sur une variété diérentiable M est une famille ϕi : M −→ R+ (i ∈ I ) de fonctions positives telles que : la famille (supp (ϕi ))i ∈I est localement nie, supp (ϕi )i ∈I est compact, ∑i ∈I ϕi (x ) = 1.

2 3

La partition de l'unité (ϕi )i ∈I est dite de classe C l si toutes les fonctions ϕi sont de classe C l . Une partition de l'unité (ϕi )i ∈I est dite subordonnée à un recouvrement (Vj )j ∈J si pour tout i ∈ I , il existe j ∈ J , telle que supp ϕi ⊂ Vj A.Awane

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Partition de l'unité Pour une variété M séparée et connexe (ou une réunion dénombrable de variétés connexes) ; on démontre l'équivalence suivante :

M est paracompacte ; M possède une base topologique dénombrable.

Théorème

Pour tout atlas A = (Ui , ϕi )i ∈I d'une variété M paracompacte de classe C k , il existe une partition de l'unité (ψj )j ∈J de classe C k subordonnée à (Ui )i ∈I .

A.Awane

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Variétés diérentielles. Variétés riemanniennes Prérequis

Partition de l'unité Pour une variété M séparée et connexe (ou une réunion dénombrable de variétés connexes) ; on démontre l'équivalence suivante :

M est paracompacte ; M possède une base topologique dénombrable.

Théorème

Pour tout atlas A = (Ui , ϕi )i ∈I d'une variété M paracompacte de classe C k , il existe une partition de l'unité (ψj )j ∈J de classe C k subordonnée à (Ui )i ∈I .

A.Awane

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Théorème du rang constant

Théorème du rang constant Soient (M1 , A1 ) et (M2 , A2 ) deux variétés diérentiables de classe C k (k ≥ 1), de dimensions n et m respectivement, f une application de M1 dans M2 de rang constant p de classe C l avec l ≤ k , et, soit x0 un point de M1 . Alors, il existe une carte (U , ϕ) en x0 , une carte (V , ψ) en y0 = f (x0 ) , telles que l'expression locale de f dans les cartes ϕ et ψ se réduit à :

ψ ◦ f ◦ ϕ −1 : (x1 , · · · , xn ) 7−→ (x1 , · · · , xp , 0, · · · , 0)

A.Awane

Géométrie Diérentielle

Variétés diérentielles. Variétés riemanniennes Prérequis

Théorème du rang constant Démonstration Soient (U , ϕ) une carte en x0 , (U 0 , ϕ 0 ) une carte en y0 = f (x0 ), et F = ϕ 0 ◦ f ◦ ϕ =1 . F étant de rang p au point x0 , donc on peut extraire de la matrice jacobienne   ∂ Fi (ϕ (x0 )) ∂ xj 1≤i ≤m;1≤j ≤n une matrice de rang p . Quitte à changer la numérotation des xj et des Fi , ce qui revient à changer les cartes ϕ , on peut supposer que le déterminant :   ∂ Fi det (ϕ (x0 )) 6= 0. ∂ xj 1≤i ,j ≤p A.Awane

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Variétés diérentielles. Variétés riemanniennes Prérequis

Théorème du rang constant L'application

 ∂ Fi d : U −→ R; x 7−→ det (ϕ (x )) ∂ xj 1≤i ,j ≤p 

étant continue, donc ∃W ∈ O (x0 , M1 ) dans lequel l'application d ne s'annule pas. Soit, donc, G : ϕ (W) ⊂ Rn −→ Rn l'application dénie par :

G (x1 , . . . , xn ) = (F1 (x1 , · · · , xn ), ..., Fp (x1 , · · · , xn ), xp+1 , · · · , xn ). On a donc ;,

J (G ) (ϕ (x )) 6= 0 ∀x ∈ W

Le T.I.L. montre quil existe un ouvert V de ϕ(x0 ) dans Rn et un ouvert V 0 de G (ϕ(x0 )) dans Rn tels que G ∈ Di (V , V 0 ). A.Awane

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Variétés diérentielles. Variétés riemanniennes Prérequis

Théorème du rang constant On voit donc que l'application ψ = G ◦ ϕ dénit un S.C.L. au voisinage de x0 . L'expression locale H de f dans les cartes ψ et ϕ 0 s'écrit :

H = (H1 , · · · , Hm ) = ϕ 0 ◦ f ◦ ψ −1 = ϕ '◦f◦ϕ −1 ◦G −1 = F ◦ G =1 . Par dénition de G, on a :

Hi (x1 , · · · , xn ) = xi , ∀i = 1, ..., p . On a aussi

∂ Hi =0 ∂ xj

A.Awane

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Variétés diérentielles. Variétés riemanniennes Prérequis

Théorème du rang constant pour i , j ≥ p + 1, car sinon, on échange l'ordre dans xp+1 , ..., xn et dans Hp+1 , ..., Hm , on pour avoir i = j = p + 1, et dans ce cas, H serait de rang ≥ p + 1, ce qui est absurde ; donc les composantes Hp+1 , ..., Hm ne dépendent que des variables (x1 , ..., xp ) :

Hi (x1 , ..., xn ) = Hi (x1 , ..., xp ), ∀i = p + 1, ..., m. Soit K : Rm −→ Rm l'application dont les composantes Ki sont dénies par : ( x :1≤i ≤p Ki (x1 , ..., xm ) = i xi − Hi (x1 , ..., xp ) : p + 1 ≤ i ≤ m

A.Awane

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Variétés diérentielles. Variétés riemanniennes Prérequis

Théorème du rang constant On a :

D (K1 , ..., Km ) = 1. D (x1 , ..., xm )

L'application ψ 0 = K ◦ ϕ 0 dénit bien un S.C.L. au voisinage de y0 = f (x0 ), et pour tour x = (x1 , ..., xn ) on a :
K ◦ ϕ 0 ◦ f ◦ ψ =1 ( x ) ψ 0 ◦ f ◦ ψ =1 ( x ) = = K (H1 (x ) , ..., Hm (x )) = K (x1 , ..., xp , Hp+1 , ..., Hm ) = (x1 , ..., xp , Hp+1 − Hp+1 , ..., Hm − Hm ) = (x1 , ..., xp , 0, ..., 0) ce qui montre que l'expression locale de f dans les cartes ψ et ψ 0 est la projection : (x1 , ..., xn ) 7−→ (x1 , ..., xp , 0, ..., 0), de Rn dans Rm .  A.Awane

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Variétés diérentielles. Variétés riemanniennes Prérequis

Immersions et submersions Soient M1 et M2 deux variétés diérentiables de classe C k de dimensions n et m respectivement et

f : M1 −→ M2 une application de classe C l (1 ≤ l ≤ k ). Dénitions On dit que f est une immersion, si rgp f = n = dimM1 en tout point p ∈ M1 ; et dans ces conditions on a

dimM1 = n ≤ dimM2 = m. On dit que f est une submersion, si rgp f = m = dimM2 ∀p ∈ M1 ; et dans ces conditions on a

dimM1 = n ≥ dimM2 = m. A.Awane

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Variétés diérentielles. Variétés riemanniennes Prérequis

Immersions et submersions Soient M1 et M2 deux variétés diérentiables de classe C k de dimensions n et m respectivement et

f : M1 −→ M2 une application de classe C l (1 ≤ l ≤ k ). Dénitions On dit que f est une immersion, si rgp f = n = dimM1 en tout point p ∈ M1 ; et dans ces conditions on a

dimM1 = n ≤ dimM2 = m. On dit que f est une submersion, si rgp f = m = dimM2 ∀p ∈ M1 ; et dans ces conditions on a

dimM1 = n ≥ dimM2 = m. A.Awane

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Variétés diérentielles. Variétés riemanniennes Prérequis

Étalements - Plongements Dénitions On dit que f est une

étalement si elle est de rang

dimM1 = n = dimM2 = m. On dit que f est un plongement, si f est une immersion et si de plus, f est un homéomorphisme de M1 sur f (M1 ), f (M1 ) étant muni de la topologie induite par celle de M2 . Conséquence du théorème du rang constant Si f est une immersion (resp. une submersion), alors ∀x0 ∈ M1 , ∃(U , ϕ) en x0 , ∃(V , ψ) en y0 = f (x0 ) , t.q. ψ ◦ f ◦ ϕ −1 s'écrit :

(u1 , ..., un ) 7−→ (u1 , ..., un , 0, ..., 0) (resp . (u1 , ..., un ) 7−→ (u1 , ..., um )) A.Awane

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Variétés diérentielles. Variétés riemanniennes Prérequis

Étalements - Plongements Dénitions On dit que f est une

étalement si elle est de rang

dimM1 = n = dimM2 = m. On dit que f est un plongement, si f est une immersion et si de plus, f est un homéomorphisme de M1 sur f (M1 ), f (M1 ) étant muni de la topologie induite par celle de M2 . Conséquence du théorème du rang constant Si f est une immersion (resp. une submersion), alors ∀x0 ∈ M1 , ∃(U , ϕ) en x0 , ∃(V , ψ) en y0 = f (x0 ) , t.q. ψ ◦ f ◦ ϕ −1 s'écrit :

(u1 , ..., un ) 7−→ (u1 , ..., un , 0, ..., 0) (resp . (u1 , ..., un ) 7−→ (u1 , ..., um )) A.Awane

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Variétés diérentielles. Variétés riemanniennes Prérequis

Immersions et submersions. Cas de Rn Soit

f : Rn −→ Rp

une application de classe C l (1 ≤ l ≤ k ). Alors 1

f est une immersion en un point x ∈ M1 , si dfx : Rn −→ Rp

injective. f est une submersion en un point x ∈ M1 , si dfx : Rn −→ Rp est surjective. f est un étalement en un point x ∈ M1 , si dfx : Rn −→ Rp est un isomorphisme.

est 2 3

A.Awane

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Variétés diérentielles. Variétés riemanniennes Prérequis

Immersions et submersions. Cas de Rn Théorème I

Soient U ∈ O (Rn ), f : U −→ Rp de classe C 1 et x ∈ U . On suppose que f est une immersion en x . Alors (∃U 0 ∈ O (Rn × Rp−n ) : x ∈ U 0 ∩ Rn ) (∃U ” ∈ O (Rp ) : f (x ) ∈ U ”) et ∃ϕ ∈ Di (U 0 , U ”) tels que f|U 0 ∩Rn = ϕ|U 0 ∩Rn . Preuve On a n ≤ p . Puisque dfp est de rang n, alors on peut extraire de la matrice jacobienne Jx (f ) une sous matrice n × n qui soit inversible. En arrangeant bien les composantes de f on peut supposer que   ∂ fi det 6= 0 ∂ xj 1≤i ,j ≤n A.Awane

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Variétés diérentielles. Variétés riemanniennes Prérequis

Immersions et submersions. Cas de Rn Théorème I

Soient U ∈ O (Rn ), f : U −→ Rp de classe C 1 et x ∈ U . On suppose que f est une immersion en x . Alors (∃U 0 ∈ O (Rn × Rp−n ) : x ∈ U 0 ∩ Rn ) (∃U ” ∈ O (Rp ) : f (x ) ∈ U ”) et ∃ϕ ∈ Di (U 0 , U ”) tels que f|U 0 ∩Rn = ϕ|U 0 ∩Rn . Preuve On a n ≤ p . Puisque dfp est de rang n, alors on peut extraire de la matrice jacobienne Jx (f ) une sous matrice n × n qui soit inversible. En arrangeant bien les composantes de f on peut supposer que   ∂ fi det 6= 0 ∂ xj 1≤i ,j ≤n A.Awane

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Variétés diérentielles. Variétés riemanniennes Prérequis

Immersions et submersions. Cas de Rn On a n ≤ p . Soit ψ : U × Rp−n −→ Rp dénie par :

ψ (x , ξn+1 , . . . , ξp ) = (f1 (x ) , . . . , fn (x ) , fn+1 (x ) + ξn+1 , . . . , fp (x ) + ξp ) pour tout (x , ξn+1 , . . . , ξp ) ∈ U × Rp−n . Le Jacobien de ψ en ce point est donné par :   ∂ f1 · · · ∂∂xf1 0 ··· 0 0 ∂ x1    ··· ··· ··· ··· ··· ··· 0    ∂f ∂ f  ∂x ··· ∂x 0 ··· 0 0  1   det  ∂ f +1 ∂ f +1 1 0 ··· 0    ∂ x1 · · · ∂ x  ··· ··· ··· ··· ··· ··· ···    ∂f ∂f · · · 0 0 · · · 1 ∂ x1 ∂x n

n

n

n

n

n

n

p

p

n

A.Awane

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Variétés diérentielles. Variétés riemanniennes Prérequis

Immersions et submersions. Cas de Rn   Le jacobien de ψ au point (x , ξn+1 , . . . , ξp ) vaut det ∂∂xf ; donc non nul. Le théorème découle du théorème d'inversion locale. i

j

Théorème S

Soient U ∈ O (Rn ), f : U −→ Rp de classe C 1 et x ∈ U . On suppose que f est une submersion en x . Alors :


∃U 0 ∈ O (Rn ) : U 0 ⊂ U ∃U ” ∈ O Rp × Rn−p : f (x ) ∈ U ” ∩ Rp et ∃ϕ ∈ Di (U 0 , U ”) tels que

f|U 0 = π ◦ ϕ où π : Rp × Rn−p −→ Rp est la projection canonique. A.Awane

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Variétés diérentielles. Variétés riemanniennes Prérequis

Immersions et submersions. Cas de Rn   Le jacobien de ψ au point (x , ξn+1 , . . . , ξp ) vaut det ∂∂xf ; donc non nul. Le théorème découle du théorème d'inversion locale. i

j

Théorème S

Soient U ∈ O (Rn ), f : U −→ Rp de classe C 1 et x ∈ U . On suppose que f est une submersion en x . Alors :


∃U 0 ∈ O (Rn ) : U 0 ⊂ U ∃U ” ∈ O Rp × Rn−p : f (x ) ∈ U ” ∩ Rp et ∃ϕ ∈ Di (U 0 , U ”) tels que

f|U 0 = π ◦ ϕ où π : Rp × Rn−p −→ Rp est la projection canonique. A.Awane

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Variétés diérentielles. Variétés riemanniennes Prérequis

Immersions et submersions. Cas de Rn Preuve On a n ≥ p . Puisque dfp est de rang p , donc on peut extraire de la matrice jacobienne Jx (f ) une sous matrice p × p qui soit inversible. En arrangeant bien les composantes de f on peut supposer que   ∂ fi det 6= 0 ∂ xj 1≤i ,j ≤p Soit ψ : U −→ Rn dénie par :

ψ (x ) = (f1 (x ) , . . . , fp (x ) , ξp+1 , . . . , ξn ) pour tout x = (ξ1 , . . . , ξn ) ∈ U . Le Jacobien de ψ en x est donné par : A.Awane

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Variétés diérentielles. Variétés riemanniennes Prérequis

Immersions et submersions. Cas de Rn



∂ f1 ∂ x1

 ···   ∂f  det  ∂ x1  0   ··· 0 p

··· ··· ··· ··· ··· ···

∂ f1 ∂ xp

···

∂ fp ∂ xp

0 ··· 0

∂ f1 ∂ xp + 1

···

∂ fp ∂ xp + 1

1 ··· 0  Le jacobien de ψ au point x vaut det ∂∂xf

i j

∂ f1 ∂ xn

··· ··· ··· ··· ··· ··· 

···   ∂f   ∂x  0   ···  p

n

1 i ,j ≤p

1≤

; donc non nul.

