UNIVERSITATEA DE VEST DIN TIMIS¸OARA ˘ S¸I INFORMATICA ˘ FACULTATEA DE MATEMATICA Concurs de admitere la Facultatea de Matematic˘ a ¸si Informatic˘ a Sesiunea Iulie 2017 Solut¸ii ¸si barem de corectare la Matematic˘ a 

0 1 Subiectul. 1 Fie A =  0 0 1 0

  0 1 1 , iar I3 =  0 0 0

0 1 0

 0 0 . 1

i) Calculat¸i A2 , A3 ¸si I3 + A + A2 . ii) Determinat¸i suma S = I3 + A + A2 + A3 + . . . + A2017 iii) Ar˘ atat ¸i c˘ a  x X= z y

dac˘ a X∈ M3 (C) atunci AX = XA dac˘ a ¸si numai dac˘ a exist˘ a x, y, z ∈ C astfel ˆıncˆ at y z x y . z x

a ε este una din solut¸iile ecuat¸iei x2 +x+1 = 0, iar B = I3 +εA+ε2 A2 , ar˘ atat¸i c˘ a B n = 3n−1 B, iv) Dac˘ ∗ pentru orice n ∈ N . Barem: Start . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1p) 

0 0 i) Calculeaz˘a corect A2 =  1 0 0 1

  1 1 0 , A3 = I3 ¸si I2 + A + A2 =  1 0 1

1 1 1

 1 1 , . . . . . . . . . . . . . . . (1p) 1

ii) Justific˘a faptul c˘a A3n = I3 , pentru orice n ∈ N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1p) 671 ∑

A3k (I3 + A + A2 ) = I3 + A + 672A2 (I3 + A + A2 ) = I3 + A + 672(I3 + A + A2 )   673 673 672 = 673(I3 + A + A2 ) − A2 =  672 673 673  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .(1p) 673 672 673   x y z iii) Arat˘a c˘a toate matricile de forma X =  z x y  comut˘a cu A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1p) y z x   x y z Luˆand X =  a b c  ∈ M3 (C), din AX = XA deduce c˘a b = t = x, c = u = y ¸si a = v = z . (2p) u v t Obt¸ine S = I3 + A + A2

k=0

iv) Justific˘a ε3 = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1p) Calculeaz˘a ¸si obt¸ine B 2 = 3B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1p) Demonstreaz˘a inductiv c˘a B n = 3n−1 B, pentru orice n ∈ N∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1p) Subiectul. 2 Pentru a ∈ R definim pe R legile de compozit¸ie x⊕y

= x+y+a

x⊙y

= xy + a(x + y) + a2 − a

i) Ar˘ atat¸i c˘ a, pentru orice a ∈ R, ecuat¸ia x ⊕ x = x ⊙ x are dou˘ a solut¸ii reale distincte. ii) Aflat¸i structura generat˘ a pe R de aceste dou˘ a legi de compozit¸ie.

Barem: Start . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1p) i) Ecuat¸ia x ⊕ x = x ⊙ x este echivalent˘ a cu x2 + 2(a − 1)x + a2 − 2a = 0 ¸si are ∆ = 4 > 0, deci solut¸iile reale distincte (x1 = −a, x2 = 2 − a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1p) ii) Observ˘am(c˘a pentru ) a = 0 cele dou˘a legi de compozit¸ie devin adunarea ¸si ˆınmult¸irea numerelor reale, prin urmare R, ⊕, ⊙ este corp comutativ, ceea ce sugereaz˘a verificarea axiomelor corpului pentru cele dou˘a legi. Pentru orice a ∈ R, arbitrar fixat, avem: - legea ”⊕” este asociativ˘a, comutativ˘ a, admite element neutru pe ”−a” ¸si orice element din R este simetrizabil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (3p) - legea ”⊙” este asociativ˘a , comutativ˘ a, are element neutru ”1 − a” ¸si orice element din R diferit de ”−a” este simetrizabil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (3p) - legea ”⊙” este distribitiv˘a fat¸˘ a de legea ”⊕” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1p) ( ) Prin urmare R, ⊕, ⊙ este un corp comutativ, pentru orice a ∈ R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1p) ( ) Obs: Eventualul r˘aspuns ” R, ⊕, ⊙ este inel comutativ” se puncteaz˘a analog.

