Prof. Guillermo Moreno – Análisis Matemático I – Cálculo Diferencial 2014

Análisis Matemático I – Ejemplo – Optimización Hallar las dimensiones del rectángulo de mayor área que puede inscribirse en el segundo cuadrante dentro de la región limitada por la parábola 𝑥 = 𝑦 2 − 4𝑦 y la parte positiva del eje 𝑦. a. Modelo matemático: 𝐴 = á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑟𝑒𝑐𝑡á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 ∴ 𝐴 = 𝑏ℎ ∴ 𝐴 = 𝑥𝑇 − 𝑥𝑃 𝑦𝑇 − 𝑦𝑃 ∎ 𝑥 = 𝑦 2 − 4𝑦 ∴ 𝑦 = 2 ± 4 + 𝑥 ∎ 𝐴 = 𝑥𝑇 − 𝑥𝑃 𝑦𝑇 − 𝑦𝑃 ∴ 𝐴 = 0−𝑥

2+ 4+𝑥 − 2− 4+𝑥

𝐴 = −𝑥 2 + 4 + 𝑥 − 2 + 4 + 𝑥 b. Extremos relativos: 𝑑𝐴 𝐴 = −2𝑥 4 + 𝑥 ∴ = −2 𝑑𝑥

∴ 𝐴 = −2𝑥 4 + 𝑥 ∴ 𝑥 ∈ −4,0

4+𝑥+

𝑥 2 4+𝑥

= −2

2 4+𝑥 +𝑥 2 4+𝑥

= −2

8 + 3𝑥 2 4+𝑥

=0 ∴

8 8 + 3𝑥 = 0 ∴ 𝑥 = − ≅ −2,67 3 c. Extremos absolutos: (última comparación) 𝑥 = −4 ∴ 𝐴 = 0 8 32 𝑥=− ∴ 𝐴= 3 ≅ 6,158 3 9 𝑥=0 ∴ 𝐴=0 d. Conclusión: El área máxima de 𝐴 =

32 9

8

3 se logra cuando 𝑥 = − 3 . Dimensiones del rectángulo: 8 4 𝑙𝑎𝑟𝑔𝑜 = 0 − 𝑥 ∴ 𝑙𝑎𝑟𝑔𝑜 = ∴ 𝑎𝑙𝑡𝑜 = 2 4 + 𝑥 ∴ 𝑎𝑙𝑡𝑜 = 3 3 3

Prof. Guillermo Moreno | Universidad de Carabobo – Facultad de Ingeniería – Valencia – Venezuela

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