Le théorème découle du théorème d'inversion locale.

A.Awane



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Variétés diérentielles. Variétés riemanniennes Prérequis

Sous-variétés Dénition Soit V ⊂ Rn . V est une sous variété de dimension d et de classe C k de Rn avec (k ≥ 1), si ∀x ∈ V , ∃U ∈ O (x , Rn ) et un C k diéomorphisme locale ϕ de Rn de U sur ϕ(U ) ∈ O (Rn ) t.q. :

ϕ(U ∩ V ) = ϕ(U ) ∩ Rd × {0}

A.Awane

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Variétés diérentielles. Variétés riemanniennes Prérequis

Sous-variétés

A.Awane

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Variétés diérentielles. Variétés riemanniennes Prérequis

Sous-variétés

A.Awane

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Variétés diérentielles. Variétés riemanniennes Prérequis

Caractérisation des sous variétés de Rn Théorème

Les propriétés suivantes sont équivalentes : 1 V est une s.v. de dimension d et de classe C k de Rn . 2 ∀x ∈ V ; ∃U ∈ O (x , Rn ) , ∃g1 , . . . , gn−d ∈ C k (U , R) t.q.  0 T g1 (x ), . . . , gn0 −d (x ) libre et V ∩ U = ni =−1d gi−1 (0).
3 ∀x ∈ V , ∃U ∈ O (x , Rn ) , ∃π ∈ C k U , Rn−d ,t.q. π : U −→ R n−d submersion et V ∩ U = π −1 (0).

4 ∀x ∈ V , ∃U ∈ O (x , Rn ) , ∃Ω ∈ O Rd , ∃h ∈ C k Ω, Rn−d ,t.q. V ∩ U soit le graphe de h.
5 ∀x ∈ V , ∃U ∈ O (x , Rn ) , ∃Ω ∈ O 0 d ,Rd , ∃g ∈ C k (Ω, Rn ) R t.q. g (0) = x, et g est un homéomorphisme de Ω sur V ∩ U (muni de la topologie induite par celle de Rn et g 0 (0) est injective. A.Awane

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Variétés diérentielles. Variétés riemanniennes Prérequis

Caractérisation des sous variétés de Rn Preuve Il est clair que (2) ⇐⇒ (3). Montrons que (3) ⇒ (1) ⇒ (5) ⇒ (4) ⇒ (3) (3) ⇒ (1). Il s'agit du théorème S. (1) ⇒ (5). Par dénition d'une s.v. de Rn , on prend alors ϕ(x )=0, Ω = ϕ (U ∩ V ) et g = ϕ −1 ◦ i , où, i est l'inj. can. i : Rd −→ Rn . On a un homéo. par déf. de la top. induite sur V par par celle de Rn . (5) ⇒ (4). Quitte
à renuméroter la base de Rn (en complétant une base de g
0 (0) Rd en une base de Rn ),on peut supposer que g 0 (0) Rd ∩ Rn−d = {0} , pour Rn−d ⊂ Rn avec l'écriture Rn = Rd ×Rn−d . Soit p : Rd ×
Rn−d −→ R d la projection sur Rd . On déduit que (p ◦ g )0 (0) Rd = Rd , ceci montre que (p ◦ g )0 (0) est un isomorphisme d'espaces vectoriels de Rd sur lui même. A.Awane

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Variétés diérentielles. Variétés riemanniennes Prérequis

Caractérisation des sous variétés de Rn Le théorème d'inversion local montre qu'il existe Ω0 ∈ O0 (Ω) tel que
p ◦ g soit un diéomorphisme de Ω0 sur U 0 = (p ◦ g ) (Ω0 ) ∈ O Rd . On a h = g ◦ (p ◦ g )−1 ∈ C k (U 0 ; Rn ) . Par hypothèse h(U 0 ) = g (Ω0 ) est un ouvert de V ∩ U , donc, (topologie induite) ; il existe U ” ∈ O (U ; Rn ) tel que g (Ω0 ) = h(U 0 ) = U ” ∩ V . Alors U ” ∩ V est bien le graphe de (hd +1 , · · · , hn ) par construction.

A.Awane

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Variétés diérentielles. Variétés riemanniennes Prérequis

Caractérisation des sous variétés de Rn Exercice Montrer que (4) ⇒ (3). Appliquer les diverses propriétés de la caractérisation à la sphère S 2

A.Awane

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Variétés diérentielles. Variétés riemanniennes Prérequis

Sous variétés de Rn Remarques

Dans la dernière propriété, les conditions  homéomorphisme» et « immersion » sont nécessaires. 1. Considérons la lemniscate de Bernoulli, qui est l'image de la

courbe paramétrée plane :

  √ t − t3 t − t3 f (t ) = a 2 4 , 4 t +1 t +1

f n'est pas un homéomorphisme de R sur f (R) bien que g est une une immersion : f 0 (0) 6= (0, 0).Pourtant la lemniscate de Bernoulli n'est pas une sous variété de R2 .

A.Awane

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Variétés diérentielles. Variétés riemanniennes Prérequis

Sous variétés de Rn

A.Awane

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Variétés diérentielles. Variétés riemanniennes Prérequis

Sous variétés de Rn 2. Considérons

l'image de la courbe paramétrée plane γ(t ) = (t 2 , t 3 ) ∈ R2 , t ∈ R

Le point (0, 0) est un point de rebroussement de première espèce.. Montrer que le graphe de cette courbe n'est pas une sous variété de R2 .

A.Awane

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Variétés diérentielles. Variétés riemanniennes Prérequis

Sous variétés de Rn 2. Considérons

l'image de la courbe paramétrée plane γ(t ) = (t 2 , t 3 ) ∈ R2 , t ∈ R

Le point (0, 0) est un point de rebroussement de première espèce.. Montrer que le graphe de cette courbe n'est pas une sous variété de R2 .

A.Awane

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Théorème de Whitney Théorème

Une sous variété de dimension d et de classe C k de Rn est une variété diérentiable de dimension d et de classe C k . Théorème

Soit M une variété de dimension n, compacte. Il existe un entier d et un plongement de M dans Rd . Théorème de Whitney Toute variété séparable M est

plongeable dans un certain Rd .

A.Awane

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Variétés diérentielles. Variétés riemanniennes Prérequis

Théorème de Whitney Théorème

Une sous variété de dimension d et de classe C k de Rn est une variété diérentiable de dimension d et de classe C k . Théorème

Soit M une variété de dimension n, compacte. Il existe un entier d et un plongement de M dans Rd . Théorème de Whitney Toute variété séparable M est

plongeable dans un certain Rd .

A.Awane

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Variétés diérentielles. Variétés riemanniennes Prérequis

Théorème de Whitney Théorème

Une sous variété de dimension d et de classe C k de Rn est une variété diérentiable de dimension d et de classe C k . Théorème

Soit M une variété de dimension n, compacte. Il existe un entier d et un plongement de M dans Rd . Théorème de Whitney Toute variété séparable M est

plongeable dans un certain Rd .

A.Awane

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Variétés diérentielles. Variétés riemanniennes Prérequis

Revêtements - Quotients Dénition Soient M et N deux variétés diérentielles de dimension n et m respectivement et f : M −→ N de classe C k (k ≥ 1). On dit que f est un revêtement si : 1. f est surjective ; 2. (∀y ∈ N ) (∃V ∈ V (y , N )) tels que f −1 (V ) admet une partition

f −1 (V ) =

[

i ∈I

Ui

les Ui étant des ouverts de M tels que ∀i ∈ I

f|U : Ui −→ V i

est un diéomorphisme. A.Awane

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Variétés diérentielles. Variétés riemanniennes Prérequis

Revêtements - Quotients

Exemples

p : R −→ S1 ; t 7−→ e 2i π t

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Variétés diérentielles. Variétés riemanniennes Prérequis

Hélice circulaire M (t ) = (a cos t , a sin t , bt ) , ab 6= 0.

A.Awane

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Variétés diérentielles. Variétés riemanniennes Prérequis

Revêtements - Quotients Théorème Soient f : M −→ N un revêtement de N. Alors le cardinal de f −1 ({y }) est localement constant. Si la variété N est connexe, alors le cardinal de f −1 ({y }) est constant ; s'il est ni, on l'appelle

nombre de feuillets du revêtement.

Dénition Soit M une variété diérentiable et G 6 Di (M ). On dit que G opère proprement discontinue sans points xes sur M si : 1. ∀x , y ∈ M tels que y ∈ / G (x ), ∃U ∈ V (x , M ) et ∃V ∈ V (y , M ) tels que : ∀g ∈ G : g (U ) ∩ V = ∅ 2. ∀x ∈ M ∃U ∈ V (x , M ) tels que : g (U ) ∩ U 6= ∅ =⇒ g = IdM A.Awane

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Variétés diérentielles. Variétés riemanniennes Prérequis

Revêtements - Quotients Théorème Soient f : M −→ N un revêtement de N. Alors le cardinal de f −1 ({y }) est localement constant. Si la variété N est connexe, alors le cardinal de f −1 ({y }) est constant ; s'il est ni, on l'appelle

nombre de feuillets du revêtement.

Dénition Soit M une variété diérentiable et G 6 Di (M ). On dit que G opère proprement discontinue sans points xes sur M si : 1. ∀x , y ∈ M tels que y ∈ / G (x ), ∃U ∈ V (x , M ) et ∃V ∈ V (y , M ) tels que : ∀g ∈ G : g (U ) ∩ V = ∅ 2. ∀x ∈ M ∃U ∈ V (x , M ) tels que : g (U ) ∩ U 6= ∅ =⇒ g = IdM A.Awane

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Revêtements - Quotients Exemple

Soit M = Rn et G = Zn . G opère par translations sur M i.e. pour tout g = k ∈ G et x ∈ M , on pose :

g (x ) = x + k Théorème

G opère proprement discontinue sans points xes sur M . Exemple Soient M = S n la sphère de dimensionn, sous variété de Rn+1 et G le sous groupe de Di (S n ) formé des applications antipodales :

G = {idS , −idS } n

A.Awane

n

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Variétés diérentielles. Variétés riemanniennes Prérequis

Revêtements - Quotients Exemple

Soit M = Rn et G = Zn . G opère par translations sur M i.e. pour tout g = k ∈ G et x ∈ M , on pose :

g (x ) = x + k Théorème

G opère proprement discontinue sans points xes sur M . Exemple Soient M = S n la sphère de dimensionn, sous variété de Rn+1 et G le sous groupe de Di (S n ) formé des applications antipodales :

G = {idS , −idS } n

A.Awane

n

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Variétés diérentielles. Variétés riemanniennes Prérequis

Revêtements - Quotients Exemple

Soit M = Rn et G = Zn . G opère par translations sur M i.e. pour tout g = k ∈ G et x ∈ M , on pose :

g (x ) = x + k Théorème

G opère proprement discontinue sans points xes sur M . Exemple Soient M = S n la sphère de dimensionn, sous variété de Rn+1 et G le sous groupe de Di (S n ) formé des applications antipodales :

G = {idS , −idS } n

A.Awane

n

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Variétés diérentielles. Variétés riemanniennes Prérequis

Quotients G opère proprement discontinue sans points xes sur M . Soient M une variété diérentielle et G 6 Di (M ). On a la relation d'équivalence suivante :

x R y ⇐⇒ ∃g ∈ G : y = g (x ) Il est claire que R est une relation d'équivalence sur M . Notations 1 2

M /R ≡ M /G . p : M −→ M /G la surjection canonique A.Awane

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Variétés diérentielles. Variétés riemanniennes Prérequis

Quotients G opère proprement discontinue sans points xes sur M . Soient M une variété diérentielle et G 6 Di (M ). On a la relation d'équivalence suivante :

x R y ⇐⇒ ∃g ∈ G : y = g (x ) Il est claire que R est une relation d'équivalence sur M . Notations 1 2

