Benchmarking Linear Logic Translations Carlos Olarte

Valeria de Paiva

Universidade Federal do Rio Grande do Norte, Brazil

Nuance Communications, USA

[email protected]

[email protected]

Elaine Pimentel∗

Giselle Reis†

Universidade Federal do Rio Grande do Norte, Brazil

Carnegie Mellon University, Qatar

[email protected]

[email protected]

Benchmarking automated theorem proving (ATP) systems using standardized problem sets is a wellestablished method for measuring their performance. However, the availability of such libraries for non-classical logics is very limited. In this work we seek to start a discussion of benchmarks for Girard’s linear logic and some of its variants. For some quick bootstrapping of the collection of problems, we use translations of the collection of Kleene’s intuitionistic theorems in the traditional monograph Introduction to Metamathematics. We analyze four different translations of intuitionistic logic into linear logic and compare their proofs using linear logic based provers with focusing.

1

Introduction

Benchmarking automated theorem proving (ATP) systems using standardized problem sets is a wellestablished method for measuring their performance. However, the availability of such libraries for non-classical logics is very limited. For intuitionistic logic several small collections of formulas have been published and used for testing ATP systems and Raths, Otten and Kreitz [15] consolidated and extended these small sets to provide the ILTP Library http://www.cs.uni-potsdam.de/ti/iltp/. For modal systems there is at least the QMLTP library [18, 14]. In this paper, we aim to start the discussion for a similar benchmark for Girard’s linear logic [6] and some of its variants. Linear logic is a substructural logic that is a refinement of classical and intuitionistic logic, combining the dualities of the former with many of the constructive properties of the latter. Ideas from linear logic have been influential in fields such as programming languages, game semantics, quantum physics, as well as linguistics, particularly because of its emphasis on resource-boundedness, duality, and interaction. In particular, linear logic has had an important role as a logical framework for specifying and reasoning about logical and computational systems (the list is long; some examples are [3, 11, 4, 13]). As a consequence, several provers have been built for linear logic for different purposes.1 However, so far, there has been no discussion of the efficiency or adequacy of these provers. In this work we set up to construct a collection of propositional tests, and to verify their proofs, as a first approximation for the desired benchmark. When designing a benchmark, one has to carefully decide on a set of formulas that is meaningful in, at least, three ways: (1) the formulas should be able to distinguish several different characteristics ∗ Olarte

and Pimentel are supported by CAPES, CNPq and the project FWF START Y544-N23.

† This paper was made possible by grant NPRP 7-988-1-178 from the Qatar National Research Fund (a member of the Qatar

Foundation). The statements made herein are solely the responsibility of the authors. 1 Listing some: LLprover: http://bach.istc.kobe-u.ac.jp/llprover/, linTAP: http://www.leancop.de/ lintap/, LL prover explorer: https://github.com/andykitchen/linear-logic, Lolli: http://www.lix. polytechnique.fr/~dale/lolli/, Alcove: http://cic.puj.edu.co/~caolarte/alcove2/. Submitted to: Linearity & TLLA 2018

c C. Olarte, V. de Paiva, E. Pimentel & G. Reis

This work is licensed under the Creative Commons Attribution License.

2

Linear Logic

of the logical systems and provers; (2) the set should contain important theorems and paradigmatic formulas (non necessarily provable); and (3) the set should be large enough, so to serve as a comparison for different provers and systems. In this work, we will not be much concerned about (3), but rather concentrate on (1) and (2), benchmarking translations of a set of intuitionistic formulas into linear logic. It turns out that propositional linear logic (LL) has many aspects that need to be considered. For example, one could adopt its classical (CLL) or intuitionistic (ILL) versions. Hence one important task would be to determine the difference in provability between them, and this is already far from trivial. While it is possible to differentiate the syntax of formulas and the presentation of the inference rules by the standard restriction on the right context to having at most one formula in ILL2 , FILL [2] is a multiple-conclusion system with the same connectives and rules as in CLL, but restricting the form of the application of such rules. Restricting ourselves to formulas with the same syntax in classical and intuitionistic versions of LL, the first interesting question would be which formulas are provable in CLL but not in ILL. This is the same issue e.g. when building a benchmark for intuitionistic logic versus the existing ones for classical logic. But the linear case is far more complicated, since the lack of the structural rules of weakening and contraction in both ILL and CLL makes these systems “closer” to each other than in the case of classical and intuitionistic logics. Indeed, only very recently [8] the first conservativity results presented in [16] were generalized. Another important aspect to be taken into consideration is focusing [1]. It turns out that both ILL and CLL admit complete focused proof systems, and provers can be built using proof search strategies based on this discipline, which reduces the proof search space. This has an immediate effect on the proposal of formulas composing a possible benchmark, since the amount of exponentials in a formula can make a significant difference on the performance of provers. Finally, concerning (2), there is no consensus in the community on a set of “principal” theorems that should be used as a test for LL-based theorem provers. In this work, we will consider the translation of a fragment of Kleene’s list for intuitionistic logic (IL). The first challenge is to understand how these intuitionistic theorems should be interpreted in LL. A first answer would be: use one of the well known translations of IL into LL. This naive approach has, at least, two problems. First, it is not adequate to elect one translation, since different translations have very different computational behaviors, as it will be clear in Section 2.2. Second, some translations would not give the best interpretation of linear logic formulas. As a simple example, A → A should most probably be translated as A −◦ A, without bangs since this is equivalent, as a theorem, to the identity. But any sound translation from IL to LL adds bangs to implicational formulas. Hence none of them would preserve the formula’s interpretation. We analyze four different translations from IL to LL using Kleene’s collection of IL theorems. Provability and proof time of the 244 generated sequents are compared using our ILL prover based on focusing. Since one of the considered translations is not validity preserving, we propose provable versions (not following any systematic translation) for those 27 formulas. Finally, we add two CLL formulas, not provable in ILL. The whole set will not only provide some interesting insights on different behaviors of LL formulas coming from different translations in the literature, but also present a significative set of 273 formulas for benchmarking linear logic based provers. Outline. The rest of the paper is organized as follows. Section 2 presents LL, focusing, translations and decorations; Section 3 presents Kleene’s list and their linearization; Section 4 concludes the paper and presents some future research directions. The proofs of the various sequents discussed in this paper 2 We

note that in the literature there are two versions of ILL, having at most or exactly one formula in the right context. This is similar to the problem of considering intuitionistic/minimal logics. Since in this work we will use a multiplicative fragment of ILL, we opted for the version of ILL having ⊥ in the grammar.

C. Olarte, V. de Paiva, E. Pimentel & G. Reis

3

are presented in appendices C, D and E.

2

Linear Logic

Although we assume that the reader is familiar with linear logic, we review some of its basic proof theory (see [17] for more details). Linear logic is a substructural logic proposed by Girard [6] as a refinement of classical and intuitionistic logic, joining the dualities of the former with many of the constructive properties of the latter. Formulas for propositional linear logic (LL) are built from the following grammar F ::= p | 1 | 0 | > | ⊥ | F ⊗ F | FOF | F & F | F ⊕ F | F −◦ F | ?F | ! F where atomic formulas p or their negations p⊥ = p−◦⊥ are called literals. The logical connectives for LL can be divided into the following groups: the multiplicative version of conjunction, true, disjunction, and false, which are written as ⊗, 1, O, ⊥, respectively; and the additive version of these connectives, which are written as &, >, ⊕, 0, respectively; and the exponentials ! and ?. LL sequents have the form Γ ` ∆ where Γ, ∆ are multisets of formulas. We will consider first the two sided sequent formulation of classical linear logic (presented in Figure 2), to be able to smoothly extend the discussion to the intuitionistic case. We recall that contraction and weakening of formulas are controlled using the exponentials and rules contR , contL , weakR , weakL . The rules of ILL are depicted in Figure 3.

2.1

Focusing

Andreoli introduced in [1] a notion of normal form for cut-free derivations in linear logic. The connectives of LL can be divided into two classes: negative (O, ⊥, &, >, and ?) and positive (⊗, 1, ⊕, 0, and !). Note that the dual of a negative connective is positive and vice-versa. In general, the introduction rules for negative connectives are all invertible, meaning that the conclusion of any of these introduction rules is equivalent to its premises. The introduction rules for the positive connectives are not necessarily invertible and may require a choice or a context restriction on the application of rules. The notions of negative and positive polarities are extended to formulas in the natural way by considering the outermost connective, e.g., A ⊗ B is positive while AOB is negative. Any bias can be assigned to atomic formulas. A focused proof is organized around two “phases” of proof construction: the negative phase for introducing negative connectives and the positive phase for the positive connectives. In the focusing discipline, negative formulae are decomposed eagerly until only positive formulae are left, then one of them is non-deterministically chosen to be focused on. Figures 4 and 5 present the systems LLF and ILLF, the focused versions of CLL and ILL, respectively.

2.2

Translations and Decorations

A naive approach for building a set of test formulas for LL based provers would be to use one of the well known translations of intuitionistic (or classical) formulas into LL. Since there are several ways of translating a formula from IL to LL, we asked ourselves which one would be the best option, if any. Each translation characterizes a different linear view of intuitionistic formulas and it is interesting and relevant to establish a comparison between them. We analyze four different translations: a multiplicative translation, the so called Girard’s translation, Girard’s positive translation and Miller and Liang’s 0/1 translation.

4

Linear Logic

The multiplicative translation trivially substitutes the intuitionistic connectives by their multiplicative linear version (p)m = p (t)m = 1

(A → B)m = Am −◦ Bm (A ∨ B)m = Am OBm

(A ∧ B)m = Am ⊗ Bm ( f )m = ⊥

Translation of sequents is given by (Γ ` A)m = Γm ` Am . Observe that this translation does not preserve provability: for instance, diagonals A ⊗ A → A exist in IL, but not in LL. Girard’s translation [6], also known as call-by-name, is the most well known translation of IL into LL. (p)g = p (A → B)g = ! Ag −◦ Bg (A ∧ B)g = Ag & Bg g g g g (t) = > (A ∨ B) = ! A ⊕ ! B ( f )g = 0 Sequents are translated as (Γ ` A)g = ! Γg ` Ag . Girard’s translation preserves provability but is not a decoration in the sense of [5], namely, a proof of A in IL is transformed into a proof of Ag in LL which is not isomorphic to the original one. Girard proposed in the same paper [6] another translation, known as call-by-value. Henceforth, we will call this translation positive, since IL formulas become positive LL formulas. (p) p = ! p (t) p = 1

(A → B) p = !(A p −◦ B p ) (A ∨ B) p = A p ⊕ B p

(A ∧ B) p = A p ⊗ B p ( f )p = 0

Sequents are translated as (Γ ` A) p = Γ p ` A p . It is easy to see that the positive translation is a decoration: proofs of A p in LL are isomorphic to proofs of A in IL. Another interesting translation is the 0/1 translation [9], which distinguishes the polarity of formulas in a sequent. (p)0 = p (t)0 = >

(A → B)0 = ! A1 −◦ ! B0 (A ∨ B)0 = ! A0 ⊕ ! B0

(A ∧ B)0 = ! A0 & ! B0 ( f )0 = 0

(p)1 = p (t)1 = 1

(A → B)1 = !(! A0 −◦ B1 ) (A ∨ B)1 = ! A1 ⊕ ! B1

(A ∧ B)1 = !(A1 & B1 ) ( f )1 = 0

The translation of sequents is given by (Γ ` A)0/1 = ! Γ0 ` A1 . Using this translation, focused proofs in LLF are in bijetive correspondence with proofs in IL. In a loose sense, this can be considered a decoration if the isomorphism is interpreted “modulo focusing”. In the focusing context, this is referred to as adequacy on the level of derivations [12]. Basically these four translations differ on their use of bangs and their polarization of atoms. The multiplicative translation introduces no bangs; Girard’s translation forces atoms to have negative polarity and backchaining proofs; the positive translation selects the global preference to be forward-chaining and all atoms have positive polarity; the 0/1 translation is asymmetric, and it does not impose any restriction on atoms. We will show an interesting comparison of the implementation of these translations in Section 4.

3

Kleene’s Examples and their Linearization

Kleene’s “Introduction to Metamathematics” [7] has a collection of interesting intuitionistic theorems. They are rather straightforward, thus they would not be especially useful for testing the efficiency of

C. Olarte, V. de Paiva, E. Pimentel & G. Reis

5

a prover. Instead, they can be regarded as a minimal set of intuitionistic theorems that a sound prover should be able to derive. As such, they can be valuable in uncovering bugs and sources of unsoundness. Our goal is to set up a similar set for LL. The first challenge is to understand how these intuitionistic theorems should be interpreted in LL. Deciding whether to translate intuitionistic disjunction as the multiplicative disjunction O of Linear Logic or the additive disjunction ⊕ changes the target system under consideration, thus we prefer to not consider the intuitionistic disjunction to begin with. Hence we will consider what we call the rudimentary fragment of IL, which is very well-behaved. Semantically this fragment corresponds to cartesian closed categories. The following 61 theorems are collected from [7], from page 113 onwards, and contain only the (→, ∧) fragment. The bi-implication is defined as A ↔ B = (A → B) ∧ (B → A). 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31.

3.1

`A→A A → B, B → C ` A → C A → (B → C) ` B → (A → C) A → (B → C) ` A ∧ B → C A ∧ B → C ` A → (B → C) A → B ` (B → C) → (A → C) A → B ` (C → A) → (C → B) A → B ` A ∧C → B ∧C A → B `C∧A →C∧B ¬A ` A → B A ` ¬A → B B`A→B A → B ` ¬B → ¬A A → ¬B ` ¬¬B → ¬A A → B, B → A ` A ↔ B A↔B`A→B A↔B`B→A A ↔ B, A ` B A ↔ B, B ` A `A↔A A↔B`B↔A A ↔ B, B ↔ C ` A ↔ C A → (B → C), ¬¬A, ¬¬B ` ¬¬C ¬¬(A → B) ` ¬¬A → ¬¬B ¬¬(A → B), ¬¬(B → C) ` ¬¬(A → C) ` ¬¬(A ∧ B) ↔ (¬¬A ∧ ¬¬B) ` ¬¬(A ↔ B) ↔ (¬¬(A → B) ∧ ¬¬(B → A)) A ↔ B ` (A → C) ↔ (B → C) A ↔ B ` (C → A) ↔ (C → B) A ↔ B ` (A ∧C) ↔ (B ∧C) A ↔ B ` (C ∧ A) ↔ (C ∧ B)

32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40. 41. 42. 43. 44. 45. 46. 47. 48. 49. 50. 51. 52. 53. 54. 55. 56. 57. 58. 59. 60. 61.

A ↔ B ` ¬A ↔ ¬B ` ((A ∧ B) ∧C) ↔ (A ∧ (B ∧C)) ` (A ∧ B) ↔ (B ∧ A) ` (A ∧ A) ↔ A A ` (A → B) ↔ B B ` (A → B) ↔ B ¬A ` (A → B) ↔ ¬A ¬B ` (A → B) ↔ ¬A B ` (A ∧ B) ↔ A ¬B ` (A ∧ B) ↔ B ` A → ¬¬A ` ¬¬¬A ↔ ¬A ` ¬(A ∧ ¬A) ` ¬(A ↔ ¬A) ` ¬¬(¬¬A → A) ` (A ∧ (B ∧ ¬B)) ↔ (B ∧ ¬B) ` (A → B) → ¬(A ∧ ¬B) ` (A → ¬B) ↔ (¬(A ∧ B)) ` (¬(A ∧ B)) ↔ (¬¬A → ¬B) ¬¬B → B ` (¬¬A → B) ↔ (A → B) ¬¬B → B ` (A → B) ↔ (¬(A ∧ ¬B)) ` (¬¬A → B) → ¬(A ∧ ¬B) ` (A ∧ B) → ¬(A → ¬B) ` (A ∧ ¬B) → ¬(A → B) ` ¬¬A ∧ B → ¬(A → ¬B) ` (¬¬A ∧ ¬B) ↔ ¬(A → B) ` ¬(A → B) ↔ ¬¬(A ∧ ¬B) ` ¬¬(A → B) ↔ ¬(A ∧ ¬B) ` ¬(A ∧ ¬B) ↔ (A → ¬¬B) ` (A → ¬¬B) ↔ (¬¬A → ¬¬B)

Tests

We specified in rewriting logic (RW, see e.g., [10]) and implemented in Maude (http://maude. cs.uiuc.edu) a very basic prover for IL as well as for ILLF and LLF. The use of RW leads to

6

Linear Logic

a clear separation between deterministic inference rules that can be eagerly applied (as those in the negative phase) and non-deterministic inference rules where backtracking may be needed (as those in the positive phase). Moreover, the minimal distance between the represented logic (IL, ILLF and LLF) and its specification in RW allowed us to quickly implement a good prototypical tool useful for our tests. Although more efficient provers can be built by e.g., including sophisticated heuristics and specialized data structures, our prototypical implementations were enough to compare the different translations. In Appendix E, we present the proofs of the original IL sequent, together with the derivation tree of each of the corresponding ILL sequents, when provable. Note that some provable sequents timed out. The results are summarized in Figure 1. The code in Maude can be found at https://github.com/carlosolarte/Benchmarking-Linear-Logic as well as the list of formulas used here in a format similar to that of the TPTP Problem Library. Applying each translation defined in Section 2.2 to each of the 61 sequents presented in the last section gives rise to 244 different LL sequents. As already noted, provability is not preserved in the multiplicative translation. The reason for that, other than the obvious absence of structural rules in the left context, is that the multiplicative false ⊥ is relevant, so while 0 ` B for any B in IL, A ⊗ (A −◦ ⊥) 6` B in LL. The other three translations fix this by systematically adding bangs and additive connectives. This procedure, as seen in the tests, does not give the best translation to formulas for LL provers. We present below an alternative description for the 27 the sequents not provable in ILL (see Appendix B for the whole list) for the multiplicative version of the Kleene sequents, with a small set of bangs and/or additives. We add the proofs of such formulas in Appendix C. 10. A −◦ 0 ` A −◦ B

37. B ` (!(A −◦ B) −◦ B) ⊗ (B −◦ (! A −◦ B))

11. A ` (A −◦ 0) −◦ B

38. A⊥ ` (!(A −◦ B) −◦ A⊥ ) ⊗ ((A −◦ 0) −◦ (A −◦ B))

12. B ` ! A −◦ B

39. B −◦ 0 ` (A −◦ B) ˛ (A −◦ 0)

16. (A −◦ B) ⊗ !(B −◦ A) ` A −◦ B

40. B ` ((A ⊗ ! B) −◦ A) ⊗ (A −◦ (A ⊗ B))

17. !(A −◦ B) ⊗ (B −◦ A) ` B −◦ A

41. B −◦ 0 ` ((! A ⊗ B) −◦ B) ⊗ (B −◦ (A ⊗ B))

18. A ˛ B, A ` B ⊗ (B −◦ A)

45. ` (!(A −◦ A⊥ ) ⊗ ((! A)⊥ −◦ ! A))⊥

19. A ˛ B, B ` A ⊗ (A −◦ B)

46. ` (!(!(A⊥ −◦ 0)) −◦ A)⊥ )⊥

26. 27.

a. ` ((A & B)⊥⊥ ) −◦ (A⊥⊥ & B⊥⊥ ) b. ` (A⊥⊥ ⊗ B⊥⊥ ) −◦ (A ⊗ B)⊥⊥ a. ` (!(A −◦ B) ⊗ !(B −◦ A))⊥⊥ −◦ [(A −◦ B)⊥⊥ & (B −◦ A)⊥⊥ ] b. ` (A −◦ B)⊥⊥ ⊗ (B −◦ A)⊥⊥ −◦ (A ˛ B)⊥⊥

35. ` (! A ⊗ ! A) ˛ ! A

47. ` A ⊗ (B ⊗ (B −◦ 0)) ˛ (B ⊗ (B −◦ 0)) 57.

a. ` (A⊥⊥ ⊗ B⊥ ) −◦ (A −◦ B)⊥ b. ` (! A −◦ B)⊥ −◦ ((A −◦ 0)⊥ & B⊥ )

58.

a. ` !((! A −◦ B)⊥ ) −◦ ((A ⊗ B⊥ ) −◦ 0)⊥ b. ` (A ⊗ B⊥ )⊥⊥ −◦ (A −◦ B)⊥

59.

a. ` (A −◦ B)⊥⊥ −◦ (A ⊗ B⊥ )⊥ b. ` ((A ⊗ B⊥ ) −◦ 0) −◦ (!(! A −◦ B)⊥ )⊥

36. A ` ((A −◦ B) −◦ B) ⊗ (B −◦ (! A −◦ B))

As a “bonus”, there are two more formulas we think are of interest when planning a benchmark for LL: the classical linear version of Pierce’s Law and a minimal example of a non-provable ILL formula without bottom that is a CLL theorem [8]. 62. ` ((A −◦ ?B) −◦ A) −◦ ?A 63. ` (((A ⊗ >) & (B ⊗ >)) −◦ 0) −◦ ((A −◦C) ⊕ (B −◦ D)) The proofs of these sequents in LLF are presented in Appendix D.

C. Olarte, V. de Paiva, E. Pimentel & G. Reis # LJ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

31 48 49 48 38 48 51 34 35 34 34 19 47 62 48 34 35 34 35 18

m

g

p

0/1

46 111 94 97 98 106 108 91 89 19 (x) 18 (x) 20 (x) 89 96 156 19 (x) 21(x) 24 (x) 20 (x) 90

43 168 128 326 108 157 156 114 111 79 82 42 137 186 181 91 94 97 92 43

83 226 208 219 182 252 261 191 173 98 97 74 184 297 527 139 132 115 113 126

59 185 189 313 197 214 201 271 257 98 97 59 180 757 331 137 142 114 115 108

#

LJ

7 m

g

p

0/1

21 54 160 196 515 1825 22 150 228    23 2318 164    24 211 142 4694 5522  25 4063 202    26 140 20 (x) 27482   27  23 (x)    28 86 227    29 86 240    30 48 191 292 3424  31 54 209 353 3752  32 83 202 12683   33 21 166 123 281 609 34 18 131 81 217 276 35 21 18 (x) 50 180 153 36 35 19 (x) 107 209 184 37 18 19 (x) 67 151 139 38 54 21 (x) 157 333 319 39 67 22 (x) 271 595 626 40 21 18 (x) 67 165 178

#

LJ

41 33 42 41 43 96 44 34 45 96 46 66 47 61 48 48 49 66 50 94 51 882 52 112 53 67 54 49 55 49 56 64 57 385 58 118 59 168 60 96 61 9785

m

g

p

0/1

21 (x) 130 172 209 61 83 120 122 183 271 528 7431 59 88 102 141 19 (x)  5241  25 (x) 185 250 427 19 (x) 234 186 875 94 146 181 370 161 204 535 46292 245 2618 18580  295    257    126 255 335 14764 74 115 170 268 92 136 187 345 97 181 253 3946 20 (x)    20 (x)    20 (x)    214 4004 8427  288   

Figure 1: Comparison of translations: x indicates that the formula is not provable;  indicates timeout (over 60 seconds). Times are measured in miliseconds.

4

Conclusion

In this work we benchmarked different translations from IL into ILL, having as a result an initial set of formulas for benchmarking linear logic based provers. Starting with the (→, ∧)-fragment of Kleene’s theorems, we generated 244 different ILL sequents using 4 automatic translations: multiplicative, Girard’s, positive and 0/1. The first translation is the only one that does not preserve provability. For each of those 27 ILL sequents that are not provable via the multiplicative translation, we proposed an alternative provable sequent with a small set of additives and bangs added. This makes these particular sequents amenable to the use of all the power of focusing theorem provers. In fact, the excess of bangs in formulas tends to neutralize the efficacy of focusing, due to the positive/negative behavior of the exponentials. To emphasize the crucial differences between ILL and CLL we added the classical linear version of Pierce’s Law and a minimal counter-example of conservativity from ILL to CLL. Thus our initial proposal for a suitable benchmark for ILL has 273 formulas, testing aspects like provability and focusing. It is worth noticing that (1) we include ⊥ in the grammar of ILL; (2) all the sequents of our collection can also serve as tests in CLL. The decision in (1) was motivated by the fact that the resulting sequents fall into the multiplicative fragment of ILL. But observe that one could clearly exchange ⊥ for 0 in the multiplicative translation (that would not be multiplicative anymore) and still obtain a significant set of 23 formulas not provable via this new translation. The same will happen in (2), since some sequents involving double negations become provable. For a first experiment with the proposed set of sequents, we have implemented provers for LJ, ILL and CLL. All three are focused-based, but bear in mind that the LJ prover does not have positive phases, it is only doing the invertible part of the proof eagerly. The results presented in Figure 1 serve as an initial comparison between the different translations chosen for generating our set of sequents, not for

8

Linear Logic

comparing different linear logic provers. For future work, we intend to collect some more test-formulas, specially those involving disjunction, and to test different provers already available online.

References [1] Jean-Marc Andreoli (1992): Logic Programming with Focusing Proofs in Linear Logic. Journal of Logic and Computation 2(3), pp. 297–347. [2] Torben Bra¨uner & Valeria de Paiva (1996): Cut-Elimination for Full Intuitionistic Linear Logic. Technical Report, BRICS Report Series. [3] Iliano Cervesato & Frank Pfenning (2002): A Linear Logical Framework. Information & Computation 179(1), pp. 19–75. [4] Kaustuv Chaudhuri & Giselle Reis (2015): An Adequate Compositional Encoding of Bigraph Structure in Linear Logic with Subexponentials. In: LPAR-20, pp. 146–161. [5] Vincent Danos, Jean-Baptiste Joinet & Harold Schellinx (1995): On the linear decoration of intuitionistic derivations. Arch. Math. Log. 33(6), pp. 387–412, doi:10.1007/BF02390456. [6] Jean-Yves Girard (1987): Linear Logic. Theoretical Computer Science 50, pp. 1–102. [7] S. Kleene (1952): Introduction to Metamathematics. [8] Olivier Laurent (2018): Around Classical and Intuitionistic Linear Logics. In: 33rd Annual ACM/IEEE Symposium on Logic in Computer Science, LICS. [9] Chuck Liang & Dale Miller (2009): Focusing and polarization in linear, intuitionistic, and classical logics. Theor. Comput. Sci. 410(46), pp. 4747–4768, doi:10.1016/j.tcs.2009.07.041. [10] Jos´e Meseguer (2012): Twenty years of rewriting logic. J. Log. Algebr. Program. 81(7-8), pp. 721–781. [11] Dale Miller & Elaine Pimentel (2013): A formal framework for specifying sequent calculus proof systems. Theor. Comput. Sci. 474, pp. 98–116. [12] Vivek Nigam & Dale Miller (2010): A Framework for Proof Systems. Journal of Automated Reasoning 45(2), pp. 157–188, doi:10.1007/s10817-010-9182-1. [13] Carlos Olarte & Elaine Pimentel (2017): On concurrent behaviors and focusing in linear logic. Theor. Comput. Sci. 685, pp. 46–64, doi:10.1016/j.tcs.2016.08.026. [14] Thomas Raths & Jens Otten (2012): The QMLTP problem library for first-order modal logics. In: International Joint Conference on Automated Reasoning, pp. 454–461. [15] Thomas Raths, Jens Otten & Christoph Kreitz (2007): The ILTP problem library for intuitionistic logic. Journal of Automated Reasoning 38(1-3), pp. 261–271. [16] Harold Schellinx (1991): Some Syntactical Observations on Linear Logic. J. Log. Comput. 1(4), pp. 537– 559, doi:10.1093/logcom/1.4.537. [17] Anne S. Troelstra (1992): Lectures on Linear Logic. CSLI Lecture Notes 29, Center for the Study of Language and Information, Stanford, California. [18] Max Wisniewski, Alexander Steen & Christoph Benzm¨uller (2016): TPTP and Beyond: Representation of Quantified Non-Classical Logics. In Christoph Benzm¨uller & Jens Otten, editors: ARQNL 2016. Automated Reasoning in Quantified Non-Classical Logics.

