การสร้ างอัตราส่ วนทองอย่ างง่ าย 5 ขั้นในการแบ่ งส่ วนของเส้ นตรงเพือ่ สร้ างอัตราส่ วนทอง A Simple Construction of the Golden Ratio and Another 5-step Division of a Segment in the Golden Section นางสาวอัญชลี มณีบุตร รหัสนิสิต 55990011

1

อาจารทีป่ รึกษา ดร. อรรณพ แก้ วขาว

การสร้ างอัตราส่ วนทองอย่ างง่ าย 5 ขั้นในการแบ่ งส่ วนของเส้ นตรงเพือ่ สร้ างอัตราส่ วนทอง

งานวิจยั นี้ได้นาเสนอวิธีการสร้างอัตราส่ วนทองใน 2 วิธี วิธีการ แรก คือ สร้างอัตราส่ วนทองจากรู ปสี่ เหลี่ยมคางหมู วิธีการสอง คือ การแบ่ง ส่ วนของเส้นตรงด้วย 5 ขั้นตอน โดยใช้สันตรงและวงเวียน

2

ความรู้ พนื้ ฐาน

3

อัตราส่ วนทอง a

b a



ab

b

a

a 1  1 a a a

2

 a 1  0 1  a  2

5

1 

5

a 

2 a b



1 2

5

4

อัตราส่ วนทอง ab a

a  b

อัตราส่วนทองที่ได้จะมีค่า a ab



b a



5 1 2

5 1 2

5

การสร้ างอัตราส่ วนทองอย่างง่ าย

งานวิจยั ที่ 1

ทฤษฎีบท ให้ PQRS เป็ นรู ปสี่ เหลี่ยมคางหมู โดยมี PQ // RS มี M,N อยูบ่ นส่วน ของเส้นตรง SP และ RQ ตามลาดับ และ MN // PQ ถ้า MN 

a

2

b

2

และ b=3a จะได้

2

S

M

P

SM



SP

5 1 2

เมื่อ PQ = b, RS = a

R

N Q

6

งานวิจัยที่ 1 การสร้ างอัตราส่ วนทองอย่ างง่ าย S

a

V

M b-a

P

R

N a

W

Q

สร้าง SW // RQ ดังนั้น PW = b-a และ WQ = VN = a พิจารณา ∆ 𝑆𝑃𝑊 และ ∆ 𝑆𝑀𝑉 ดังนั้น ∆ 𝑆𝑃𝑊 ~ ∆ 𝑆𝑀𝑉 จะได้

𝑆𝑀 𝑆𝑃

=

𝑀𝑉 𝑃𝑊

=

𝑎2 +𝑏2 −𝑎 2

𝑏−𝑎

=

𝑎2 +9𝑎2 −𝑎 2

3𝑎−𝑎

=

5−1 2

7

งานวิจัยที่ 1 การสร้ างอัตราส่ วนทองอย่ างง่ าย

E C I

J

F

H

D

A

G

B

8

งานวิจัยที่ 1 การสร้ างอัตราส่ วนทองอย่ างง่ าย สี่ เหลี่ยมคางหมู ABCD, AD  a, BC  b โดย และส่ วนของเส้นตรง BC // JG E

b  3a

C I

J

F

H

D

A

G

B

เนื่องจาก รูปสามเหลี่ยม BCE เป็ นสามเหลี่ยมมุมฉาก จากทฤษฎีบทพีทาโกรัส จะได้ BE = 𝑎2 + 𝑏2 1

เนื่องจาก BF=2 𝐵𝐸 ดังนัน้ BF =

𝑎2 +𝑏2 2

9

งานวิจัยที่ 1 การสร้ างอัตราส่ วนทองอย่ างง่ าย E C I

J

F D

A

G

พิจารณา รู ปสามเหลี่ยม BFH เป็ นสามเหลี่ยมมุมฉาก จากอัตราส่วนตรี โกณมิติ พิจารณาที่มุม B H 𝐵𝐹 จะได้ cos 45° = 𝐵𝐻 2 2

B

=

𝐵𝐻 =

JG  BI  BH 

ดังนั้น

 2   

AG  AB

a

2

b 2

2

   

5 1 2

𝑎2 +𝑏2 2

𝐵𝐻

2∙ a

2

𝑎2 +𝑏 2 2

b

2

2

10

งานวิจยั ที่ 2

5 ขั้นในการแบ่ งส่ วนของเส้ นตรงเพือ่ สร้ างอัตราส่ วนทอง

c1

F

D

E

G A

B

c2 C

c3

11

5 ขั้นในการแบ่ งส่ วนของเส้ นตรงเพือ่ สร้ างอัตราส่ วนทอง

งานวิจยั ที่ 2

ต่ อ BA ไปตัดวงกลม c3 ที่ H ให้ CD ตัด AB ที่ I และให้ F ตั้งฉากกับ J บน AB สามเหลีย่ มมุมฉาก HFB โดยมี BH = 4 , BF = 1 เนื่องจาก FBH ~ JBF 1 1 2 จะได้ BF = BJ x BH นั้นคือ BJ  ดังนั้น IJ  4 4 เนื่องจาก ∆JBF เป็ นสามเหลีย่ มมุมฉาก จากทฤษฎีบทพีทาโกรัส จะได้ JF



1 4

15

D F

H E

c3

A

I G J B

c1 C

c2

12

งานวิจยั ที่ 2

5 ขั้นในการแบ่ งส่ วนของเส้ นตรงเพือ่ สร้ างอัตราส่ วนทอง เนื่องจาก จะได้

D F

H

E

c3

A

GJF ~ GIC

I G J B

1

c1 C

IG

c2

3

IC

2   1 GJ JF

 15

2 15

4

13

งานวิจยั ที่ 2 จาก เนื่องจาก จะได้

5 ขั้นในการแบ่ งส่ วนของเส้ นตรงเพือ่ สร้ างอัตราส่ วนทอง IG GJ

2  15

จัดรู ปใหม่ จะได้

IJ  IG  GJ 5 IJ  IG  IG 2 2 IG  5IG IJ  H 2  2 5  IJ    IG  2  c3 IG  IG 

2 IJ 2 5 52 2

GJ 

5IG 2

D F

E

A

I G J B

c1 C

c2

14

งานวิจยั ที่ 2

5 ขั้นในการแบ่ งส่ วนของเส้ นตรงเพือ่ สร้ างอัตราส่ วนทอง

ดังนัน้

AG 

1 5 1  IG  2 2

นั้นจะแสดงให้ เห็นว่ า G แบ่ ง AB ในอัตราส่ วนทอง

AG 5 1  AB 2

15

จบการนาเสนอคะ

16