M /R ≡ M /G . p : M −→ M /G la surjection canonique A.Awane

Géométrie Diérentielle

Variétés diérentielles. Variétés riemanniennes Prérequis

Quotients G opère proprement discontinue sans points xes sur M . Soient M une variété diérentielle et G 6 Di (M ). On a la relation d'équivalence suivante :

x R y ⇐⇒ ∃g ∈ G : y = g (x ) Il est claire que R est une relation d'équivalence sur M . Notations 1 2

M /R ≡ M /G . p : M −→ M /G la surjection canonique A.Awane

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Variétés diérentielles. Variétés riemanniennes Prérequis

Quotients G opère proprement discontinue sans points xes sur M . Soient M une variété diérentielle et G 6 Di (M ). On a la relation d'équivalence suivante :

x R y ⇐⇒ ∃g ∈ G : y = g (x ) Il est claire que R est une relation d'équivalence sur M . Notations 1 2

M /R ≡ M /G . p : M −→ M /G la surjection canonique A.Awane

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Quotients Théorème

Soient M une variété diérentielle de dimension n de classe C k avec k ≥ 1 et G un sous groupe de Di (M ) qui opère de façon proprement discontinue sans points xes sur M . Alors il existe sur M /G une structure de variété diérentiable unique de dimension n de classe C k telle que la surjection canonique : p : M −→ M /G soit un revêtement. Corollaire

M compacte implique M /G compacte. A.Awane

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Quotients Théorème

Soient M une variété diérentielle de dimension n de classe C k avec k ≥ 1 et G un sous groupe de Di (M ) qui opère de façon proprement discontinue sans points xes sur M . Alors il existe sur M /G une structure de variété diérentiable unique de dimension n de classe C k telle que la surjection canonique : p : M −→ M /G soit un revêtement. Corollaire

M compacte implique M /G compacte. A.Awane

Géométrie Diérentielle

Variétés diérentielles. Variétés riemanniennes Prérequis

Quotients Critère Soient M et N deux variétés diérentielles de classe C k avec k ≥ 1 et G un sous groupe de Di (M ) qui opère de façon proprement discontinue sans points xes sur M et M /G muni de sa une structure de variété quotient et p : M −→ M /G la surjection canonique. Alors pour toute application :

f : M /G −→ N . on a

f ∈ C k (M /G , N ) ⇐⇒ f ◦ p ∈ C k (M , N )

A.Awane

Géométrie Diérentielle

Variétés diérentielles. Variétés riemanniennes Prérequis

Tore T n = Rn /Zn = (R/Z)n

Pour n = 1, on a :

T 1 = S 1 = p (t ) = e 2i π t |t ∈ R 



Et pour tout t , t 0 ∈ R on a :
0 p (t ) = p t 0 ⇐⇒ e 2i π t = e 2i π t ⇐⇒ t − t 0 ∈ Z ⇐⇒ tRt0 L'application ϕ : R/Z −→ S 1 dénie par

ϕ (t ) = e 2i π t est un C ∞ −difféomorphisme.

T 1 = S 1 = R/Z = [0, 1] /R R étant la relation d'équivalence sur le segment [0, 1] qui consiste à identier 0 avec 1. A.Awane

Géométrie Diérentielle

Variétés diérentielles. Variétés riemanniennes Prérequis

Tore T n = Rn /Zn = (R/Z)n

Pour n = 1, on a :

T 1 = S 1 = p (t ) = e 2i π t |t ∈ R 



Et pour tout t , t 0 ∈ R on a :
0 p (t ) = p t 0 ⇐⇒ e 2i π t = e 2i π t ⇐⇒ t − t 0 ∈ Z ⇐⇒ tRt0 L'application ϕ : R/Z −→ S 1 dénie par

ϕ (t ) = e 2i π t est un C ∞ −difféomorphisme.

T 1 = S 1 = R/Z = [0, 1] /R R étant la relation d'équivalence sur le segment [0, 1] qui consiste à identier 0 avec 1. A.Awane

Géométrie Diérentielle

Variétés diérentielles. Variétés riemanniennes Prérequis

Tore T n = Rn /Zn = (R/Z)n

Pour n = 1, on a :

T 1 = S 1 = p (t ) = e 2i π t |t ∈ R 



Et pour tout t , t 0 ∈ R on a :
0 p (t ) = p t 0 ⇐⇒ e 2i π t = e 2i π t ⇐⇒ t − t 0 ∈ Z ⇐⇒ tRt0 L'application ϕ : R/Z −→ S 1 dénie par

ϕ (t ) = e 2i π t est un C ∞ −difféomorphisme.

T 1 = S 1 = R/Z = [0, 1] /R R étant la relation d'équivalence sur le segment [0, 1] qui consiste à identier 0 avec 1. A.Awane

Géométrie Diérentielle

Variétés diérentielles. Variétés riemanniennes Prérequis

Ruban de Möbius Le ruban de Möbius, imaginé par le mathématicien allemand A. F. Möbius en 1858, est d
eni comme le quotient du carré [0, 1] × [0, 1] par l'identication : (0, t )R(1, 1=t ).

A.Awane

Géométrie Diérentielle

Variétés diérentielles. Variétés riemanniennes Prérequis

Ruban de Möbius

A.Awane

Géométrie Diérentielle

Variétés diérentielles. Variétés riemanniennes Prérequis

Tore T 2 = S 1 × S 1 = R/Z×R/Z T 2 = S 1 × S 1 = [0, 1] × [0, 1] /R où R est la relation d'équivalence qui identie (t , 0) ≡ (t , 1) et (0 , s ) ≡ (1 , s )

A.Awane

Géométrie Diérentielle

Variétés diérentielles. Variétés riemanniennes Prérequis

Tore T 2 = S 1 × S 1 = R/Z×R/Z

A.Awane

Géométrie Diérentielle

Variétés diérentielles. Variétés riemanniennes Prérequis

Espace projectif RP (n) RP (n) = S 2 / {Id , +id }

A.Awane

Géométrie Diérentielle

Variétés diérentielles. Variétés riemanniennes Prérequis

Bouteille de Klein

La bouteille de Klein (F. Klein, 1882) est dénie comme quotient du carré [0, 1] Ö [0, 1] par les dentications : (s , 0) ≡ (1 − s , 1) et (0, t ) ≡ (1, 1=t ).

A.Awane

Géométrie Diérentielle

Variétés diérentielles. Variétés riemanniennes Prérequis

Bouteille de Klein

La bouteille de Klein (F. Klein, 1882) est dénie comme quotient du carré [0, 1] Ö [0, 1] par les dentications : (s , 0) ≡ (1 − s , 1) et (0, t ) ≡ (1, 1=t ).

A.Awane

Géométrie Diérentielle

Variétés diérentielles. Variétés riemanniennes Prérequis

Bouteille de Klein

A.Awane

Géométrie Diérentielle

Variétés diérentielles. Variétés riemanniennes Prérequis

Théorème de Whitney

Théorème

Toute variété diérentiable de classe C k (k ≥ 1), de dimension n, paracompacte admet : un plongement f dans R2n+1 , une immersion dans R2n .

A.Awane

Géométrie Diérentielle

Variétés diérentielles. Variétés riemanniennes Prérequis

Espace tangent à une sous variété de Rn

A.Awane

Géométrie Diérentielle

Variétés diérentielles. Variétés riemanniennes Prérequis

Germe d'une application Soient (M1 , A1 ) et (M2 , A2 ) deux v.d. de classe C k , et x ∈ M1 et

Cx (M1 , M2 ) = {f : U (f ) ∈ (x , M1 ) −→ M2 } On dit que f : U (f ) −→ M2 et g : U (g ) −→ M2 ont le même germe au point x , et on écrit : f ∼x g s'il existe un voisinage ouvert W ⊆ U (f ) ∩ U (g ) , tel que

f |W = g |W .

Il est clair que ∼x est une relation d'équivalence. Jx0 (f ) est la classe d'équivalence de f appelée germe de f au point x.

A.Awane

Géométrie Diérentielle

Variétés diérentielles. Variétés riemanniennes Prérequis

Germe d'une application Soient (M1 , A1 ) et (M2 , A2 ) deux v.d. de classe C k , et x ∈ M1 et

Cx (M1 , M2 ) = {f : U (f ) ∈ (x , M1 ) −→ M2 } On dit que f : U (f ) −→ M2 et g : U (g ) −→ M2 ont le même germe au point x , et on écrit : f ∼x g s'il existe un voisinage ouvert W ⊆ U (f ) ∩ U (g ) , tel que

f |W = g |W .

Il est clair que ∼x est une relation d'équivalence. Jx0 (f ) est la classe d'équivalence de f appelée germe de f au point x.

A.Awane

Géométrie Diérentielle

Variétés diérentielles. Variétés riemanniennes Prérequis

Germe d'une application Soient (M1 , A1 ) et (M2 , A2 ) deux v.d. de classe C k , et x ∈ M1 et

Cx (M1 , M2 ) = {f : U (f ) ∈ (x , M1 ) −→ M2 } On dit que f : U (f ) −→ M2 et g : U (g ) −→ M2 ont le même germe au point x , et on écrit : f ∼x g s'il existe un voisinage ouvert W ⊆ U (f ) ∩ U (g ) , tel que

f |W = g |W .

Il est clair que ∼x est une relation d'équivalence. Jx0 (f ) est la classe d'équivalence de f appelée germe de f au point x.

A.Awane

Géométrie Diérentielle

Variétés diérentielles. Variétés riemanniennes Prérequis

Germe d'une application Soient (M1 , A1 ) et (M2 , A2 ) deux v.d. de classe C k , et x ∈ M1 et

Cx (M1 , M2 ) = {f : U (f ) ∈ (x , M1 ) −→ M2 } On dit que f : U (f ) −→ M2 et g : U (g ) −→ M2 ont le même germe au point x , et on écrit : f ∼x g s'il existe un voisinage ouvert W ⊆ U (f ) ∩ U (g ) , tel que

f |W = g |W .

Il est clair que ∼x est une relation d'équivalence. Jx0 (f ) est la classe d'équivalence de f appelée germe de f au point x.

A.Awane

Géométrie Diérentielle

Variétés diérentielles. Variétés riemanniennes Prérequis

Vecteurs tangents à une variété Soient (M , A ) une v.d. de dimension n et de classe C k (k ≥ 1) et soit x0 ∈ M . Dx0 (M , R) =ensemble des fonctions f : M −→ R dérivable dans un voisinage de x0 . Dénition Une fonction f ∈ Dx0 (M , R) est dite plate en x0 s'il existe une carte (U , ϕ) en x0 telle que :
d f ◦ ϕ −1 ϕ(x0 ) = 0

Exercice. Montrer que pour tous f , g ∈ Dx0 (M , R) tels que f (x0 ) = g (x0 ) = 0. alors fg est plate en x0 , A.Awane

Géométrie Diérentielle

Variétés diérentielles. Variétés riemanniennes Prérequis

Vecteurs tangents à une variété Soient (M , A ) une v.d. de dimension n et de classe C k (k ≥ 1) et soit x0 ∈ M . Dx0 (M , R) =ensemble des fonctions f : M −→ R dérivable dans un voisinage de x0 . Dénition Une fonction f ∈ Dx0 (M , R) est dite plate en x0 s'il existe une carte (U , ϕ) en x0 telle que :
d f ◦ ϕ −1 ϕ(x0 ) = 0

Exercice. Montrer que pour tous f , g ∈ Dx0 (M , R) tels que f (x0 ) = g (x0 ) = 0. alors fg est plate en x0 , A.Awane

Géométrie Diérentielle

Variétés diérentielles. Variétés riemanniennes Prérequis

Vecteurs tangents à une variété Soient (M , A ) une v.d. de dimension n et de classe C k (k ≥ 1) et soit x0 ∈ M . Dx0 (M , R) =ensemble des fonctions f : M −→ R dérivable dans un voisinage de x0 . Dénition Une fonction f ∈ Dx0 (M , R) est dite plate en x0 s'il existe une carte (U , ϕ) en x0 telle que :
d f ◦ ϕ −1 ϕ(x0 ) = 0

Exercice. Montrer que pour tous f , g ∈ Dx0 (M , R) tels que f (x0 ) = g (x0 ) = 0. alors fg est plate en x0 , A.Awane

Géométrie Diérentielle

Variétés diérentielles. Variétés riemanniennes Prérequis

Vecteurs tangents à une variété

Dénition On appelle dérivation en x0 toute application X : Dx0 (M , R) −→ R vériant les propriétés suivantes : 1 2

X (λ f + µ g ) = λ X (f ) + µ X (g ), (Forme linéaire) X (fg ) = f (x0 )X (g ) + X (f )g (x0 )

pour tous λ , µ ∈ R et f , g ∈ Dx0 (M , R) .