C. Olarte, V. de Paiva, E. Pimentel & G. Reis

A

9

Some sequent systems

p` p

init

`1

1R

Γ ` ∆, F, G OR Γ ` ∆, FOG

Γ ` ∆, >

Γ`∆ ⊥R Γ ` ∆, ⊥

>R

Γ ` ∆, F Γ ` ∆, G &R Γ ` ∆, F & G

Γ, F ` ∆, G −◦R Γ ` ∆, F −◦ G

⊥`

⊥L

Γ1 ` ∆1 , F Γ2 ` ∆2 , G ⊗R Γ1 , Γ2 ` ∆1 , ∆2 , F ⊗ G

Γ, Fi ` ∆ &Li Γ, F1 & F2 ` ∆

Γ1 , F ` ∆1 Γ2 , G ` ∆2 OL Γ1 , Γ2 , FOG ` ∆1 , ∆2

Γ`∆ 1L Γ, 1 ` ∆

Γ, 0 ` ∆

0L

Γ ` ∆, Fi ⊕Ri Γ ` ∆, F1 ⊕ F2 Γ, F ` ∆ Γ, G ` ∆ ⊕L Γ, F ⊕ G ` ∆

Γ, F, G ` ∆ ⊗L Γ, F ⊗ G ` ∆

Γ1 ` ∆1 , F Γ2 , G ` ∆2 −◦L Γ1 , Γ2 , F −◦ G ` ∆1 , ∆2

Γ ` ∆, ?F, ?F contR Γ ` ∆, ?F

Γ`∆ weakR Γ ` ∆, ?F

Γ ` ∆, F derR Γ ` ∆, ?F

! Γ ` F, ?∆ !R ! Γ ` ! F, ?∆

Γ, ! F, ! F ` ∆ contL Γ, ! F ` ∆

Γ`∆ weakL Γ, ! F ` ∆

Γ, F ` ∆ derL Γ, ! F ` ∆

! Γ, F ` ?∆ ?L ! Γ, ?F ` ?∆

Figure 2: Sequent system CLL.

p` p

init

`1

1R

Γ`F Γ`G &R Γ ` F &G Γ, F, G ` C ⊗L Γ, F ⊗ G ` C !Γ ` F !R !Γ ` !F

Γ`>

>R

Γ` ⊥R Γ `⊥

Γ1 ` F Γ2 ` G ⊗R Γ1 , Γ2 ` F ⊗ G Γ, F ` C Γ, G ` C ⊕L Γ, F ⊕ G ` C Γ, ! F, ! F ` C contL Γ, ! F ` C

Γ`C 1L Γ, 1 ` C Γ ` Fi ⊕Ri Γ ` F1 ⊕ F2 Γ, F ` G −◦R Γ ` F −◦ G

Γ`C weakL Γ, ! F ` C

⊥`

⊥L

Γ, 0 ` C

0L

Γ, Fi ` C &Li Γ, F1 & F2 ` C Γ1 ` F Γ2 , G ` C −◦L Γ1 , Γ2 , F −◦ G ` C Γ, F ` C derL Γ, ! F ` C

Figure 3: System ILL. The (one-sided) focused system LLF for classical linear logic is presented in Figure. 4. There are two kinds of arrows in this proof system and a pair of contexts to the left of the arrows: Θ is a set of formulas whose main connective is a question-mark, being hence the bounded context, while Γ is a multi-set of linear formulas, behaving as the bounded context. Sequents with the ⇓ belong to the positive phase and introduce the logical connective of the “focused” formula (the one to the right of the arrow): building proofs of such sequents may require non-invertible proof steps to be taken. Sequents with the ⇑ belong to the negative phase and decompose the multiset of formulas on the right in such a way that only inference rules over negative formulas are applied: the others are “stored” in the linear context using R ⇑. The structural rules D1 , D2 and R ⇓ make the transition between negative and positive phases. The positive phase begins by choosing a positive formula F on which to focus (using D1 , D2 ). Positive rules are applied to F until either 1 or a negated atom is encountered (and the proof must end by applying the

10

Linear Logic

initial rules) or the promotion rule (!) is applied or a negative subformula is encountered (R ⇓) when the proof switches to the negative phase. Formulas in LLF are taken to be in negation normal form using the standard classical linear logic dualities, e.g., (F ⊗ G)⊥ ≡ F ⊥ OG⊥ . Hence negation has only atomic scope. As usual, we represent A −◦ B as A⊥ OB. Introduction Rules `Θ:Γ⇑L ⊥ ` Θ : Γ ⇑ L, ⊥

` Θ : Γ ⇑ L, >

` Θ : Γ ⇑ L, F ` Θ : Γ ⇑ L, G & ` Θ : Γ ⇑ L, F & G

>

` Θ :⇓ 1

1

` Θ : Γ ⇑ L, F, G O ` Θ : Γ ⇑ L, FOG

` Θ : Γ ⇓ F ` Θ : Γ0 ⇓ G ⊗ ` Θ : Γ, Γ0 ⇓ F ⊗ G

` Θ, F : Γ ⇑ L ? ` Θ : Γ ⇑ L, ?F

` Θ : Γ ⇓ Fi ⊕i ` Θ : Γ ⇓ F1 ⊕ F2

` Θ :⇑ F ! ` Θ :⇓ ! F

Identity, Reaction, and Decide rules ` Θ : A⊥ p ⇓ Ap

I1

`Θ:Γ⇓P D ` Θ : Γ, P ⇑ 1

` Θ, A⊥ p :⇓ A p

I2

` Θ, P : Γ ⇓ P D2 ` Θ, P : Γ ⇑

` Θ : Γ, S ⇑ L R⇑ ` Θ : Γ ⇑ L, S `Θ:Γ⇑N R⇓ `Θ:Γ⇓N

Figure 4: The focused proof system LLF for classical linear logic. Here, L is a list of formulas, A p is a positive literal, S is positive or a literal, P is positive and N is negative. In this work, we will use both: LLF for classical proofs and its intuitionistic version ILLF, presented in Figure 5.

C. Olarte, V. de Paiva, E. Pimentel & G. Reis

11

Negative Phase Θ : Γ, F, G −→ C ⊗ Θ : Γ, F ⊗ G −→ C L

Θ : Γ, F −→ G −◦R Θ : Γ −→ F −◦ G

Θ : Γ −→ >

>R

Θ : Γ, 0 −→ C

Θ : Γ −→ F Θ : Γ −→ G & R Θ : Γ −→ F & G

Θ : Γ −→ C 1 Θ : Γ, 1 −→ C L 0L

Θ : Γ −→ ⊥ Θ : Γ −→ ⊥ R

Θ, F : Γ −→ C ! Θ : Γ, ! F −→ C L

Θ : Γ, F −→ C Θ : Γ, H −→ C ⊕L Θ : Γ, F ⊕ H −→ C

Positive Phase G

→C Θ : Γ1 −F → Θ : Γ2 −

Θ : Γ1 −F → Θ : Γ2 −G → ⊗R Θ : Γ1 , Γ2 −F⊗G →

−◦L

F−◦G

Θ : Γ1 , Γ2 −−−→ C

Θ : Γ−Fi → ⊕Ri Θ : Γ−F1 ⊕F2 →

F

i Θ:Γ− → C

F &F

1 2 Θ : Γ −− −→ C

&Li

1R

Θ : −1 →

Θ : Γ−A →

⊥

Θ :− →

⊥L

Θ :−→ F ! Θ : −! F → R

IR given A ∈ (Θ ∪ Γ) and Γ ⊆ {A} Structural Rules

Na

N

Θ, Na : Γ −→ C D Θ, Na : Γ −→ C L1

a Θ : Γ −→ C D Θ : Γ, Na −→ C L2

Θ : Γ, Pa −→ C P

a Θ:Γ− → C

RL

Θ : Γ−Pa → D Θ : Γ −→ Pa R

Θ : Γ −→ N R Θ : Γ−N → R

Figure 5: System ILLF: a focused proof system for ILL. Here, A is an atomic formula; Na is a negative non atomic formula; Pa is a positive or atomic formula; N is a negative formula.

12

B

Linear Logic

Multiplicative translation of Kleene’s list 1. ` A −◦ A (identity) 2. A −◦ B, B −◦C ` A −◦C (transitivity of implication) 3. A −◦ (B −◦ C) ` B −◦ (A −◦ C) (exchange of premises) 4. A −◦ (B −◦C) ` A ⊗ B −◦C (uncurrying) 5. A ⊗ B −◦C ` A −◦ (B −◦C) (currying) 6. A −◦ B ` (B −◦C) −◦ (A −◦C) (precomposing maps) 7. A −◦ B ` (C −◦ A) −◦ (C −◦ B) (post-composing maps) 8. A −◦ B ` A ⊗C −◦ B ⊗C (tensor is a bifunctor) 9. A −◦ B ` C ⊗ A −◦C ⊗ B (tensor is a bifunctor) 10. A⊥ 6` A −◦ B 11. A 6` A⊥ −◦ B 12. B 6` A −◦ B but (projection is non-linear) 13. A −◦ B ` B⊥ −◦ A⊥ (linear negation is contravariant) 14. A −◦ B⊥ ` B⊥ −◦ A⊥ 15. A −◦ B, B −◦ A ` A ˛ B 16. A ˛ B 6` A −◦ B (cannot throw away B −◦ A) 17. A ˛ B 6` B −◦ A (cannot throw away A −◦ B) 18. A ˛ B, A 6` B 19. A ˛ B, B 6` A 20. ` A ˛ A 21. A ˛ B ` B ˛ A 22. A ˛ B, B ˛ C ` A ˛ C 23. A −◦ (B −◦C), A⊥⊥ , B⊥⊥ ` C⊥⊥ 24. (A −◦ B)⊥⊥ ` A⊥⊥ −◦ B⊥⊥ (double negation is a functor) 25. (A −◦ B)⊥⊥ , (B −◦C)⊥⊥ ` (A −◦C)⊥⊥ 26. 6` (A ⊗ B)⊥⊥ ˛ A⊥⊥ ⊗ B⊥⊥ 27. 6` (A ˛ B)⊥⊥ ˛ (A −◦ B)⊥⊥ ⊗ (B −◦ A)⊥⊥ 28. A ˛ B ` (A −◦C) ˛ (B −◦C) 29. A ˛ B ` (C −◦ A) ˛ (C −◦ B) 30. A ˛ B ` (A ⊗C) ˛ (B ⊗C)

31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40. 41. 42. 43. 44. 45. 46. 47. 48. 49. 50. 51. 52. 53. 54. 55. 56. 57. 58. 59. 60. 61.

A ˛ B ` (C ⊗ A) ˛ (C ⊗ B) A ˛ B ` A⊥ ˛ B⊥ ` ((A ⊗ B) ⊗C) ˛ (A ⊗ (B ⊗C)). ` A⊗B ˛ B⊗A 6` A ⊗ A ˛ A (⊗ is not idempotent) A 6` (A −◦ B) ˛ B B 6` (A −◦ B) ˛ B A⊥ 6` (A −◦ B) ˛ A⊥ B⊥ 6` (A −◦ B) ˛ A⊥ B 6` (A ⊗ B) ˛ A B⊥ 6` ((! A ⊗ B) −◦ B) ⊗ (B −◦ (A ⊗ B)) ` A −◦ A⊥⊥ ` A⊥⊥⊥ ˛ A⊥ ` (A ⊗ A⊥ )⊥ 6` (A ˛ A⊥ )⊥ 6` (((A −◦ 0) −◦ 0) −◦ A)⊥⊥ 6` A ⊗ (B ⊗ B⊥ ) ˛ (B ⊗ B⊥ ) ` (A −◦ B) −◦ (A ⊗ B⊥ )⊥ ` (A −◦ B⊥ ) ˛ (A ⊗ B)⊥ ` (A ⊗ B)⊥ ˛ (A⊥⊥ −◦ B⊥ ) B⊥⊥ −◦ B ` (A⊥⊥ −◦ B) ˛ (A −◦ B) B⊥⊥ −◦ B ` (A −◦ B) ˛ (A ⊗ B⊥ )⊥ ` (A⊥⊥ −◦ B) −◦ (A ⊗ B⊥ )⊥ ` A ⊗ B −◦ (A −◦ B⊥ )⊥ ` A ⊗ B⊥ −◦ (A −◦ B)⊥ ` (A⊥⊥ ⊗ B) −◦ (A −◦ B⊥ )⊥ 6` (A⊥⊥ ⊗ B⊥ ) ˛ (A −◦ B)⊥ 6` (A −◦ B)⊥ ˛ (A ⊗ B⊥ )⊥⊥ 6` (A −◦ B)⊥⊥ ˛ (A ⊗ B⊥ )⊥ ` (A ⊗ B⊥ )⊥ ˛ (A −◦ B⊥⊥ ) ` (A −◦ B⊥⊥ ) ˛ (A⊥⊥ −◦ B⊥⊥ )

C. Olarte, V. de Paiva, E. Pimentel & G. Reis

C

13

Proofs for the alternative sequents listed in Section. 3.1

(10) · : A −◦ 0 ` A −◦ B

(16) · : (A −◦ B)⊗!(B −◦ A) ` A −◦ B

ILL (131ms) ILL (106ms) ? ·: 0`B R L ·: A⇒A · : · [0] ⇐ B −◦ · : A [A −◦ 0] ⇐ B DL · : A, A −◦ 0 ` B ? · : A −◦ 0 ` A −◦ B I

I B −◦ A : B ⇒ B DR B −◦ A : B ` B RL I B −◦ A : A ⇒ A B −◦ A : · [B] ⇐ B −◦ B −◦ A : A [A −◦ B] ⇐ B DL B −◦ A : A, A −◦ B ` B ? · : A −◦ B ⊗ !(B −◦ A) ` A −◦ B

3

(17) · :!(A −◦ B) ⊗ (B −◦ A) ` B −◦ A (11) · : A ` (A −◦ 0) −◦ B ILL (129ms)

ILL (105ms) ? ·: 0`B R L ·: A⇒A · : · [0] ⇐ B −◦ · : A [A −◦ 0] ⇐ B DL · : A, A −◦ 0 ` B ? · : A ` A −◦ 0 −◦ B I

I A −◦ B : A ⇒ A D A −◦ B : A ` A R RL I A −◦ B : B ⇒ B A −◦ B : · [A] ⇐ A −◦ A −◦ B : B [B −◦ A] ⇐ A DL A −◦ B : B, B −◦ A ` A ? · : !(A −◦ B) ⊗ B −◦ A ` B −◦ A

(18) · : (A ˛ B), A ` B ⊗ (B −◦ A)

(12) · : B ` (!A) −◦ B

ILL (73ms) I A: B⇒B D A : B ` B R? · : B ` !(A) −◦ B

ILL (262ms) I ·: A⇒A D R ·: A`A R L I ·: B⇒B · : · [A] ⇐ A −◦ · : B [B −◦ A] ⇐ A DL · : B, B −◦ A ` A ? · : B −◦ A ` B −◦ A R I ·: B⇒B · : B −◦ A ⇒ B −◦ A R ⊗ · : B, B −◦ A ⇒ B ⊗ B −◦ A D · : B, B −◦ A ` B ⊗ B −◦ A R RL I ·: A⇒A · : B −◦ A [B] ⇐ B ⊗ B −◦ A −◦ · : A, B −◦ A [A −◦ B] ⇐ B ⊗ B −◦ A DL · : A, A −◦ B, B −◦ A ` B ⊗ B −◦ A ? · : A, A −◦ B ⊗ B −◦ A ` B ⊗ B −◦ A

3 Formulas in red are formulas focused on the left (e.g., [A −◦ 0] ⇐). Focusing on the right is represented as “⇒ F”. Formulas in blue are part of the classical (unbounded) context. ? represents the whole negative phase.

14

Linear Logic (27a) · : · ` (¬¬(!(A −◦ B)⊗!(B −◦ A))) −◦ ...

(19) · : (A ˛ B), B ` A ⊗ (A −◦ B) ILL (516ms) ILL (245ms) I ·: B⇒B D R ·: B`B R L I ·: A⇒A · : · [B] ⇐ B −◦ · : A [A −◦ B] ⇐ B DL · : A, A −◦ B ` B ? · : A −◦ B ` A −◦ B R I ·: A⇒A · : A −◦ B ⇒ A −◦ B R ⊗ · : A, A −◦ B ⇒ A ⊗ A −◦ B DR · : A, A −◦ B ` A ⊗ A −◦ B RL I ·: B⇒B · : A −◦ B [A] ⇐ A ⊗ A −◦ B −◦ · : B, A −◦ B [B −◦ A] ⇐ A ⊗ A −◦ B DL · : B, A −◦ B, B −◦ A ` A ⊗ A −◦ B ? · : B, A −◦ B ⊗ B −◦ A ` A ⊗ A −◦ B

I I A −◦ B, B −◦ A : B ⇒ B A −◦ B, B −◦ A : A ⇒ A D D A −◦ B, B −◦ A : B ` B R A −◦ B, B −◦ A : A ` A R RL RL I I A −◦ B, B −◦ A : A ⇒ A A −◦ B, B −◦ A : · [B] ⇐ B A −◦ B, B −◦ A : B ⇒ B A −◦ B, B −◦ A : · [A] ⇐ A −◦ −◦ A −◦ B, B −◦ A : A [A −◦ B] ⇐ B A −◦ B, B −◦ A : B [B −◦ A] ⇐ A DC DC A −◦ B, B −◦ A : A ` B A −◦ B, B −◦ A : B ` A ? ? A −◦ B, B −◦ A : · ` A −◦ B A −◦ B, B −◦ A : · ` B −◦ A RR RR ⊥ ⊥ A −◦ B, B −◦ A : · ⇒ A −◦ B A −◦ B, B −◦ A : · [⊥] ⇐⊥ A −◦ B, B −◦ A : · ⇒ B −◦ A A −◦ B, B −◦ A : · [⊥] ⇐⊥ −◦ −◦ A −◦ B, B −◦ A : · [A −◦ B−◦ ⊥] ⇐⊥ A −◦ B, B −◦ A : · [B −◦ A−◦ ⊥] ⇐⊥ DL DL A −◦ B, B −◦ A : A −◦ B−◦ ⊥`⊥ A −◦ B, B −◦ A : B −◦ A−◦ ⊥`⊥ ? ? · : A −◦ B−◦ ⊥` !(A −◦ B) ⊗ !(B −◦ A)−◦ ⊥ · : B −◦ A−◦ ⊥` !(A −◦ B) ⊗ !(B −◦ A)−◦ ⊥ RR RR ⊥ ⊥ · : A −◦ B−◦ ⊥⇒ !(A −◦ B) ⊗ !(B −◦ A)−◦ ⊥ · : · [⊥] ⇐⊥ · : B −◦ A−◦ ⊥⇒ !(A −◦ B) ⊗ !(B −◦ A)−◦ ⊥ · : · [⊥] ⇐⊥ −◦ −◦ · : A −◦ B−◦ ⊥ [!(A −◦ B) ⊗ !(B −◦ A)−◦ ⊥ −◦ ⊥] ⇐⊥ · : B −◦ A−◦ ⊥ [!(A −◦ B) ⊗ !(B −◦ A)−◦ ⊥ −◦ ⊥] ⇐⊥ DL DL · : A −◦ B−◦ ⊥, !(A −◦ B) ⊗ !(B −◦ A)−◦ ⊥ −◦ ⊥`⊥ · : B −◦ A−◦ ⊥, !(A −◦ B) ⊗ !(B −◦ A)−◦ ⊥ −◦ ⊥`⊥ ? · : · ` !(A −◦ B) ⊗ !(B −◦ A)−◦ ⊥ −◦ ⊥ −◦A −◦ B−◦ ⊥ −◦ ⊥ &B −◦ A−◦ ⊥ −◦ ⊥

(27b) · : · ` ((¬¬(A −◦ B)) ⊗ (¬¬(B −◦ A))) −◦ ...

ILL (449ms) (26a) · : · ` (¬¬(A & B)) −◦ ((¬¬A) & ¬¬B)

ILL (345ms) ⊥ ⊥ I I ·: A⇒A · : · [⊥] ⇐⊥ ·: B⇒B · : · [⊥] ⇐⊥ −◦ −◦ · : A [A−◦ ⊥] ⇐⊥ · : B [B−◦ ⊥] ⇐⊥ DL DL · : A, A−◦ ⊥`⊥ · : B, B−◦ ⊥`⊥ RL RL · : A−◦ ⊥ [A] ⇐⊥ · : B−◦ ⊥ [B] ⇐⊥ &1 &2 · : A−◦ ⊥ [A & B] ⇐⊥ · : B−◦ ⊥ [A & B] ⇐⊥ DL DL · : A & B, A−◦ ⊥`⊥ · : A & B, B−◦ ⊥`⊥ ? ? · : A−◦ ⊥` A & B−◦ ⊥ · : B−◦ ⊥` A & B−◦ ⊥ R R ⊥ ⊥ · : A−◦ ⊥⇒ A & B−◦ ⊥ R · : · [⊥] ⇐⊥ · : B−◦ ⊥⇒ A & B−◦ ⊥ R · : · [⊥] ⇐⊥ −◦ −◦ · : A−◦ ⊥ [A & B−◦ ⊥ −◦ ⊥] ⇐⊥ · : B−◦ ⊥ [A & B−◦ ⊥ −◦ ⊥] ⇐⊥ DL DL · : A−◦ ⊥, A & B−◦ ⊥ −◦ ⊥`⊥ · : B−◦ ⊥, A & B−◦ ⊥ −◦ ⊥`⊥ ? · : · ` A & B−◦ ⊥ −◦ ⊥ −◦A−◦ ⊥ −◦ ⊥ &B−◦ ⊥ −◦ ⊥

(26b) · : · ` ((¬¬A) ⊗ (¬¬B)) −◦ ¬¬(A ⊗ B)

ILL (234ms) I I ·: A⇒A ·: B⇒B ⊗ ⊥ · : A, B ⇒ A ⊗ B · : · [⊥] ⇐⊥ −◦ · : A, B [A ⊗ B−◦ ⊥] ⇐⊥ DL · : A, B, A ⊗ B−◦ ⊥`⊥ ? · : A, A ⊗ B−◦ ⊥` B−◦ ⊥ R ⊥ · : A, A ⊗ B−◦ ⊥⇒ B−◦ ⊥ R · : · [⊥] ⇐⊥ −◦ · : A, A ⊗ B−◦ ⊥ [B−◦ ⊥ −◦ ⊥] ⇐⊥ DL · : A, A ⊗ B−◦ ⊥, B−◦ ⊥ −◦ ⊥`⊥ ? · : A ⊗ B−◦ ⊥, B−◦ ⊥ −◦ ⊥` A−◦ ⊥ R ⊥ · : A ⊗ B−◦ ⊥, B−◦ ⊥ −◦ ⊥⇒ A−◦ ⊥ R · : · [⊥] ⇐⊥ −◦ · : A ⊗ B−◦ ⊥, B−◦ ⊥ −◦ ⊥ [A−◦ ⊥ −◦ ⊥] ⇐⊥ DL · : A ⊗ B−◦ ⊥, A−◦ ⊥ −◦ ⊥, B−◦ ⊥ −◦ ⊥`⊥ ? · : · ` A−◦ ⊥ −◦ ⊥ ⊗B−◦ ⊥ −◦ ⊥ −◦A ⊗ B−◦ ⊥ −◦ ⊥

I I ·: B⇒B D ·: A⇒A D R R ·: B`B R ·: A`A R L L I I ·: A⇒A · : · [B] ⇐ B ·: B⇒B · : · [A] ⇐ A −◦ −◦ · : A [A −◦ B] ⇐ B · : B [B −◦ A] ⇐ A DL DL · : A, A −◦ B ` B · : B, B −◦ A ` A ? ? · : A −◦ B ` A −◦ B · : B −◦ A ` B −◦ A R R · : A −◦ B ⇒ A −◦ B R · : B −◦ A ⇒ B −◦ A R ⊗ ⊥ · : A −◦ B, B −◦ A ⇒ A −◦ B ⊗ B −◦ A · : · [⊥] ⇐⊥ −◦ · : A −◦ B, B −◦ A [A −◦ B ⊗ B −◦ A−◦ ⊥] ⇐⊥ DL · : A −◦ B, B −◦ A, A −◦ B ⊗ B −◦ A−◦ ⊥`⊥ ? · : A −◦ B, A −◦ B ⊗ B −◦ A−◦ ⊥` B −◦ A−◦ ⊥ R ⊥ · : A −◦ B, A −◦ B ⊗ B −◦ A−◦ ⊥⇒ B −◦ A−◦ ⊥ R · : · [⊥] ⇐⊥ −◦ · : A −◦ B, A −◦ B ⊗ B −◦ A−◦ ⊥ [B −◦ A−◦ ⊥ −◦ ⊥] ⇐⊥ DL · : A −◦ B, A −◦ B ⊗ B −◦ A−◦ ⊥, B −◦ A−◦ ⊥ −◦ ⊥`⊥ ? · : A −◦ B ⊗ B −◦ A−◦ ⊥, B −◦ A−◦ ⊥ −◦ ⊥` A −◦ B−◦ ⊥ RR ⊥ · : A −◦ B ⊗ B −◦ A−◦ ⊥, B −◦ A−◦ ⊥ −◦ ⊥⇒ A −◦ B−◦ ⊥ · : · [⊥] ⇐⊥ −◦ · : A −◦ B ⊗ B −◦ A−◦ ⊥, B −◦ A−◦ ⊥ −◦ ⊥ [A −◦ B−◦ ⊥ −◦ ⊥] ⇐⊥ DL · : A −◦ B ⊗ B −◦ A−◦ ⊥, A −◦ B−◦ ⊥ −◦ ⊥, B −◦ A−◦ ⊥ −◦ ⊥`⊥ ? · : · ` A −◦ B−◦ ⊥ −◦ ⊥ ⊗B −◦ A−◦ ⊥ −◦ ⊥ −◦A −◦ B ⊗ B −◦ A−◦ ⊥ −◦ ⊥

(35) · : · ` ((!A) ⊗ (!A)) ˛!A

ILL (270ms) I I A: ·⇒A D A: ·⇒A D I A: ·`A R A: ·`A R A: ·⇒A D ! ! A : · ⇒ !(A) A : · ⇒ !(A) A: ·`A R ⊗ ! A : · ⇒ !(A) A : · ⇒ !(A) ⊗ !(A) DR DR A : · ` !(A) A : · ` !(A) ⊗ !(A) ? ? · : · ` !(A) ⊗ !(A) −◦ !(A) · : · ` !(A) −◦ !(A) ⊗ !(A) RR RR · : · ⇒ !(A) ⊗ !(A) −◦ !(A) · : · ⇒ !(A) −◦ !(A) ⊗ !(A) ⊗ · : · ⇒ !(A) ⊗ !(A) −◦ !(A) ⊗ !(A) −◦ !(A) ⊗ !(A) DR · : · ` !(A) ⊗ !(A) −◦ !(A) ⊗ !(A) −◦ !(A) ⊗ !(A)

C. Olarte, V. de Paiva, E. Pimentel & G. Reis (36) · : A ` ((A −◦ B) −◦ B) ⊗ (B −◦ ((!A) −◦ B))

15 (39) ·B −◦ 0 ` (A −◦ B) ˛ (A −◦ 0)

ILL (310ms) ILL (233ms) I ·: B⇒B D R ·: B`B R L I ·: A⇒A · : · [B] ⇐ B −◦ I · : A [A −◦ B] ⇐ B A: B⇒B D DL A: B`B R ? · : A, A −◦ B ` B ? · : · ` B −◦ !(A) −◦ B · : A ` A −◦ B −◦ B RR R · : A ⇒ A −◦ B −◦ B R · : · ⇒ B −◦ !(A) −◦ B ⊗ · : A ⇒ A −◦ B −◦ B ⊗ B −◦ !(A) −◦ B DR · : A ` A −◦ B −◦ B ⊗ B −◦ !(A) −◦ B

? ·: 0`0 R L I ·: B⇒B · : · [0] ⇐ 0 −◦ · : B [B −◦ 0] ⇐ 0 DL ? · : B, B −◦ 0 ` 0 ·: 0`B R RL L I I ·: A⇒A · : B −◦ 0 [B] ⇐ 0 ·: A⇒A · : · [0] ⇐ B −◦ −◦ · : A, B −◦ 0 [A −◦ B] ⇐ 0 · : A [A −◦ 0] ⇐ B DL DL · : A, A −◦ B, B −◦ 0 ` 0 · : A, A −◦ 0 ` B ? ? · : B −◦ 0 ` A −◦ B −◦ A −◦ 0 · : · ` A −◦ 0 −◦ A −◦ B RR R · : B −◦ 0 ⇒ A −◦ B −◦ A −◦ 0 · : · ⇒ A −◦ 0 −◦ A −◦ B R ⊗ · : B −◦ 0 ⇒ A −◦ B −◦ A −◦ 0 ⊗ A −◦ 0 −◦ A −◦ B D · : B −◦ 0 ` A −◦ B −◦ A −◦ 0 ⊗ A −◦ 0 −◦ A −◦ B R

(40) · : B ` ((A⊗!B) −◦ A) ⊗ (A −◦ (A ⊗ B)) (37) · : B ` ((!(A −◦ B)) −◦ B) ⊗ ... ILL (207ms)

ILL (150ms) I I A −◦ B : B ⇒ B A: B⇒B D DR A −◦ B : B ` B A: B`B R ? ? · : B ` !(A −◦ B) −◦ B · : · ` B −◦ !(A) −◦ B RR RR · : B ⇒ !(A −◦ B) −◦ B · : · ⇒ B −◦ !(A) −◦ B ⊗ · : B ⇒ !(A −◦ B) −◦ B ⊗ B −◦ !(A) −◦ B DR · : B ` !(A −◦ B) −◦ B ⊗ B −◦ !(A) −◦ B

(38) ·¬A ` ((!(A −◦ B) −◦ ¬A)) ⊗ ...

