J. Ramanujan Math. Soc. 32, No.4 (2017) 355–396
Surconvergence et classicité : le cas Hilbert Vincent Pilloni1 et Benoît Stroh2 1 CNRS,
Ecole normale supérieure de Lyon, Lyon, France e-mail:
[email protected] 2 Institut de Mathématiques de Jussieu, Université Pierre et Marie Curie, Paris, France e-mail:
[email protected]
Communicated by: Prof. Chandrasekhar Khare Received: July 6, 2016 Abstract. Nous démontrons un critère de classicité pour les formes surconvergentes de Hilbert associées à une extension totalement réelle F de Q et à un nombre premier non ramifié dans F. Ceci permet par exemple de caractériser les points classiques des variétés de Hecke associées aux formes de Hilbert pour F.
1. Introduction On étudie dans cet article la classicité de formes modulaires surconvergentes de Hilbert associées à un corps totalement réel F de degré d ≥ 2 et à un nombre premier p non ramifié dans F. Nous utilisons pour cela les techniques de prolongement analytique développées par Buzzard et Kassaei. Fixons un plongement F → C p et notons v la valuation de C p normalisée par v( p) = 1. Commençons par supposer p inerte dans F. On montre alors le théorème suivant. Théorème 1.1. Soit N ≥ 5 premier à p et f une forme modulaire de Hilbert surconvergente de poids κ = (k1 , k2 , . . . , kd ) ∈ Zd , de niveau 1 (N ) ∩ 0 ( p) propre pour l’opérateur U p de valeur propre a p ∈ C p . Si v(a p ) < infdi=1 (ki ) − d alors f est classique de niveau 1 (N ) ∩ 0 ( p). On dispose également d’un énoncé dans le cas où p est non ramifié mais pas nécessairement inerte. Connaissant le cas inerte, la démonstration du cas non ramifié général suit les lignes de [Sa], qui traite le cas où p est totalement décomposé dans F. De même en adaptant des arguments de [Bu] et [Ka], on en déduit un théorème de classicité pour les formes surconvergentes de niveau arbitraire en p. Avant de présenter ces résultats, 355