A.Awane

Géométrie Diérentielle

Variétés diérentielles. Variétés riemanniennes Prérequis

Exemple de dérivation : cas de M = Rn Exemple M = Rn . Pour tout u ∈ Rn on pose :

(x0 , u ).f = dfx0 (u ). Le couple (x0 , u ) est une dérivation en x0 . Soit (ei )1≤i ≤n la base canonique de Rn . Pour tous i (i = 1, ..., n) et f ∈ Dx0 (M , R) on a :   ∂ ∂f (x0 ) = (f ) (x0 , ei ).f = dfx0 (ei ) = ∂ xi ∂ xi x0 Le couple (x0 , ei ) s'identie à l'opérateur de dérivation

(x0 , ei ) = A.Awane



 ∂ ∂ xi x0

Géométrie Diérentielle



∂ ∂ xi

 x0

:

Variétés diérentielles. Variétés riemanniennes Prérequis

Dérivations associées à une carte Exemple Pour toute carte (U , ϕ = (x1 , ..., xn )) en x0 , on associe n dérivations en x0 en posant :  
∂ f = d f ◦ ϕ −1 ϕ(x0 ) (ei ) ∂ xi x0 pour tout f ∈ Dx0 (M , R).   De plus on a : ∂∂x f = 0 si f est plate en x0 . i

x0

Théorème

Pour toute dérivation X en x0 et pour toute fonction f ∈ Dx0 (M , R), le nombre X (f ) ne dépend que du germe Jx00 (f ) . A.Awane

Géométrie Diérentielle

Variétés diérentielles. Variétés riemanniennes Prérequis

Dérivations associées à une carte Exemple Pour toute carte (U , ϕ = (x1 , ..., xn )) en x0 , on associe n dérivations en x0 en posant :  
∂ f = d f ◦ ϕ −1 ϕ(x0 ) (ei ) ∂ xi x0 pour tout f ∈ Dx0 (M , R).   De plus on a : ∂∂x f = 0 si f est plate en x0 . i

x0

Théorème

Pour toute dérivation X en x0 et pour toute fonction f ∈ Dx0 (M , R), le nombre X (f ) ne dépend que du germe Jx00 (f ) . A.Awane

Géométrie Diérentielle

Variétés diérentielles. Variétés riemanniennes Prérequis

Dérivations associées à une carte Exemple Pour toute carte (U , ϕ = (x1 , ..., xn )) en x0 , on associe n dérivations en x0 en posant :  
∂ f = d f ◦ ϕ −1 ϕ(x0 ) (ei ) ∂ xi x0 pour tout f ∈ Dx0 (M , R).   De plus on a : ∂∂x f = 0 si f est plate en x0 . i

x0

Théorème

Pour toute dérivation X en x0 et pour toute fonction f ∈ Dx0 (M , R), le nombre X (f ) ne dépend que du germe Jx00 (f ) . A.Awane

Géométrie Diérentielle

Variétés diérentielles. Variétés riemanniennes Prérequis

Vecteurs tangents à une variété Démonstration. Soient f , g ∈ Dx0 (M , R) t.q. f ∼x0 g et (U , ϕ) carte en x0 . ∃W ⊂ U : f |W = g |W et une fonction plateau θ : M −→ R, de classe C k t. q. θ (x ) = 1 sur un vois. V ⊂ W et θ (x ) = 0 sur M =W . On a donc,

X (θ f ) = X (θ )f (x0 ) + X (f ) ; X (θ g ) = X (θ )g (x0 ) + X (g ) Comme θ f = θ g , f (x0 ) = g (x0 ) , on déduit que X (f ) = X (g ) . Corollaire

Pour toute dérivation X en x0 on a : 1. X (λ ) = 0 pour tout λ ∈ R, 2. X (f ) = 0 pour toute fonction constante dans un voisinage de x0 . A.Awane

Géométrie Diérentielle

Variétés diérentielles. Variétés riemanniennes Prérequis

Vecteurs tangents à une variété Démonstration. Soient f , g ∈ Dx0 (M , R) t.q. f ∼x0 g et (U , ϕ) carte en x0 . ∃W ⊂ U : f |W = g |W et une fonction plateau θ : M −→ R, de classe C k t. q. θ (x ) = 1 sur un vois. V ⊂ W et θ (x ) = 0 sur M =W . On a donc,

X (θ f ) = X (θ )f (x0 ) + X (f ) ; X (θ g ) = X (θ )g (x0 ) + X (g ) Comme θ f = θ g , f (x0 ) = g (x0 ) , on déduit que X (f ) = X (g ) . Corollaire

Pour toute dérivation X en x0 on a : 1. X (λ ) = 0 pour tout λ ∈ R, 2. X (f ) = 0 pour toute fonction constante dans un voisinage de x0 . A.Awane

Géométrie Diérentielle

Variétés diérentielles. Variétés riemanniennes Prérequis

Vecteurs tangents à une variété Théorème

Pour toute forme linéaire X : Dx0 (M , R) −→ R, les propriétés suivantes sont équivalentes : 1. X (fg ) = f (x0 )X (g ) + X (f )g (x0 ) , 2. X (f ) = 0 si f est plate en x0 . Démonstration. Soient X une dérivation en x0 et soit f ∈ Dx0 (M , R). La formule de Taylor avec reste intégral d'ordre 1
de f ◦ ϕ =1 au point ϕ(x0 ) donne f = f (x0 ) + ∑ni=1 ∂i f ◦ ϕ −1 ϕ(x0 ) (xi − xi (x0 )) + ∑ni,j =1 (xi − xi (x0 ))(xj − xj (x0 ))gij avec
R gij (x ) = 01 (1 − t )∂ij2 f ◦ ϕ −1 ϕ(x0 )+t (ϕ(x )−ϕ(x0 )) dt . A.Awane

Géométrie Diérentielle

Variétés diérentielles. Variétés riemanniennes Prérequis

Vecteurs tangents à une variété Théorème

Pour toute forme linéaire X : Dx0 (M , R) −→ R, les propriétés suivantes sont équivalentes : 1. X (fg ) = f (x0 )X (g ) + X (f )g (x0 ) , 2. X (f ) = 0 si f est plate en x0 . Démonstration. Soient X une dérivation en x0 et soit f ∈ Dx0 (M , R). La formule de Taylor avec reste intégral d'ordre 1
de f ◦ ϕ =1 au point ϕ(x0 ) donne f = f (x0 ) + ∑ni=1 ∂i f ◦ ϕ −1 ϕ(x0 ) (xi − xi (x0 )) + ∑ni,j =1 (xi − xi (x0 ))(xj − xj (x0 ))gij avec
R gij (x ) = 01 (1 − t )∂ij2 f ◦ ϕ −1 ϕ(x0 )+t (ϕ(x )−ϕ(x0 )) dt . A.Awane

Géométrie Diérentielle

Variétés diérentielles. Variétés riemanniennes Prérequis

Espace tangent Démonstration. Si f est plate en x0 , alors

f = f (x0 ) +

n

∑ (xi − xi (x

i ,j =1

0

))(xj − xj (x0 ))gij

donc X (f ) = 0, ce qui montre l'implication (1) =⇒ (2) . Réciproquement, on suppose que X (f ) = 0 dès que f est plate en x0 . Soient donc f , g ∈ Dx0 (M , R). Puisque la fonction (f =f (x0 ))(g =g (x0 )) est plate en x0 , alors X ((f =f (x0 ))(g =g (x0 ))) = 0, et comme on a :

fg = (f =f (x0 ) + f (x0 ))(g =g (x0 ) + g (x0 )) = (f =f (x0 ))(g =g (x0 ))+ f (x0 )(g =g (x0 ))+ g (x0 ))(f =f (x0 ))+ f (x0 )g (x0 ) A.Awane

Géométrie Diérentielle

Variétés diérentielles. Variétés riemanniennes Prérequis

Espace tangent On déduit que

X (fg ) = f (x0 )X ((g =g (x0 )))+ X ((f =f (x0 )))g (x0 )) = f (x0 )X (g )+ X (f )g ( d'où (2) =⇒ (1) , et la proposition est démontrée. Dénition On appelle vecteur tangent à la variété M au point x0 , toute forme linéaire X : Dx0 (M , R) −→ R, vériant l'une des propriétés équivalentes du théorème précédent. L'ensemble des vecteurs tangents à la variété M au point x0 , muni des lois

(X + Y )(f ) = X (f ) + Y (f ) , (λ X )(f ) = λ X (f ) est un R=espace vectoriel, noté Tx0 M et est appelé espace tangent à la variété M au point x0 . A.Awane

Géométrie Diérentielle

Variétés diérentielles. Variétés riemanniennes Prérequis

Espace tangent On déduit que

X (fg ) = f (x0 )X ((g =g (x0 )))+ X ((f =f (x0 )))g (x0 )) = f (x0 )X (g )+ X (f )g ( d'où (2) =⇒ (1) , et la proposition est démontrée. Dénition On appelle vecteur tangent à la variété M au point x0 , toute forme linéaire X : Dx0 (M , R) −→ R, vériant l'une des propriétés équivalentes du théorème précédent. L'ensemble des vecteurs tangents à la variété M au point x0 , muni des lois

(X + Y )(f ) = X (f ) + Y (f ) , (λ X )(f ) = λ X (f ) est un R=espace vectoriel, noté Tx0 M et est appelé espace tangent à la variété M au point x0 . A.Awane

Géométrie Diérentielle

Variétés diérentielles. Variétés riemanniennes Prérequis

Vecteurs tangents à une variété Soit maintenant (U , ϕ = (x1 , ..., xn )) un système de coordonnées en x0 et     ∂ ∂ ,··· , ∂ x1 x0 ∂ xn x0

les vecteurs tangents associés à ce système de coordonnées locales. Montrons que ces dérivations forment une base de l'espace tangent Tx0 M . Pour toute fonction f ∈ Dx0 (M , R) , la fonction f − ∑ ∂∂xf (x0 )xi est plate en x0 . donc,   ∂ ∂f X (f ) = ∑ X (xi ) (x0 ) = ∑ X (xi ) (f ) ∂ xi ∂ xi x0   par conséquent on a : X = ∑ X (xi ) ∂∂x ; Ce montre que les i

i

dérivations





x0

 ∂ ∂ ,··· , ∂ x1 x0 ∂ xn x0 A.Awane



Géométrie Diérentielle

Variétés diérentielles. Variétés riemanniennes Prérequis

Vecteurs tangents à une variété Soit maintenant (U , ϕ = (x1 , ..., xn )) un système de coordonnées en x0 et     ∂ ∂ ,··· , ∂ x1 x0 ∂ xn x0

les vecteurs tangents associés à ce système de coordonnées locales. Montrons que ces dérivations forment une base de l'espace tangent Tx0 M . Pour toute fonction f ∈ Dx0 (M , R) , la fonction f − ∑ ∂∂xf (x0 )xi est plate en x0 . donc,   ∂ ∂f X (f ) = ∑ X (xi ) (x0 ) = ∑ X (xi ) (f ) ∂ xi ∂ xi x0   par conséquent on a : X = ∑ X (xi ) ∂∂x ; Ce montre que les i

i

dérivations





x0

 ∂ ∂ ,··· , ∂ x1 x0 ∂ xn x0 A.Awane



Géométrie Diérentielle

Variétés diérentielles. Variétés riemanniennes Prérequis

Vecteurs tangents à une variété forment un système de générateurs de l'espace vectoriel Tx0 M . Soient maintenant λ1 , λ2 , ..., λn des nombres réels vériant :     ∂ ∂ + · · · + λn = 0T 0 M λ1 ∂ x1 x0 ∂ xn x

La relation



∂ ∂ xi



xj = δij

pour tous i , j = 1, ..., n implique λ1 = λ2 = ... = λ n = 0 et par conséquent le système est libre, ce qui prouve que les dérivations associées au système de coordonnées x1 , ..., xn en x0 forment une base de Tx0 M , en particulier on a :

dimTx0 M = dimM A.Awane

Géométrie Diérentielle

Variétés diérentielles. Variétés riemanniennes Prérequis

Vecteurs tangents à une variété forment un système de générateurs de l'espace vectoriel Tx0 M . Soient maintenant λ1 , λ2 , ..., λn des nombres réels vériant :     ∂ ∂ + · · · + λn = 0T 0 M λ1 ∂ x1 x0 ∂ xn x

La relation



∂ ∂ xi



xj = δij

pour tous i , j = 1, ..., n implique λ1 = λ2 = ... = λ n = 0 et par conséquent le système est libre, ce qui prouve que les dérivations associées au système de coordonnées x1 , ..., xn en x0 forment une base de Tx0 M , en particulier on a :

dimTx0 M = dimM A.Awane

Géométrie Diérentielle

Variétés diérentielles. Variétés riemanniennes Prérequis

Espace tangent - Lois de transformations Soient maintenant ψ = (y1 , ..., yn ) un autre système de coordonnées locales dénies sur un ouvert V de x0 . Pour toute fonction f ∈ Dx0 (M , R) et pour tout i (i = 1, ..., n), on a



  


∂ f = d f ◦ ϕ −1 ϕ(x0 ) (ei ) = d f ◦ ψ −1 ψ(x0 d ψ ◦ ϕ −1 ϕ(x0 ) (ei ) ∂ xi x0

Et comme

d ψ ◦ϕ

−1




ϕ(x0 )



(ei ) = d yj ◦ ϕ

−1




ϕ(x0 )

(ei )

 j

 =

 ∂ yj ∂ yj (x0 ) = ∑ (x0 ∂ xi ∂ xi j

On déduit :



  
∂ yj ∂ yj ∂ ∂ −1 f = d f ◦ ψ ψ(x0 ) ∑ (x0 )ej = ∑ (x0 ) f ∂ xi x0 ∂ xi ∂ xi ∂ yj x0 A.Awane

Géométrie Diérentielle

Variétés diérentielles. Variétés riemanniennes Prérequis

Espace tangent - Lois de transformations Soient maintenant ψ = (y1 , ..., yn ) un autre système de coordonnées locales dénies sur un ouvert V de x0 . Pour toute fonction f ∈ Dx0 (M , R) et pour tout i (i = 1, ..., n), on a



  


∂ f = d f ◦ ϕ −1 ϕ(x0 ) (ei ) = d f ◦ ψ −1 ψ(x0 d ψ ◦ ϕ −1 ϕ(x0 ) (ei ) ∂ xi x0

Et comme

d ψ ◦ϕ

−1




ϕ(x0 )