I I ·: A⇒A ·: B⇒B ⊗ I · : A, B ⇒ A ⊗ B B: A⇒A D D B: A`A R ? · : A, B ` A ⊗ B R ? · : · ` A ⊗ !(B) −◦ A · : B ` A −◦ A ⊗ B RR R · : · ⇒ A ⊗ !(B) −◦ A · : B ⇒ A −◦ A ⊗ B R ⊗ · : B ⇒ A ⊗ !(B) −◦ A ⊗ A −◦ A ⊗ B DR · : B ` A ⊗ !(B) −◦ A ⊗ A −◦ A ⊗ B

(41) · : B −◦ 0 ` (((!A) ⊗ B) −◦ B) ⊗ (B −◦ (A ⊗ B))

ILL (193ms) ILL (221ms) ? ·: 0`B R ⊥ I L I A −◦ B : A ⇒ A A −◦ B : · [⊥] ⇐⊥ · : · [0] ⇐ B −◦ · : A ⇒ A −◦ A −◦ B : A [A−◦ ⊥] ⇐⊥ · : A [A −◦ 0] ⇐ B DL DL A −◦ B : A, A−◦ ⊥`⊥ · : A, A −◦ 0 ` B ? ? · : A−◦ ⊥` !(A −◦ B) −◦ A−◦ ⊥ · : · ` A −◦ 0 −◦ A −◦ B RR R · : A−◦ ⊥⇒ !(A −◦ B) −◦ A−◦ ⊥ · : · ⇒ A −◦ 0 −◦ A −◦ B R ⊗ · : A−◦ ⊥⇒ !(A −◦ B) −◦ A−◦ ⊥ ⊗A −◦ 0 −◦ A −◦ B DR · : A−◦ ⊥` !(A −◦ B) −◦ A−◦ ⊥ ⊗A −◦ 0 −◦ A −◦ B

? · : 0 ` A⊗B RL ·: B⇒B · : · [0] ⇐ A ⊗ B −◦ I · : B [B −◦ 0] ⇐ A ⊗ B A: B⇒B D DL R A: B`B · : B, B −◦ 0 ` A ⊗ B ? ? · : · ` !(A) ⊗ B −◦ B · : B −◦ 0 ` B −◦ A ⊗ B RR R · : · ⇒ !(A) ⊗ B −◦ B · : B −◦ 0 ⇒ B −◦ A ⊗ B R ⊗ · : B −◦ 0 ⇒ !(A) ⊗ B −◦ B ⊗ B −◦ A ⊗ B DR · : B −◦ 0 ` !(A) ⊗ B −◦ B ⊗ B −◦ A ⊗ B I

16

Linear Logic

(45) · : · ` ¬((!(A −◦ ¬A)) ⊗ ((¬(!A))−◦!A))

(57b) · : · ` (¬((!A) −◦ B)) −◦ ((¬(A −◦ 0)) & ¬B)

ILL (243ms) ⊥ ⊥ I I A, A −◦ A−◦ ⊥ : · ⇒ A A, A −◦ A−◦ ⊥ : · [⊥] ⇐⊥ A, A −◦ A−◦ ⊥ : · ⇒ A A, A −◦ A−◦ ⊥ : · [⊥] ⇐⊥ −◦ −◦ I I A, A −◦ A−◦ ⊥ : · ⇒ A A, A −◦ A−◦ ⊥ : · [A−◦ ⊥] ⇐⊥ A, A −◦ A−◦ ⊥ : · ⇒ A A, A −◦ A−◦ ⊥ : · [A−◦ ⊥] ⇐⊥ −◦ −◦ A, A −◦ A−◦ ⊥ : · [A −◦ A−◦ ⊥] ⇐⊥ A, A −◦ A−◦ ⊥ : · [A −◦ A−◦ ⊥] ⇐⊥ DC DC A, A −◦ A−◦ ⊥ : · `⊥ A, A −◦ A−◦ ⊥ : · `⊥ ? ? A −◦ A−◦ ⊥ : · ` !(A)−◦ ⊥ A −◦ A−◦ ⊥ : !(A) `⊥ RR RL A −◦ A−◦ ⊥ : · ⇒ !(A)−◦ ⊥ A −◦ A−◦ ⊥ : · [!(A)] ⇐⊥ −◦ A −◦ A−◦ ⊥ : · [!(A)−◦ ⊥ −◦ !(A)] ⇐⊥ DL A −◦ A−◦ ⊥ : !(A)−◦ ⊥ −◦ !(A) `⊥ ? · : · ` !(A −◦ A−◦ ⊥) ⊗ !(A)−◦ ⊥ −◦ !(A)−◦ ⊥

(46) · ` ¬(!(¬(!(¬A −◦ 0) −◦ A)))

ILL (257ms) ? A: 0`B R L I A: ·⇒A A : · [0] ⇐ B −◦ I A : · [A −◦ 0] ⇐ B A: B⇒B D DL A : A −◦ 0 ` B A : B ` B R? ? · : A −◦ 0 ` !(A) −◦ B · : B ` !(A) −◦ B RR RR ⊥ ⊥ · : A −◦ 0 ⇒ !(A) −◦ B · : · [⊥] ⇐⊥ · : B ⇒ !(A) −◦ B · : · [⊥] ⇐⊥ −◦ −◦ · : A −◦ 0 [!(A) −◦ B−◦ ⊥] ⇐⊥ · : B [!(A) −◦ B−◦ ⊥] ⇐⊥ DL DL · : A −◦ 0, !(A) −◦ B−◦ ⊥`⊥ · : B, !(A) −◦ B−◦ ⊥`⊥ ? · : · ` !(A) −◦ B−◦ ⊥ −◦A −◦ 0−◦ ⊥ &B−◦ ⊥

ILL (318ms) I A−◦ ⊥ −◦0, !(A−◦ ⊥ −◦0) −◦ A−◦ ⊥ : A ⇒ A DR A−◦ ⊥ −◦0, !(A−◦ ⊥ −◦0) −◦ A−◦ ⊥ : A ` A ? A−◦ ⊥ −◦0, !(A−◦ ⊥ −◦0) −◦ A−◦ ⊥ : A ` !(A−◦ ⊥ −◦0) −◦ A RR ⊥ A−◦ ⊥ −◦0, !(A−◦ ⊥ −◦0) −◦ A−◦ ⊥ : A ⇒ !(A−◦ ⊥ −◦0) −◦ A A−◦ ⊥ −◦0, !(A−◦ ⊥ −◦0) −◦ A−◦ ⊥ : · [⊥] ⇐⊥ −◦ A−◦ ⊥ −◦0, !(A−◦ ⊥ −◦0) −◦ A−◦ ⊥ : A [!(A−◦ ⊥ −◦0) −◦ A−◦ ⊥] ⇐⊥ DC A−◦ ⊥ −◦0, !(A−◦ ⊥ −◦0) −◦ A−◦ ⊥ : A `⊥ ? A−◦ ⊥ −◦0, !(A−◦ ⊥ −◦0) −◦ A−◦ ⊥ : · ` A−◦ ⊥ RR A−◦ ⊥ −◦0, !(A−◦ ⊥ −◦0) −◦ A−◦ ⊥ : · ⇒ A−◦ ⊥

(58a) · : · ` (!(¬((!A) −◦ B))) −◦ ¬((A ⊗ ¬B) −◦ 0)

? A−◦ ⊥ −◦0, !(A−◦ ⊥ −◦0) −◦ A−◦ ⊥ : 0 ` A RL A−◦ ⊥ −◦0, !(A−◦ ⊥ −◦0) −◦ A−◦ ⊥ : · [0] ⇐ A −◦ A−◦ ⊥ −◦0, !(A−◦ ⊥ −◦0) −◦ A−◦ ⊥ : · [A−◦ ⊥ −◦0] ⇐ A DC A−◦ ⊥ −◦0, !(A−◦ ⊥ −◦0) −◦ A−◦ ⊥ : · ` A ? !(A−◦ ⊥ −◦0) −◦ A−◦ ⊥ : · ` !(A−◦ ⊥ −◦0) −◦ A RR !(A−◦ ⊥ −◦0) −◦ A−◦ ⊥ : · ⇒ !(A−◦ ⊥ −◦0) −◦ A

⊥ !(A−◦ ⊥ −◦0) −◦ A−◦ ⊥ : · [⊥] ⇐⊥ −◦ !(A−◦ ⊥ −◦0) −◦ A−◦ ⊥ : · [!(A−◦ ⊥ −◦0) −◦ A−◦ ⊥] ⇐⊥ DC !(A−◦ ⊥ −◦0) −◦ A−◦ ⊥ : · `⊥ ? · : · ` !(!(A−◦ ⊥ −◦0) −◦ A−◦ ⊥)−◦ ⊥

(47) · : · ` (A ⊗ (B ⊗ (B −◦ 0))) ˛ ...

ILL (266ms) ? ? · : A, 0 ` B ⊗ B −◦ 0 · : 0 ` A ⊗ B ⊗ B −◦ 0 RL RL I I ·: B⇒B · : A [0] ⇐ B ⊗ B −◦ 0 ·: B⇒B · : · [0] ⇐ A ⊗ B ⊗ B −◦ 0 −◦ −◦ · : A, B [B −◦ 0] ⇐ B ⊗ B −◦ 0 · : B [B −◦ 0] ⇐ A ⊗ B ⊗ B −◦ 0 DL DL · : A, B, B −◦ 0 ` B ⊗ B −◦ 0 · : B, B −◦ 0 ` A ⊗ B ⊗ B −◦ 0 ? ? · : · ` A ⊗ B ⊗ B −◦ 0 −◦ B ⊗ B −◦ 0 · : · ` B ⊗ B −◦ 0 −◦ A ⊗ B ⊗ B −◦ 0 R R · : · ⇒ A ⊗ B ⊗ B −◦ 0 −◦ B ⊗ B −◦ 0 R · : · ⇒ B ⊗ B −◦ 0 −◦ A ⊗ B ⊗ B −◦ 0 R ⊗ · : · ⇒ A ⊗ B ⊗ B −◦ 0 −◦ B ⊗ B −◦ 0 ⊗ B ⊗ B −◦ 0 −◦ A ⊗ B ⊗ B −◦ 0 D · : · ` A ⊗ B ⊗ B −◦ 0 −◦ B ⊗ B −◦ 0 ⊗ B ⊗ B −◦ 0 −◦ A ⊗ B ⊗ B −◦ 0 R

ILL (315ms) I A, !(A) −◦ B−◦ ⊥ : B ⇒ B DR A, !(A) −◦ B−◦ ⊥ : B ` B ? A, !(A) −◦ B−◦ ⊥ : B ` !(A) −◦ B RR ⊥ A, !(A) −◦ B−◦ ⊥ : B ⇒ !(A) −◦ B A, !(A) −◦ B−◦ ⊥ : · [⊥] ⇐⊥ −◦ A, !(A) −◦ B−◦ ⊥ : B [!(A) −◦ B−◦ ⊥] ⇐⊥ DC A, !(A) −◦ B−◦ ⊥ : B `⊥ ? A, !(A) −◦ B−◦ ⊥ : · ` B−◦ ⊥ ? RR I A, !(A) −◦ B−◦ ⊥ : · ⇒ A A, !(A) −◦ B−◦ ⊥ : · ⇒ B−◦ ⊥ A, !(A) −◦ B−◦ ⊥ : 0 ` B RL ⊗ A, !(A) −◦ B−◦ ⊥ : · ⇒ A ⊗ B−◦ ⊥ A, !(A) −◦ B−◦ ⊥ : · [0] ⇐ B −◦ A, !(A) −◦ B−◦ ⊥ : · [A ⊗ B−◦ ⊥ −◦0] ⇐ B DL A, !(A) −◦ B−◦ ⊥ : A ⊗ B−◦ ⊥ −◦0 ` B ? !(A) −◦ B−◦ ⊥ : A ⊗ B−◦ ⊥ −◦0 ` !(A) −◦ B RR ⊥ !(A) −◦ B−◦ ⊥ : A ⊗ B−◦ ⊥ −◦0 ⇒ !(A) −◦ B !(A) −◦ B−◦ ⊥ : · [⊥] ⇐⊥ −◦ !(A) −◦ B−◦ ⊥ : A ⊗ B−◦ ⊥ −◦0 [!(A) −◦ B−◦ ⊥] ⇐⊥ DC !(A) −◦ B−◦ ⊥ : A ⊗ B−◦ ⊥ −◦0 `⊥ ? · : · ` !(!(A) −◦ B−◦ ⊥) −◦ A ⊗ B−◦ ⊥ −◦0−◦ ⊥

(58b) · : · ` (¬¬(A ⊗ (¬B))) −◦ ¬(A −◦ B) (57a) · : · ` ((¬¬A) ⊗ (¬B)) −◦ ¬(A −◦ B)

ILL (199ms)

ILL (214ms)

⊥ I ·: B⇒B · : · [⊥] ⇐⊥ −◦ · : B [B−◦ ⊥] ⇐⊥ DL · : B, B−◦ ⊥`⊥ RL I ·: A⇒A · : B−◦ ⊥ [B] ⇐⊥ −◦ · : A, B−◦ ⊥ [A −◦ B] ⇐⊥ DL · : A, A −◦ B, B−◦ ⊥`⊥ ? · : A −◦ B, B−◦ ⊥` A−◦ ⊥ R ⊥ · : A −◦ B, B−◦ ⊥⇒ A−◦ ⊥ R · : · [⊥] ⇐⊥ −◦ · : A −◦ B, B−◦ ⊥ [A−◦ ⊥ −◦ ⊥] ⇐⊥ DL · : A −◦ B, B−◦ ⊥, A−◦ ⊥ −◦ ⊥`⊥ ? · : · ` A−◦ ⊥ −◦ ⊥ ⊗B−◦ ⊥ −◦A −◦ B−◦ ⊥

⊥ I ·: B⇒B · : · [⊥] ⇐⊥ −◦ · : B [B−◦ ⊥] ⇐⊥ DL · : B, B−◦ ⊥`⊥ RL I ·: A⇒A · : B−◦ ⊥ [B] ⇐⊥ −◦ · : A, B−◦ ⊥ [A −◦ B] ⇐⊥ DL · : A, A −◦ B, B−◦ ⊥`⊥ ? · : A −◦ B ` A ⊗ B−◦ ⊥ −◦ ⊥ R ⊥ · : A −◦ B ⇒ A ⊗ B−◦ ⊥ −◦ ⊥ R · : · [⊥] ⇐⊥ −◦ · : A −◦ B [A ⊗ B−◦ ⊥ −◦ ⊥ −◦ ⊥] ⇐⊥ DL · : A −◦ B, A ⊗ B−◦ ⊥ −◦ ⊥ −◦ ⊥`⊥ ? · : · ` A ⊗ B−◦ ⊥ −◦ ⊥ −◦ ⊥ −◦A −◦ B−◦ ⊥

C. Olarte, V. de Paiva, E. Pimentel & G. Reis

17

(59a) · : · ` (¬¬(A −◦ B)) −◦ (¬(A ⊗ (¬B))) (59b) · : · ` ((A ⊗ ¬B) −◦ 0) −◦ (¬(!(¬(!A −◦ B)))) ILL (196ms) ⊥ I ·: B⇒B · : · [⊥] ⇐⊥ −◦ · : B [B−◦ ⊥] ⇐⊥ DL · : B, B−◦ ⊥`⊥ RL I ·: A⇒A · : B−◦ ⊥ [B] ⇐⊥ −◦ · : A, B−◦ ⊥ [A −◦ B] ⇐⊥ DL · : A, A −◦ B, B−◦ ⊥`⊥ ? · : A, B−◦ ⊥` A −◦ B−◦ ⊥ R ⊥ · : A, B−◦ ⊥⇒ A −◦ B−◦ ⊥ R · : · [⊥] ⇐⊥ −◦ · : A, B−◦ ⊥ [A −◦ B−◦ ⊥ −◦ ⊥] ⇐⊥ DL · : A, B−◦ ⊥, A −◦ B−◦ ⊥ −◦ ⊥`⊥ ? · : · ` A −◦ B−◦ ⊥ −◦ ⊥ −◦A ⊗ B−◦ ⊥ −◦ ⊥

ILL (322ms) I A, !(A) −◦ B−◦ ⊥ : B ⇒ B DR A, !(A) −◦ B−◦ ⊥ : B ` B ? A, !(A) −◦ B−◦ ⊥ : B ` !(A) −◦ B RR ⊥ A, !(A) −◦ B−◦ ⊥ : B ⇒ !(A) −◦ B A, !(A) −◦ B−◦ ⊥ : · [⊥] ⇐⊥ −◦ A, !(A) −◦ B−◦ ⊥ : B [!(A) −◦ B−◦ ⊥] ⇐⊥ DC A, !(A) −◦ B−◦ ⊥ : B `⊥ ? A, !(A) −◦ B−◦ ⊥ : · ` B−◦ ⊥ ? RR I A, !(A) −◦ B−◦ ⊥ : · ⇒ A A, !(A) −◦ B−◦ ⊥ : · ⇒ B−◦ ⊥ A, !(A) −◦ B−◦ ⊥ : 0 ` B RL ⊗ A, !(A) −◦ B−◦ ⊥ : · ⇒ A ⊗ B−◦ ⊥ A, !(A) −◦ B−◦ ⊥ : · [0] ⇐ B −◦ A, !(A) −◦ B−◦ ⊥ : · [A ⊗ B−◦ ⊥ −◦0] ⇐ B DL A, !(A) −◦ B−◦ ⊥ : A ⊗ B−◦ ⊥ −◦0 ` B ? !(A) −◦ B−◦ ⊥ : A ⊗ B−◦ ⊥ −◦0 ` !(A) −◦ B RR ⊥ !(A) −◦ B−◦ ⊥ : A ⊗ B−◦ ⊥ −◦0 ⇒ !(A) −◦ B !(A) −◦ B−◦ ⊥ : · [⊥] ⇐⊥ −◦ !(A) −◦ B−◦ ⊥ : A ⊗ B−◦ ⊥ −◦0 [!(A) −◦ B−◦ ⊥] ⇐⊥ DC !(A) −◦ B−◦ ⊥ : A ⊗ B−◦ ⊥ −◦0 `⊥ ? · : · ` A ⊗ B−◦ ⊥ −◦0 −◦ !(!(A) −◦ B−◦ ⊥)−◦ ⊥

18

D

Linear Logic

Proofs in CLL

(62) ` · : A −◦ ?B −◦ A −◦ ?A CLL (155ms) I I A, B : A⊥ ⇒ A ⊥ DC A : A ⇒ A DC ⊥ ` A, B : A ` A : A⊥ ? ? ⊥ ` A : A O?B ` A : A⊥ R RR R ⊥ A : · ⇒ A O?B A : · ⇒ A⊥ ⊗ A : · ⇒ A⊥ O?B ⊗ A⊥ D R ` A : A⊥ O?B ⊗ A⊥ ? ` · : A −◦ ?B −◦ A −◦ ?A

(63) ` · : A ⊗ > & B ⊗ > −◦ 0 −◦ A −◦C ⊕ B −◦ D CLL (319ms) ? ? ` · : C, > ` · : D, > I I R R · : A⊥ ⇒ A · : C ⇒ > ⊗R · : B⊥ ⇒ B · : D ⇒ > ⊗R · : C, A⊥ ⇒ A ⊗ > · : D, B⊥ ⇒ B ⊗ > D D R R ` · : C, A⊥ , A ⊗ > ` · : D, B⊥ , B ⊗ > ? ? ` · : A ⊗ >, A⊥ OC ` · : B ⊗ >, B⊥ OD R R R R · : A ⊗ > ⇒ A⊥ OC · : B ⊗ > ⇒ B⊥ OD ⊕1 ⊕1 · : A ⊗ > ⇒ A⊥ OC ⊕ B⊥ OD · : B ⊗ > ⇒ A⊥ OC ⊕ B⊥ OD D DR R ` · : A ⊗ >, A⊥ OC ⊕ B⊥ OD ` · : B ⊗ >, A⊥ OC ⊕ B⊥ OD ? ? ` · : A ⊗ > & B ⊗ >, A⊥ OC ⊕ B⊥ OD `·: > R RR ⊥ ⊥ · : A OC ⊕ B OD ⇒ A ⊗ > & B ⊗ > ·: ·⇒> R ⊗ · : A⊥ OC ⊕ B⊥ OD ⇒ A ⊗ > & B ⊗ > ⊗ > DR ` · : A ⊗ > & B ⊗ > ⊗ >, A⊥ OC ⊕ B⊥ OD ? ` · : A ⊗ > & B ⊗ > −◦ 0 −◦ A −◦C ⊕ B −◦ D

C. Olarte, V. de Paiva, E. Pimentel & G. Reis

E

19

Proofs of sequents in Kleene’s list (1) · ` A → A

LJ (31ms) ·`A→A

(2) A → B, B → C ` A → C

LJ (48ms) ?

Multiplicative translation (46ms) I ·: A⇒A D · : A ` A ?R · : · ` A −◦ A Girard’s Translation (43ms) I A: ·⇒A D A : · ` A R? · : · ` !(A) −◦ A Positive decoration (83ms) I A: ·⇒A D A: ·`A R ! A : · ⇒ !(A) DR A : · ` !(A) ? · : · ` !(A) −◦ !(A) ! · : · ⇒ !(!(A) −◦ !(A)) DR · : · ` !(!(A) −◦ !(A)) 0/1 focused decoration (59ms) I A: ·⇒A D A : · ` A R? · : · ` !(A) −◦ A ! · : · ⇒ !(!(A) −◦ A) DR · : · ` !(!(A) −◦ A)

? ? A, B, B → C ` B A, B,C ` C ⊃L A, A → B, B → C ` A A, B, B → C ` C ⊃L A, A → B, B → C ` C ? A → B, B → C ` A → C ?

Multiplicative translation (111ms) I ·: C ⇒C D R ·: C `C R L I ·: B⇒B · : · [C] ⇐ C −◦ · : B [B −◦C] ⇐ C DL · : B, B −◦C ` C RL I ·: A⇒A · : B −◦C [B] ⇐ C −◦ · : A, B −◦C [A −◦ B] ⇐ C DL · : A, A −◦ B, B −◦C ` C ? · : A −◦ B, B −◦C ` A −◦C

Girard’s Translation (168ms) I I A, !(A) −◦ B, !(B) −◦C : · ⇒ A A, !(A) −◦ B, !(B) −◦C : B ⇒ B DR DR A, !(A) −◦ B, !(B) −◦C : · ` A A, !(A) −◦ B, !(B) −◦C : B ` B RL ! A, !(A) −◦ B, !(B) −◦C : · ⇒ !(A) A, !(A) −◦ B, !(B) −◦C : · [B] ⇐ B −◦ I A, !(A) −◦ B, !(B) −◦C : · [!(A) −◦ B] ⇐ B A, !(A) −◦ B, !(B) −◦C : C ⇒ C DC DR A, !(A) −◦ B, !(B) −◦C : · ` B A, !(A) −◦ B, !(B) −◦C : C ` C RL ! A, !(A) −◦ B, !(B) −◦C : · ⇒ !(B) A, !(A) −◦ B, !(B) −◦C : · [C] ⇐ C −◦ A, !(A) −◦ B, !(B) −◦C : · [!(B) −◦C] ⇐ C DC A, !(A) −◦ B, !(B) −◦C : · ` C ? · : !(!(A) −◦ B), !(!(B) −◦C) ` !(A) −◦C

Positive decoration (226ms) I A, B,C, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(C) : · ⇒ C DR I A, B, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(C) : · ⇒ B A, B,C, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(C) : · ` C ? DR A, B, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(C) : · ` B A, B, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(C) : !(C) ` C RL ! A, B, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(C) : · ⇒ !(B) A, B, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(C) : · [!(C)] ⇐ C −◦ A, B, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(C) : · [!(B) −◦ !(C)] ⇐ C DC I A, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(C) : · ⇒ A A, B, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(C) : · ` C ? DR A, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(C) : · ` A A, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(C) : !(B) ` C R ! L A, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(C) : · ⇒ !(A) A, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(C) : · [!(B)] ⇐ C −◦ A, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(C) : · [!(A) −◦ !(B)] ⇐ C DC A, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(C) : · ` C ! A, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(C) : · ⇒ !(C) DR A, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(C) : · ` !(C) ? !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(C) : · ` !(A) −◦ !(C) ! !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(C) : · ⇒ !(!(A) −◦ !(C)) DR !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(C) : · ` !(!(A) −◦ !(C)) ? · : !(!(A) −◦ !(B)), !(!(B) −◦ !(C)) ` !(!(A) −◦ !(C))

0/1 focused decoration (185ms) I A, B,C, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(C) : · ⇒ C DR I A, B, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(C) : · ⇒ B A, B,C, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(C) : · ` C ? DR A, B, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(C) : · ` B A, B, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(C) : !(C) ` C RL ! A, B, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(C) : · ⇒ !(B) A, B, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(C) : · [!(C)] ⇐ C −◦ A, B, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(C) : · [!(B) −◦ !(C)] ⇐ C DC I A, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(C) : · ⇒ A A, B, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(C) : · ` C ? DR A, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(C) : · ` A A, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(C) : !(B) ` C RL ! A, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(C) : · ⇒ !(A) A, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(C) : · [!(B)] ⇐ C −◦ A, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(C) : · [!(A) −◦ !(B)] ⇐ C DC A, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(C) : · ` C ? !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(C) : · ` !(A) −◦C ! !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(C) : · ⇒ !(!(A) −◦C) DR !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(C) : · ` !(!(A) −◦C) ? · : !(!(A) −◦ !(B)), !(!(B) −◦ !(C)) ` !(!(A) −◦C)

20

Linear Logic (4) A → (B → C) ` (A ∧ B) → C (3) A → (B → C) ` B → (A → C) LJ (48ms)

LJ (49ms) ? ? A, B, B → C ` B A, B,C ` C ⊃L A, B, A → B → C ` A A, B, B → C ` C ⊃L A, B, A → B → C ` C ? A→B→C `B→A→C ?

Multiplicative translation (94ms) I ·: C ⇒C D R ·: C `C R L I ·: B⇒B · : · [C] ⇐ C −◦ I ·: A⇒A · : B [B −◦C] ⇐ C −◦ · : A, B [A −◦ B −◦C] ⇐ C DL · : A, B, A −◦ B −◦C ` C ? · : A −◦ B −◦C ` B −◦ A −◦C

Girard’s Translation (128ms) I I A, B, !(A) −◦ !(B) −◦C : · ⇒ B A, B, !(A) −◦ !(B) −◦C : C ⇒ C DR DR I A, B, !(A) −◦ !(B) −◦C : · ⇒ A A, B, !(A) −◦ !(B) −◦C : · ` B A, B, !(A) −◦ !(B) −◦C : C ` C DR RL ! A, B, !(A) −◦ !(B) −◦C : · ` A A, B, !(A) −◦ !(B) −◦C : · ⇒ !(B) A, B, !(A) −◦ !(B) −◦C : · [C] ⇐ C −◦ ! A, B, !(A) −◦ !(B) −◦C : · ⇒ !(A) A, B, !(A) −◦ !(B) −◦C : · [!(B) −◦C] ⇐ C −◦ A, B, !(A) −◦ !(B) −◦C : · [!(A) −◦ !(B) −◦C] ⇐ C DC A, B, !(A) −◦ !(B) −◦C : · ` C ? · : !(!(A) −◦ !(B) −◦C) ` !(B) −◦ !(A) −◦C

Positive decoration (208ms) I A, B,C, !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(C)), !(B) −◦ !(C) : · ⇒ C DR I A, B, !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(C)), !(B) −◦ !(C) : · ⇒ B A, B,C, !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(C)), !(B) −◦ !(C) : · ` C ? DR A, B, !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(C)), !(B) −◦ !(C) : · ` B A, B, !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(C)), !(B) −◦ !(C) : !(C) ` C RL ! A, B, !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(C)), !(B) −◦ !(C) : · ⇒ !(B) A, B, !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(C)), !(B) −◦ !(C) : · [!(C)] ⇐ C −◦ A, B, !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(C)), !(B) −◦ !(C) : · [!(B) −◦ !(C)] ⇐ C DC I A, B, !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(C)) : · ⇒ A A, B, !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(C)), !(B) −◦ !(C) : · ` C ? DR A, B, !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(C)) : · ` A A, B, !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(C)) : !(!(B) −◦ !(C)) ` C RL ! A, B, !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(C)) : · ⇒ !(A) A, B, !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(C)) : · [!(!(B) −◦ !(C))] ⇐ C −◦ A, B, !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(C)) : · [!(A) −◦ !(!(B) −◦ !(C))] ⇐ C DC A, B, !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(C)) : · ` C ! A, B, !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(C)) : · ⇒ !(C) DR A, B, !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(C)) : · ` !(C) ? B, !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(C)) : · ` !(A) −◦ !(C) ! B, !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(C)) : · ⇒ !(!(A) −◦ !(C)) DR B, !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(C)) : · ` !(!(A) −◦ !(C)) ? !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(C)) : · ` !(B) −◦ !(!(A) −◦ !(C)) ! !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(C)) : · ⇒ !(!(B) −◦ !(!(A) −◦ !(C))) DR !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(C)) : · ` !(!(B) −◦ !(!(A) −◦ !(C))) ? · : !(!(A) −◦ !(!(B) −◦ !(C))) ` !(!(B) −◦ !(!(A) −◦ !(C)))

0/1 focused decoration (189ms) I A, B,C, !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(C)), !(B) −◦ !(C) : · ⇒ C DR I A, B, !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(C)), !(B) −◦ !(C) : · ⇒ B A, B,C, !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(C)), !(B) −◦ !(C) : · ` C ? DR A, B, !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(C)), !(B) −◦ !(C) : · ` B A, B, !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(C)), !(B) −◦ !(C) : !(C) ` C RL ! A, B, !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(C)), !(B) −◦ !(C) : · ⇒ !(B) A, B, !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(C)), !(B) −◦ !(C) : · [!(C)] ⇐ C −◦ A, B, !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(C)), !(B) −◦ !(C) : · [!(B) −◦ !(C)] ⇐ C DC I A, B, !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(C)) : · ⇒ A A, B, !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(C)), !(B) −◦ !(C) : · ` C ? DR A, B, !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(C)) : · ` A A, B, !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(C)) : !(!(B) −◦ !(C)) ` C RL ! A, B, !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(C)) : · ⇒ !(A) A, B, !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(C)) : · [!(!(B) −◦ !(C))] ⇐ C −◦ A, B, !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(C)) : · [!(A) −◦ !(!(B) −◦ !(C))] ⇐ C DC A, B, !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(C)) : · ` C ? B, !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(C)) : · ` !(A) −◦C ! B, !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(C)) : · ⇒ !(!(A) −◦C) DR B, !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(C)) : · ` !(!(A) −◦C) ? !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(C)) : · ` !(B) −◦ !(!(A) −◦C) ! !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(C)) : · ⇒ !(!(B) −◦ !(!(A) −◦C)) DR !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(C)) : · ` !(!(B) −◦ !(!(A) −◦C)) ? · : !(!(A) −◦ !(!(B) −◦ !(C))) ` !(!(B) −◦ !(!(A) −◦C))

? ? A, B, B → C ` B A, B,C ` C ⊃L ? A, B, A → B → C ` A A, B, B → C ` C ⊃L A, B, A → B → C ` C ? A → B →C ` A∧B →C

Multiplicative translation (97ms) I ·: C ⇒C D R ·: C `C R L I ·: B⇒B · : · [C] ⇐ C −◦ I ·: A⇒A · : B [B −◦C] ⇐ C −◦ · : A, B [A −◦ B −◦C] ⇐ C DL · : A, B, A −◦ B −◦C ` C ? · : A −◦ B −◦C ` A ⊗ B −◦C