Subiectul. 3 Se consider˘ a funct¸ia f : (0, ∞) → R, f (x) =

ln x . x

i) Determinat¸i asimptotele la graficul funct¸ie f . a f (x) ≤ ii) Demonstrat¸i c˘

1 , pentru orice x ∈ (0, ∞). e

iii) Comparat¸i numerele eπ ¸si π e . iv) Determinat¸i intervalele de convexitate, respectiv concavitate, ale funct¸iei f . ∫e v) Calculat¸i

f (x) dx. 1

Barem: Start . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1p) i) Avem lim

x↘0

ln x = −∞, deci dreapta Oy este asimptot˘a vertical˘a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (0,5p) x

ln x = 0, rezult˘a c˘a Ox este asimptot˘a orizontal˘a spre +∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (0,5p) x 1 − ln x , pentru orice x ∈ (0, ∞) ¸si deci f ′ (x) > 0, pentru orice x ∈ (0, e), iar f ′ (x) < 0, ii) Avem f ′ (x) = x2 pentru orice x ∈ (e, ∞) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1p) Cum lim

x→∞

1 , pentru e orice x ∈ (0, ∞) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1p) Rezult˘a c˘a x = e este punct de maxim global pentru funct¸ia f ¸si, prin urmare, f (x) ≤ f (e) =

iii) Fie x1 = e ¸si x2 = π. Cum x1 , x2 ∈ [e, ∞) cu x1 < x2 , din monotonia funct¸ie f , rezult˘a c˘a f (e) > f (π) ln e ln π sau > , ceea ce este echivalent cu eπ > π e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (2p) e π 2 ln x − 3 iv) Avem f ′′ (x) = , de unde obt¸inem c˘a funct¸ia f este concav˘a pe intervalul (0, e3/2 ] ¸si convex˘a x3 pe intervalul [e3/2 , ∞) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (2p) ∫e v) 1

ln x dx = x

∫e 1

e ( )′ 1 1 1 ln x ln x dx = ln2 x = (1 − 0) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (2p) 2 2 2 1

Subiectul. 4 Se consider˘ a funct¸iile f, F : R → R, f (x) = xex ¸si F (x) = (x − 1)ex . i) S˘ a se verifice c˘ a F este o primitiv˘ a a funct¸ie f . ii) S˘ a se calculeze aria suprafet¸ei plane determinate de graficul funct¸ie f , axa Ox ¸si dreptele de ecuat¸ie x = −1 ¸si x = 1. ( )2 ∫x f (t)f ′′ (t) − f ′ (t) x+1 iii) S˘ a se demonstreze c˘ a dt = − 2, pentru orice x > 1. f 2 (t) x 1

Barem: Start . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1p) i) Calculeaz˘a F ′ ¸si observ˘a c˘a F ′ = f pe R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1p) ∫1 ii) A =

∫0 |f (x)| dx = −

−1

∫1 f (x) dx +

−1

0

)2 ( ′ )′ f (t)f (t) − f (t) f (t) iii) Observ˘a = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (2p) 2 f (t) f (t) ( )2 ∫x f (t)f ′′ (t) − f ′ (t) f ′ (t) x x+1 Cu formula Leibnitz-Newton se obt¸ine c˘a dt = − 2 . . . . . . . . (3p) = 2 f (t) f (t) 1 x ′′

(

( 1) . . . . . . . . . . . . . (3p) f (x) dx = F (−1) − 2F (0) + F (1) = 2 1 − e

′

1

Not˘ a: Orice alt˘a variant˘ a de rezolvare corect˘a se puncteaz˘a corespunz˘ator.