(ei ) = d yj ◦ ϕ

−1




ϕ(x0 )

(ei )

 j

 =

 ∂ yj ∂ yj (x0 ) = ∑ (x0 ∂ xi ∂ xi j

On déduit :



  
∂ yj ∂ yj ∂ ∂ −1 f = d f ◦ ψ ψ(x0 ) ∑ (x0 )ej = ∑ (x0 ) f ∂ xi x0 ∂ xi ∂ xi ∂ yj x0 A.Awane

Géométrie Diérentielle

Variétés diérentielles. Variétés riemanniennes Prérequis

Espace tangent - Lois de transformations Soient maintenant ψ = (y1 , ..., yn ) un autre système de coordonnées locales dénies sur un ouvert V de x0 . Pour toute fonction f ∈ Dx0 (M , R) et pour tout i (i = 1, ..., n), on a



  


∂ f = d f ◦ ϕ −1 ϕ(x0 ) (ei ) = d f ◦ ψ −1 ψ(x0 d ψ ◦ ϕ −1 ϕ(x0 ) (ei ) ∂ xi x0

Et comme

d ψ ◦ϕ

−1




ϕ(x0 )



(ei ) = d yj ◦ ϕ

−1




ϕ(x0 )

(ei )

 j

 =

 ∂ yj ∂ yj (x0 ) = ∑ (x0 ∂ xi ∂ xi j

On déduit :



  
∂ yj ∂ yj ∂ ∂ −1 f = d f ◦ ψ ψ(x0 ) ∑ (x0 )ej = ∑ (x0 ) f ∂ xi x0 ∂ xi ∂ xi ∂ yj x0 A.Awane

Géométrie Diérentielle

Variétés diérentielles. Variétés riemanniennes Prérequis

Espace tangent - Lois de transformations Soient maintenant ψ = (y1 , ..., yn ) un autre système de coordonnées locales dénies sur un ouvert V de x0 . Pour toute fonction f ∈ Dx0 (M , R) et pour tout i (i = 1, ..., n), on a



  


∂ f = d f ◦ ϕ −1 ϕ(x0 ) (ei ) = d f ◦ ψ −1 ψ(x0 d ψ ◦ ϕ −1 ϕ(x0 ) (ei ) ∂ xi x0

Et comme

d ψ ◦ϕ

−1




ϕ(x0 )



(ei ) = d yj ◦ ϕ

−1




ϕ(x0 )

(ei )

 j

 =

 ∂ yj ∂ yj (x0 ) = ∑ (x0 ∂ xi ∂ xi j

On déduit :



  
∂ yj ∂ yj ∂ ∂ −1 f = d f ◦ ψ ψ(x0 ) ∑ (x0 )ej = ∑ (x0 ) f ∂ xi x0 ∂ xi ∂ xi ∂ yj x0 A.Awane

Géométrie Diérentielle

Variétés diérentielles. Variétés riemanniennes Prérequis

Espace tangent - Lois de transformations On obtient ainsi, les lois de transformations des systèmes de coordonnées locales :     ∂ yj ∂ ∂ = (x0 ) ∂ xi x0 ∑ ∂ xi ∂ yj x0 par
suite ; si un vecteur
tangent X ∈ Tx0 M , de composantes i i X 1≤i ≤n (resp. Y 1≤i ≤n ) par rapport aux bases ;   !   ! ∂ ∂ et ∂ xi x0 ∂ yi x0 i ≤n

i ≤n

1≤

alors les familles X

i


Yj =∑

i ≤n et

1≤

1≤

Y

i


i ≤n sont liées par les relations

1≤

∂ xj ∂ yj (x0 )X i et X j = ∑ (x0 )Y i ∂ x ∂ y i i i i A.Awane

Géométrie Diérentielle

Variétés diérentielles. Variétés riemanniennes Prérequis

Espace tangent - Lois de transformations Exemple Dans le cas de l'espace Rn , on a :



∂ ∂ xi

 x0

= (x0 , ei )

On voit que l'espace tangent Tx0 Rn coïncide avec {x0 } × Rn , évidemment, {x0 } × Rn est muni de sa structure d'espace vectoriel dénie par : (x0 , u ) + (x0 , v ) = (x0 , u + v ) et λ (x0 , u ) = (x0 , λ u ) Dénition On appelle bré tangent à M , que l'on désigne par TM , l'ensemble de tous les vecteurs tangents à la variété M en ses points, c'est donc la réunion de tous les espaces tangents Tx M en ses divers points : [ TM = Tx M x ∈M

A.Awane

Géométrie Diérentielle

Variétés diérentielles. Variétés riemanniennes Prérequis

Espace tangent - Lois de transformations Exemple Dans le cas de l'espace Rn , on a :



∂ ∂ xi

 x0

= (x0 , ei )

On voit que l'espace tangent Tx0 Rn coïncide avec {x0 } × Rn , évidemment, {x0 } × Rn est muni de sa structure d'espace vectoriel dénie par : (x0 , u ) + (x0 , v ) = (x0 , u + v ) et λ (x0 , u ) = (x0 , λ u ) Dénition On appelle bré tangent à M , que l'on désigne par TM , l'ensemble de tous les vecteurs tangents à la variété M en ses points, c'est donc la réunion de tous les espaces tangents Tx M en ses divers points : [ TM = Tx M x ∈M

A.Awane

Géométrie Diérentielle

Variétés diérentielles. Variétés riemanniennes Prérequis

Fibré tangent Ainsi, chaque élément de TM , peut être identié à un couple (x , Xx ) , où x ∈ M et Xx ∈ Tx M .

A.Awane

Géométrie Diérentielle

Variétés diérentielles. Variétés riemanniennes Prérequis

Application tangente Soient (M1 , A1 ) et (M2 , A2 ) deux v.d. de classe C k , avec (k ≥ 1) et f : M1 −→ M2 diérentiable en un point x de M1 . Pour tout g ∈ Df (x ) (M2 , R), la fonction g ◦ f ∈ Dx (M1 , R) , et si g est plate en y = f (x ) , alors g ◦ f est plate en x, On dénit : dfx : Tx M1 −→ Tf (x ) M2 telle que pour tout X ∈ Tx M1 , dfx (X ) est la forme linéaire sur Df (x ) (M2 , R) dénie par :

dfx (X )(g ) = X (g ◦ f ) A.Awane

Géométrie Diérentielle

Variétés diérentielles. Variétés riemanniennes Prérequis

Application tangente Soient (M1 , A1 ) et (M2 , A2 ) deux v.d. de classe C k , avec (k ≥ 1) et f : M1 −→ M2 diérentiable en un point x de M1 . Pour tout g ∈ Df (x ) (M2 , R), la fonction g ◦ f ∈ Dx (M1 , R) , et si g est plate en y = f (x ) , alors g ◦ f est plate en x, On dénit : dfx : Tx M1 −→ Tf (x ) M2 telle que pour tout X ∈ Tx M1 , dfx (X ) est la forme linéaire sur Df (x ) (M2 , R) dénie par :

dfx (X )(g ) = X (g ◦ f ) A.Awane

Géométrie Diérentielle

Variétés diérentielles. Variétés riemanniennes Prérequis

Application tangente Dénition Application tangenteL'application dfx est une application linéaire de Tx M1 dans Tf (x ) M2 , appelée diérentielle de f en x , ou application tangente de f en x , on la note aussi f∗x ou fxT . Mettons maintenant en évidence la matrice de l'application linéaire dfx dans les bases dénies par des systèmes de coordonnées locales. 1. Soient (M , A ) une variété de dimension n et (U , ϕ = (x1 , ..., xn )) : un système de coordonnées en x0 et     ∂ ∂ ,··· , ∂ x1 x ∂ xn x les vecteurs tangents associés à ce système de coordonnées locales. A.Awane

Géométrie Diérentielle

Variétés diérentielles. Variétés riemanniennes Prérequis

Application tangente Dénition Application tangenteL'application dfx est une application linéaire de Tx M1 dans Tf (x ) M2 , appelée diérentielle de f en x , ou application tangente de f en x , on la note aussi f∗x ou fxT . Mettons maintenant en évidence la matrice de l'application linéaire dfx dans les bases dénies par des systèmes de coordonnées locales. 1. Soient (M , A ) une variété de dimension n et (U , ϕ = (x1 , ..., xn )) : un système de coordonnées en x0 et     ∂ ∂ ,··· , ∂ x1 x ∂ xn x les vecteurs tangents associés à ce système de coordonnées locales. A.Awane

Géométrie Diérentielle

Variétés diérentielles. Variétés riemanniennes Prérequis

Application tangente Dénition Application tangenteL'application dfx est une application linéaire de Tx M1 dans Tf (x ) M2 , appelée diérentielle de f en x , ou application tangente de f en x , on la note aussi f∗x ou fxT . Mettons maintenant en évidence la matrice de l'application linéaire dfx dans les bases dénies par des systèmes de coordonnées locales. 1. Soient (M , A ) une variété de dimension n et (U , ϕ = (x1 , ..., xn )) : un système de coordonnées en x0 et     ∂ ∂ ,··· , ∂ x1 x ∂ xn x les vecteurs tangents associés à ce système de coordonnées locales. A.Awane

Géométrie Diérentielle

Variétés diérentielles. Variétés riemanniennes Prérequis

Application tangente Alors pour toute fonction g ∈ Dϕ(x ) (Rn , R) , on a :



d ϕx



    ∂ ∂ (g ) = (g ◦ϕ) = dgϕ(x ) (ei ) = (ϕ(x ), ei ) (g ) ∂ xi x ∂ xi x

d'où

d ϕx



  ∂ = (ϕ(x ), ei ) ∂ xi x

Ainsi, la matrice de l'application linéaire d ϕx dans les bases



∂ ∂ xi

 x

et (ϕ(x ), ei ) est la matrice unité In . 2. Soient maintenant M1 et M2 deux v.d. de dimensions n et p et soit f : M1 −→ M2 diérentiable sur un voisinage ouvert d'un point x. A.Awane

Géométrie Diérentielle

Variétés diérentielles. Variétés riemanniennes Prérequis

Application tangente Alors pour toute fonction g ∈ Dϕ(x ) (Rn , R) , on a :



d ϕx



    ∂ ∂ (g ) = (g ◦ϕ) = dgϕ(x ) (ei ) = (ϕ(x ), ei ) (g ) ∂ xi x ∂ xi x

d'où

d ϕx



  ∂ = (ϕ(x ), ei ) ∂ xi x

Ainsi, la matrice de l'application linéaire d ϕx dans les bases



∂ ∂ xi

 x

et (ϕ(x ), ei ) est la matrice unité In . 2. Soient maintenant M1 et M2 deux v.d. de dimensions n et p et soit f : M1 −→ M2 diérentiable sur un voisinage ouvert d'un point x. A.Awane

Géométrie Diérentielle

Variétés diérentielles. Variétés riemanniennes Prérequis

Application tangente Fixons deux cartes (U , ϕ) en x et une carte (V , ψ) en f (x ) avec ϕ = (x1 , ..., xn ) et ψ = (y1 , ..., yp ). Alors on a :       ∂ zj ∂ ∂ dfx (yj ) = (yj ◦ f ) = ∂i (yj ◦ f ◦ϕ −1 )ϕ(x ) := (x ) ∂ xi x ∂ xi x ∂ xi Ce qui montre que la matrice de l'application linéaire dfx dans les bases     ∂ ∂ et ∂ xi x ∂ yj f (x ) est la matrice



 ∂ zj (x ) ∂ xi i ,j

A.Awane

Géométrie Diérentielle

Variétés diérentielles. Variétés riemanniennes Prérequis

Application tangente Dénition On appelle application tangente d'une application diérentiable f : M1 −→ M2 , l'application

Tf : TM1 −→ TM2 dénie par :

Tf (x , X ) = (f (x ), dfx (X ))

On vérie aisément que l'on a :

T (g ◦ f ) = T (g ) ◦ T (f ) lorsque f et g sont composables. A.Awane

Géométrie Diérentielle

Variétés diérentielles. Variétés riemanniennes Prérequis

Application tangente Dénition On appelle application tangente d'une application diérentiable f : M1 −→ M2 , l'application

Tf : TM1 −→ TM2 dénie par :

Tf (x , X ) = (f (x ), dfx (X ))

On vérie aisément que l'on a :

T (g ◦ f ) = T (g ) ◦ T (f ) lorsque f et g sont composables. A.Awane

Géométrie Diérentielle

Variétés diérentielles. Variétés riemanniennes Prérequis

Applications tangente Pour M1 = M2 = M , et f = idM ; on a :

T (idM ) = idTM et si f ∈ Di (M1 , M2 ) , alors T (f ) est bijective et l'on a :
T f =1 = (T (f ))=1 . En particulier dfx est un isomorphisme d'espaces vectoriels et l'on a:
(dfx )=1 = d f =1 f (x )

A.Awane

Géométrie Diérentielle

Variétés diérentielles. Variétés riemanniennes Prérequis

Applications tangente Pour M1 = M2 = M , et f = idM ; on a :

T (idM ) = idTM et si f ∈ Di (M1 , M2 ) , alors T (f ) est bijective et l'on a :
T f =1 = (T (f ))=1 . En particulier dfx est un isomorphisme d'espaces vectoriels et l'on a:
(dfx )=1 = d f =1 f (x )

A.Awane

Géométrie Diérentielle

Variétés diérentielles. Variétés riemanniennes Prérequis

Vecteur tangent à une courbe Soient (M , A ) une v.d. de dimension n et de classe C k (k ≥ 1) et soit x0 ∈ M . On se propose dans ce paragraphe de mettre en évidence les liens entre les vecteurs tangents au point x0 et les vecteurs tangents à une courbe diérentiable en ce point.