Girard’s Translation (326ms) I I A, B, !(A) −◦ !(B) −◦C : · ⇒ B A, B, !(A) −◦ !(B) −◦C : C ⇒ C DR DR I A, B, !(A) −◦ !(B) −◦C : · ⇒ A A, B, !(A) −◦ !(B) −◦C : · ` B A, B, !(A) −◦ !(B) −◦C : C ` C DR RL ! A, B, !(A) −◦ !(B) −◦C : · ` A A, B, !(A) −◦ !(B) −◦C : · ⇒ !(B) A, B, !(A) −◦ !(B) −◦C : · [C] ⇐ C −◦ ! A, B, !(A) −◦ !(B) −◦C : · ⇒ !(A) A, B, !(A) −◦ !(B) −◦C : · [!(B) −◦C] ⇐ C −◦ A, B, !(A) −◦ !(B) −◦C : · [!(A) −◦ !(B) −◦C] ⇐ C DC A, B, !(A) −◦ !(B) −◦C : · ` C ? · : !(!(A) −◦ !(B) −◦C) ` !(A & B) −◦C

Positive decoration (219ms) I A, B,C, !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(C)), !(B) −◦ !(C) : · ⇒ C DR I A, B, !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(C)), !(B) −◦ !(C) : · ⇒ B A, B,C, !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(C)), !(B) −◦ !(C) : · ` C ? DR A, B, !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(C)), !(B) −◦ !(C) : · ` B A, B, !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(C)), !(B) −◦ !(C) : !(C) ` C RL ! A, B, !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(C)), !(B) −◦ !(C) : · ⇒ !(B) A, B, !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(C)), !(B) −◦ !(C) : · [!(C)] ⇐ C −◦ A, B, !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(C)), !(B) −◦ !(C) : · [!(B) −◦ !(C)] ⇐ C D I C A, B, !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(C)) : · ⇒ A A, B, !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(C)), !(B) −◦ !(C) : · ` C ? DR A, B, !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(C)) : · ` A A, B, !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(C)) : !(!(B) −◦ !(C)) ` C RL ! A, B, !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(C)) : · ⇒ !(A) A, B, !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(C)) : · [!(!(B) −◦ !(C))] ⇐ C −◦ A, B, !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(C)) : · [!(A) −◦ !(!(B) −◦ !(C))] ⇐ C DC A, B, !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(C)) : · ` C ! A, B, !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(C)) : · ⇒ !(C) DR A, B, !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(C)) : · ` !(C) ? !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(C)) : · ` !(A) ⊗ !(B) −◦ !(C) ! !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(C)) : · ⇒ !(!(A) ⊗ !(B) −◦ !(C)) DR !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(C)) : · ` !(!(A) ⊗ !(B) −◦ !(C)) ? · : !(!(A) −◦ !(!(B) −◦ !(C))) ` !(!(A) ⊗ !(B) −◦ !(C))

0/1 focused decoration (313ms) I A, B,C, !(A), !(B), !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(C)), !(B) −◦ !(C) : · ⇒ C DR I A, B, !(A), !(B), !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(C)), !(B) −◦ !(C) : · ⇒ B A, B,C, !(A), !(B), !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(C)), !(B) −◦ !(C) : · ` C ? DR A, B, !(A), !(B), !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(C)), !(B) −◦ !(C) : · ` B A, B, !(A), !(B), !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(C)), !(B) −◦ !(C) : !(C) ` C RL ! A, B, !(A), !(B), !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(C)), !(B) −◦ !(C) : · ⇒ !(B) A, B, !(A), !(B), !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(C)), !(B) −◦ !(C) : · [!(C)] ⇐ C −◦ A, B, !(A), !(B), !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(C)), !(B) −◦ !(C) : · [!(B) −◦ !(C)] ⇐ C DC I A, B, !(A), !(B), !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(C)) : · ⇒ A A, B, !(A), !(B), !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(C)), !(B) −◦ !(C) : · ` C ? DR A, B, !(A), !(B), !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(C)) : · ` A A, B, !(A), !(B), !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(C)) : !(!(B) −◦ !(C)) ` C RL ! A, B, !(A), !(B), !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(C)) : · ⇒ !(A) A, B, !(A), !(B), !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(C)) : · [!(!(B) −◦ !(C))] ⇐ C −◦ A, B, !(A), !(B), !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(C)) : · [!(A) −◦ !(!(B) −◦ !(C))] ⇐ C DC A, B, !(A), !(B), !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(C)) : · ` C ? A, !(A), !(B), !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(C)) : !(B) ` C RL A, !(A), !(B), !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(C)) : · [!(B)] ⇐ C DC A, !(A), !(B), !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(C)) : · ` C ? !(A), !(B), !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(C)) : !(A) ` C RL !(A), !(B), !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(C)) : · [!(A)] ⇐ C DC !(A), !(B), !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(C)) : · ` C ? !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(C)) : · ` !(!(A) & !(B)) −◦C ! !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(C)) : · ⇒ !(!(!(A) & !(B)) −◦C) DR !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(C)) : · ` !(!(!(A) & !(B)) −◦C) ? · : !(!(A) −◦ !(!(B) −◦ !(C))) ` !(!(!(A) & !(B)) −◦C)

C. Olarte, V. de Paiva, E. Pimentel & G. Reis (5) A ∧ B → C ` A → (B → C)

LJ (38ms)

21 (6) A → B ` (B → C) → (A → C)

LJ (48ms)

? ? A, B, A ∧ B → C ` A ∧ B A, B,C ` C ⊃L A, B, A ∧ B → C ` C ? A∧B →C ` A → B →C

? ? A, B, B → C ` B A, B,C ` C ⊃L ? A, A → B, B → C ` A A, B, B → C ` C ⊃L A, A → B, B → C ` C ? A→B`B→C →A→C

Multiplicative translation (98ms)

Multiplicative translation (106ms)

I ·: C ⇒C D R I ·: C `C R ·: A⇒A ·: B⇒B ⊗ L · : A, B ⇒ A ⊗ B · : · [C] ⇐ C −◦ · : A, B [A ⊗ B −◦C] ⇐ C DL · : A, B, A ⊗ B −◦C ` C ? · : A ⊗ B −◦C ` A −◦ B −◦C

I ·: C ⇒C D R ·: C `C R L I ·: B⇒B · : · [C] ⇐ C −◦ · : B [B −◦C] ⇐ C DL · : B, B −◦C ` C RL I ·: A⇒A · : B −◦C [B] ⇐ C −◦ · : A, B −◦C [A −◦ B] ⇐ C DL · : A, A −◦ B, B −◦C ` C ? · : A −◦ B ` B −◦C −◦ A −◦C

I

Girard’s Translation (108ms) I I A, B, !(A & B) −◦C : · ⇒ A A, B, !(A & B) −◦C : · ⇒ B DR DR I A, B, !(A & B) −◦C : · ` A A, B, !(A & B) −◦C : · ` B A, B, !(A & B) −◦C : C ⇒ C ? DR A, B, !(A & B) −◦C : · ` A & B A, B, !(A & B) −◦C : C ` C RL ! A, B, !(A & B) −◦C : · ⇒ !(A & B) A, B, !(A & B) −◦C : · [C] ⇐ C −◦ A, B, !(A & B) −◦C : · [!(A & B) −◦C] ⇐ C DC A, B, !(A & B) −◦C : · ` C ? · : !(!(A & B) −◦C) ` !(A) −◦ !(B) −◦C

Positive decoration (182ms) I I I A, B, !(A) ⊗ !(B) −◦ !(C) : · ⇒ A A, B, !(A) ⊗ !(B) −◦ !(C) : · ⇒ B A, B,C, !(A) ⊗ !(B) −◦ !(C) : · ⇒ C DR DR DR A, B, !(A) ⊗ !(B) −◦ !(C) : · ` A A, B, !(A) ⊗ !(B) −◦ !(C) : · ` B A, B,C, !(A) ⊗ !(B) −◦ !(C) : · ` C ? ! ! A, B, !(A) ⊗ !(B) −◦ !(C) : · ⇒ !(A) A, B, !(A) ⊗ !(B) −◦ !(C) : · ⇒ !(B) A, B, !(A) ⊗ !(B) −◦ !(C) : !(C) ` C RL ⊗ A, B, !(A) ⊗ !(B) −◦ !(C) : · ⇒ !(A) ⊗ !(B) A, B, !(A) ⊗ !(B) −◦ !(C) : · [!(C)] ⇐ C −◦ A, B, !(A) ⊗ !(B) −◦ !(C) : · [!(A) ⊗ !(B) −◦ !(C)] ⇐ C DC A, B, !(A) ⊗ !(B) −◦ !(C) : · ` C ! A, B, !(A) ⊗ !(B) −◦ !(C) : · ⇒ !(C) DR A, B, !(A) ⊗ !(B) −◦ !(C) : · ` !(C) ? A, !(A) ⊗ !(B) −◦ !(C) : · ` !(B) −◦ !(C) ! A, !(A) ⊗ !(B) −◦ !(C) : · ⇒ !(!(B) −◦ !(C)) DR A, !(A) ⊗ !(B) −◦ !(C) : · ` !(!(B) −◦ !(C)) ? !(A) ⊗ !(B) −◦ !(C) : · ` !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(C)) ! !(A) ⊗ !(B) −◦ !(C) : · ⇒ !(!(A) −◦ !(!(B) −◦ !(C))) DR !(A) ⊗ !(B) −◦ !(C) : · ` !(!(A) −◦ !(!(B) −◦ !(C))) ? · : !(!(A) ⊗ !(B) −◦ !(C)) ` !(!(A) −◦ !(!(B) −◦ !(C)))

0/1 focused decoration (197ms) I I A, B, !(!(A & B)) −◦ !(C) : · ⇒ A A, B, !(!(A & B)) −◦ !(C) : · ⇒ B DR DR A, B, !(!(A & B)) −◦ !(C) : · ` A A, B, !(!(A & B)) −◦ !(C) : · ` B ? I A, B, !(!(A & B)) −◦ !(C) : · ` A & B A, B,C, !(!(A & B)) −◦ !(C) : · ⇒ C DR ! A, B, !(!(A & B)) −◦ !(C) : · ⇒ !(A & B) A, B,C, !(!(A & B)) −◦ !(C) : · ` C ? DR A, B, !(!(A & B)) −◦ !(C) : · ` !(A & B) A, B, !(!(A & B)) −◦ !(C) : !(C) ` C RL ! A, B, !(!(A & B)) −◦ !(C) : · ⇒ !(!(A & B)) A, B, !(!(A & B)) −◦ !(C) : · [!(C)] ⇐ C −◦ A, B, !(!(A & B)) −◦ !(C) : · [!(!(A & B)) −◦ !(C)] ⇐ C DC A, B, !(!(A & B)) −◦ !(C) : · ` C ? A, !(!(A & B)) −◦ !(C) : · ` !(B) −◦C ! A, !(!(A & B)) −◦ !(C) : · ⇒ !(!(B) −◦C) DR A, !(!(A & B)) −◦ !(C) : · ` !(!(B) −◦C) ? !(!(A & B)) −◦ !(C) : · ` !(A) −◦ !(!(B) −◦C) ! !(!(A & B)) −◦ !(C) : · ⇒ !(!(A) −◦ !(!(B) −◦C)) DR !(!(A & B)) −◦ !(C) : · ` !(!(A) −◦ !(!(B) −◦C)) ? · : !(!(!(A & B)) −◦ !(C)) ` !(!(A) −◦ !(!(B) −◦C))

Girard’s Translation (157ms) I I A, !(A) −◦ B, !(B) −◦C : · ⇒ A A, !(A) −◦ B, !(B) −◦C : B ⇒ B DR DR A, !(A) −◦ B, !(B) −◦C : · ` A A, !(A) −◦ B, !(B) −◦C : B ` B RL ! A, !(A) −◦ B, !(B) −◦C : · ⇒ !(A) A, !(A) −◦ B, !(B) −◦C : · [B] ⇐ B −◦ I A, !(A) −◦ B, !(B) −◦C : · [!(A) −◦ B] ⇐ B A, !(A) −◦ B, !(B) −◦C : C ⇒ C DC DR A, !(A) −◦ B, !(B) −◦C : · ` B A, !(A) −◦ B, !(B) −◦C : C ` C RL ! A, !(A) −◦ B, !(B) −◦C : · ⇒ !(B) A, !(A) −◦ B, !(B) −◦C : · [C] ⇐ C −◦ A, !(A) −◦ B, !(B) −◦C : · [!(B) −◦C] ⇐ C DC A, !(A) −◦ B, !(B) −◦C : · ` C ? · : !(!(A) −◦ B) ` !(!(B) −◦C) −◦ !(A) −◦C

Positive decoration (252ms) I A, B,C, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(C) : · ⇒ C DR I A, B, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(C) : · ⇒ B A, B,C, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(C) : · ` C ? DR A, B, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(C) : · ` B A, B, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(C) : !(C) ` C RL ! A, B, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(C) : · ⇒ !(B) A, B, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(C) : · [!(C)] ⇐ C −◦ A, B, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(C) : · [!(B) −◦ !(C)] ⇐ C DC I A, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(C) : · ⇒ A A, B, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(C) : · ` C ? DR A, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(C) : · ` A A, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(C) : !(B) ` C RL ! A, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(C) : · ⇒ !(A) A, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(C) : · [!(B)] ⇐ C −◦ A, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(C) : · [!(A) −◦ !(B)] ⇐ C DC A, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(C) : · ` C ! A, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(C) : · ⇒ !(C) DR A, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(C) : · ` !(C) ? !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(C) : · ` !(A) −◦ !(C) ! !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(C) : · ⇒ !(!(A) −◦ !(C)) DR !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(C) : · ` !(!(A) −◦ !(C)) ? !(A) −◦ !(B) : · ` !(!(B) −◦ !(C)) −◦ !(!(A) −◦ !(C)) ! !(A) −◦ !(B) : · ⇒ !(!(!(B) −◦ !(C)) −◦ !(!(A) −◦ !(C))) DR !(A) −◦ !(B) : · ` !(!(!(B) −◦ !(C)) −◦ !(!(A) −◦ !(C))) ? · : !(!(A) −◦ !(B)) ` !(!(!(B) −◦ !(C)) −◦ !(!(A) −◦ !(C)))

0/1 focused decoration (214ms) I A, B,C, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(C) : · ⇒ C DR I A, B, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(C) : · ⇒ B A, B,C, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(C) : · ` C ? DR A, B, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(C) : · ` B A, B, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(C) : !(C) ` C RL ! A, B, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(C) : · ⇒ !(B) A, B, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(C) : · [!(C)] ⇐ C −◦ A, B, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(C) : · [!(B) −◦ !(C)] ⇐ C DC I A, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(C) : · ⇒ A A, B, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(C) : · ` C ? DR A, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(C) : · ` A A, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(C) : !(B) ` C RL ! A, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(C) : · ⇒ !(A) A, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(C) : · [!(B)] ⇐ C −◦ A, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(C) : · [!(A) −◦ !(B)] ⇐ C DC A, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(C) : · ` C ? !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(C) : · ` !(A) −◦C ! !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(C) : · ⇒ !(!(A) −◦C) DR !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(C) : · ` !(!(A) −◦C) ? !(A) −◦ !(B) : · ` !(!(B) −◦ !(C)) −◦ !(!(A) −◦C) ! !(A) −◦ !(B) : · ⇒ !(!(!(B) −◦ !(C)) −◦ !(!(A) −◦C)) DR !(A) −◦ !(B) : · ` !(!(!(B) −◦ !(C)) −◦ !(!(A) −◦C)) ? · : !(!(A) −◦ !(B)) ` !(!(!(B) −◦ !(C)) −◦ !(!(A) −◦C))

22

Linear Logic

(7) A → B ` (C → A) → (C → B)

(8) A → B ` A ∧C → B ∧C

LJ (51ms)

LJ (34ms)

? ? C, A → B,C → A ` C A,C, A → B ` A ⊃L ? C, A → B,C → A ` A B,C,C → A ` B ⊃L C, A → B,C → A ` B ? A→B`C →A→C →B

? ? A,C, A → B ` A A, B,C ` B ⊃L A,C, A → B ` B ? A → B ` A ∧C → B ∧C

Multiplicative translation (108ms) I ·: B⇒B D R ·: B`B R L I ·: A⇒A · : · [B] ⇐ B −◦ · : A [A −◦ B] ⇐ B DL · : A, A −◦ B ` B RL I ·: C ⇒C · : A −◦ B [A] ⇐ B −◦ · : C, A −◦ B [C −◦ A] ⇐ B DL · : C, A −◦ B,C −◦ A ` B ? · : A −◦ B ` C −◦ A −◦C −◦ B

Multiplicative translation (91ms)

I I ·: B⇒B ·: C ⇒C ⊗ · : B,C ⇒ B ⊗C D · : B,C ` B ⊗C R RL I ·: A⇒A · : C [B] ⇐ B ⊗C −◦ · : A,C [A −◦ B] ⇐ B ⊗C DL · : A,C, A −◦ B ` B ⊗C ? · : A −◦ B ` A ⊗C −◦ B ⊗C Girard’s Translation (114ms)

Girard’s Translation (156ms) I I C, !(A) −◦ B, !(C) −◦ A : · ⇒ C C, !(A) −◦ B, !(C) −◦ A : A ⇒ A DR DR C, !(A) −◦ B, !(C) −◦ A : · ` C C, !(A) −◦ B, !(C) −◦ A : A ` A RL ! C, !(A) −◦ B, !(C) −◦ A : · ⇒ !(C) C, !(A) −◦ B, !(C) −◦ A : · [A] ⇐ A −◦ C, !(A) −◦ B, !(C) −◦ A : · [!(C) −◦ A] ⇐ A DC C, !(A) −◦ B, !(C) −◦ A : · ` A ! C, !(A) −◦ B, !(C) −◦ A : · ⇒ !(A)

I C, !(A) −◦ B, !(C) −◦ A : B ⇒ B DR C, !(A) −◦ B, !(C) −◦ A : B ` B RL C, !(A) −◦ B, !(C) −◦ A : · [B] ⇐ B −◦ C, !(A) −◦ B, !(C) −◦ A : · [!(A) −◦ B] ⇐ B DC C, !(A) −◦ B, !(C) −◦ A : · ` B ? · : !(!(A) −◦ B) ` !(!(C) −◦ A) −◦ !(C) −◦ B

I I A,C, !(A) −◦ B : · ⇒ A A,C, !(A) −◦ B : B ⇒ B DR DR A,C, !(A) −◦ B : · ` A A,C, !(A) −◦ B : B ` B RL ! A,C, !(A) −◦ B : · ⇒ !(A) A,C, !(A) −◦ B : · [B] ⇐ B −◦ I A,C, !(A) −◦ B : · [!(A) −◦ B] ⇐ B A,C, !(A) −◦ B : · ⇒ C DC DR A,C, !(A) −◦ B : · ` B A,C, !(A) −◦ B : · ` C ? · : !(!(A) −◦ B) ` !(A &C) −◦ B &C

Positive decoration (191ms) Positive decoration (261ms) I A,C, !(A) −◦ !(B), !(C) −◦ !(A) : · ⇒ A DR I C, !(A) −◦ !(B), !(C) −◦ !(A) : · ⇒ C A,C, !(A) −◦ !(B), !(C) −◦ !(A) : · ` A ? DR C, !(A) −◦ !(B), !(C) −◦ !(A) : · ` C C, !(A) −◦ !(B), !(C) −◦ !(A) : !(A) ` A RL ! C, !(A) −◦ !(B), !(C) −◦ !(A) : · ⇒ !(C) C, !(A) −◦ !(B), !(C) −◦ !(A) : · [!(A)] ⇐ A −◦ C, !(A) −◦ !(B), !(C) −◦ !(A) : · [!(C) −◦ !(A)] ⇐ A DC C, !(A) −◦ !(B), !(C) −◦ !(A) : · ` A ! C, !(A) −◦ !(B), !(C) −◦ !(A) : · ⇒ !(A)

I B,C, !(A) −◦ !(B), !(C) −◦ !(A) : · ⇒ B DR B,C, !(A) −◦ !(B), !(C) −◦ !(A) : · ` B ? C, !(A) −◦ !(B), !(C) −◦ !(A) : !(B) ` B RL C, !(A) −◦ !(B), !(C) −◦ !(A) : · [!(B)] ⇐ B −◦ C, !(A) −◦ !(B), !(C) −◦ !(A) : · [!(A) −◦ !(B)] ⇐ B DC C, !(A) −◦ !(B), !(C) −◦ !(A) : · ` B ! C, !(A) −◦ !(B), !(C) −◦ !(A) : · ⇒ !(B) DR C, !(A) −◦ !(B), !(C) −◦ !(A) : · ` !(B) ? !(A) −◦ !(B), !(C) −◦ !(A) : · ` !(C) −◦ !(B)

·

! !(A) −◦ !(B), !(C) −◦ !(A) : · ⇒ !(!(C) −◦ !(B)) DR !(A) −◦ !(B), !(C) −◦ !(A) : · ` !(!(C) −◦ !(B)) ? !(A) −◦ !(B) : · ` !(!(C) −◦ !(A)) −◦ !(!(C) −◦ !(B)) ! !(A) −◦ !(B) : · ⇒ !(!(!(C) −◦ !(A)) −◦ !(!(C) −◦ !(B))) DR !(A) −◦ !(B) : · ` !(!(!(C) −◦ !(A)) −◦ !(!(C) −◦ !(B))) ? : !(!(A) −◦ !(B)) ` !(!(!(C) −◦ !(A)) −◦ !(!(C) −◦ !(B)))

0/1 focused decoration (201ms) I A,C, !(A) −◦ !(B), !(C) −◦ !(A) : · ⇒ A DR I C, !(A) −◦ !(B), !(C) −◦ !(A) : · ⇒ C A,C, !(A) −◦ !(B), !(C) −◦ !(A) : · ` A ? DR C, !(A) −◦ !(B), !(C) −◦ !(A) : · ` C C, !(A) −◦ !(B), !(C) −◦ !(A) : !(A) ` A RL I ! C, !(A) −◦ !(B), !(C) −◦ !(A) : · ⇒ !(C) C, !(A) −◦ !(B), !(C) −◦ !(A) : · [!(A)] ⇐ A B,C, !(A) −◦ !(B), !(C) −◦ !(A) : · ⇒ B DR −◦ C, !(A) −◦ !(B), !(C) −◦ !(A) : · [!(C) −◦ !(A)] ⇐ A B,C, !(A) −◦ !(B), !(C) −◦ !(A) : · ` B ? DC C, !(A) −◦ !(B), !(C) −◦ !(A) : · ` A C, !(A) −◦ !(B), !(C) −◦ !(A) : !(B) ` B RL ! C, !(A) −◦ !(B), !(C) −◦ !(A) : · ⇒ !(A) C, !(A) −◦ !(B), !(C) −◦ !(A) : · [!(B)] ⇐ B −◦ C, !(A) −◦ !(B), !(C) −◦ !(A) : · [!(A) −◦ !(B)] ⇐ B DC C, !(A) −◦ !(B), !(C) −◦ !(A) : · ` B ? !(A) −◦ !(B), !(C) −◦ !(A) : · ` !(C) −◦ B

·

! !(A) −◦ !(B), !(C) −◦ !(A) : · ⇒ !(!(C) −◦ B) DR !(A) −◦ !(B), !(C) −◦ !(A) : · ` !(!(C) −◦ B) ? !(A) −◦ !(B) : · ` !(!(C) −◦ !(A)) −◦ !(!(C) −◦ B) ! !(A) −◦ !(B) : · ⇒ !(!(!(C) −◦ !(A)) −◦ !(!(C) −◦ B)) DR !(A) −◦ !(B) : · ` !(!(!(C) −◦ !(A)) −◦ !(!(C) −◦ B)) ? : !(!(A) −◦ !(B)) ` !(!(!(C) −◦ !(A)) −◦ !(!(C) −◦ B))

I A, B,C, !(A) −◦ !(B) : · ⇒ B DR I A,C, !(A) −◦ !(B) : · ⇒ A A, B,C, !(A) −◦ !(B) : · ` B ? DR A,C, !(A) −◦ !(B) : · ` A A,C, !(A) −◦ !(B) : !(B) ` B RL ! A,C, !(A) −◦ !(B) : · ⇒ !(A) A,C, !(A) −◦ !(B) : · [!(B)] ⇐ B −◦ I A,C, !(A) −◦ !(B) : · [!(A) −◦ !(B)] ⇐ B A,C, !(A) −◦ !(B) : · ⇒ C DC DR A,C, !(A) −◦ !(B) : · ` B A,C, !(A) −◦ !(B) : · ` C ! ! A,C, !(A) −◦ !(B) : · ⇒ !(B) A,C, !(A) −◦ !(B) : · ⇒ !(C) ⊗ A,C, !(A) −◦ !(B) : · ⇒ !(B) ⊗ !(C) DR A,C, !(A) −◦ !(B) : · ` !(B) ⊗ !(C) ? !(A) −◦ !(B) : · ` !(A) ⊗ !(C) −◦ !(B) ⊗ !(C) ! !(A) −◦ !(B) : · ⇒ !(!(A) ⊗ !(C) −◦ !(B) ⊗ !(C)) DR !(A) −◦ !(B) : · ` !(!(A) ⊗ !(C) −◦ !(B) ⊗ !(C)) ? · : !(!(A) −◦ !(B)) ` !(!(A) ⊗ !(C) −◦ !(B) ⊗ !(C))

0/1 focused decoration (271ms) I A, B, !(A), !(C), !(A) −◦ !(B) : · ⇒ B DR I A, !(A), !(C), !(A) −◦ !(B) : · ⇒ A A, B, !(A), !(C), !(A) −◦ !(B) : · ` B ? DR A, !(A), !(C), !(A) −◦ !(B) : · ` A A, !(A), !(C), !(A) −◦ !(B) : !(B) ` B RL ! A, !(A), !(C), !(A) −◦ !(B) : · ⇒ !(A) A, !(A), !(C), !(A) −◦ !(B) : · [!(B)] ⇐ B −◦ A, !(A), !(C), !(A) −◦ !(B) : · [!(A) −◦ !(B)] ⇐ B DC A, !(A), !(C), !(A) −◦ !(B) : · ` B ? !(A), !(C), !(A) −◦ !(B) : !(A) ` B RL !(A), !(C), !(A) −◦ !(B) : · [!(A)] ⇐ B DC !(A), !(C), !(A) −◦ !(B) : · ` B

I C, !(A), !(C), !(A) −◦ !(B) : · ⇒ C DR C, !(A), !(C), !(A) −◦ !(B) : · ` C ? !(A), !(C), !(A) −◦ !(B) : !(C) ` C RL !(A), !(C), !(A) −◦ !(B) : · [!(C)] ⇐ C DC !(A), !(C), !(A) −◦ !(B) : · ` C ? &C

!(A), !(C), !(A) −◦ !(B) : · ` B ! !(A), !(C), !(A) −◦ !(B) : · ⇒ !(B &C) DR !(A), !(C), !(A) −◦ !(B) : · ` !(B &C) ? !(A) −◦ !(B) : · ` !(!(A) & !(C)) −◦ !(B &C) ! !(A) −◦ !(B) : · ⇒ !(!(!(A) & !(C)) −◦ !(B &C)) DR !(A) −◦ !(B) : · ` !(!(!(A) & !(C)) −◦ !(B &C)) ? · : !(!(A) −◦ !(B)) ` !(!(!(A) & !(C)) −◦ !(B &C))

C. Olarte, V. de Paiva, E. Pimentel & G. Reis

23 (10) ¬A ` A → B

(9) A → B ` C ∧ A → C ∧ B LJ (34ms) LJ (35ms) ? ? A,C, A → B ` A A, B,C ` B ⊃L A,C, A → B ` B ? A → B `C∧A →C∧B

? ? A, A → ⊥ ` A A, ⊥ ` B ⊃L A, A → ⊥ ` B ? A→⊥`A→B Multiplicative translation (19ms)

Multiplicative translation (89ms) fail I

I ·: C ⇒C ·: B⇒B ⊗ · : B,C ⇒ C ⊗ B D · : B,C ` C ⊗ B R RL I ·: A⇒A · : C [B] ⇐ C ⊗ B −◦ · : A,C [A −◦ B] ⇐ C ⊗ B DL · : A,C, A −◦ B ` C ⊗ B ? · : A −◦ B ` C ⊗ A −◦C ⊗ B Girard’s Translation (111ms) I I A,C, !(A) −◦ B : · ⇒ A A,C, !(A) −◦ B : B ⇒ B DR DR A,C, !(A) −◦ B : · ` A A,C, !(A) −◦ B : B ` B RL ! A,C, !(A) −◦ B : · ⇒ !(A) A,C, !(A) −◦ B : · [B] ⇐ B −◦ I A,C, !(A) −◦ B : · ⇒ C A,C, !(A) −◦ B : · [!(A) −◦ B] ⇐ B DC DR A,C, !(A) −◦ B : · ` C A,C, !(A) −◦ B : · ` B ? · : !(!(A) −◦ B) ` !(C & A) −◦C & B

Positive decoration (173ms) I A, B,C, !(A) −◦ !(B) : · ⇒ B DR I A,C, !(A) −◦ !(B) : · ⇒ A A, B,C, !(A) −◦ !(B) : · ` B ? DR A,C, !(A) −◦ !(B) : · ` A A,C, !(A) −◦ !(B) : !(B) ` B RL ! A,C, !(A) −◦ !(B) : · ⇒ !(A) A,C, !(A) −◦ !(B) : · [!(B)] ⇐ B −◦ I A,C, !(A) −◦ !(B) : · ⇒ C A,C, !(A) −◦ !(B) : · [!(A) −◦ !(B)] ⇐ B DC DR A,C, !(A) −◦ !(B) : · ` C A,C, !(A) −◦ !(B) : · ` B ! ! A,C, !(A) −◦ !(B) : · ⇒ !(C) A,C, !(A) −◦ !(B) : · ⇒ !(B) ⊗ A,C, !(A) −◦ !(B) : · ⇒ !(C) ⊗ !(B) DR A,C, !(A) −◦ !(B) : · ` !(C) ⊗ !(B) ? !(A) −◦ !(B) : · ` !(C) ⊗ !(A) −◦ !(C) ⊗ !(B) ! !(A) −◦ !(B) : · ⇒ !(!(C) ⊗ !(A) −◦ !(C) ⊗ !(B)) DR !(A) −◦ !(B) : · ` !(!(C) ⊗ !(A) −◦ !(C) ⊗ !(B)) ? · : !(!(A) −◦ !(B)) ` !(!(C) ⊗ !(A) −◦ !(C) ⊗ !(B))