A.Awane

Géométrie Diérentielle

Variétés diérentielles. Variétés riemanniennes Prérequis

Vecteur tangent à une courbe Soient (M , A ) une v.d. de dimension n et de classe C k (k ≥ 1) et soit x0 ∈ M . On se propose dans ce paragraphe de mettre en évidence les liens entre les vecteurs tangents au point x0 et les vecteurs tangents à une courbe diérentiable en ce point.

A.Awane

Géométrie Diérentielle

Variétés diérentielles. Variétés riemanniennes Prérequis

Vecteur tangent à une courbe Soit γ ∈ Dt0 (R, M ) une courbe diérentiable sur M t.q. γ(t0 ) = x0 . Dénition On appelle vecteur tangent à γ , que l'on note linéaire :



dénie par :

Il est clair que x0 .

dγ dt t0 , la forme



dγ :D (M , R) −→ R dt t0 γ(t0 )









dγ d (f ◦ γ) (f ) = (t0 ) dt t0 dt 

dγ dt t0 dénit un vecteur tangent à la variété



A.Awane

Géométrie Diérentielle

M en

Variétés diérentielles. Variétés riemanniennes Prérequis

Vecteur tangent à une courbe Soit γ ∈ Dt0 (R, M ) une courbe diérentiable sur M t.q. γ(t0 ) = x0 . Dénition On appelle vecteur tangent à γ , que l'on note linéaire :



dénie par :

Il est clair que x0 .

dγ dt t0 , la forme



dγ :D (M , R) −→ R dt t0 γ(t0 )









dγ d (f ◦ γ) (f ) = (t0 ) dt t0 dt 

dγ dt t0 dénit un vecteur tangent à la variété



A.Awane

Géométrie Diérentielle

M en

Variétés diérentielles. Variétés riemanniennes Prérequis

Vecteur tangent à une courbe Réciproquement, soit X ∈ Tx0 M . Dans une carte (U , ϕ = (x1 , ..., xn )) en x0 , le vecteur X s'écrit :   ∂ X = ∑ Xi ∂ xi x0 Soit ε > 0 tel que ϕ(x0 ) + td ϕx0 (X ) ∈ ϕ(U ) dès que |t | < ε , et soit

γ : ]−ε, ε[ −→ M dénie par : Il est clair que

γ(t ) = ϕ −1 (ϕ(x0 ) + td ϕx0 (X )) 

dγ dt

A.Awane



=X

0

Géométrie Diérentielle

Variétés diérentielles. Variétés riemanniennes Prérequis

Vecteur tangent à une courbe − Soient (U , ϕ = (x1 , ..., xn )) une carte en x0 et → γ : I −→ M , une → − 1 courbe de classe C dans M telle que γ (I ) ⊂ U . Écrivons
− (x1 (t ), . . . , xn (t )) = ϕ → γ (t ) On a donc,  → 
d −γ f = d f ◦ ϕ −1 ϕ(→ − γ (t ))

dt

t

∑ xi0 (t )ei




= ∑ xi0 (t )d f ◦ ϕ −1

ce qui montre que  →      d −γ ∂ dx i ∂ = ∑ xi0 (t ) =∑ (t ) − − dt t ∂ xi → dt ∂ xi → γ (t ) γ (t )

A.Awane

Géométrie Diérentielle

(e − ϕ(→ γ (t )) i




Variétés diérentielles. Variétés riemanniennes Prérequis

Application cotangente Dénition L'espace dual Tx∗ M de Tx M est appelé espace cotangent à la variété M en x , on dénit de même, le bré cotangent à M , que l'on désigne par T ∗ M , la réunion de tous les espaces Tx∗ M = (Tx M )∗ en ses divers points :

T *M =

[

x ∈M

Tx* M

Ainsi, chaque élément de T ∗ M , peut être identié à un couple (x , ωx ) , où x ∈ M et ωx ∈ Tx* M . Dans les hypothèses et notations ci dessus, considérons les diérentielles des composantes xi de la carte ϕ au point x0 . Évidemment, on a

dx1 (x0 ), · · · , dxn (x0 ) ∈ Tx∗0 M A.Awane

Géométrie Diérentielle

Variétés diérentielles. Variétés riemanniennes Prérequis

Application cotangente Dénition L'espace dual Tx∗ M de Tx M est appelé espace cotangent à la variété M en x , on dénit de même, le bré cotangent à M , que l'on désigne par T ∗ M , la réunion de tous les espaces Tx∗ M = (Tx M )∗ en ses divers points :

T *M =

[

x ∈M

Tx* M

Ainsi, chaque élément de T ∗ M , peut être identié à un couple (x , ωx ) , où x ∈ M et ωx ∈ Tx* M . Dans les hypothèses et notations ci dessus, considérons les diérentielles des composantes xi de la carte ϕ au point x0 . Évidemment, on a

dx1 (x0 ), · · · , dxn (x0 ) ∈ Tx∗0 M A.Awane

Géométrie Diérentielle

Variétés diérentielles. Variétés riemanniennes Prérequis

Application cotangente Dénition L'espace dual Tx∗ M de Tx M est appelé espace cotangent à la variété M en x , on dénit de même, le bré cotangent à M , que l'on désigne par T ∗ M , la réunion de tous les espaces Tx∗ M = (Tx M )∗ en ses divers points :

T *M =

[

x ∈M

Tx* M

Ainsi, chaque élément de T ∗ M , peut être identié à un couple (x , ωx ) , où x ∈ M et ωx ∈ Tx* M . Dans les hypothèses et notations ci dessus, considérons les diérentielles des composantes xi de la carte ϕ au point x0 . Évidemment, on a

dx1 (x0 ), · · · , dxn (x0 ) ∈ Tx∗0 M A.Awane

Géométrie Diérentielle

Variétés diérentielles. Variétés riemanniennes Prérequis

Application cotangente et on vérie aisément qu'on a : * +  ∂ , dxj (x0 ) = δij . ∂ xi x0 Ainsi, dx1 (x0 ),· · · ,dxn (x0 ) est la base duale de  ∂ , · · · , ∂∂x . ∂ x1 x0

n

x0

Soient maintenant ψ = (y1 , ..., yn ) un autre système de coordonnées locales dénies sur un ouvert V de x0 . On vérie facilement que les covecteurs dy1 (x0 ), · · · , dyn (x0 ) et dx1 (x0 ), · · · , dxn (x0 ) sont liés par : n ∂x  n ∂y  i i dxj (x0 ) et dxi (x0 ) = ∑ dyj (x0 ) dyi (x0 ) = ∑ ∂ x ∂ y j j x0 x0 j =1 j =1 A.Awane

Géométrie Diérentielle

Variétés diérentielles. Variétés riemanniennes Prérequis

Application cotangente et on vérie aisément qu'on a : * +  ∂ , dxj (x0 ) = δij . ∂ xi x0 Ainsi, dx1 (x0 ),· · · ,dxn (x0 ) est la base duale de  ∂ , · · · , ∂∂x . ∂ x1 x0

n

x0

Soient maintenant ψ = (y1 , ..., yn ) un autre système de coordonnées locales dénies sur un ouvert V de x0 . On vérie facilement que les covecteurs dy1 (x0 ), · · · , dyn (x0 ) et dx1 (x0 ), · · · , dxn (x0 ) sont liés par : n ∂x  n ∂y  i i dxj (x0 ) et dxi (x0 ) = ∑ dyj (x0 ) dyi (x0 ) = ∑ ∂ x ∂ y j j x0 x0 j =1 j =1 A.Awane

Géométrie Diérentielle

Variétés diérentielles. Variétés riemanniennes Prérequis

Application cotangente Ce qui donne les lois de transformations des covecteurs suivantes, soit

αx0 =

n

n

i =1

i =1

∑ ai dxi (x0 ) = ∑ bi dyi (x0 )

l'écriture du covecteur αx0 dans les bases dx1 (x0 ), · · · , dxn (x0 ) et dy1 (x0 ), · · · , dyn (x0 ) de l'espace T ∗x0 M des corepères en x0 , alors les composantes (ai )1≤i ≤n et (bi )1≤i ≤n sont liées par : n ∂x  n ∂y  i i bi et bj = ∑ ai aj = ∑ ∂ x ∂ y j x0 j x0 i =1 i =1

A.Awane

Géométrie Diérentielle

Variétés diérentielles. Variétés riemanniennes Prérequis

Application cotangente Ce qui donne les lois de transformations des covecteurs suivantes, soit

αx0 =

n

n

i =1

i =1

∑ ai dxi (x0 ) = ∑ bi dyi (x0 )

l'écriture du covecteur αx0 dans les bases dx1 (x0 ), · · · , dxn (x0 ) et dy1 (x0 ), · · · , dyn (x0 ) de l'espace T ∗x0 M des corepères en x0 , alors les composantes (ai )1≤i ≤n et (bi )1≤i ≤n sont liées par : n ∂x  n ∂y  i i bi et bj = ∑ ai aj = ∑ ∂ x ∂ y j x0 j x0 i =1 i =1

A.Awane

Géométrie Diérentielle

Variétés diérentielles. Variétés riemanniennes Prérequis

Application cotangente Soient maintenant (M1 , A1 ) et (M2 , A2 ) deux variétés diérentiables de classe C k , avec (k ≥ 1) et une application diérentiable sur un voisinage ouvert d'un point x0 de M1 . On appelle application cotangente de f en x0 de M1 , qu'on dénote par fx∗0 , la transposée de l'application linéaire :

dfx : Tx M1 −→ Tf (x ) M2 telle que pour tout X ∈ Tx0 M1 , dfx0 (X ) est la forme linéaire

dfx0 (X ) : Df (x0 ) (M2 , R) −→ R, g 7−→ dfx0 (X )(g ) = X (gof ) ainsi, l'application cotangente de f en un point x0 est l'application t df = f ∗ : T ∗ ∗ x0 x0 y0 =f (x0 ) M2 −→ Tx0 M1

dénie par : t dfx0 (ωy0 ) = ωy0 ◦ dfx0 . A.Awane

Géométrie Diérentielle

Variétés diérentielles. Variétés riemanniennes Prérequis

Application cotangente Soient maintenant (M1 , A1 ) et (M2 , A2 ) deux variétés diérentiables de classe C k , avec (k ≥ 1) et une application diérentiable sur un voisinage ouvert d'un point x0 de M1 . On appelle application cotangente de f en x0 de M1 , qu'on dénote par fx∗0 , la transposée de l'application linéaire :

dfx : Tx M1 −→ Tf (x ) M2 telle que pour tout X ∈ Tx0 M1 , dfx0 (X ) est la forme linéaire

dfx0 (X ) : Df (x0 ) (M2 , R) −→ R, g 7−→ dfx0 (X )(g ) = X (gof ) ainsi, l'application cotangente de f en un point x0 est l'application t df = f ∗ : T ∗ ∗ x0 x0 y0 =f (x0 ) M2 −→ Tx0 M1

dénie par : t dfx0 (ωy0 ) = ωy0 ◦ dfx0 . A.Awane

Géométrie Diérentielle

Variétés diérentielles. Variétés riemanniennes Prérequis

Application cotangente Les applications cotangentes vérient : ∗ (g ◦ f )∗ = f ∗ ◦ g ∗ ; IdM = IdTM

et lorsque f est undiéomorphisme alors
∗ f −1 = (f ∗ )−1 . Soient (M , A = (Ui , ϕi )i ∈I ) une variété diérentiable de dimension n et de classe C k avec k ≥ 1 et la projection canonique

π : TM −→ M dénie par : π(x , ux ) = x . Pour toute carte (Ui , ϕi ) ∈ A , on pose

U i = π =1 (Ui ) = {(x , Xx ) ∈ TM |π(x , Xx ) = x ∈ Ui } A.Awane

Géométrie Diérentielle

Variétés diérentielles. Variétés riemanniennes Prérequis

Application cotangente Les applications cotangentes vérient : ∗ (g ◦ f )∗ = f ∗ ◦ g ∗ ; IdM = IdTM

et lorsque f est undiéomorphisme alors
∗ f −1 = (f ∗ )−1 . Soient (M , A = (Ui , ϕi )i ∈I ) une variété diérentiable de dimension n et de classe C k avec k ≥ 1 et la projection canonique

π : TM −→ M dénie par : π(x , ux ) = x . Pour toute carte (Ui , ϕi ) ∈ A , on pose

U i = π =1 (Ui ) = {(x , Xx ) ∈ TM |π(x , Xx ) = x ∈ Ui } A.Awane

Géométrie Diérentielle

Variétés diérentielles. Variétés riemanniennes Prérequis

Application cotangente Les applications cotangentes vérient : ∗ (g ◦ f )∗ = f ∗ ◦ g ∗ ; IdM = IdTM

et lorsque f est undiéomorphisme alors
∗ f −1 = (f ∗ )−1 . Soient (M , A = (Ui , ϕi )i ∈I ) une variété diérentiable de dimension n et de classe C k avec k ≥ 1 et la projection canonique

π : TM −→ M dénie par : π(x , ux ) = x . Pour toute carte (Ui , ϕi ) ∈ A , on pose

U i = π =1 (Ui ) = {(x , Xx ) ∈ TM |π(x , Xx ) = x ∈ Ui } A.Awane

Géométrie Diérentielle

Variétés diérentielles. Variétés riemanniennes Prérequis

Champs de vecteurs et

ϕ i : U i −→ ϕi (Ui ) × Rn

dénie par : ϕ i (x , Xx ) = (ϕi (x ), d ϕi (x )(Xx )) Exercice1 1 2

Vérier que (U i , ϕ i )i ∈I est un atlas de classe C k =1 qui confère à TM une structure de variété de dimension 2n. Dénir d'une manière analogue une structure de variété diérentielle sur le bré cotangent T ∗ M .

A.Awane

Géométrie Diérentielle

Variétés diérentielles. Variétés riemanniennes Prérequis

Champs de vecteurs Dénition On appelle champ de vecteurs sur M , toute application X : M −→ TM , x 7−→ Xx telle que

π žX = idM π étant la projection canonique π : TM −→ M . Autrement dit, pour tout x ∈ M , Xx ∈ TxM . On dénote par Γ(TM ) (où X(M )) l'ensemble des champs de vecteurs sur M . Muni des opérations : (X + Y )(x ) = X (x ) + Y (x ), (fX )(x ) = f (x )X (x ) , X(M ) des champs de vecteurs sur M est un F (M , R) =module, où F (M , R) est l'anneau des fonctions réelles dénies sur M . A.Awane

Géométrie Diérentielle

Variétés diérentielles. Variétés riemanniennes Prérequis

Champs de vecteurs Dénition On appelle champ de vecteurs sur M , toute application X : M −→ TM , x 7−→ Xx telle que

π žX = idM π étant la projection canonique π : TM −→ M . Autrement dit, pour tout x ∈ M , Xx ∈ TxM . On dénote par Γ(TM ) (où X(M )) l'ensemble des champs de vecteurs sur M . Muni des opérations : (X + Y )(x ) = X (x ) + Y (x ), (fX )(x ) = f (x )X (x ) , X(M ) des champs de vecteurs sur M est un F (M , R) =module, où F (M , R) est l'anneau des fonctions réelles dénies sur M . A.Awane

Géométrie Diérentielle

Variétés diérentielles. Variétés riemanniennes Prérequis

Champs de vecteurs

A.Awane

Géométrie Diérentielle

Variétés diérentielles. Variétés riemanniennes Prérequis

Exemples de champs de vecteurs Exemple

M = R2 et X le champ de vecteurs déni par : X (x , y ) = (−y , x )

A.Awane

Géométrie Diérentielle

Variétés diérentielles. Variétés riemanniennes Prérequis

Champs de vecteurs Pour tout champ de vecteurs X ∈ X (M ), associons l'application de F (M ) −→ F (M ), notée également X , et dénie par

X (f )(x ) = Xx (f ). L'application X est une dérivation de F (M ) , i.e., 1. X est R=linéaire, 2. X (fg ) = X (f )g + fX (g ). Dénition Une variété diérentiable M de dimension n est dite parallélisable si le F (M ) =module Γ(TM ) des champs de vecteurs sur M est libre de rang n, i.e., ∃X1 , · · · , Xn ∈ X (M ) , indépendants en tout point de M , tels que :

∀X ∈ X (M ) , ∃f1 , · · · , fn ∈ F (M ) tels que X = .

A.Awane

Géométrie Diérentielle

n

∑ fi Xi

i =1

Variétés diérentielles. Variétés riemanniennes Prérequis

Champs de vecteurs Pour tout champ de vecteurs X ∈ X (M ), associons l'application de F (M ) −→ F (M ), notée également X , et dénie par

X (f )(x ) = Xx (f ). L'application X est une dérivation de F (M ) , i.e., 1. X est R=linéaire, 2. X (fg ) = X (f )g + fX (g ). Dénition Une variété diérentiable M de dimension n est dite parallélisable si le F (M ) =module Γ(TM ) des champs de vecteurs sur M est libre de rang n, i.e., ∃X1 , · · · , Xn ∈ X (M ) , indépendants en tout point de M , tels que :

∀X ∈ X (M ) , ∃f1 , · · · , fn ∈ F (M ) tels que X = .

A.Awane

Géométrie Diérentielle

n

∑ fi Xi

i =1

Variétés diérentielles. Variétés riemanniennes Prérequis

Champs de vecteurs Exemples

1. Rn est parallélisable. 2. Théorème d'Adams : Les seules sphères parallélisables sont S 1 , S 3 et S 7 . Dénition

(Crochet de Lie). Pour tous X , Y

l'application

∈ Γ(TM ) , on vérie que

f ∈ F (M ) 7−→ X (Y (f ))=Y (X (f )) ∈ F (M ) est une dérivation. Le champ de vecteurs ainsi déni est appelé crochet de Lie de X , Y ∈ Γ(TM ) et est désigné par [X , Y ] :

[X , Y ](f ) := X (Y (f ))=Y (X (f )) A.Awane

Géométrie Diérentielle

Variétés diérentielles. Variétés riemanniennes Prérequis

Champs de vecteurs Exemples

1. Rn est parallélisable. 2. Théorème d'Adams : Les seules sphères parallélisables sont S 1 , S 3 et S 7 . Dénition

(Crochet de Lie). Pour tous X , Y

l'application

∈ Γ(TM ) , on vérie que

f ∈ F (M ) 7−→ X (Y (f ))=Y (X (f )) ∈ F (M ) est une dérivation. Le champ de vecteurs ainsi déni est appelé crochet de Lie de X , Y ∈ Γ(TM ) et est désigné par [X , Y ] :

[X , Y ](f ) := X (Y (f ))=Y (X (f )) A.Awane

Géométrie Diérentielle

Variétés diérentielles. Variétés riemanniennes Prérequis

Champs de vecteurs locaux

∂ ∂ ∂ x1 , · · · , ∂ xn

Exercice. 1. Montrer que 

 ∂ ∂ , =0 ∂ xi ∂ xj

2. Montrer que

[X , Y ] = ∑ i ,j

 ∂f j ∂ ∂gj i i −g f ∂ xi ∂ xi ∂ xj



pour tous X = f j ∂∂x ,Y = g j ∂∂x ∈ X (U ) . j

j

Théorème

On a : 1. [X , X ] = 0 pour tout X ∈ Γ(TM ), 2. [X , [Y , Z ]] + [Y , [Z , X ]] + [Z , [X , Y ]] = 0 pour tous X , Y , Z ∈ Γ(TM ) (Identité de Jacobi). A.Awane

Géométrie Diérentielle

Variétés diérentielles. Variétés riemanniennes Prérequis

Champs de vecteurs locaux

∂ ∂ ∂ x1 , · · · , ∂ xn

Exercice. 1. Montrer que 

 ∂ ∂ , =0 ∂ xi ∂ xj

2. Montrer que

[X , Y ] = ∑ i ,j

 ∂f j ∂ ∂gj i i −g f ∂ xi ∂ xi ∂ xj



pour tous X = f j ∂∂x ,Y = g j ∂∂x ∈ X (U ) . j

j

Théorème

On a : 1. [X , X ] = 0 pour tout X ∈ Γ(TM ), 2. [X , [Y , Z ]] + [Y , [Z , X ]] + [Z , [X , Y ]] = 0 pour tous X , Y , Z ∈ Γ(TM ) (Identité de Jacobi). A.Awane

Géométrie Diérentielle

Variétés diérentielles. Variétés riemanniennes Prérequis

Champ de vecteurs Image d'un champ de vecteurs par un diéomorphisme Soit f ∈ Di (M , N ) et X ∈ X (M ) . On appelle image du champ de vecteurs X par le diéomorphisme f le champ de vecteurs f∗ X ∈ X (N )déni par :déni par :

∀y ∈ N : (f∗ X )y = dff −1 (y ) Xf −1 (y ) Théorème

Pour tous X , Y ∈ X (M )on a : f∗ [X , Y ] = [f∗ X , f∗ Y ]

A.Awane

Géométrie Diérentielle

Variétés diérentielles. Variétés riemanniennes Prérequis

Champ de vecteurs Image d'un champ de vecteurs par un diéomorphisme Soit f ∈ Di (M , N ) et X ∈ X (M ) . On appelle image du champ de vecteurs X par le diéomorphisme f le champ de vecteurs f∗ X ∈ X (N )déni par :déni par :

∀y ∈ N : (f∗ X )y = dff −1 (y ) Xf −1 (y ) Théorème

Pour tous X , Y ∈ X (M )on a : f∗ [X , Y ] = [f∗ X , f∗ Y ]

A.Awane

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Variétés diérentielles. Variétés riemanniennes Prérequis

Formes de Pfa Dénition On appelle forme de Pfa sur M , toute application diérentiable

α : M −→ T ∗ M , x 7→ αx telle que π ◦ α = idM , π étant la projection canonique π : T ∗ M −→ M . Autrement dit, pour tout x ∈ M , αx ∈ Tx∗ M . On dénote par Γ(T ∗ M ) (où Λ1 (M ) ou Λ1 (T ∗ M )) l'ensemble des formes de Pfa sur M . Muni des opérations :

(α + β )x = αx + βx , (f α)x = f (x )αx l'ensemble Λ1 (M ) des formes de Pfa sur M est un F (M , R)=module. A.Awane

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Variétés diérentielles. Variétés riemanniennes Prérequis

Formes de Pfa A toute carte (U , ϕ = (x1 , . . . , xn )) est associé n formes de Pfa sur U dx1 , . . . , dxn , et toute forme de Pfa α sur l'ouvert U s'écrit sous la forme : n

α=

∑ fi dxi

i =1

avec f1 , . . . , fn ∈ F (U ) . Il est donc clair que Γ(T * U ) est un F (U )=module libre de rang n. Notons enn le couplage suivant

X(M ) × Λ1 (M ) −→ F (M ) telle que pour tous X ∈ X(M ) et ω ∈ Λ1 (M ), hX , ωi est la fonction : hX , ωi : x 7−→ hXx , ωx i . A.Awane

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Variétés diérentielles. Variétés riemanniennes Prérequis

Tenseurs sur une variété Soit M une v.d. de dimensionn et classe C ∞ . Pour tout x ∈ M nous dénissons l'espace vectoriel

Tx(p,q) M = Tx M ⊗ . . . ⊗ Tx M ⊗ Tx* M ⊗ . . . ⊗ Tx* M = (Tx M )⊗×p ⊗ (Tx∗ M )⊗×q Dans une base associée à un système de coordonnées (U , (xi )) au voisinage d'un point x ∈ M , T s'écrit :

T = Tji11......ji ⊗...⊗ ⊗ ⊗ dxj1 ⊗ . . . ⊗ dxj ∂ xi1 ∂ xi1 ∂ xi p

∂

∂

∂

q

q

p

on écrit tout simplement T ∈ T (p,q) M et on dit que T est un tenseur de type (p, q ) (ou p−fois contravariant et q −fois i ...i covariant) au-dessus de U . Les Tj11...j sont appelés composantes de T. p

q

A.Awane

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Variétés diérentielles. Variétés riemanniennes Prérequis

Tenseurs sur une variété Lois de transformations d'un champ de tenseurs   i ...i Pour qu'une famille Tj11...j dénisse un champ de tenseurs il faut p

q

0 et il sut que sur l'intersection  0U i ∩ Ui 0 munis respectivement des
i 0 ...i 0 i ...i coordonnées locales x i et x i les composantes Tj11...j et Tj 01...j 0 1 sont liés par :

i 0 ...i 0

Tj 01...j 0 = p

1

q

∂ x j1 ∂ x j ∂ x i1 ∂ x i i1 ...i . . . . . . T 0 0 ∂ x i j1 ...j ∂ x j1 ∂ x j ∂ x i1 q

0

0

p

p

p

q

Exemple 1. Champs de vecteurs Soit X ∈ X (M ) On a :

X = Xi

0 ∂ ∂ = Xi 0 ∂ xi ∂ xi

A.Awane

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q

p

p

q

q

Variétés diérentielles. Variétés riemanniennes Prérequis

Tenseurs sur une variété Lois de transformations d'un champ de tenseurs   i ...i Pour qu'une famille Tj11...j dénisse un champ de tenseurs il faut p

q

0 et il sut que sur l'intersection  0U i ∩ Ui 0 munis respectivement des
i 0 ...i 0 i ...i coordonnées locales x i et x i les composantes Tj11...j et Tj 01...j 0 1 sont liés par :

i 0 ...i 0

Tj 01...j 0 = p

1

q

∂ x j1 ∂ x j ∂ x i1 ∂ x i i1 ...i . . . . . . T 0 0 ∂ x i j1 ...j ∂ x j1 ∂ x j ∂ x i1 q

0

0

p

p

p

q

Exemple 1. Champs de vecteurs Soit X ∈ X (M ) On a :

X = Xi

0 ∂ ∂ = Xi 0 ∂ xi ∂ xi

A.Awane

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q

p

p

q

q

Variétés diérentielles. Variétés riemanniennes Prérequis

Tenseurs sur une variété On a :

∂ ∂ xi ∂ = ∂ xi ∂ xi ∂ xi0 0

et, donc,

Xi D'où

i ∂ i ∂ x ∂ = X i0 ∂ = X 0 ∂ xi ∂ xi ∂ xi0 ∂ xi 0

0 0 ∂ xi i i X = iX ∂x

Un champ de vecteurs est un tenseur 1-fois contravariant (ou du type) (1 ;0).

A.Awane

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Variétés diérentielles. Variétés riemanniennes Prérequis

Groupe à un paramètre de diéomorphismes Soit (M , A = (Ui , φi ))i ∈I une variété diérentiable de dimension n. Dénition On appelle groupe à un paramètre de diéomorphismes de M , une application diérentiable ϕ : R×M −→ M satisfaisant aux propriétés suivantes : 1

pour tout t ∈ R, l'application ϕt dénie par :

ϕt : x 7−→ ϕ(t , x ) est un diéomorphisme de la variété M , 2

l'application t 7−→ ϕt est un homomorphisme de groupes de (R, +) dans (Di (M ), ◦), Di (M ) étant l'ensemble des diéomorphismes de la variété M . A.Awane

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Variétés diérentielles. Variétés riemanniennes Prérequis

Groupe à un paramètre de diéomorphismes Donc si ϕ est un groupe à un paramètre de diéomorphismes de

M , alors pour tous t , t 0 ∈ R on a : 1 2 3

ϕt +t 0 = ϕt ◦ ϕt 0 ϕ0 = idM , (ϕt )=1 = ϕ−t

Exemple 1

Considérons le champ de vecteurs linéaire sur Rn déni par : X (x ) = Ax ,, où A est une matrice carrée d'ordre n à coecients réels. Pour tous t ∈ R et x ∈ Rn , l'application dénie par : !