0/1 focused decoration (257ms) I A, B, !(A), !(C), !(A) −◦ !(B) : · ⇒ B DR I A, !(A), !(C), !(A) −◦ !(B) : · ⇒ A A, B, !(A), !(C), !(A) −◦ !(B) : · ` B ? DR A, !(A), !(C), !(A) −◦ !(B) : · ` A A, !(A), !(C), !(A) −◦ !(B) : !(B) ` B RL ! A, !(A), !(C), !(A) −◦ !(B) : · ⇒ !(A) A, !(A), !(C), !(A) −◦ !(B) : · [!(B)] ⇐ B −◦ I C, !(A), !(C), !(A) −◦ !(B) : · ⇒ C A, !(A), !(C), !(A) −◦ !(B) : · [!(A) −◦ !(B)] ⇐ B DC DR C, !(A), !(C), !(A) −◦ !(B) : · ` C A, !(A), !(C), !(A) −◦ !(B) : · ` B ? ? !(A), !(C), !(A) −◦ !(B) : !(C) ` C !(A), !(C), !(A) −◦ !(B) : !(A) ` B RL RL !(A), !(C), !(A) −◦ !(B) : · [!(C)] ⇐ C !(A), !(C), !(A) −◦ !(B) : · [!(A)] ⇐ B DC DC !(A), !(C), !(A) −◦ !(B) : · ` C !(A), !(C), !(A) −◦ !(B) : · ` B ? !(A), !(C), !(A) −◦ !(B) : · ` C & B ! !(A), !(C), !(A) −◦ !(B) : · ⇒ !(C & B) DR !(A), !(C), !(A) −◦ !(B) : · ` !(C & B) ? !(A) −◦ !(B) : · ` !(!(C) & !(A)) −◦ !(C & B) ! !(A) −◦ !(B) : · ⇒ !(!(!(C) & !(A)) −◦ !(C & B)) DR !(A) −◦ !(B) : · ` !(!(!(C) & !(A)) −◦ !(C & B)) ? · : !(!(A) −◦ !(B)) ` !(!(!(C) & !(A)) −◦ !(C & B))

Girard’s Translation (79ms) I A, !(A) −◦ 0 : · ⇒ A ? DR A, !(A) −◦ 0 : · ` A A, !(A) −◦ 0 : 0 ` B RL ! A, !(A) −◦ 0 : · ⇒ !(A) A, !(A) −◦ 0 : · [0] ⇐ B −◦ A, !(A) −◦ 0 : · [!(A) −◦ 0] ⇐ B DC A, !(A) −◦ 0 : · ` B ? · : !(!(A) −◦ 0) ` !(A) −◦ B

Positive decoration (98ms) I A, !(A) −◦ 0 : · ⇒ A ? DR A, !(A) −◦ 0 : · ` A A, !(A) −◦ 0 : 0 ` !(B) RL ! A, !(A) −◦ 0 : · ⇒ !(A) A, !(A) −◦ 0 : · [0] ⇐ !(B) −◦ A, !(A) −◦ 0 : · [!(A) −◦ 0] ⇐ !(B) DC A, !(A) −◦ 0 : · ` !(B) ? !(A) −◦ 0 : · ` !(A) −◦ !(B) ! !(A) −◦ 0 : · ⇒ !(!(A) −◦ !(B)) DR !(A) −◦ 0 : · ` !(!(A) −◦ !(B)) ? · : !(!(A) −◦ 0) ` !(!(A) −◦ !(B))

0/1 focused decoration (98ms) I A, !(A) −◦ !(0) : · ⇒ A ? DR A, !(A) −◦ !(0) : · ` A A, !(A) −◦ !(0) : !(0) ` B RL ! A, !(A) −◦ !(0) : · ⇒ !(A) A, !(A) −◦ !(0) : · [!(0)] ⇐ B −◦ A, !(A) −◦ !(0) : · [!(A) −◦ !(0)] ⇐ B DC A, !(A) −◦ !(0) : · ` B ? !(A) −◦ !(0) : · ` !(A) −◦ B ! !(A) −◦ !(0) : · ⇒ !(!(A) −◦ B) DR !(A) −◦ !(0) : · ` !(!(A) −◦ B) ? · : !(!(A) −◦ !(0)) ` !(!(A) −◦ B)

24

Linear Logic (12) B ` A → B

(11) A ` ¬A → B

LJ (34ms)

LJ (19ms)

? ? A, A → ⊥ ` A A, ⊥ ` B ⊃L A, A → ⊥ ` B ? A`A→⊥→B

Multiplicative translation (20ms)

Multiplicative translation (18ms)

fail

B`A→B

?

fail Girard’s Translation (42ms) Girard’s Translation (82ms) I A, !(A) −◦ 0 : · ⇒ A ? DR A, !(A) −◦ 0 : · ` A A, !(A) −◦ 0 : 0 ` B RL ! A, !(A) −◦ 0 : · ⇒ !(A) A, !(A) −◦ 0 : · [0] ⇐ B −◦ A, !(A) −◦ 0 : · [!(A) −◦ 0] ⇐ B DC A, !(A) −◦ 0 : · ` B ? · : !(A) ` !(!(A) −◦ 0) −◦ B

Positive decoration (97ms) I A, !(A) −◦ 0 : · ⇒ A ? DR A, !(A) −◦ 0 : · ` A A, !(A) −◦ 0 : 0 ` !(B) RL ! A, !(A) −◦ 0 : · ⇒ !(A) A, !(A) −◦ 0 : · [0] ⇐ !(B) −◦ A, !(A) −◦ 0 : · [!(A) −◦ 0] ⇐ !(B) DC A, !(A) −◦ 0 : · ` !(B) ? A : · ` !(!(A) −◦ 0) −◦ !(B) ! A : · ⇒ !(!(!(A) −◦ 0) −◦ !(B)) DR A : · ` !(!(!(A) −◦ 0) −◦ !(B)) ? · : !(A) ` !(!(!(A) −◦ 0) −◦ !(B))

0/1 focused decoration (97ms) I A, !(A) −◦ !(0) : · ⇒ A ? DR A, !(A) −◦ !(0) : · ` A A, !(A) −◦ !(0) : !(0) ` B RL ! A, !(A) −◦ !(0) : · ⇒ !(A) A, !(A) −◦ !(0) : · [!(0)] ⇐ B −◦ A, !(A) −◦ !(0) : · [!(A) −◦ !(0)] ⇐ B DC A, !(A) −◦ !(0) : · ` B ? A : · ` !(!(A) −◦ !(0)) −◦ B ! A : · ⇒ !(!(!(A) −◦ !(0)) −◦ B) DR A : · ` !(!(!(A) −◦ !(0)) −◦ B) ? · : !(A) ` !(!(!(A) −◦ !(0)) −◦ B)

I A, B : · ⇒ B D A, B : · ` B R ? · : !(B) ` !(A) −◦ B Positive decoration (74ms) I A, B : · ⇒ B D A, B : · ` B R ! A, B : · ⇒ !(B) DR A, B : · ` !(B) ? B : · ` !(A) −◦ !(B) ! B : · ⇒ !(!(A) −◦ !(B)) DR B : · ` !(!(A) −◦ !(B)) ? · : !(B) ` !(!(A) −◦ !(B)) 0/1 focused decoration (59ms) I A, B : · ⇒ B D A, B : · ` B R ? B : · ` !(A) −◦ B ! B : · ⇒ !(!(A) −◦ B) DR B : · ` !(!(A) −◦ B) ? · : !(B) ` !(!(A) −◦ B)

C. Olarte, V. de Paiva, E. Pimentel & G. Reis (13) A → B ` ¬B → ¬A

25 (14) A → ¬B ` (¬¬B) → (¬A)

LJ (62ms) LJ (47ms) ? ? A, B, B → ⊥ ` B A, B, ⊥ ` ⊥ ⊃L ? A, A → B, B → ⊥ ` A A, B, B → ⊥ ` ⊥ ⊃L A, A → B, B → ⊥ ` ⊥ ? A→B`B→⊥→A→⊥

Multiplicative translation (89ms) ⊥ I ·: B⇒B · : · [⊥] ⇐⊥ −◦ · : B [B−◦ ⊥] ⇐⊥ DL · : B, B−◦ ⊥`⊥ RL I ·: A⇒A · : B−◦ ⊥ [B] ⇐⊥ −◦ · : A, B−◦ ⊥ [A −◦ B] ⇐⊥ DL · : A, A −◦ B, B−◦ ⊥`⊥ ? · : A −◦ B ` B−◦ ⊥ −◦A−◦ ⊥ Girard’s Translation (137ms)

? ? A, B, B → ⊥, B → ⊥ → ⊥ ` B A, B, ⊥, B → ⊥ → ⊥ ` ⊥ ⊃L A, B, B → ⊥, B → ⊥ → ⊥ ` ⊥ ? ? A, B → ⊥, B → ⊥ → ⊥ ` B → ⊥ A, ⊥, B → ⊥ ` ⊥ ⊃L ? A, A → B → ⊥, B → ⊥ → ⊥ ` A A, B → ⊥, B → ⊥ → ⊥ ` ⊥ ⊃L A, A → B → ⊥, B → ⊥ → ⊥ ` ⊥ ? A→B→⊥`B→⊥→⊥→A→⊥

Multiplicative translation (96ms) ⊥ I ·: B⇒B · : · [⊥] ⇐⊥ −◦ I ·: A⇒A · : B [B−◦ ⊥] ⇐⊥ −◦ · : A, B [A −◦ B−◦ ⊥] ⇐⊥ DL · : A, B, A −◦ B−◦ ⊥`⊥ ? · : A, A −◦ B−◦ ⊥` B−◦ ⊥ R ⊥ · : A, A −◦ B−◦ ⊥⇒ B−◦ ⊥ R · : · [⊥] ⇐⊥ −◦ · : A, A −◦ B−◦ ⊥ [B−◦ ⊥ −◦ ⊥] ⇐⊥ DL · : A, A −◦ B−◦ ⊥, B−◦ ⊥ −◦ ⊥`⊥ ? · : A −◦ B−◦ ⊥` B−◦ ⊥ −◦ ⊥ −◦A−◦ ⊥

Girard’s Translation (186ms) I A, B, !(A) −◦ !(B) −◦ 0, !(!(B) −◦ 0) −◦ 0 : · ⇒ B ? DR I A, B, !(A) −◦ !(B) −◦ 0, !(!(B) −◦ 0) −◦ 0 : · ⇒ A A, B, !(A) −◦ !(B) −◦ 0, !(!(B) −◦ 0) −◦ 0 : · ` B A, B, !(A) −◦ !(B) −◦ 0, !(!(B) −◦ 0) −◦ 0 : 0 ` 0 DR RL ! A, B, !(A) −◦ !(B) −◦ 0, !(!(B) −◦ 0) −◦ 0 : · ` A A, B, !(A) −◦ !(B) −◦ 0, !(!(B) −◦ 0) −◦ 0 : · ⇒ !(B) A, B, !(A) −◦ !(B) −◦ 0, !(!(B) −◦ 0) −◦ 0 : · [0] ⇐ 0 −◦ ! A, B, !(A) −◦ !(B) −◦ 0, !(!(B) −◦ 0) −◦ 0 : · ⇒ !(A) A, B, !(A) −◦ !(B) −◦ 0, !(!(B) −◦ 0) −◦ 0 : · [!(B) −◦ 0] ⇐ 0 −◦ A, B, !(A) −◦ !(B) −◦ 0, !(!(B) −◦ 0) −◦ 0 : · [!(A) −◦ !(B) −◦ 0] ⇐ 0 DC A, B, !(A) −◦ !(B) −◦ 0, !(!(B) −◦ 0) −◦ 0 : · ` 0 ? A, !(A) −◦ !(B) −◦ 0, !(!(B) −◦ 0) −◦ 0 : · ` !(B) −◦ 0 A, !(A) −◦ !(B) −◦ 0, !(!(B) −◦ 0) −◦ 0 : · ⇒ !(!(B) −◦ 0)

!

A, !(A) −◦ !(B) −◦ 0, !(!(B) −◦ 0) −◦ 0 : · [!(!(B) −◦ 0) −◦ 0] ⇐ 0 DC A, !(A) −◦ !(B) −◦ 0, !(!(B) −◦ 0) −◦ 0 : · ` 0 ? · : !(!(A) −◦ !(B) −◦ 0) ` !(!(!(B) −◦ 0) −◦ 0) −◦ !(A) −◦ 0

I I A, !(A) −◦ B, !(B) −◦ 0 : · ⇒ A A, !(A) −◦ B, !(B) −◦ 0 : B ⇒ B DR DR A, !(A) −◦ B, !(B) −◦ 0 : · ` A A, !(A) −◦ B, !(B) −◦ 0 : B ` B RL ! A, !(A) −◦ B, !(B) −◦ 0 : · ⇒ !(A) A, !(A) −◦ B, !(B) −◦ 0 : · [B] ⇐ B −◦ A, !(A) −◦ B, !(B) −◦ 0 : · [!(A) −◦ B] ⇐ B ? DC A, !(A) −◦ B, !(B) −◦ 0 : · ` B A, !(A) −◦ B, !(B) −◦ 0 : 0 ` 0 RL ! A, !(A) −◦ B, !(B) −◦ 0 : · ⇒ !(B) A, !(A) −◦ B, !(B) −◦ 0 : · [0] ⇐ 0 −◦ A, !(A) −◦ B, !(B) −◦ 0 : · [!(B) −◦ 0] ⇐ 0 DC A, !(A) −◦ B, !(B) −◦ 0 : · ` 0 ? · : !(!(A) −◦ B) ` !(!(B) −◦ 0) −◦ !(A) −◦ 0

Positive decoration (297ms) I A, B, !(A) −◦ !(!(B) −◦ 0), !(B) −◦ 0, !(!(B) −◦ 0) −◦ 0 : · ⇒ B ? DR A, B, !(A) −◦ !(!(B) −◦ 0), !(B) −◦ 0, !(!(B) −◦ 0) −◦ 0 : · ` B A, B, !(A) −◦ !(!(B) −◦ 0), !(B) −◦ 0, !(!(B) −◦ 0) −◦ 0 : 0 ` 0 RL ! A, B, !(A) −◦ !(!(B) −◦ 0), !(B) −◦ 0, !(!(B) −◦ 0) −◦ 0 : · ⇒ !(B) A, B, !(A) −◦ !(!(B) −◦ 0), !(B) −◦ 0, !(!(B) −◦ 0) −◦ 0 : · [0] ⇐ 0 −◦ A, B, !(A) −◦ !(!(B) −◦ 0), !(B) −◦ 0, !(!(B) −◦ 0) −◦ 0 : · [!(B) −◦ 0] ⇐ 0 DC A, B, !(A) −◦ !(!(B) −◦ 0), !(B) −◦ 0, !(!(B) −◦ 0) −◦ 0 : · ` 0 ? A, !(A) −◦ !(!(B) −◦ 0), !(B) −◦ 0, !(!(B) −◦ 0) −◦ 0 : · ` !(B) −◦ 0 ! A, !(A) −◦ !(!(B) −◦ 0), !(B) −◦ 0, !(!(B) −◦ 0) −◦ 0 : · ⇒ !(!(B) −◦ 0) I A, !(A) −◦ !(!(B) −◦ 0), !(!(B) −◦ 0) −◦ 0 : · ⇒ A DR A, !(A) −◦ !(!(B) −◦ 0), !(!(B) −◦ 0) −◦ 0 : · ` A ! A, !(A) −◦ !(!(B) −◦ 0), !(!(B) −◦ 0) −◦ 0 : · ⇒ !(A)

Positive decoration (184ms) I A, B, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ 0 : · ⇒ B ? DR A, B, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ 0 : · ` B A, B, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ 0 : 0 ` 0 RL ! A, B, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ 0 : · ⇒ !(B) A, B, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ 0 : · [0] ⇐ 0 −◦ A, B, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ 0 : · [!(B) −◦ 0] ⇐ 0 DC I A, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ 0 : · ⇒ A A, B, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ 0 : · ` 0 ? DR A, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ 0 : · ` A A, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ 0 : !(B) ` 0 RL ! A, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ 0 : · ⇒ !(A) A, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ 0 : · [!(B)] ⇐ 0 −◦ A, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ 0 : · [!(A) −◦ !(B)] ⇐ 0 DC A, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ 0 : · ` 0 ? !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ 0 : · ` !(A) −◦ 0 ! !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ 0 : · ⇒ !(!(A) −◦ 0) DR !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ 0 : · ` !(!(A) −◦ 0) ? !(A) −◦ !(B) : · ` !(!(B) −◦ 0) −◦ !(!(A) −◦ 0) ! !(A) −◦ !(B) : · ⇒ !(!(!(B) −◦ 0) −◦ !(!(A) −◦ 0)) DR !(A) −◦ !(B) : · ` !(!(!(B) −◦ 0) −◦ !(!(A) −◦ 0)) ? · : !(!(A) −◦ !(B)) ` !(!(!(B) −◦ 0) −◦ !(!(A) −◦ 0))

0/1 focused decoration (180ms) I A, B, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(0) : · ⇒ B ? DR A, B, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(0) : · ` B A, B, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(0) : !(0) ` 0 RL ! A, B, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(0) : · ⇒ !(B) A, B, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(0) : · [!(0)] ⇐ 0 −◦ A, B, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(0) : · [!(B) −◦ !(0)] ⇐ 0 DC I A, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(0) : · ⇒ A A, B, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(0) : · ` 0 ? DR A, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(0) : · ` A A, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(0) : !(B) ` 0 RL ! A, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(0) : · ⇒ !(A) A, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(0) : · [!(B)] ⇐ 0 −◦ A, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(0) : · [!(A) −◦ !(B)] ⇐ 0 DC A, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(0) : · ` 0 ? !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(0) : · ` !(A) −◦ 0 ! !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(0) : · ⇒ !(!(A) −◦ 0) DR !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(0) : · ` !(!(A) −◦ 0) ? !(A) −◦ !(B) : · ` !(!(B) −◦ !(0)) −◦ !(!(A) −◦ 0) ! !(A) −◦ !(B) : · ⇒ !(!(!(B) −◦ !(0)) −◦ !(!(A) −◦ 0)) DR !(A) −◦ !(B) : · ` !(!(!(B) −◦ !(0)) −◦ !(!(A) −◦ 0)) ? · : !(!(A) −◦ !(B)) ` !(!(!(B) −◦ !(0)) −◦ !(!(A) −◦ 0))

? A, !(A) −◦ !(B) −◦ 0, !(!(B) −◦ 0) −◦ 0 : 0 ` 0 RL A, !(A) −◦ !(B) −◦ 0, !(!(B) −◦ 0) −◦ 0 : · [0] ⇐ 0 −◦

? A, !(A) −◦ !(!(B) −◦ 0), !(B) −◦ 0, !(!(B) −◦ 0) −◦ 0 : 0 ` 0 RL A, !(A) −◦ !(!(B) −◦ 0), !(B) −◦ 0, !(!(B) −◦ 0) −◦ 0 : · [0] ⇐ 0 −◦ A, !(A) −◦ !(!(B) −◦ 0), !(B) −◦ 0, !(!(B) −◦ 0) −◦ 0 : · [!(!(B) −◦ 0) −◦ 0] ⇐ 0 DC A, !(A) −◦ !(!(B) −◦ 0), !(B) −◦ 0, !(!(B) −◦ 0) −◦ 0 : · ` 0 ? A, !(A) −◦ !(!(B) −◦ 0), !(!(B) −◦ 0) −◦ 0 : !(!(B) −◦ 0) ` 0 RL A, !(A) −◦ !(!(B) −◦ 0), !(!(B) −◦ 0) −◦ 0 : · [!(!(B) −◦ 0)] ⇐ 0 −◦ A, !(A) −◦ !(!(B) −◦ 0), !(!(B) −◦ 0) −◦ 0 : · [!(A) −◦ !(!(B) −◦ 0)] ⇐ 0 DC A, !(A) −◦ !(!(B) −◦ 0), !(!(B) −◦ 0) −◦ 0 : · ` 0 ? !(A) −◦ !(!(B) −◦ 0), !(!(B) −◦ 0) −◦ 0 : · ` !(A) −◦ 0 ! !(A) −◦ !(!(B) −◦ 0), !(!(B) −◦ 0) −◦ 0 : · ⇒ !(!(A) −◦ 0) DR !(A) −◦ !(!(B) −◦ 0), !(!(B) −◦ 0) −◦ 0 : · ` !(!(A) −◦ 0) ? !(A) −◦ !(!(B) −◦ 0) : · ` !(!(!(B) −◦ 0) −◦ 0) −◦ !(!(A) −◦ 0) ! !(A) −◦ !(!(B) −◦ 0) : · ⇒ !(!(!(!(B) −◦ 0) −◦ 0) −◦ !(!(A) −◦ 0)) DR !(A) −◦ !(!(B) −◦ 0) : · ` !(!(!(!(B) −◦ 0) −◦ 0) −◦ !(!(A) −◦ 0)) ? · : !(!(A) −◦ !(!(B) −◦ 0)) ` !(!(!(!(B) −◦ 0) −◦ 0) −◦ !(!(A) −◦ 0))

0/1 focused decoration (757ms) I A, B, !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(0)), !(B) −◦ !(0), !(!(!(B) −◦ 0)) −◦ !(0) : · ⇒ B ? DR A, B, !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(0)), !(B) −◦ !(0), !(!(!(B) −◦ 0)) −◦ !(0) : · ` B A, B, !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(0)), !(B) −◦ !(0), !(!(!(B) −◦ 0)) −◦ !(0) : !(0) ` 0 RL ! A, B, !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(0)), !(B) −◦ !(0), !(!(!(B) −◦ 0)) −◦ !(0) : · ⇒ !(B) A, B, !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(0)), !(B) −◦ !(0), !(!(!(B) −◦ 0)) −◦ !(0) : · [!(0)] ⇐ 0 −◦ A, B, !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(0)), !(B) −◦ !(0), !(!(!(B) −◦ 0)) −◦ !(0) : · [!(B) −◦ !(0)] ⇐ 0 DC A, B, !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(0)), !(B) −◦ !(0), !(!(!(B) −◦ 0)) −◦ !(0) : · ` 0 ? A, !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(0)), !(B) −◦ !(0), !(!(!(B) −◦ 0)) −◦ !(0) : · ` !(B) −◦ 0

I A, !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(0)), !(!(!(B) −◦ 0)) −◦ !(0) : · ⇒ A DR A, !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(0)), !(!(!(B) −◦ 0)) −◦ !(0) : · ` A ! A, !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(0)), !(!(!(B) −◦ 0)) −◦ !(0) : · ⇒ !(A)

! A, !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(0)), !(B) −◦ !(0), !(!(!(B) −◦ 0)) −◦ !(0) : · ⇒ !(!(B) −◦ 0) ? DR A, !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(0)), !(B) −◦ !(0), !(!(!(B) −◦ 0)) −◦ !(0) : · ` !(!(B) −◦ 0) A, !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(0)), !(B) −◦ !(0), !(!(!(B) −◦ 0)) −◦ !(0) : !(0) ` 0 RL ! A, !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(0)), !(B) −◦ !(0), !(!(!(B) −◦ 0)) −◦ !(0) : · ⇒ !(!(!(B) −◦ 0)) A, !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(0)), !(B) −◦ !(0), !(!(!(B) −◦ 0)) −◦ !(0) : · [!(0)] ⇐ 0 −◦ A, !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(0)), !(B) −◦ !(0), !(!(!(B) −◦ 0)) −◦ !(0) : · [!(!(!(B) −◦ 0)) −◦ !(0)] ⇐ 0 DC A, !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(0)), !(B) −◦ !(0), !(!(!(B) −◦ 0)) −◦ !(0) : · ` 0 ? A, !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(0)), !(!(!(B) −◦ 0)) −◦ !(0) : !(!(B) −◦ !(0)) ` 0 RL A, !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(0)), !(!(!(B) −◦ 0)) −◦ !(0) : · [!(!(B) −◦ !(0))] ⇐ 0 −◦ A, !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(0)), !(!(!(B) −◦ 0)) −◦ !(0) : · [!(A) −◦ !(!(B) −◦ !(0))] ⇐ 0 DC A, !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(0)), !(!(!(B) −◦ 0)) −◦ !(0) : · ` 0 ? !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(0)), !(!(!(B) −◦ 0)) −◦ !(0) : · ` !(A) −◦ 0 ! !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(0)), !(!(!(B) −◦ 0)) −◦ !(0) : · ⇒ !(!(A) −◦ 0) DR !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(0)), !(!(!(B) −◦ 0)) −◦ !(0) : · ` !(!(A) −◦ 0) ? !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(0)) : · ` !(!(!(!(B) −◦ 0)) −◦ !(0)) −◦ !(!(A) −◦ 0) ! !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(0)) : · ⇒ !(!(!(!(!(B) −◦ 0)) −◦ !(0)) −◦ !(!(A) −◦ 0)) DR !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(0)) : · ` !(!(!(!(!(B) −◦ 0)) −◦ !(0)) −◦ !(!(A) −◦ 0)) ? · : !(!(A) −◦ !(!(B) −◦ !(0))) ` !(!(!(!(!(B) −◦ 0)) −◦ !(0)) −◦ !(!(A) −◦ 0))

26

Linear Logic (16) A ↔ B ` A → B

(15) A → B, B → A ` A ↔ B

LJ (48ms)

LJ (34ms)

? ? ? ? A, A → B, B → A ` A A, B, B → A ` B B, A → B, B → A ` B A, B, A → B ` A ⊃L ⊃L A, A → B, B → A ` B B, A → B, B → A ` A ? A → B, B → A ` A → B ∧ B → A

? ? A, A → B, B → A ` A A, B, B → A ` B ⊃L A, A → B, B → A ` B ? A → B∧B → A ` A → B

Multiplicative translation (156ms) I I ·: B⇒B D ·: A⇒A D R R ·: B`B R ·: A`A R L L I I ·: A⇒A · : · [B] ⇐ B ·: B⇒B · : · [A] ⇐ A −◦ −◦ · : A [A −◦ B] ⇐ B · : B [B −◦ A] ⇐ A DL DL · : A, A −◦ B ` B · : B, B −◦ A ` A ? ? · : A −◦ B ` A −◦ B · : B −◦ A ` B −◦ A R R · : A −◦ B ⇒ A −◦ B R · : B −◦ A ⇒ B −◦ A R ⊗ · : A −◦ B, B −◦ A ⇒ A −◦ B ⊗ B −◦ A DR · : A −◦ B, B −◦ A ` A −◦ B ⊗ B −◦ A

Girard’s Translation (181ms) I I I I A, !(A) −◦ B, !(B) −◦ A : · ⇒ A A, !(A) −◦ B, !(B) −◦ A : B ⇒ B B, !(A) −◦ B, !(B) −◦ A : · ⇒ B B, !(A) −◦ B, !(B) −◦ A : A ⇒ A DR DR DR DR A, !(A) −◦ B, !(B) −◦ A : · ` A A, !(A) −◦ B, !(B) −◦ A : B ` B B, !(A) −◦ B, !(B) −◦ A : · ` B B, !(A) −◦ B, !(B) −◦ A : A ` A RL RL ! ! A, !(A) −◦ B, !(B) −◦ A : · ⇒ !(A) A, !(A) −◦ B, !(B) −◦ A : · [B] ⇐ B B, !(A) −◦ B, !(B) −◦ A : · ⇒ !(B) B, !(A) −◦ B, !(B) −◦ A : · [A] ⇐ A −◦ −◦ A, !(A) −◦ B, !(B) −◦ A : · [!(A) −◦ B] ⇐ B B, !(A) −◦ B, !(B) −◦ A : · [!(B) −◦ A] ⇐ A DC DC A, !(A) −◦ B, !(B) −◦ A : · ` B B, !(A) −◦ B, !(B) −◦ A : · ` A ? · : !(!(A) −◦ B), !(!(B) −◦ A) ` !(A) −◦ B & !(B) −◦ A

Positive decoration (527ms) I I A, B, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · ⇒ B A, B, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · ⇒ A DR DR I I A, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · ⇒ A A, B, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · ` B B, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · ⇒ B A, B, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · ` A ? ? DR DR A, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · ` A A, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : !(B) ` B B, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · ` B B, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : !(A) ` A RL RL ! ! A, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · ⇒ !(A) A, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · [!(B)] ⇐ B B, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · ⇒ !(B) B, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · [!(A)] ⇐ A −◦ −◦ A, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · [!(A) −◦ !(B)] ⇐ B B, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · [!(B) −◦ !(A)] ⇐ A DC DC A, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · ` B B, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · ` A ! ! A, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · ⇒ !(B) B, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · ⇒ !(A) DR DR A, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · ` !(B) B, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · ` !(A) ? ? !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · ` !(A) −◦ !(B) !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · ` !(B) −◦ !(A) ! ! !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · ⇒ !(!(A) −◦ !(B)) !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · ⇒ !(!(B) −◦ !(A)) ⊗ !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · ⇒ !(!(A) −◦ !(B)) ⊗ !(!(B) −◦ !(A)) DR !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · ` !(!(A) −◦ !(B)) ⊗ !(!(B) −◦ !(A)) ? · : !(!(A) −◦ !(B)), !(!(B) −◦ !(A)) ` !(!(A) −◦ !(B)) ⊗ !(!(B) −◦ !(A))