ϕ(t , x ) = ϕt (x ) =

i

t ∑ i ! Ai x = exp(tA)x ∞

i =0

est un groupe à un paramètre de l'espace Rn . A.Awane

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Variétés diérentielles. Variétés riemanniennes Prérequis

Groupe à un paramètre de diéomorphismes Exemple 2 1

 Soit M la sphère S 2 = (x , y , z ) ∈ R3 | x 2 + y 2 + z 2 = 1 . L'application ϕ : R×M −→ M dénie par :    cos t − sin t 0 x ϕ (t , (x , y , z )) =  sin t cos t 0   y  0 0 1 z est un groupe à paramètre de diéomorphisme de la sphère S 2 .

2

Soient M = R2 et ϕ : R×M −→ M l'application dénie par :

ϕ(t , (x , y )) = (t + x , y ) est un groupe à un paramètre de diéomorphisme de R2 . A.Awane

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Variétés diérentielles. Variétés riemanniennes Prérequis

Intégration d'un champ de vecteurs Orbite d'un groupe à un paramètre Soit ϕ un groupe à un paramètre de diéomorphismes de M . On appelle orbite de x , l'ensemble {ϕ(t , x ) | t ∈ R} .

A.Awane

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Variétés diérentielles. Variétés riemanniennes Prérequis

Champ de vecteurs engendré par un groupe à un paramètre Pour tout x ∈ M , on pose

X (x ) =

d (ϕt (x )) dt |t =0

donc X (x ) est le vecteur tangent à la courbe t 7−→ ϕ(t , x ) au point 0. Ceci nous permet de dénir le champ de vecteurs

X : x 7−→

d (ϕt (x )) dt |t =0

Pour tout t0 ∈ R, on a :

d (ϕs (x )) d (ϕt0 +t (x )) d (ϕt (ϕt0 (x ))) = = = X (ϕt0 (x )) ds |s =t0 dt dt |t =0 |t =0 A.Awane

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Variétés diérentielles. Variétés riemanniennes Prérequis

Champ de vecteurs engendré par un groupe à un paramètre par suite

d (ϕt0 (ϕt (x ))) d (ϕt (x )) = d (ϕt0 )x (Xx ) == d (ϕt0 )x dt |t =0 dt |t =0 

=



d (ϕt0 +t (x )) d (ϕt (ϕt0 (x ))) = = X (ϕt0 (x )) dt dt |t =0 |t =0

Dénition X est appelé champ paramètre ϕ .

de vecteurs engendré par le groupe à un

A.Awane

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Variétés diérentielles. Variétés riemanniennes Prérequis

Flot local d'un champ de vecteurs Flot local d'un champ Soit X un champ de vecteurs sur une variété diérentiable M . On appelle ot local de X en un point x0 de M , la donnée d'un intervalle J de M contenant 0, d'un ouvert U 0 de M et d'une application ϕ : J × U 0 −→ M ; (t , x ) 7−→ ϕ(t , x ) telle que pour tout x ∈ U 0 on ait :

d (ϕt (x )) = X (x ) dt |t =0 avec ϕ(0, x ) = x .

A.Awane

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Variétés diérentielles. Variétés riemanniennes Prérequis

Flot local d'un champ de vecteurs

A.Awane

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Variétés diérentielles. Variétés riemanniennes Prérequis

Intégration d'un champ de vecteurs Courbe intégrale d'un champ de vecteurs Soit X un champ de vecteurs sur M . On appelle courbe intégrale (ou trajectoire) de X , toute courbe diérentiable γ d'une partie I de R dans M telle que

γ 0 (t ) = X (γ(t )) , ∀t ∈ I Étant donné une trajectoire γ : I −→ M de X telle que γ(I ) soit contenu dans le domaine U d'une carte (x1 , . . . , xn ) . On a donc

γ 0 (t )(xi ) = X i (γ(t )) pour tout i = 1, . . . , n, où X = ∑ni=1 X i ∂∂x ; soit, i


d (xi ◦ γ) (t ) = X i (γ(t )) = X i ◦ ϕ =1 ((x1 ◦ γ)(t ), . . . , (xn ◦ γ)(t )), dt A.Awane

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Variétés diérentielles. Variétés riemanniennes Prérequis

Intégration d'un champ de vecteurs Courbe intégrale d'un champ de vecteurs Soit X un champ de vecteurs sur M . On appelle courbe intégrale (ou trajectoire) de X , toute courbe diérentiable γ d'une partie I de R dans M telle que

γ 0 (t ) = X (γ(t )) , ∀t ∈ I Étant donné une trajectoire γ : I −→ M de X telle que γ(I ) soit contenu dans le domaine U d'une carte (x1 , . . . , xn ) . On a donc

γ 0 (t )(xi ) = X i (γ(t )) pour tout i = 1, . . . , n, où X = ∑ni=1 X i ∂∂x ; soit, i


d (xi ◦ γ) (t ) = X i (γ(t )) = X i ◦ ϕ =1 ((x1 ◦ γ)(t ), . . . , (xn ◦ γ)(t )), dt A.Awane

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Variétés diérentielles. Variétés riemanniennes Prérequis

Intégration d'un champ de vecteurs qu'on écrit tout simplement

dxi = X i (x1 , . . . , xn ), dt ceci montre que γ est solution du système d'équations diérentielles suivant :  dx 1 1   dt = X (x1 , . . . , xn ) ... ...   dx n dt = X (x1 , . . . , xn ) n

Puisque X est de classe C ∞ , le théorème d'existence et d'unicité des solutions d'une équation diérentielle, arme que pour tout x ∈ M , pour toute carte (U , x1 , . . . , xn ) en x, il existe ε > 0, un voisinage ouvert V de x et une application diérentiable

φ : ]−ε, ε[ × V −→ U A.Awane

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Variétés diérentielles. Variétés riemanniennes Prérequis

Intégration d'un champ de vecteurs telle que pour tous x ∈ V et i = 1, . . . , n, on ait :

φ (0, x ) = x et

d (xi (φ (t , x ))) = Xi (φ (t , x )) dt Soient s , t ∈ ]−ε, ε[ tels que cs + t b < ε et x ∈ V , on a : d (φs +t (x )) d (φ u (x )) = = X (φ (s , x )) . dt du |u=s |t =0 L'unicité de la solution donne

φs +t = φs ◦ φt De même on a : 1 φ0 = idM , 2 (φt )=1 = φ=t . A.Awane

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Variétés diérentielles. Variétés riemanniennes Prérequis

Intégration d'un champ de vecteurs Soit X un champ de vecteurs diérentiable sur M . Pour tout x ∈ M , on désigne par J (x ) le plus grand intervalle ouvert de R sur lequel est déni la courbe intégrale ux satisfaisant à ux (0) = x . Posons

D(X ) = L'application dénie par :

[

x ∈M

(J (x ) × x ).

β : D(X ) −→ M β (t , x ) = ux (t )

où

ux : J (x ) −→ M est la courbe intégrale maximale de X de condition initiale x . L'application β est appelée ot global de X et D(X ) est appelé domaine de dénition de ce champ de vecteurs. A.Awane

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Variétés diérentielles. Variétés riemanniennes Prérequis

Intégration d'un champ de vecteurs Dénition Un champ de vecteurs X est dit complet s'il est engendré par un groupe à un paramètre de diéomorphismes de M , i.e. l'application ψ est dénie sur R × M . Théorème

Si M est une variété diérentiable compacte, alors tout champ de vecteurs sur M est complet. Démonstration. Voir cours Awane Intégrales premières Soient M une variété diérentiable de dimension n et X un champ de vecteurs de sur M . On appelle intégrale première du champ de vecteurs X , toute application diérentiable f : M −→ R telle que

X (f ) = 0 . A.Awane

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Variétés diérentielles. Variétés riemanniennes Prérequis

Intégration d'un champ de vecteurs Théorème Soit X ∈ X(M ). On a : 1

2

Pour tout x ∈ M tel que Xx 6= 0. il existe un ouvert U de M contenant x et n=1 intégrales premières f1 , . . . , fn=1 de X indépendantes en tout point de U. 2. Pour toutes intégrales premières f1 , ..., fn=1 de X , indépendantes en tout point de U, et pour toute application Φ : Rn=1 −→ R de classe C 1 , la fonction Φ(f1 , ..., fn=1 ) est une intégrale première de X . et inversement toute intégrale première s'écrit sous la forme Φ(f1 , ..., fn=1 ) .

Démonstration. Voir Awane-CEL A.Awane

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Variétés diérentielles. Variétés riemanniennes Prérequis

Intégration d'un champ de vecteurs Théorème de redressement d'un champ de vecteurs Soient X un champ ½ ½ de vecteurs sur M et u ∈ M tel que Xu 6= 0. Alors il existe une carte (U , x1 , ..., xn ) autour de x tel que X|U = ∂∂x1 . Dérivée de Lie d'un champ de vecteurs Soit (M , A ) une variété diérentiable de dimension n et de classe C k (k ≥ 1). Considérons un champ de vecteurs X sur M et un ot local (ϕt )|t |<ε de X déni sur un voisinage ouvert U d'un point x ∈ M et soit Y ∈ X(M ) un champ de vecteurs sur M . Pour tout |t | < ε on a ∆Yt = d (ϕ=t )ϕ (x ) Y ϕt (x )=Yx ∈ Tx M et t

(LX Y )x = lim

t →0

∆ Yt

t

=

 d  d (ϕ=t )ϕ (x ) Y ϕt (x ) ∈ Tx M dt

A.Awane

t

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Variétés diérentielles. Variétés riemanniennes Prérequis

Intégration d'un champ de vecteurs Théorème de redressement d'un champ de vecteurs Soient X un champ ½ ½ de vecteurs sur M et u ∈ M tel que Xu 6= 0. Alors il existe une carte (U , x1 , ..., xn ) autour de x tel que X|U = ∂∂x1 . Dérivée de Lie d'un champ de vecteurs Soit (M , A ) une variété diérentiable de dimension n et de classe C k (k ≥ 1). Considérons un champ de vecteurs X sur M et un ot local (ϕt )|t |<ε de X déni sur un voisinage ouvert U d'un point x ∈ M et soit Y ∈ X(M ) un champ de vecteurs sur M . Pour tout |t | < ε on a ∆Yt = d (ϕ=t )ϕ (x ) Y ϕt (x )=Yx ∈ Tx M et t

(LX Y )x = lim

t →0

∆ Yt

t

=

 d  d (ϕ=t )ϕ (x ) Y ϕt (x ) ∈ Tx M dt

A.Awane

t

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Variétés diérentielles. Variétés riemanniennes Prérequis

Intégration d'un champ de vecteurs L'application x 7−→ (LX Y )x dénit un champ de vecteurs sur M , appelé dérivée de Lie de Y par rapport à X . Propriétés Pour tous X , Y , Z ∈ X(M ) et f ∈ F (M ), on a : 1 2

LX (Y + Z ) = LX Y + LX Z ,

LX (fY ) = f LX (Y ) + X (f )Y .

Dans les notations ci-dessus, on appelle dérivée de Lie de la fonction f suivant le champ de vecteurs X , qu'on note LX f la fonction :

x 7−→ (LX f )(x ) =

d d ((φt )∗x f )t =0 = (f (φt (x )))t =0 dt dt

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Variétés diérentielles. Variétés riemanniennes Prérequis

Intégration d'un champ de vecteurs L'application x 7−→ (LX Y )x dénit un champ de vecteurs sur M , appelé dérivée de Lie de Y par rapport à X . Propriétés Pour tous X , Y , Z ∈ X(M ) et f ∈ F (M ), on a : 1 2

LX (Y + Z ) = LX Y + LX Z ,

LX (fY ) = f LX (Y ) + X (f )Y .

Dans les notations ci-dessus, on appelle dérivée de Lie de la fonction f suivant le champ de vecteurs X , qu'on note LX f la fonction :

x 7−→ (LX f )(x ) =

d d ((φt )∗x f )t =0 = (f (φt (x )))t =0 dt dt

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Variétés diérentielles. Variétés riemanniennes Prérequis

Intégration d'un champ de vecteurs Les calculs qui précèdent montrent que

LX f = X (f ). En se Plaçant dans le domaine U muni d'un système de coordonnées locales (x1 , ..., xn ), on obtient :

L et

∂ ∂ xi

f=

∂ f ∂ xi

LX Y = =LY X = [X , Y ].

A.Awane

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Variétés diérentielles. Variétés riemanniennes Prérequis

Intégration d'un champ de vecteurs Les calculs qui précèdent montrent que

LX f = X (f ). En se Plaçant dans le domaine U muni d'un système de coordonnées locales (x1 , ..., xn ), on obtient :

L et

∂ ∂ xi

f=

∂ f ∂ xi

LX Y = =LY X = [X , Y ].

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Variétés diérentielles. Variétés riemanniennes Prérequis

Bibliographie

A. Auteur.

Livre sur quelque chose. Une Edition, 1990.

S. Quelqu'un. Et ceci et cela.

Journal de ceci et cela. 2(1) :50100, 2000.

A.Awane

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