0/1 focused decoration (331ms) I A, B, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · ⇒ B DR I A, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · ⇒ A A, B, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · ` B ? DR A, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · ` A A, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : !(B) ` B RL ! A, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · ⇒ !(A) A, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · [!(B)] ⇐ B −◦ A, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · [!(A) −◦ !(B)] ⇐ B DC A, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · ` B ? !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · ` !(A) −◦ B

I A, B, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · ⇒ A DR I B, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · ⇒ B A, B, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · ` A ? DR B, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · ` B B, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : !(A) ` A RL ! B, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · ⇒ !(B) B, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · [!(A)] ⇐ A −◦ B, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · [!(B) −◦ !(A)] ⇐ A DC B, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · ` A ? !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · ` !(B) −◦ A

! ! !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · ⇒ !(!(A) −◦ B) !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · ⇒ !(!(B) −◦ A) DR DR !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · ` !(!(A) −◦ B) !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · ` !(!(B) −◦ A) ? !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · ` !(!(A) −◦ B) & !(!(B) −◦ A) ! !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · ⇒ !(!(!(A) −◦ B) & !(!(B) −◦ A)) DR !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · ` !(!(!(A) −◦ B) & !(!(B) −◦ A)) ? · : !(!(A) −◦ !(B)), !(!(B) −◦ !(A)) ` !(!(!(A) −◦ B) & !(!(B) −◦ A))

Multiplicative translation (19ms) fail Girard’s Translation (91ms) I I A, !(A) −◦ B, !(B) −◦ A : · ⇒ A A, !(A) −◦ B, !(B) −◦ A : B ⇒ B DR DR A, !(A) −◦ B, !(B) −◦ A : · ` A A, !(A) −◦ B, !(B) −◦ A : B ` B RL ! A, !(A) −◦ B, !(B) −◦ A : · ⇒ !(A) A, !(A) −◦ B, !(B) −◦ A : · [B] ⇐ B −◦ A, !(A) −◦ B, !(B) −◦ A : · [!(A) −◦ B] ⇐ B DC A, !(A) −◦ B, !(B) −◦ A : · ` B ? · : !(!(A) −◦ B & !(B) −◦ A) ` !(A) −◦ B

Positive decoration (139ms) I A, B, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · ⇒ B DR I A, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · ⇒ A A, B, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · ` B ? DR A, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · ` A A, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : !(B) ` B RL ! A, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · ⇒ !(A) A, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · [!(B)] ⇐ B −◦ A, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · [!(A) −◦ !(B)] ⇐ B DC A, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · ` B ! A, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · ⇒ !(B) DR A, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · ` !(B) ? !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · ` !(A) −◦ !(B) ! !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · ⇒ !(!(A) −◦ !(B)) DR !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · ` !(!(A) −◦ !(B)) ? · : !(!(A) −◦ !(B)) ⊗ !(!(B) −◦ !(A)) ` !(!(A) −◦ !(B))

0/1 focused decoration (137ms) I A, B, !(!(A) −◦ !(B)), !(!(B) −◦ !(A)), !(A) −◦ !(B) : · ⇒ B DR I A, !(!(A) −◦ !(B)), !(!(B) −◦ !(A)), !(A) −◦ !(B) : · ⇒ A A, B, !(!(A) −◦ !(B)), !(!(B) −◦ !(A)), !(A) −◦ !(B) : · ` B ? DR A, !(!(A) −◦ !(B)), !(!(B) −◦ !(A)), !(A) −◦ !(B) : · ` A A, !(!(A) −◦ !(B)), !(!(B) −◦ !(A)), !(A) −◦ !(B) : !(B) ` B RL ! A, !(!(A) −◦ !(B)), !(!(B) −◦ !(A)), !(A) −◦ !(B) : · ⇒ !(A) A, !(!(A) −◦ !(B)), !(!(B) −◦ !(A)), !(A) −◦ !(B) : · [!(B)] ⇐ B −◦ A, !(!(A) −◦ !(B)), !(!(B) −◦ !(A)), !(A) −◦ !(B) : · [!(A) −◦ !(B)] ⇐ B DC A, !(!(A) −◦ !(B)), !(!(B) −◦ !(A)), !(A) −◦ !(B) : · ` B ? A, !(!(A) −◦ !(B)), !(!(B) −◦ !(A)) : !(!(A) −◦ !(B)) ` B RL A, !(!(A) −◦ !(B)), !(!(B) −◦ !(A)) : · [!(!(A) −◦ !(B))] ⇐ B DC A, !(!(A) −◦ !(B)), !(!(B) −◦ !(A)) : · ` B ? !(!(A) −◦ !(B)), !(!(B) −◦ !(A)) : · ` !(A) −◦ B ! !(!(A) −◦ !(B)), !(!(B) −◦ !(A)) : · ⇒ !(!(A) −◦ B) DR !(!(A) −◦ !(B)), !(!(B) −◦ !(A)) : · ` !(!(A) −◦ B) ? · : !(!(!(A) −◦ !(B)) & !(!(B) −◦ !(A))) ` !(!(A) −◦ B)

C. Olarte, V. de Paiva, E. Pimentel & G. Reis

27 (18) A ↔ B, A ` B

(17) A ↔ B ` B → A

LJ (35ms)

LJ (34ms)

? ? B, A → B, B → A ` B A, B, A → B ` A ⊃L B, A → B, B → A ` A ? A → B∧B → A ` B → A

? ? A, A → B, B → A ` A A, B, B → A ` B ⊃L A, A → B, B → A ` B ? A, A → B ∧ B → A ` B

Multiplicative translation (21ms)

Multiplicative translation (24ms)

fail

fail

Girard’s Translation (94ms)

Girard’s Translation (97ms)

I I B, !(A) −◦ B, !(B) −◦ A : · ⇒ B B, !(A) −◦ B, !(B) −◦ A : A ⇒ A DR DR B, !(A) −◦ B, !(B) −◦ A : · ` B B, !(A) −◦ B, !(B) −◦ A : A ` A RL ! B, !(A) −◦ B, !(B) −◦ A : · ⇒ !(B) B, !(A) −◦ B, !(B) −◦ A : · [A] ⇐ A −◦ B, !(A) −◦ B, !(B) −◦ A : · [!(B) −◦ A] ⇐ A DC B, !(A) −◦ B, !(B) −◦ A : · ` A ? · : !(!(A) −◦ B & !(B) −◦ A) ` !(B) −◦ A

I I A, !(A) −◦ B, !(B) −◦ A : · ⇒ A A, !(A) −◦ B, !(B) −◦ A : B ⇒ B DR DR A, !(A) −◦ B, !(B) −◦ A : · ` A A, !(A) −◦ B, !(B) −◦ A : B ` B RL ! A, !(A) −◦ B, !(B) −◦ A : · ⇒ !(A) A, !(A) −◦ B, !(B) −◦ A : · [B] ⇐ B −◦ A, !(A) −◦ B, !(B) −◦ A : · [!(A) −◦ B] ⇐ B DC A, !(A) −◦ B, !(B) −◦ A : · ` B ? · : !(A), !(!(A) −◦ B & !(B) −◦ A) ` B

Positive decoration (132ms)

Positive decoration (115ms)

I A, B, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · ⇒ A DR I B, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · ⇒ B A, B, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · ` A ? DR B, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · ` B B, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : !(A) ` A RL ! B, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · ⇒ !(B) B, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · [!(A)] ⇐ A −◦ B, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · [!(B) −◦ !(A)] ⇐ A DC B, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · ` A ! B, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · ⇒ !(A) DR B, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · ` !(A) ? !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · ` !(B) −◦ !(A) ! !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · ⇒ !(!(B) −◦ !(A)) DR !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · ` !(!(B) −◦ !(A)) ? · : !(!(A) −◦ !(B)) ⊗ !(!(B) −◦ !(A)) ` !(!(B) −◦ !(A))

I A, B, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · ⇒ B DR I A, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · ⇒ A A, B, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · ` B ? DR A, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · ` A A, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : !(B) ` B RL ! A, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · ⇒ !(A) A, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · [!(B)] ⇐ B −◦ A, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · [!(A) −◦ !(B)] ⇐ B DC A, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · ` B ! A, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · ⇒ !(B) DR A, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · ` !(B) ? · : !(A), !(!(A) −◦ !(B)) ⊗ !(!(B) −◦ !(A)) ` !(B)

0/1 focused decoration (142ms) I A, B, !(!(A) −◦ !(B)), !(!(B) −◦ !(A)), !(B) −◦ !(A) : · ⇒ A DR I B, !(!(A) −◦ !(B)), !(!(B) −◦ !(A)), !(B) −◦ !(A) : · ⇒ B A, B, !(!(A) −◦ !(B)), !(!(B) −◦ !(A)), !(B) −◦ !(A) : · ` A ? DR B, !(!(A) −◦ !(B)), !(!(B) −◦ !(A)), !(B) −◦ !(A) : · ` B B, !(!(A) −◦ !(B)), !(!(B) −◦ !(A)), !(B) −◦ !(A) : !(A) ` A RL ! B, !(!(A) −◦ !(B)), !(!(B) −◦ !(A)), !(B) −◦ !(A) : · ⇒ !(B) B, !(!(A) −◦ !(B)), !(!(B) −◦ !(A)), !(B) −◦ !(A) : · [!(A)] ⇐ A −◦ B, !(!(A) −◦ !(B)), !(!(B) −◦ !(A)), !(B) −◦ !(A) : · [!(B) −◦ !(A)] ⇐ A DC B, !(!(A) −◦ !(B)), !(!(B) −◦ !(A)), !(B) −◦ !(A) : · ` A ? B, !(!(A) −◦ !(B)), !(!(B) −◦ !(A)) : !(!(B) −◦ !(A)) ` A RL B, !(!(A) −◦ !(B)), !(!(B) −◦ !(A)) : · [!(!(B) −◦ !(A))] ⇐ A DC B, !(!(A) −◦ !(B)), !(!(B) −◦ !(A)) : · ` A ? !(!(A) −◦ !(B)), !(!(B) −◦ !(A)) : · ` !(B) −◦ A ! !(!(A) −◦ !(B)), !(!(B) −◦ !(A)) : · ⇒ !(!(B) −◦ A) DR !(!(A) −◦ !(B)), !(!(B) −◦ !(A)) : · ` !(!(B) −◦ A) ? · : !(!(!(A) −◦ !(B)) & !(!(B) −◦ !(A))) ` !(!(B) −◦ A)

0/1 focused decoration (114ms) I A, B, !(!(A) −◦ !(B)), !(!(B) −◦ !(A)), !(A) −◦ !(B) : · ⇒ B DR I A, !(!(A) −◦ !(B)), !(!(B) −◦ !(A)), !(A) −◦ !(B) : · ⇒ A A, B, !(!(A) −◦ !(B)), !(!(B) −◦ !(A)), !(A) −◦ !(B) : · ` B ? DR A, !(!(A) −◦ !(B)), !(!(B) −◦ !(A)), !(A) −◦ !(B) : · ` A A, !(!(A) −◦ !(B)), !(!(B) −◦ !(A)), !(A) −◦ !(B) : !(B) ` B RL ! A, !(!(A) −◦ !(B)), !(!(B) −◦ !(A)), !(A) −◦ !(B) : · ⇒ !(A) A, !(!(A) −◦ !(B)), !(!(B) −◦ !(A)), !(A) −◦ !(B) : · [!(B)] ⇐ B −◦ A, !(!(A) −◦ !(B)), !(!(B) −◦ !(A)), !(A) −◦ !(B) : · [!(A) −◦ !(B)] ⇐ B DC A, !(!(A) −◦ !(B)), !(!(B) −◦ !(A)), !(A) −◦ !(B) : · ` B ? A, !(!(A) −◦ !(B)), !(!(B) −◦ !(A)) : !(!(A) −◦ !(B)) ` B RL A, !(!(A) −◦ !(B)), !(!(B) −◦ !(A)) : · [!(!(A) −◦ !(B))] ⇐ B DC A, !(!(A) −◦ !(B)), !(!(B) −◦ !(A)) : · ` B ? · : !(A), !(!(!(A) −◦ !(B)) & !(!(B) −◦ !(A))) ` B

28

Linear Logic (19) A ↔ B, B ` A

LJ (35ms)

(20) · ` A ↔ A

LJ (18ms) ?

? B, A → B, B → A ` B A, B, A → B ` A ⊃L B, A → B, B → A ` A ? B, A → B ∧ B → A ` A Multiplicative translation (20ms) fail

Girard’s Translation (92ms) I I B, !(A) −◦ B, !(B) −◦ A : · ⇒ B B, !(A) −◦ B, !(B) −◦ A : A ⇒ A DR DR B, !(A) −◦ B, !(B) −◦ A : · ` B B, !(A) −◦ B, !(B) −◦ A : A ` A RL ! B, !(A) −◦ B, !(B) −◦ A : · ⇒ !(B) B, !(A) −◦ B, !(B) −◦ A : · [A] ⇐ A −◦ B, !(A) −◦ B, !(B) −◦ A : · [!(B) −◦ A] ⇐ A DC B, !(A) −◦ B, !(B) −◦ A : · ` A ? · : !(B), !(!(A) −◦ B & !(B) −◦ A) ` A

· ` A → A∧A → A

?

Multiplicative translation (90ms) I I ·: A⇒A D ·: A⇒A D R ·: A`A ? · : A ` A ?R · : · ` A −◦ A · : · ` A −◦ A RR R · : · ⇒ A −◦ A · : · ⇒ A −◦ A R ⊗ · : · ⇒ A −◦ A ⊗ A −◦ A D · : · ` A −◦ A ⊗ A −◦ A R Girard’s Translation (43ms) I I A: ·⇒A D A: ·⇒A D R A: ·`A A : · ` A ?R · : · ` !(A) −◦ A & !(A) −◦ A

Positive decoration (113ms) I A, B, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · ⇒ A DR I B, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · ⇒ B A, B, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · ` A ? DR B, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · ` B B, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : !(A) ` A RL ! B, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · ⇒ !(B) B, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · [!(A)] ⇐ A −◦ B, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · [!(B) −◦ !(A)] ⇐ A DC B, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · ` A ! B, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · ⇒ !(A) DR B, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · ` !(A) ? · : !(B), !(!(A) −◦ !(B)) ⊗ !(!(B) −◦ !(A)) ` !(A)

0/1 focused decoration (115ms) I A, B, !(!(A) −◦ !(B)), !(!(B) −◦ !(A)), !(B) −◦ !(A) : · ⇒ A DR I B, !(!(A) −◦ !(B)), !(!(B) −◦ !(A)), !(B) −◦ !(A) : · ⇒ B A, B, !(!(A) −◦ !(B)), !(!(B) −◦ !(A)), !(B) −◦ !(A) : · ` A ? DR B, !(!(A) −◦ !(B)), !(!(B) −◦ !(A)), !(B) −◦ !(A) : · ` B B, !(!(A) −◦ !(B)), !(!(B) −◦ !(A)), !(B) −◦ !(A) : !(A) ` A RL ! B, !(!(A) −◦ !(B)), !(!(B) −◦ !(A)), !(B) −◦ !(A) : · ⇒ !(B) B, !(!(A) −◦ !(B)), !(!(B) −◦ !(A)), !(B) −◦ !(A) : · [!(A)] ⇐ A −◦ B, !(!(A) −◦ !(B)), !(!(B) −◦ !(A)), !(B) −◦ !(A) : · [!(B) −◦ !(A)] ⇐ A DC B, !(!(A) −◦ !(B)), !(!(B) −◦ !(A)), !(B) −◦ !(A) : · ` A ? B, !(!(A) −◦ !(B)), !(!(B) −◦ !(A)) : !(!(B) −◦ !(A)) ` A RL B, !(!(A) −◦ !(B)), !(!(B) −◦ !(A)) : · [!(!(B) −◦ !(A))] ⇐ A DC B, !(!(A) −◦ !(B)), !(!(B) −◦ !(A)) : · ` A ? · : !(B), !(!(!(A) −◦ !(B)) & !(!(B) −◦ !(A))) ` A

Positive decoration (126ms) I I A: ·⇒A D A: ·⇒A D R A: ·`A A: ·`A R ! ! A : · ⇒ !(A) A : · ⇒ !(A) DR DR A : · ` !(A) A : · ` !(A) ? ? · : · ` !(A) −◦ !(A) · : · ` !(A) −◦ !(A) ! ! · : · ⇒ !(!(A) −◦ !(A)) · : · ⇒ !(!(A) −◦ !(A)) ⊗ · : · ⇒ !(!(A) −◦ !(A)) ⊗ !(!(A) −◦ !(A)) DR · : · ` !(!(A) −◦ !(A)) ⊗ !(!(A) −◦ !(A)) 0/1 focused decoration (108ms) I I A: ·⇒A D A: ·⇒A D R A: ·`A A : · ` A R? ? · : · ` !(A) −◦ A · : · ` !(A) −◦ A ! ! · : · ⇒ !(!(A) −◦ A) · : · ⇒ !(!(A) −◦ A) DR DR · : · ` !(!(A) −◦ A) · : · ` !(!(A) −◦ A) ? · : · ` !(!(A) −◦ A) & !(!(A) −◦ A) ! · : · ⇒ !(!(!(A) −◦ A) & !(!(A) −◦ A)) DR · : · ` !(!(!(A) −◦ A) & !(!(A) −◦ A))

C. Olarte, V. de Paiva, E. Pimentel & G. Reis (21) A ↔ B ` B ↔ A

LJ (54ms)

29 (22) A ↔ B, B ↔ C ` A ↔ C

LJ (150ms)

? ? ? ? B, A → B, B → A ` B A, B, A → B ` A A, A → B, B → A ` A A, B, B → A ` B ⊃L ⊃L B, A → B, B → A ` A A, A → B, B → A ` B ? A → B∧B → A ` B → A∧A → B

Multiplicative translation (160ms) I I ·: A⇒A D ·: B⇒B D R R ·: A`A R ·: B`B R L L I I ·: B⇒B · : · [A] ⇐ A ·: A⇒A · : · [B] ⇐ B −◦ −◦ · : B [B −◦ A] ⇐ A · : A [A −◦ B] ⇐ B DL DL · : B, B −◦ A ` A · : A, A −◦ B ` B ? ? · : B −◦ A ` B −◦ A · : A −◦ B ` A −◦ B R R · : B −◦ A ⇒ B −◦ A R · : A −◦ B ⇒ A −◦ B R ⊗ · : A −◦ B, B −◦ A ⇒ B −◦ A ⊗ A −◦ B DR · : A −◦ B, B −◦ A ` B −◦ A ⊗ A −◦ B ? · : A −◦ B ⊗ B −◦ A ` B −◦ A ⊗ A −◦ B

? ? ? ? A, B, B → A, B → C,C → B ` B A, B,C, B → A,C → B ` C C, A → B, B → A, B → C,C → B ` C B,C, A → B, B → A, B → C ` B ⊃L ⊃L ? ? A, A → B, B → A, B → C,C → B ` A A, B, B → A, B → C,C → B ` C C, A → B, B → A, B → C,C → B ` B A,C, A → B, B → C,C → B ` A ⊃L ⊃L A, A → B, B → A, B → C,C → B ` C C, A → B, B → A, B → C,C → B ` A ? A → B ∧ B → A, B → C ∧C → B ` A → C ∧C → A

Multiplicative translation (228ms) I I ·: C ⇒C D ·: A⇒A D R R ·: C `C R ·: A`A R L L I ·: B⇒B · : · [C] ⇐ C ·: B⇒B · : · [A] ⇐ A −◦ −◦ · : B [B −◦C] ⇐ C · : B [B −◦ A] ⇐ A DL DL · : B, B −◦C ` C · : B, B −◦ A ` A RL RL I I ·: A⇒A · : B −◦C [B] ⇐ C ·: C ⇒C · : B −◦ A [B] ⇐ A −◦ −◦ · : A, B −◦C [A −◦ B] ⇐ C · : C, B −◦ A [C −◦ B] ⇐ A DL DL · : A, A −◦ B, B −◦C ` C · : C, B −◦ A,C −◦ B ` A ? ? · : A −◦ B, B −◦C ` A −◦C · : B −◦ A,C −◦ B ` C −◦ A R R · : A −◦ B, B −◦C ⇒ A −◦C R · : B −◦ A,C −◦ B ⇒ C −◦ A R ⊗ · : A −◦ B, B −◦ A, B −◦C,C −◦ B ⇒ A −◦C ⊗C −◦ A DR · : A −◦ B, B −◦ A, B −◦C,C −◦ B ` A −◦C ⊗C −◦ A ? · : A −◦ B ⊗ B −◦ A, B −◦C ⊗C −◦ B ` A −◦C ⊗C −◦ A I

Girard’s Translation (Timeout) Girard’s Translation (196ms) I I I I B, !(A) −◦ B, !(B) −◦ A : · ⇒ B B, !(A) −◦ B, !(B) −◦ A : A ⇒ A A, !(A) −◦ B, !(B) −◦ A : · ⇒ A A, !(A) −◦ B, !(B) −◦ A : B ⇒ B DR DR DR DR B, !(A) −◦ B, !(B) −◦ A : · ` B B, !(A) −◦ B, !(B) −◦ A : A ` A A, !(A) −◦ B, !(B) −◦ A : · ` A A, !(A) −◦ B, !(B) −◦ A : B ` B RL RL ! ! B, !(A) −◦ B, !(B) −◦ A : · ⇒ !(B) B, !(A) −◦ B, !(B) −◦ A : · [A] ⇐ A A, !(A) −◦ B, !(B) −◦ A : · ⇒ !(A) A, !(A) −◦ B, !(B) −◦ A : · [B] ⇐ B −◦ −◦ B, !(A) −◦ B, !(B) −◦ A : · [!(B) −◦ A] ⇐ A A, !(A) −◦ B, !(B) −◦ A : · [!(A) −◦ B] ⇐ B DC DC B, !(A) −◦ B, !(B) −◦ A : · ` A A, !(A) −◦ B, !(B) −◦ A : · ` B ? · : !(!(A) −◦ B & !(B) −◦ A) ` !(B) −◦ A & !(A) −◦ B

Timeout

Positive decoration (Timeout) Positive decoration (515ms) I A, B, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · ⇒ A DR I B, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · ⇒ B A, B, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · ` A ? DR B, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · ` B B, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : !(A) ` A RL ! B, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · ⇒ !(B) B, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · [!(A)] ⇐ A −◦ B, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · [!(B) −◦ !(A)] ⇐ A DC B, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · ` A ! B, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · ⇒ !(A) DR B, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · ` !(A) ? !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · ` !(B) −◦ !(A) ! !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · ⇒ !(!(B) −◦ !(A))

I A, B, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · ⇒ B DR I A, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · ⇒ A A, B, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · ` B ? DR A, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · ` A A, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : !(B) ` B RL ! A, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · ⇒ !(A) A, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · [!(B)] ⇐ B −◦ A, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · [!(A) −◦ !(B)] ⇐ B DC A, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · ` B ! A, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · ⇒ !(B) DR A, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · ` !(B) ? !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · ` !(A) −◦ !(B) ! !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · ⇒ !(!(A) −◦ !(B)) ⊗ !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · ⇒ !(!(B) −◦ !(A)) ⊗ !(!(A) −◦ !(B)) DR !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · ` !(!(B) −◦ !(A)) ⊗ !(!(A) −◦ !(B)) ? · : !(!(A) −◦ !(B)) ⊗ !(!(B) −◦ !(A)) ` !(!(B) −◦ !(A)) ⊗ !(!(A) −◦ !(B))

0/1 focused decoration (1825ms) I I A, B, !(!(A) −◦ !(B)), !(!(B) −◦ !(A)), !(B) −◦ !(A) : · ⇒ A A, B, !(!(A) −◦ !(B)), !(!(B) −◦ !(A)), !(A) −◦ !(B) : · ⇒ B DR DR I I B, !(!(A) −◦ !(B)), !(!(B) −◦ !(A)), !(B) −◦ !(A) : · ⇒ B A, B, !(!(A) −◦ !(B)), !(!(B) −◦ !(A)), !(B) −◦ !(A) : · ` A A, !(!(A) −◦ !(B)), !(!(B) −◦ !(A)), !(A) −◦ !(B) : · ⇒ A A, B, !(!(A) −◦ !(B)), !(!(B) −◦ !(A)), !(A) −◦ !(B) : · ` B ? ? DR DR B, !(!(A) −◦ !(B)), !(!(B) −◦ !(A)), !(B) −◦ !(A) : · ` B B, !(!(A) −◦ !(B)), !(!(B) −◦ !(A)), !(B) −◦ !(A) : !(A) ` A A, !(!(A) −◦ !(B)), !(!(B) −◦ !(A)), !(A) −◦ !(B) : · ` A A, !(!(A) −◦ !(B)), !(!(B) −◦ !(A)), !(A) −◦ !(B) : !(B) ` B RL RL ! ! B, !(!(A) −◦ !(B)), !(!(B) −◦ !(A)), !(B) −◦ !(A) : · ⇒ !(B) B, !(!(A) −◦ !(B)), !(!(B) −◦ !(A)), !(B) −◦ !(A) : · [!(A)] ⇐ A A, !(!(A) −◦ !(B)), !(!(B) −◦ !(A)), !(A) −◦ !(B) : · ⇒ !(A) A, !(!(A) −◦ !(B)), !(!(B) −◦ !(A)), !(A) −◦ !(B) : · [!(B)] ⇐ B −◦ −◦ B, !(!(A) −◦ !(B)), !(!(B) −◦ !(A)), !(B) −◦ !(A) : · [!(B) −◦ !(A)] ⇐ A A, !(!(A) −◦ !(B)), !(!(B) −◦ !(A)), !(A) −◦ !(B) : · [!(A) −◦ !(B)] ⇐ B DC DC B, !(!(A) −◦ !(B)), !(!(B) −◦ !(A)), !(B) −◦ !(A) : · ` A A, !(!(A) −◦ !(B)), !(!(B) −◦ !(A)), !(A) −◦ !(B) : · ` B ? ? B, !(!(A) −◦ !(B)), !(!(B) −◦ !(A)) : !(!(B) −◦ !(A)) ` A A, !(!(A) −◦ !(B)), !(!(B) −◦ !(A)) : !(!(A) −◦ !(B)) ` B RL RL B, !(!(A) −◦ !(B)), !(!(B) −◦ !(A)) : · [!(!(B) −◦ !(A))] ⇐ A A, !(!(A) −◦ !(B)), !(!(B) −◦ !(A)) : · [!(!(A) −◦ !(B))] ⇐ B DC DC B, !(!(A) −◦ !(B)), !(!(B) −◦ !(A)) : · ` A A, !(!(A) −◦ !(B)), !(!(B) −◦ !(A)) : · ` B ? ? !(!(A) −◦ !(B)), !(!(B) −◦ !(A)) : · ` !(B) −◦ A !(!(A) −◦ !(B)), !(!(B) −◦ !(A)) : · ` !(A) −◦ B ! ! !(!(A) −◦ !(B)), !(!(B) −◦ !(A)) : · ⇒ !(!(B) −◦ A) !(!(A) −◦ !(B)), !(!(B) −◦ !(A)) : · ⇒ !(!(A) −◦ B) DR DR !(!(A) −◦ !(B)), !(!(B) −◦ !(A)) : · ` !(!(B) −◦ A) !(!(A) −◦ !(B)), !(!(B) −◦ !(A)) : · ` !(!(A) −◦ B) ? !(!(A) −◦ !(B)), !(!(B) −◦ !(A)) : · ` !(!(B) −◦ A) & !(!(A) −◦ B) ! !(!(A) −◦ !(B)), !(!(B) −◦ !(A)) : · ⇒ !(!(!(B) −◦ A) & !(!(A) −◦ B)) DR !(!(A) −◦ !(B)), !(!(B) −◦ !(A)) : · ` !(!(!(B) −◦ A) & !(!(A) −◦ B)) ? · : !(!(!(A) −◦ !(B)) & !(!(B) −◦ !(A))) ` !(!(!(B) −◦ A) & !(!(A) −◦ B))

Timeout

0/1 focused decoration (Timeout) Timeout

30

Linear Logic (23) A → (B → C), ¬¬A, ¬¬B ` ¬¬C

(24) ¬¬(A → B) ` ¬¬A → ¬¬B

LJ (2318ms) A, A → B → C,C → ⊥, A → ⊥ → ⊥, B → ⊥ → ⊥ ` A

?

LJ (211ms)

? ? A, B,C,C → ⊥, A → ⊥ → ⊥, B → ⊥ → ⊥ ` C A, B,C, ⊥, A → ⊥ → ⊥, B → ⊥ → ⊥ ` ⊥ ⊃L ? A, B, B → C,C → ⊥, A → ⊥ → ⊥, B → ⊥ → ⊥ ` B A, B,C,C → ⊥, A → ⊥ → ⊥, B → ⊥ → ⊥ ` ⊥ ⊃L A, B, B → C,C → ⊥, A → ⊥ → ⊥, B → ⊥ → ⊥ ` ⊥ ? A, B → C,C → ⊥, A → ⊥ → ⊥, B → ⊥ → ⊥ ` B → ⊥ A, B → C,C → ⊥, A → ⊥ → ⊥, B → ⊥ → ⊥ ` ⊥ A, A → B → C,C → ⊥, A → ⊥ → ⊥, B → ⊥ → ⊥ ` ⊥ ? A → B → C,C → ⊥, A → ⊥ → ⊥, B → ⊥ → ⊥ ` A → ⊥

A, ⊥, B → C,C → ⊥, A → ⊥ → ⊥ ` ⊥

? ⊃L

⊃L ⊥, A → B → C,C → ⊥, B → ⊥ → ⊥ ` ⊥

A → B → C,C → ⊥, A → ⊥ → ⊥, B → ⊥ → ⊥ ` ⊥ ? A → B → C, A → ⊥ → ⊥, B → ⊥ → ⊥ ` C → ⊥ → ⊥

? ⊃L

Multiplicative translation (164ms) ⊥ I ·: C ⇒C · : · [⊥] ⇐⊥ −◦ · : C [C−◦ ⊥] ⇐⊥ DL · : C,C−◦ ⊥`⊥ RL I ·: B⇒B · : C−◦ ⊥ [C] ⇐⊥ −◦ I ·: A⇒A · : B,C−◦ ⊥ [B −◦C] ⇐⊥ −◦ · : A, B,C−◦ ⊥ [A −◦ B −◦C] ⇐⊥ DL · : A, B, A −◦ B −◦C,C−◦ ⊥`⊥ ? · : A, A −◦ B −◦C,C−◦ ⊥` B−◦ ⊥ R ⊥ · : A, A −◦ B −◦C,C−◦ ⊥⇒ B−◦ ⊥ R · : · [⊥] ⇐⊥ −◦ · : A, A −◦ B −◦C,C−◦ ⊥ [B−◦ ⊥ −◦ ⊥] ⇐⊥ DL · : A, A −◦ B −◦C,C−◦ ⊥, B−◦ ⊥ −◦ ⊥`⊥ ? · : A −◦ B −◦C,C−◦ ⊥, B−◦ ⊥ −◦ ⊥` A−◦ ⊥ R ⊥ · : A −◦ B −◦C,C−◦ ⊥, B−◦ ⊥ −◦ ⊥⇒ A−◦ ⊥ R · : · [⊥] ⇐⊥ −◦ · : A −◦ B −◦C,C−◦ ⊥, B−◦ ⊥ −◦ ⊥ [A−◦ ⊥ −◦ ⊥] ⇐⊥ DL · : A −◦ B −◦C,C−◦ ⊥, A−◦ ⊥ −◦ ⊥, B−◦ ⊥ −◦ ⊥`⊥ ? · : A −◦ B −◦C, A−◦ ⊥ −◦ ⊥, B−◦ ⊥ −◦ ⊥` C−◦ ⊥ −◦ ⊥

? ? A, B, B → ⊥, A → ⊥ → ⊥, A → B → ⊥ → ⊥ ` B A, B, ⊥, A → ⊥ → ⊥, A → B → ⊥ → ⊥ ` ⊥ ⊃L ? A, A → B, B → ⊥, A → ⊥ → ⊥, A → B → ⊥ → ⊥ ` A A, B, B → ⊥, A → ⊥ → ⊥, A → B → ⊥ → ⊥ ` ⊥ ⊃L A, A → B, B → ⊥, A → ⊥ → ⊥, A → B → ⊥ → ⊥ ` ⊥ ? ? A, B → ⊥, A → ⊥ → ⊥, A → B → ⊥ → ⊥ ` A → B → ⊥ A, ⊥, B → ⊥, A → ⊥ → ⊥ ` ⊥ ⊃L A, B → ⊥, A → ⊥ → ⊥, A → B → ⊥ → ⊥ ` ⊥ ? B → ⊥, A → ⊥ → ⊥, A → B → ⊥ → ⊥ ` A → ⊥ B → ⊥, A → ⊥ → ⊥, A → B → ⊥ → ⊥ ` ⊥ ? A→B→⊥→⊥`A→⊥→⊥→B→⊥→⊥

⊥, B → ⊥, A → B → ⊥ → ⊥ ` ⊥

? ⊃L

Multiplicative translation (142ms) ⊥ I ·: B⇒B · : · [⊥] ⇐⊥ −◦ · : B [B−◦ ⊥] ⇐⊥ DL · : B, B−◦ ⊥`⊥ RL I ·: A⇒A · : B−◦ ⊥ [B] ⇐⊥ −◦ · : A, B−◦ ⊥ [A −◦ B] ⇐⊥ DL · : A, A −◦ B, B−◦ ⊥`⊥ ? · : A, B−◦ ⊥` A −◦ B−◦ ⊥ R ⊥ · : A, B−◦ ⊥⇒ A −◦ B−◦ ⊥ R · : · [⊥] ⇐⊥ −◦ · : A, B−◦ ⊥ [A −◦ B−◦ ⊥ −◦ ⊥] ⇐⊥ DL · : A, B−◦ ⊥, A −◦ B−◦ ⊥ −◦ ⊥`⊥ ? · : B−◦ ⊥, A −◦ B−◦ ⊥ −◦ ⊥` A−◦ ⊥ R ⊥ · : B−◦ ⊥, A −◦ B−◦ ⊥ −◦ ⊥⇒ A−◦ ⊥ R · : · [⊥] ⇐⊥ −◦ · : B−◦ ⊥, A −◦ B−◦ ⊥ −◦ ⊥ [A−◦ ⊥ −◦ ⊥] ⇐⊥ DL · : B−◦ ⊥, A−◦ ⊥ −◦ ⊥, A −◦ B−◦ ⊥ −◦ ⊥`⊥ ? · : A −◦ B−◦ ⊥ −◦ ⊥` A−◦ ⊥ −◦ ⊥ −◦B−◦ ⊥ −◦ ⊥

Girard’s Translation (Timeout) Girard’s Translation (4694ms) Timeout

I I A, !(A) −◦ B, !(B) −◦ 0, !(!(A) −◦ 0) −◦ 0, !(!(!(A) −◦ B) −◦ 0) −◦ 0 : · ⇒ A A, !(A) −◦ B, !(B) −◦ 0, !(!(A) −◦ 0) −◦ 0, !(!(!(A) −◦ B) −◦ 0) −◦ 0 : B ⇒ B DR DR A, !(A) −◦ B, !(B) −◦ 0, !(!(A) −◦ 0) −◦ 0, !(!(!(A) −◦ B) −◦ 0) −◦ 0 : · ` A A, !(A) −◦ B, !(B) −◦ 0, !(!(A) −◦ 0) −◦ 0, !(!(!(A) −◦ B) −◦ 0) −◦ 0 : B ` B RL ! A, !(A) −◦ B, !(B) −◦ 0, !(!(A) −◦ 0) −◦ 0, !(!(!(A) −◦ B) −◦ 0) −◦ 0 : · ⇒ !(A) A, !(A) −◦ B, !(B) −◦ 0, !(!(A) −◦ 0) −◦ 0, !(!(!(A) −◦ B) −◦ 0) −◦ 0 : · [B] ⇐ B −◦ A, !(A) −◦ B, !(B) −◦ 0, !(!(A) −◦ 0) −◦ 0, !(!(!(A) −◦ B) −◦ 0) −◦ 0 : · [!(A) −◦ B] ⇐ B ? DC A, !(A) −◦ B, !(B) −◦ 0, !(!(A) −◦ 0) −◦ 0, !(!(!(A) −◦ B) −◦ 0) −◦ 0 : · ` B A, !(A) −◦ B, !(B) −◦ 0, !(!(A) −◦ 0) −◦ 0, !(!(!(A) −◦ B) −◦ 0) −◦ 0 : 0 ` 0 RL ! A, !(A) −◦ B, !(B) −◦ 0, !(!(A) −◦ 0) −◦ 0, !(!(!(A) −◦ B) −◦ 0) −◦ 0 : · ⇒ !(B) A, !(A) −◦ B, !(B) −◦ 0, !(!(A) −◦ 0) −◦ 0, !(!(!(A) −◦ B) −◦ 0) −◦ 0 : · [0] ⇐ 0 −◦ A, !(A) −◦ B, !(B) −◦ 0, !(!(A) −◦ 0) −◦ 0, !(!(!(A) −◦ B) −◦ 0) −◦ 0 : · [!(B) −◦ 0] ⇐ 0 DC A, !(A) −◦ B, !(B) −◦ 0, !(!(A) −◦ 0) −◦ 0, !(!(!(A) −◦ B) −◦ 0) −◦ 0 : · ` 0 ? A, !(B) −◦ 0, !(!(A) −◦ 0) −◦ 0, !(!(!(A) −◦ B) −◦ 0) −◦ 0 : · ` !(!(A) −◦ B) −◦ 0

? A, !(B) −◦ 0, !(!(A) −◦ 0) −◦ 0, !(!(!(A) −◦ B) −◦ 0) −◦ 0 : 0 ` 0 RL ! A, !(B) −◦ 0, !(!(A) −◦ 0) −◦ 0, !(!(!(A) −◦ B) −◦ 0) −◦ 0 : · ⇒ !(!(!(A) −◦ B) −◦ 0) A, !(B) −◦ 0, !(!(A) −◦ 0) −◦ 0, !(!(!(A) −◦ B) −◦ 0) −◦ 0 : · [0] ⇐ 0 −◦ A, !(B) −◦ 0, !(!(A) −◦ 0) −◦ 0, !(!(!(A) −◦ B) −◦ 0) −◦ 0 : · [!(!(!(A) −◦ B) −◦ 0) −◦ 0] ⇐ 0 DC A, !(B) −◦ 0, !(!(A) −◦ 0) −◦ 0, !(!(!(A) −◦ B) −◦ 0) −◦ 0 : · ` 0 ? !(B) −◦ 0, !(!(A) −◦ 0) −◦ 0, !(!(!(A) −◦ B) −◦ 0) −◦ 0 : · ` !(A) −◦ 0

? !(B) −◦ 0, !(!(A) −◦ 0) −◦ 0, !(!(!(A) −◦ B) −◦ 0) −◦ 0 : 0 ` 0 RL ! !(B) −◦ 0, !(!(A) −◦ 0) −◦ 0, !(!(!(A) −◦ B) −◦ 0) −◦ 0 : · ⇒ !(!(A) −◦ 0) !(B) −◦ 0, !(!(A) −◦ 0) −◦ 0, !(!(!(A) −◦ B) −◦ 0) −◦ 0 : · [0] ⇐ 0 −◦ !(B) −◦ 0, !(!(A) −◦ 0) −◦ 0, !(!(!(A) −◦ B) −◦ 0) −◦ 0 : · [!(!(A) −◦ 0) −◦ 0] ⇐ 0 DC !(B) −◦ 0, !(!(A) −◦ 0) −◦ 0, !(!(!(A) −◦ B) −◦ 0) −◦ 0 : · ` 0 ? · : !(!(!(!(A) −◦ B) −◦ 0) −◦ 0) ` !(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ !(!(B) −◦ 0) −◦ 0

Positive decoration (Timeout) Positive decoration (5522ms) Timeout

I A, B, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ 0, !(!(A) −◦ 0) −◦ 0, !(!(!(A) −◦ !(B)) −◦ 0) −◦ 0 : · ⇒ B ? DR A, B, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ 0, !(!(A) −◦ 0) −◦ 0, !(!(!(A) −◦ !(B)) −◦ 0) −◦ 0 : · ` B A, B, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ 0, !(!(A) −◦ 0) −◦ 0, !(!(!(A) −◦ !(B)) −◦ 0) −◦ 0 : 0 ` 0 RL ! A, B, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ 0, !(!(A) −◦ 0) −◦ 0, !(!(!(A) −◦ !(B)) −◦ 0) −◦ 0 : · ⇒ !(B) A, B, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ 0, !(!(A) −◦ 0) −◦ 0, !(!(!(A) −◦ !(B)) −◦ 0) −◦ 0 : · [0] ⇐ 0 −◦ A, B, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ 0, !(!(A) −◦ 0) −◦ 0, !(!(!(A) −◦ !(B)) −◦ 0) −◦ 0 : · [!(B) −◦ 0] ⇐ 0 DC I A, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ 0, !(!(A) −◦ 0) −◦ 0, !(!(!(A) −◦ !(B)) −◦ 0) −◦ 0 : · ⇒ A A, B, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ 0, !(!(A) −◦ 0) −◦ 0, !(!(!(A) −◦ !(B)) −◦ 0) −◦ 0 : · ` 0 ? DR A, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ 0, !(!(A) −◦ 0) −◦ 0, !(!(!(A) −◦ !(B)) −◦ 0) −◦ 0 : · ` A A, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ 0, !(!(A) −◦ 0) −◦ 0, !(!(!(A) −◦ !(B)) −◦ 0) −◦ 0 : !(B) ` 0 RL ! A, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ 0, !(!(A) −◦ 0) −◦ 0, !(!(!(A) −◦ !(B)) −◦ 0) −◦ 0 : · ⇒ !(A) A, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ 0, !(!(A) −◦ 0) −◦ 0, !(!(!(A) −◦ !(B)) −◦ 0) −◦ 0 : · [!(B)] ⇐ 0 −◦ A, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ 0, !(!(A) −◦ 0) −◦ 0, !(!(!(A) −◦ !(B)) −◦ 0) −◦ 0 : · [!(A) −◦ !(B)] ⇐ 0 DC A, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ 0, !(!(A) −◦ 0) −◦ 0, !(!(!(A) −◦ !(B)) −◦ 0) −◦ 0 : · ` 0 ? A, !(B) −◦ 0, !(!(A) −◦ 0) −◦ 0, !(!(!(A) −◦ !(B)) −◦ 0) −◦ 0 : · ` !(!(A) −◦ !(B)) −◦ 0 A, !(B) −◦ 0, !(!(A) −◦ 0) −◦ 0, !(!(!(A) −◦ !(B)) −◦ 0) −◦ 0 : · ⇒ !(!(!(A) −◦ !(B)) −◦ 0)

!

A, !(B) −◦ 0, !(!(A) −◦ 0) −◦ 0, !(!(!(A) −◦ !(B)) −◦ 0) −◦ 0 : · [!(!(!(A) −◦ !(B)) −◦ 0) −◦ 0] ⇐ 0 DC A, !(B) −◦ 0, !(!(A) −◦ 0) −◦ 0, !(!(!(A) −◦ !(B)) −◦ 0) −◦ 0 : · ` 0 ? !(B) −◦ 0, !(!(A) −◦ 0) −◦ 0, !(!(!(A) −◦ !(B)) −◦ 0) −◦ 0 : · ` !(A) −◦ 0 ! !(B) −◦ 0, !(!(A) −◦ 0) −◦ 0, !(!(!(A) −◦ !(B)) −◦ 0) −◦ 0 : · ⇒ !(!(A) −◦ 0)

0/1 focused decoration (Timeout) Timeout

? A, !(B) −◦ 0, !(!(A) −◦ 0) −◦ 0, !(!(!(A) −◦ !(B)) −◦ 0) −◦ 0 : 0 ` 0 RL A, !(B) −◦ 0, !(!(A) −◦ 0) −◦ 0, !(!(!(A) −◦ !(B)) −◦ 0) −◦ 0 : · [0] ⇐ 0 −◦

!(B) −◦ 0, !(!(A) −◦ 0) −◦ 0, !(!(!(A) −◦ !(B)) −◦ 0) −◦ 0 : · [!(!(A) −◦ 0) −◦ 0] ⇐ 0 DC !(B) −◦ 0, !(!(A) −◦ 0) −◦ 0, !(!(!(A) −◦ !(B)) −◦ 0) −◦ 0 : · ` 0 ? !(!(A) −◦ 0) −◦ 0, !(!(!(A) −◦ !(B)) −◦ 0) −◦ 0 : · ` !(!(B) −◦ 0) −◦ 0 ! !(!(A) −◦ 0) −◦ 0, !(!(!(A) −◦ !(B)) −◦ 0) −◦ 0 : · ⇒ !(!(!(B) −◦ 0) −◦ 0) DR !(!(A) −◦ 0) −◦ 0, !(!(!(A) −◦ !(B)) −◦ 0) −◦ 0 : · ` !(!(!(B) −◦ 0) −◦ 0) ? !(!(!(A) −◦ !(B)) −◦ 0) −◦ 0 : · ` !(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ !(!(!(B) −◦ 0) −◦ 0) ! !(!(!(A) −◦ !(B)) −◦ 0) −◦ 0 : · ⇒ !(!(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ !(!(!(B) −◦ 0) −◦ 0)) DR !(!(!(A) −◦ !(B)) −◦ 0) −◦ 0 : · ` !(!(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ !(!(!(B) −◦ 0) −◦ 0)) ? · : !(!(!(!(A) −◦ !(B)) −◦ 0) −◦ 0) ` !(!(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ !(!(!(B) −◦ 0) −◦ 0))

0/1 focused decoration (Timeout) Timeout

? !(B) −◦ 0, !(!(A) −◦ 0) −◦ 0, !(!(!(A) −◦ !(B)) −◦ 0) −◦ 0 : 0 ` 0 RL !(B) −◦ 0, !(!(A) −◦ 0) −◦ 0, !(!(!(A) −◦ !(B)) −◦ 0) −◦ 0 : · [0] ⇐ 0 −◦

C. Olarte, V. de Paiva, E. Pimentel & G. Reis

31 (26) · ` ¬¬(A ∧ B) ↔ ¬¬A ∧ ¬¬B

(25) ¬¬(A → B), ¬¬(B → C) ` ¬¬(A → C)

LJ (4063ms)

LJ (140ms)

? ? A, B, B → C, A → C → ⊥, A → B → ⊥ → ⊥, B → C → ⊥ → ⊥ ` B A, B,C, A → C → ⊥, A → B → ⊥ → ⊥, B → C → ⊥ → ⊥ ` C ⊃L ? A, A → B, B → C, A → C → ⊥, A → B → ⊥ → ⊥, B → C → ⊥ → ⊥ ` A A, B, B → C, A → C → ⊥, A → B → ⊥ → ⊥, B → C → ⊥ → ⊥ ` C ⊃L A, A → B, B → C, A → C → ⊥, A → B → ⊥ → ⊥, B → C → ⊥ → ⊥ ` C ? A → B, B → C, A → C → ⊥, A → B → ⊥ → ⊥, B → C → ⊥ → ⊥ ` A → C

? ⊥, A → B, B → C, A → B → ⊥ → ⊥, B → C → ⊥ → ⊥ ` ⊥ ⊃L A → B, B → C, A → C → ⊥, A → B → ⊥ → ⊥, B → C → ⊥ → ⊥ ` ⊥ ? ? A → B, A → C → ⊥, A → B → ⊥ → ⊥, B → C → ⊥ → ⊥ ` B → C → ⊥ ⊥, A → B, A → C → ⊥, A → B → ⊥ → ⊥ ` ⊥ ⊃L A → B, A → C → ⊥, A → B → ⊥ → ⊥, B → C → ⊥ → ⊥ ` ⊥ ? A → C → ⊥, A → B → ⊥ → ⊥, B → C → ⊥ → ⊥ ` A → B → ⊥ A → C → ⊥, A → B → ⊥ → ⊥, B → C → ⊥ → ⊥ ` ⊥ ? A → B → ⊥ → ⊥, B → C → ⊥ → ⊥ ` A → C → ⊥ → ⊥

⊥, A → C → ⊥, B → C → ⊥ → ⊥ ` ⊥

? ⊃L

Multiplicative translation (202ms) I ·: C ⇒C D R ·: C `C R L I ·: B⇒B · : · [C] ⇐ C −◦ · : B [B −◦C] ⇐ C DL · : B, B −◦C ` C RL I ·: A⇒A · : B −◦C [B] ⇐ C −◦ · : A, B −◦C [A −◦ B] ⇐ C DL · : A, A −◦ B, B −◦C ` C ? · : A −◦ B, B −◦C ` A −◦C R ⊥ · : A −◦ B, B −◦C ⇒ A −◦C R · : · [⊥] ⇐⊥ −◦ · : A −◦ B, B −◦C [A −◦C−◦ ⊥] ⇐⊥ DL · : A −◦ B, B −◦C, A −◦C−◦ ⊥`⊥ ? · : A −◦ B, A −◦C−◦ ⊥` B −◦C−◦ ⊥ R ⊥ · : A −◦ B, A −◦C−◦ ⊥⇒ B −◦C−◦ ⊥ R · : · [⊥] ⇐⊥ −◦ · : A −◦ B, A −◦C−◦ ⊥ [B −◦C−◦ ⊥ −◦ ⊥] ⇐⊥ DL · : A −◦ B, A −◦C−◦ ⊥, B −◦C−◦ ⊥ −◦ ⊥`⊥ ? · : A −◦C−◦ ⊥, B −◦C−◦ ⊥ −◦ ⊥` A −◦ B−◦ ⊥ R ⊥ · : A −◦C−◦ ⊥, B −◦C−◦ ⊥ −◦ ⊥⇒ A −◦ B−◦ ⊥ R · : · [⊥] ⇐⊥ −◦ · : A −◦C−◦ ⊥, B −◦C−◦ ⊥ −◦ ⊥ [A −◦ B−◦ ⊥ −◦ ⊥] ⇐⊥ DL · : A −◦C−◦ ⊥, A −◦ B−◦ ⊥ −◦ ⊥, B −◦C−◦ ⊥ −◦ ⊥`⊥ ? · : A −◦ B−◦ ⊥ −◦ ⊥, B −◦C−◦ ⊥ −◦ ⊥` A −◦C−◦ ⊥ −◦ ⊥

? ? A, B, A → ⊥, A ∧ B → ⊥ → ⊥ ` A A, B, ⊥, A ∧ B → ⊥ → ⊥ ` ⊥ ⊃L A, B, A → ⊥, A ∧ B → ⊥ → ⊥ ` ⊥ ? A → ⊥, A ∧ B → ⊥ → ⊥ ` A ∧ B → ⊥ A → ⊥, A ∧ B → ⊥ → ⊥ ` ⊥

⊥, A → ⊥ ` ⊥

? ⊃L

? ? A, B, A ∧ B → ⊥, A → ⊥ → ⊥, B → ⊥ → ⊥ ` A ∧ B A, B, ⊥, A → ⊥ → ⊥, B → ⊥ → ⊥ ` ⊥ ⊃L A, B, A ∧ B → ⊥, A → ⊥ → ⊥, B → ⊥ → ⊥ ` ⊥ ? ? ? ? A, B, B → ⊥, A ∧ B → ⊥ → ⊥ ` B A, B, ⊥, A ∧ B → ⊥ → ⊥ ` ⊥ A, A ∧ B → ⊥, A → ⊥ → ⊥, B → ⊥ → ⊥ ` B → ⊥ A, ⊥, A ∧ B → ⊥, A → ⊥ → ⊥ ` ⊥ ⊃L ⊃L A, B, B → ⊥, A ∧ B → ⊥ → ⊥ ` ⊥ A, A ∧ B → ⊥, A → ⊥ → ⊥, B → ⊥ → ⊥ ` ⊥ ? ? ? B → ⊥, A ∧ B → ⊥ → ⊥ ` A ∧ B → ⊥ ⊥, B → ⊥ ` ⊥ A ∧ B → ⊥, A → ⊥ → ⊥, B → ⊥ → ⊥ ` A → ⊥ ⊃L B → ⊥, A ∧ B → ⊥ → ⊥ ` ⊥ A ∧ B → ⊥, A → ⊥ → ⊥, B → ⊥ → ⊥ ` ⊥ ? · ` A∧B → ⊥ → ⊥ → A → ⊥ → ⊥∧B → ⊥ → ⊥∧A → ⊥ → ⊥∧B → ⊥ → ⊥ → A∧B → ⊥ → ⊥

fail

Girard’s Translation (27482ms) I I A, B, !(A & B) −◦ 0, !(!(A) −◦ 0) −◦ 0, !(!(B) −◦ 0) −◦ 0 : · ⇒ A A, B, !(A & B) −◦ 0, !(!(A) −◦ 0) −◦ 0, !(!(B) −◦ 0) −◦ 0 : · ⇒ B DR DR A, B, !(A & B) −◦ 0, !(!(A) −◦ 0) −◦ 0, !(!(B) −◦ 0) −◦ 0 : · ` A A, B, !(A & B) −◦ 0, !(!(A) −◦ 0) −◦ 0, !(!(B) −◦ 0) −◦ 0 : · ` B ? A, B, !(A & B) −◦ 0, !(!(A) −◦ 0) −◦ 0, !(!(B) −◦ 0) −◦ 0 : · ` A & B ! A, B, !(A & B) −◦ 0, !(!(A) −◦ 0) −◦ 0, !(!(B) −◦ 0) −◦ 0 : · ⇒ !(A & B) I A, B, !(A) −◦ 0, !(!(A & B) −◦ 0) −◦ 0 : · ⇒ A ? DR A, B, !(A) −◦ 0, !(!(A & B) −◦ 0) −◦ 0 : · ` A A, B, !(A) −◦ 0, !(!(A & B) −◦ 0) −◦ 0 : 0 ` 0 RL ! A, B, !(A) −◦ 0, !(!(A & B) −◦ 0) −◦ 0 : · ⇒ !(A) A, B, !(A) −◦ 0, !(!(A & B) −◦ 0) −◦ 0 : · [0] ⇐ 0 −◦ A, B, !(A) −◦ 0, !(!(A & B) −◦ 0) −◦ 0 : · [!(A) −◦ 0] ⇐ 0 DC A, B, !(A) −◦ 0, !(!(A & B) −◦ 0) −◦ 0 : · ` 0 ? !(A) −◦ 0, !(!(A & B) −◦ 0) −◦ 0 : · ` !(A & B) −◦ 0

? !(A) −◦ 0, !(!(A & B) −◦ 0) −◦ 0 : 0 ` 0 RL ! !(A) −◦ 0, !(!(A & B) −◦ 0) −◦ 0 : · ⇒ !(!(A & B) −◦ 0) !(A) −◦ 0, !(!(A & B) −◦ 0) −◦ 0 : · [0] ⇐ 0 −◦ !(A) −◦ 0, !(!(A & B) −◦ 0) −◦ 0 : · [!(!(A & B) −◦ 0) −◦ 0] ⇐ 0 DC !(A) −◦ 0, !(!(A & B) −◦ 0) −◦ 0 : · ` 0

I A, B, !(B) −◦ 0, !(!(A & B) −◦ 0) −◦ 0 : · ⇒ B ? DR A, B, !(B) −◦ 0, !(!(A & B) −◦ 0) −◦ 0 : · ` B A, B, !(B) −◦ 0, !(!(A & B) −◦ 0) −◦ 0 : 0 ` 0 RL ! A, B, !(B) −◦ 0, !(!(A & B) −◦ 0) −◦ 0 : · ⇒ !(B) A, B, !(B) −◦ 0, !(!(A & B) −◦ 0) −◦ 0 : · [0] ⇐ 0 −◦ A, B, !(B) −◦ 0, !(!(A & B) −◦ 0) −◦ 0 : · [!(B) −◦ 0] ⇐ 0 DC A, B, !(B) −◦ 0, !(!(A & B) −◦ 0) −◦ 0 : · ` 0 ? !(B) −◦ 0, !(!(A & B) −◦ 0) −◦ 0 : · ` !(A & B) −◦ 0

? A, B, !(A & B) −◦ 0, !(!(A) −◦ 0) −◦ 0, !(!(B) −◦ 0) −◦ 0 : 0 ` 0 RL A, B, !(A & B) −◦ 0, !(!(A) −◦ 0) −◦ 0, !(!(B) −◦ 0) −◦ 0 : · [0] ⇐ 0 −◦ A, B, !(A & B) −◦ 0, !(!(A) −◦ 0) −◦ 0, !(!(B) −◦ 0) −◦ 0 : · [!(A & B) −◦ 0] ⇐ 0 DC A, B, !(A & B) −◦ 0, !(!(A) −◦ 0) −◦ 0, !(!(B) −◦ 0) −◦ 0 : · ` 0 ? A, !(A & B) −◦ 0, !(!(A) −◦ 0) −◦ 0, !(!(B) −◦ 0) −◦ 0 : · ` !(B) −◦ 0

? !(B) −◦ 0, !(!(A & B) −◦ 0) −◦ 0 : 0 ` 0 RL ! !(B) −◦ 0, !(!(A & B) −◦ 0) −◦ 0 : · ⇒ !(!(A & B) −◦ 0) !(B) −◦ 0, !(!(A & B) −◦ 0) −◦ 0 : · [0] ⇐ 0 −◦ !(B) −◦ 0, !(!(A & B) −◦ 0) −◦ 0 : · [!(!(A & B) −◦ 0) −◦ 0] ⇐ 0 DC !(B) −◦ 0, !(!(A & B) −◦ 0) −◦ 0 : · ` 0 · : · ` !(!(!(A & B) −◦ 0) −◦ 0) −◦ !(!(A) −◦ 0) −◦ 0 & !(!(B) −◦ 0) −◦ 0 & !(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0 & !(!(B) −◦ 0) −◦ 0) −◦ !(!(A & B) −◦ 0) −◦ 0

? A, !(A & B) −◦ 0, !(!(A) −◦ 0) −◦ 0, !(!(B) −◦ 0) −◦ 0 : 0 ` 0 RL ! A, !(A & B) −◦ 0, !(!(A) −◦ 0) −◦ 0, !(!(B) −◦ 0) −◦ 0 : · ⇒ !(!(B) −◦ 0) A, !(A & B) −◦ 0, !(!(A) −◦ 0) −◦ 0, !(!(B) −◦ 0) −◦ 0 : · [0] ⇐ 0 −◦ A, !(A & B) −◦ 0, !(!(A) −◦ 0) −◦ 0, !(!(B) −◦ 0) −◦ 0 : · [!(!(B) −◦ 0) −◦ 0] ⇐ 0 DC A, !(A & B) −◦ 0, !(!(A) −◦ 0) −◦ 0, !(!(B) −◦ 0) −◦ 0 : · ` 0 ? !(A & B) −◦ 0, !(!(A) −◦ 0) −◦ 0, !(!(B) −◦ 0) −◦ 0 : · ` !(A) −◦ 0

? !(A & B) −◦ 0, !(!(A) −◦ 0) −◦ 0, !(!(B) −◦ 0) −◦ 0 : 0 ` 0 RL ! !(A & B) −◦ 0, !(!(A) −◦ 0) −◦ 0, !(!(B) −◦ 0) −◦ 0 : · ⇒ !(!(A) −◦ 0) !(A & B) −◦ 0, !(!(A) −◦ 0) −◦ 0, !(!(B) −◦ 0) −◦ 0 : · [0] ⇐ 0 −◦ !(A & B) −◦ 0, !(!(A) −◦ 0) −◦ 0, !(!(B) −◦ 0) −◦ 0 : · [!(!(A) −◦ 0) −◦ 0] ⇐ 0 DC !(A & B) −◦ 0, !(!(A) −◦ 0) −◦ 0, !(!(B) −◦ 0) −◦ 0 : · ` 0 ?

Positive decoration (Timeout)

Girard’s Translation (Timeout) 0/1 focused decoration (Timeout) Timeout Positive decoration (Timeout) Timeout

0/1 focused decoration (Timeout) Timeout

? ⊃L

Multiplicative translation (20ms)

Timeout

Timeout

⊥, A ∧ B → ⊥, B → ⊥ → ⊥ ` ⊥

32

Linear Logic (27) · ` ¬¬(A ↔ B) ↔ ¬¬(A → B) ∧ ¬¬(B → A)

LJ (Timeout) Timeout

(28) A ↔ B ` A → C ↔ B → C

LJ (86ms) ? ? ? ? B, A → B, A → C, B → A ` B A, B, A → B, A → C ` A A, B, B → A, B → C ` B A, B,C, B → A ` C ⊃L ⊃L ? ? B, A → B, A → C, B → A ` A B,C, A → B, B → A ` C A, A → B, B → A, B → C ` A A, B, B → A, B → C ` C ⊃L ⊃L B, A → B, A → C, B → A ` C A, A → B, B → A, B → C ` C ? A → B∧B → A ` A →C → B →C∧B →C → A →C

Multiplicative translation (227ms) Multiplicative translation (23ms)

I I ·: C ⇒C D ·: C ⇒C D R R ·: C `C R ·: C `C R L L I ·: A⇒A · : · [C] ⇐ C ·: B⇒B · : · [C] ⇐ C −◦ −◦ · : A [A −◦C] ⇐ C · : B [B −◦C] ⇐ C DL DL · : A, A −◦C ` C · : B, B −◦C ` C RL RL I I ·: B⇒B · : A −◦C [A] ⇐ C ·: A⇒A · : B −◦C [B] ⇐ C −◦ −◦ · : B, A −◦C [B −◦ A] ⇐ C · : A, B −◦C [A −◦ B] ⇐ C DL DL · : B, A −◦C, B −◦ A ` C · : A, A −◦ B, B −◦C ` C ? ? · : B −◦ A ` A −◦C −◦ B −◦C · : A −◦ B ` B −◦C −◦ A −◦C R R · : B −◦ A ⇒ A −◦C −◦ B −◦C R · : A −◦ B ⇒ B −◦C −◦ A −◦C R ⊗ · : A −◦ B, B −◦ A ⇒ A −◦C −◦ B −◦C ⊗ B −◦C −◦ A −◦C DR · : A −◦ B, B −◦ A ` A −◦C −◦ B −◦C ⊗ B −◦C −◦ A −◦C ? · : A −◦ B ⊗ B −◦ A ` A −◦C −◦ B −◦C ⊗ B −◦C −◦ A −◦C I

fail Girard’s Translation (Timeout) Timeout

Girard’s Translation (Timeout) Positive decoration (Timeout) Timeout Timeout Positive decoration (Timeout) 0/1 focused decoration (Timeout) Timeout Timeout 0/1 focused decoration (Timeout) Timeout

C. Olarte, V. de Paiva, E. Pimentel & G. Reis (29) A ↔ B ` C → A ↔ C → B

LJ (86ms) ? ? ? ? C, A → B, B → A,C → A ` C A,C, A → B, B → A ` A C, A → B, B → A,C → B ` C B,C, A → B, B → A ` B ⊃L ⊃L ? ? C, A → B, B → A,C → A ` A B,C, B → A,C → A ` B C, A → B, B → A,C → B ` B A,C, A → B,C → B ` A ⊃L ⊃L C, A → B, B → A,C → A ` B C, A → B, B → A,C → B ` A ? A → B ∧ B → A ` C → A → C → B ∧C → B → C → A

Multiplicative translation (240ms)

33 (30) A ↔ B ` A ∧C ↔ B ∧C

LJ (48ms) ? ? ? ? A,C, A → B, B → A ` A A, B,C, B → A ` B B,C, A → B, B → A ` B A, B,C, A → B ` A ⊃L ⊃L A,C, A → B, B → A ` B B,C, A → B, B → A ` A ? A → B ∧ B → A ` A ∧C → B ∧C ∧ B ∧C → A ∧C

Multiplicative translation (191ms)

I I ·: B⇒B D ·: A⇒A D R R ·: B`B R ·: A`A R L L I I ·: A⇒A · : · [B] ⇐ B ·: B⇒B · : · [A] ⇐ A −◦ −◦ · : A [A −◦ B] ⇐ B · : B [B −◦ A] ⇐ A DL DL · : A, A −◦ B ` B · : B, B −◦ A ` A RL RL I I ·: C ⇒C · : A −◦ B [A] ⇐ B ·: C ⇒C · : B −◦ A [B] ⇐ A −◦ −◦ · : C, A −◦ B [C −◦ A] ⇐ B · : C, B −◦ A [C −◦ B] ⇐ A DL DL · : C, A −◦ B,C −◦ A ` B · : C, B −◦ A,C −◦ B ` A ? ? · : A −◦ B ` C −◦ A −◦C −◦ B · : B −◦ A ` C −◦ B −◦C −◦ A R R · : A −◦ B ⇒ C −◦ A −◦C −◦ B R · : B −◦ A ⇒ C −◦ B −◦C −◦ A R ⊗ · : A −◦ B, B −◦ A ⇒ C −◦ A −◦C −◦ B ⊗C −◦ B −◦C −◦ A DR · : A −◦ B, B −◦ A ` C −◦ A −◦C −◦ B ⊗C −◦ B −◦C −◦ A ? · : A −◦ B ⊗ B −◦ A ` C −◦ A −◦C −◦ B ⊗C −◦ B −◦C −◦ A

I I I I ·: B⇒B ·: C ⇒C ⊗ ·: A⇒A ·: C ⇒C ⊗ · : B,C ⇒ B ⊗C · : A,C ⇒ A ⊗C DR DR · : B,C ` B ⊗C · : A,C ` A ⊗C RL RL I I ·: A⇒A · : C [B] ⇐ B ⊗C ·: B⇒B · : C [A] ⇐ A ⊗C −◦ −◦ · : A,C [A −◦ B] ⇐ B ⊗C · : B,C [B −◦ A] ⇐ A ⊗C DL DL · : A,C, A −◦ B ` B ⊗C · : B,C, B −◦ A ` A ⊗C ? ? · : A −◦ B ` A ⊗C −◦ B ⊗C · : B −◦ A ` B ⊗C −◦ A ⊗C R R · : A −◦ B ⇒ A ⊗C −◦ B ⊗C R · : B −◦ A ⇒ B ⊗C −◦ A ⊗C R ⊗ · : A −◦ B, B −◦ A ⇒ A ⊗C −◦ B ⊗C ⊗ B ⊗C −◦ A ⊗C D · : A −◦ B, B −◦ A ` A ⊗C −◦ B ⊗C ⊗ B ⊗C −◦ A ⊗C R ? · : A −◦ B ⊗ B −◦ A ` A ⊗C −◦ B ⊗C ⊗ B ⊗C −◦ A ⊗C

Girard’s Translation (Timeout)

Girard’s Translation (292ms)

Timeout

I I A,C, !(A) −◦ B, !(B) −◦ A : · ⇒ A A,C, !(A) −◦ B, !(B) −◦ A : B ⇒ B DR DR A,C, !(A) −◦ B, !(B) −◦ A : · ` A A,C, !(A) −◦ B, !(B) −◦ A : B ` B RL ! A,C, !(A) −◦ B, !(B) −◦ A : · ⇒ !(A) A,C, !(A) −◦ B, !(B) −◦ A : · [B] ⇐ B −◦ A,C, !(A) −◦ B, !(B) −◦ A : · [!(A) −◦ B] ⇐ B DC A,C, !(A) −◦ B, !(B) −◦ A : · ` B

I I B,C, !(A) −◦ B, !(B) −◦ A : · ⇒ B B,C, !(A) −◦ B, !(B) −◦ A : A ⇒ A DR DR B,C, !(A) −◦ B, !(B) −◦ A : · ` B B,C, !(A) −◦ B, !(B) −◦ A : A ` A RL ! B,C, !(A) −◦ B, !(B) −◦ A : · ⇒ !(B) B,C, !(A) −◦ B, !(B) −◦ A : · [A] ⇐ A −◦ I A,C, !(A) −◦ B, !(B) −◦ A : · ⇒ C B,C, !(A) −◦ B, !(B) −◦ A : · [!(B) −◦ A] ⇐ A DC DR A,C, !(A) −◦ B, !(B) −◦ A : · ` C B,C, !(A) −◦ B, !(B) −◦ A : · ` A · : !(!(A) −◦ B & !(B) −◦ A) ` !(A &C) −◦ B &C & !(B &C) −◦ A &C

I B,C, !(A) −◦ B, !(B) −◦ A : · ⇒ C DR B,C, !(A) −◦ B, !(B) −◦ A : · ` C ?

Positive decoration (3424ms) Positive decoration (Timeout) Timeout

0/1 focused decoration (Timeout) Timeout

I A, B,C, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · ⇒ B DR I A,C, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · ⇒ A A, B,C, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · ` B ? DR A,C, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · ` A A,C, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : !(B) ` B RL ! A,C, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · ⇒ !(A) A,C, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · [!(B)] ⇐ B −◦ A,C, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · [!(A) −◦ !(B)] ⇐ B DC A,C, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · ` B ! A,C, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · ⇒ !(B)

I A, B,C, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · ⇒ A DR I B,C, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · ⇒ B A, B,C, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · ` A ? DR B,C, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · ` B B,C, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : !(A) ` A RL ! B,C, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · ⇒ !(B) B,C, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · [!(A)] ⇐ A −◦ I I A,C, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · ⇒ C B,C, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · [!(B) −◦ !(A)] ⇐ A B,C, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · ⇒ C DC DR DR A,C, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · ` C B,C, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · ` A B,C, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · ` C ! ! ! A,C, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · ⇒ !(C) B,C, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · ⇒ !(A) B,C, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · ⇒ !(C) ⊗ ⊗ A,C, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · ⇒ !(B) ⊗ !(C) B,C, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · ⇒ !(A) ⊗ !(C) DR DR A,C, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · ` !(B) ⊗ !(C) B,C, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · ` !(A) ⊗ !(C) ? ? !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · ` !(A) ⊗ !(C) −◦ !(B) ⊗ !(C) !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · ` !(B) ⊗ !(C) −◦ !(A) ⊗ !(C) ! ! !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · ⇒ !(!(A) ⊗ !(C) −◦ !(B) ⊗ !(C)) !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · ⇒ !(!(B) ⊗ !(C) −◦ !(A) ⊗ !(C)) ⊗ !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · ⇒ !(!(A) ⊗ !(C) −◦ !(B) ⊗ !(C)) ⊗ !(!(B) ⊗ !(C) −◦ !(A) ⊗ !(C)) DR !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · ` !(!(A) ⊗ !(C) −◦ !(B) ⊗ !(C)) ⊗ !(!(B) ⊗ !(C) −◦ !(A) ⊗ !(C)) ? · : !(!(A) −◦ !(B)) ⊗ !(!(B) −◦ !(A)) ` !(!(A) ⊗ !(C) −◦ !(B) ⊗ !(C)) ⊗ !(!(B) ⊗ !(C) −◦ !(A) ⊗ !(C))

0/1 focused decoration (Timeout) Timeout

34

Linear Logic (31) A ↔ B ` C ∧ A ↔ C ∧ B

LJ (54ms)

LJ (83ms)

? ? ? ? A,C, A → B, B → A ` A A, B,C, B → A ` B B,C, A → B, B → A ` B A, B,C, A → B ` A ⊃L ⊃L A,C, A → B, B → A ` B B,C, A → B, B → A ` A ? A → B ∧ B → A ` C ∧ A → C ∧ B ∧C ∧ B → C ∧ A

Multiplicative translation (209ms) I I I I ·: C ⇒C ·: B⇒B ⊗ ·: C ⇒C ·: A⇒A ⊗ · : B,C ⇒ C ⊗ B · : A,C ⇒ C ⊗ A DR DR · : B,C ` C ⊗ B · : A,C ` C ⊗ A RL RL I I ·: A⇒A · : C [B] ⇐ C ⊗ B ·: B⇒B · : C [A] ⇐ C ⊗ A −◦ −◦ · : A,C [A −◦ B] ⇐ C ⊗ B · : B,C [B −◦ A] ⇐ C ⊗ A DL DL · : A,C, A −◦ B ` C ⊗ B · : B,C, B −◦ A ` C ⊗ A ? ? · : A −◦ B ` C ⊗ A −◦C ⊗ B · : B −◦ A ` C ⊗ B −◦C ⊗ A RR R · : A −◦ B ⇒ C ⊗ A −◦C ⊗ B · : B −◦ A ⇒ C ⊗ B −◦C ⊗ A R ⊗ · : A −◦ B, B −◦ A ⇒ C ⊗ A −◦C ⊗ B ⊗C ⊗ B −◦C ⊗ A D · : A −◦ B, B −◦ A ` C ⊗ A −◦C ⊗ B ⊗C ⊗ B −◦C ⊗ A R ? · : A −◦ B ⊗ B −◦ A ` C ⊗ A −◦C ⊗ B ⊗C ⊗ B −◦C ⊗ A

Girard’s Translation (353ms) I A,C, !(A) −◦ B, !(B) −◦ A : · ⇒ C DR A,C, !(A) −◦ B, !(B) −◦ A : · ` C

(32) A ↔ B ` ¬A ↔ ¬B

I I A,C, !(A) −◦ B, !(B) −◦ A : · ⇒ A A,C, !(A) −◦ B, !(B) −◦ A : B ⇒ B DR DR A,C, !(A) −◦ B, !(B) −◦ A : · ` A A,C, !(A) −◦ B, !(B) −◦ A : B ` B RL ! A,C, !(A) −◦ B, !(B) −◦ A : · ⇒ !(A) A,C, !(A) −◦ B, !(B) −◦ A : · [B] ⇐ B −◦ A,C, !(A) −◦ B, !(B) −◦ A : · [!(A) −◦ B] ⇐ B DC A,C, !(A) −◦ B, !(B) −◦ A : · ` B

I B,C, !(A) −◦ B, !(B) −◦ A : · ⇒ C DR B,C, !(A) −◦ B, !(B) −◦ A : · ` C · : !(!(A) −◦ B & !(B) −◦ A) ` !(C & A) −◦C & B & !(C & B) −◦C & A

I I B,C, !(A) −◦ B, !(B) −◦ A : · ⇒ B B,C, !(A) −◦ B, !(B) −◦ A : A ⇒ A DR DR B,C, !(A) −◦ B, !(B) −◦ A : · ` B B,C, !(A) −◦ B, !(B) −◦ A : A ` A RL ! B,C, !(A) −◦ B, !(B) −◦ A : · ⇒ !(B) B,C, !(A) −◦ B, !(B) −◦ A : · [A] ⇐ A −◦ B,C, !(A) −◦ B, !(B) −◦ A : · [!(B) −◦ A] ⇐ A DC B,C, !(A) −◦ B, !(B) −◦ A : · ` A ?

Positive decoration (3752ms) I A, B,C, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · ⇒ B DR I A,C, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · ⇒ A A, B,C, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · ` B ? DR A,C, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · ` A A,C, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : !(B) ` B RL ! A,C, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · ⇒ !(A) A,C, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · [!(B)] ⇐ B −◦ I A,C, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · ⇒ C A,C, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · [!(A) −◦ !(B)] ⇐ B DC DR A,C, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · ` C A,C, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · ` B ! ! A,C, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · ⇒ !(C) A,C, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · ⇒ !(B) ⊗ A,C, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · ⇒ !(C) ⊗ !(B) DR A,C, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · ` !(C) ⊗ !(B) ? !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · ` !(C) ⊗ !(A) −◦ !(C) ⊗ !(B) ! !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · ⇒ !(!(C) ⊗ !(A) −◦ !(C) ⊗ !(B))

I A, B,C, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · ⇒ A DR I B,C, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · ⇒ B A, B,C, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · ` A ? DR B,C, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · ` B B,C, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : !(A) ` A RL ! B,C, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · ⇒ !(B) B,C, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · [!(A)] ⇐ A −◦ I B,C, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · ⇒ C B,C, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · [!(B) −◦ !(A)] ⇐ A DC DR B,C, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · ` C B,C, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · ` A ! ! B,C, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · ⇒ !(C) B,C, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · ⇒ !(A) ⊗ B,C, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · ⇒ !(C) ⊗ !(A) DR B,C, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · ` !(C) ⊗ !(A) ? !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · ` !(C) ⊗ !(B) −◦ !(C) ⊗ !(A) ! !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · ⇒ !(!(C) ⊗ !(B) −◦ !(C) ⊗ !(A)) ⊗ !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · ⇒ !(!(C) ⊗ !(A) −◦ !(C) ⊗ !(B)) ⊗ !(!(C) ⊗ !(B) −◦ !(C) ⊗ !(A)) DR !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(A) : · ` !(!(C) ⊗ !(A) −◦ !(C) ⊗ !(B)) ⊗ !(!(C) ⊗ !(B) −◦ !(C) ⊗ !(A)) ? · : !(!(A) −◦ !(B)) ⊗ !(!(B) −◦ !(A)) ` !(!(C) ⊗ !(A) −◦ !(C) ⊗ !(B)) ⊗ !(!(C) ⊗ !(B) −◦ !(C) ⊗ !(A))

? ? ? ? B, A → B, A → ⊥, B → A ` B A, B, A → B, A → ⊥ ` A A, B, B → A, B → ⊥ ` B A, B, ⊥, B → A ` ⊥ ⊃L ⊃L ? ? B, A → B, A → ⊥, B → A ` A B, ⊥, A → B, B → A ` ⊥ A, A → B, B → A, B → ⊥ ` A A, B, B → A, B → ⊥ ` ⊥ ⊃L ⊃L B, A → B, A → ⊥, B → A ` ⊥ A, A → B, B → A, B → ⊥ ` ⊥ ? A → B∧B → A ` A → ⊥ → B → ⊥∧B → ⊥ → A → ⊥

Multiplicative translation (202ms) ⊥ ⊥ I I ·: A⇒A · : · [⊥] ⇐⊥ ·: B⇒B · : · [⊥] ⇐⊥ −◦ −◦ · : A [A−◦ ⊥] ⇐⊥ · : B [B−◦ ⊥] ⇐⊥ DL DL · : A, A−◦ ⊥`⊥ · : B, B−◦ ⊥`⊥ RL RL I I ·: B⇒B · : A−◦ ⊥ [A] ⇐⊥ ·: A⇒A · : B−◦ ⊥ [B] ⇐⊥ −◦ −◦ · : B, A−◦ ⊥ [B −◦ A] ⇐⊥ · : A, B−◦ ⊥ [A −◦ B] ⇐⊥ DL DL · : B, A−◦ ⊥, B −◦ A `⊥ · : A, A −◦ B, B−◦ ⊥`⊥ ? ? · : B −◦ A ` A−◦ ⊥ −◦B−◦ ⊥ · : A −◦ B ` B−◦ ⊥ −◦A−◦ ⊥ R R · : B −◦ A ⇒ A−◦ ⊥ −◦B−◦ ⊥ R · : A −◦ B ⇒ B−◦ ⊥ −◦A−◦ ⊥ R ⊗ · : A −◦ B, B −◦ A ⇒ A−◦ ⊥ −◦B−◦ ⊥ ⊗B−◦ ⊥ −◦A−◦ ⊥ DR · : A −◦ B, B −◦ A ` A−◦ ⊥ −◦B−◦ ⊥ ⊗B−◦ ⊥ −◦A−◦ ⊥ ? · : A −◦ B ⊗ B −◦ A ` A−◦ ⊥ −◦B−◦ ⊥ ⊗B−◦ ⊥ −◦A−◦ ⊥

Girard’s Translation (12683ms) I I B, !(A) −◦ B, !(A) −◦ 0, !(B) −◦ A : · ⇒ B B, !(A) −◦ B, !(A) −◦ 0, !(B) −◦ A : A ⇒ A DR DR B, !(A) −◦ B, !(A) −◦ 0, !(B) −◦ A : · ` B B, !(A) −◦ B, !(A) −◦ 0, !(B) −◦ A : A ` A RL ! B, !(A) −◦ B, !(A) −◦ 0, !(B) −◦ A : · ⇒ !(B) B, !(A) −◦ B, !(A) −◦ 0, !(B) −◦ A : · [A] ⇐ A −◦ B, !(A) −◦ B, !(A) −◦ 0, !(B) −◦ A : · [!(B) −◦ A] ⇐ A DC B, !(A) −◦ B, !(A) −◦ 0, !(B) −◦ A : · ` A ! B, !(A) −◦ B, !(A) −◦ 0, !(B) −◦ A : · ⇒ !(A)

I I A, !(A) −◦ B, !(B) −◦ A, !(B) −◦ 0 : · ⇒ A A, !(A) −◦ B, !(B) −◦ A, !(B) −◦ 0 : B ⇒ B DR DR A, !(A) −◦ B, !(B) −◦ A, !(B) −◦ 0 : · ` A A, !(A) −◦ B, !(B) −◦ A, !(B) −◦ 0 : B ` B RL ! A, !(A) −◦ B, !(B) −◦ A, !(B) −◦ 0 : · ⇒ !(A) A, !(A) −◦ B, !(B) −◦ A, !(B) −◦ 0 : · [B] ⇐ B −◦ A, !(A) −◦ B, !(B) −◦ A, !(B) −◦ 0 : · [!(A) −◦ B] ⇐ B ? ? DC B, !(A) −◦ B, !(A) −◦ 0, !(B) −◦ A : 0 ` 0 A, !(A) −◦ B, !(B) −◦ A, !(B) −◦ 0 : · ` B A, !(A) −◦ B, !(B) −◦ A, !(B) −◦ 0 : 0 ` 0 RL RL ! B, !(A) −◦ B, !(A) −◦ 0, !(B) −◦ A : · [0] ⇐ 0 A, !(A) −◦ B, !(B) −◦ A, !(B) −◦ 0 : · ⇒ !(B) A, !(A) −◦ B, !(B) −◦ A, !(B) −◦ 0 : · [0] ⇐ 0 −◦ −◦ B, !(A) −◦ B, !(A) −◦ 0, !(B) −◦ A : · [!(A) −◦ 0] ⇐ 0 A, !(A) −◦ B, !(B) −◦ A, !(B) −◦ 0 : · [!(B) −◦ 0] ⇐ 0 DC DC B, !(A) −◦ B, !(A) −◦ 0, !(B) −◦ A : · ` 0 A, !(A) −◦ B, !(B) −◦ A, !(B) −◦ 0 : · ` 0 ? · : !(!(A) −◦ B & !(B) −◦ A) ` !(!(A) −◦ 0) −◦ !(B) −◦ 0 & !(!(B) −◦ 0) −◦ !(A) −◦ 0

Positive decoration (Timeout) Timeout

0/1 focused decoration (Timeout) 0/1 focused decoration (Timeout) Timeout Timeout

C. Olarte, V. de Paiva, E. Pimentel & G. Reis

35 (34) · ` A ∧ B ↔ B ∧ A

(33) · ` (A ∧ B) ∧C ↔ A ∧ (B ∧C)

LJ (18ms)

LJ (21ms) · ` A ∧ B ∧C → A ∧ B ∧C ∧ A ∧ B ∧C → A ∧ B ∧C

?

· ` A∧B → B∧A∧B∧A → A∧B

?

Multiplicative translation (131ms)

Multiplicative translation (166ms) I I I I ·: B⇒B ·: C ⇒C ⊗ ·: A⇒A ·: B⇒B ⊗ I I ·: A⇒A · : B,C ⇒ B ⊗C · : A, B ⇒ A ⊗ B ·: C ⇒C ⊗ ⊗ · : A, B,C ⇒ A ⊗ B ⊗C · : A, B,C ⇒ A ⊗ B ⊗C DR DR · : A, B,C ` A ⊗ B ⊗C · : A, B,C ` A ⊗ B ⊗C ? ? · : · ` A ⊗ B ⊗C −◦ A ⊗ B ⊗C · : · ` A ⊗ B ⊗C −◦ A ⊗ B ⊗C R R · : · ⇒ A ⊗ B ⊗C −◦ A ⊗ B ⊗C R · : · ⇒ A ⊗ B ⊗C −◦ A ⊗ B ⊗C R ⊗ · : · ⇒ A ⊗ B ⊗C −◦ A ⊗ B ⊗C ⊗ A ⊗ B ⊗C −◦ A ⊗ B ⊗C D · : · ` A ⊗ B ⊗C −◦ A ⊗ B ⊗C ⊗ A ⊗ B ⊗C −◦ A ⊗ B ⊗C R

I I I I ·: B⇒B ·: A⇒A ⊗ ·: A⇒A ·: B⇒B ⊗ · : A, B ⇒ B ⊗ A · : A, B ⇒ A ⊗ B D D · : A, B ` B ⊗ A R · : A, B ` A ⊗ B R ? ? · : · ` A ⊗ B −◦ B ⊗ A · : · ` B ⊗ A −◦ A ⊗ B RR R · : · ⇒ A ⊗ B −◦ B ⊗ A · : · ⇒ B ⊗ A −◦ A ⊗ B R ⊗ · : · ⇒ A ⊗ B −◦ B ⊗ A ⊗ B ⊗ A −◦ A ⊗ B D · : · ` A ⊗ B −◦ B ⊗ A ⊗ B ⊗ A −◦ A ⊗ B R

Girard’s Translation (123ms) I A, B,C : · ⇒ A D A, B,C : · ` A R

I I I I A, B,C : · ⇒ B A, B,C : · ⇒ C A, B,C : · ⇒ A A, B,C : · ⇒ B D D D D A, B,C : · ` B R A, B,C : · ` C R A, B,C : · ` A R A, B,C : · ` B R · : · ` !(A & B &C) −◦ A & B &C & !(A & B &C) −◦ A & B &C

I A, B,C : · ⇒ C D A, B,C : · ` C R ?

Positive decoration (281ms) I I I I A, B,C : · ⇒ B A, B,C : · ⇒ C A, B,C : · ⇒ A A, B,C : · ⇒ B D D D D I I A, B,C : · ` B R A, B,C : · ` C R A, B,C : · ` A R A, B,C : · ` B R A, B,C : · ⇒ A A, B,C : · ⇒ C ! ! ! ! D D A, B,C : · ⇒ !(C) A, B,C : · ⇒ !(A) A, B,C : · ⇒ !(B) A, B,C : · ` A R A, B,C : · ⇒ !(B) A, B,C : · ` C R ⊗ ⊗ ! ! A, B,C : · ⇒ !(A) A, B,C : · ⇒ !(B) ⊗ !(C) A, B,C : · ⇒ !(A) ⊗ !(B) A, B,C : · ⇒ !(C) ⊗ ⊗ A, B,C : · ⇒ !(A) ⊗ !(B) ⊗ !(C) A, B,C : · ⇒ !(A) ⊗ !(B) ⊗ !(C) DR DR A, B,C : · ` !(A) ⊗ !(B) ⊗ !(C) A, B,C : · ` !(A) ⊗ !(B) ⊗ !(C) ? ? · : · ` !(A) ⊗ !(B) ⊗ !(C) −◦ !(A) ⊗ !(B) ⊗ !(C) · : · ` !(A) ⊗ !(B) ⊗ !(C) −◦ !(A) ⊗ !(B) ⊗ !(C) ! ! · : · ⇒ !(!(A) ⊗ !(B) ⊗ !(C) −◦ !(A) ⊗ !(B) ⊗ !(C)) · : · ⇒ !(!(A) ⊗ !(B) ⊗ !(C) −◦ !(A) ⊗ !(B) ⊗ !(C)) ⊗ · : · ⇒ !(!(A) ⊗ !(B) ⊗ !(C) −◦ !(A) ⊗ !(B) ⊗ !(C)) ⊗ !(!(A) ⊗ !(B) ⊗ !(C) −◦ !(A) ⊗ !(B) ⊗ !(C)) DR · : · ` !(!(A) ⊗ !(B) ⊗ !(C) −◦ !(A) ⊗ !(B) ⊗ !(C)) ⊗ !(!(A) ⊗ !(B) ⊗ !(C) −◦ !(A) ⊗ !(B) ⊗ !(C))

0/1 focused decoration (609ms) I I B,C, !(A), !(B), !(C), !(!(A) & !(B)) : · ⇒ B A, B, !(A), !(B), !(C), !(!(B) & !(C)) : · ⇒ B DR DR B,C, !(A), !(B), !(C), !(!(A) & !(B)) : · ` B A, B, !(A), !(B), !(C), !(!(B) & !(C)) : · ` B ? ? C, !(A), !(B), !(C), !(!(A) & !(B)) : !(B) ` B A, !(A), !(B), !(C), !(!(B) & !(C)) : !(B) ` B RL RL I I I I A,C, !(A), !(B), !(C), !(!(A) & !(B)) : · ⇒ A C, !(A), !(B), !(C), !(!(A) & !(B)) : · [!(B)] ⇐ B C, !(A), !(B), !(C), !(!(A) & !(B)) : · ⇒ C A, !(A), !(B), !(C), !(!(B) & !(C)) : · ⇒ A A, !(A), !(B), !(C), !(!(B) & !(C)) : · [!(B)] ⇐ B A,C, !(A), !(B), !(C), !(!(B) & !(C)) : · ⇒ C DC DC DR DR DR DR A,C, !(A), !(B), !(C), !(!(A) & !(B)) : · ` A C, !(A), !(B), !(C), !(!(A) & !(B)) : · ` B C, !(A), !(B), !(C), !(!(A) & !(B)) : · ` C A, !(A), !(B), !(C), !(!(B) & !(C)) : · ` A A, !(A), !(B), !(C), !(!(B) & !(C)) : · ` B A,C, !(A), !(B), !(C), !(!(B) & !(C)) : · ` C ? ? ? ? C, !(A), !(B), !(C), !(!(A) & !(B)) : !(A) ` A C, !(A), !(B), !(C), !(!(A) & !(B)) : · ` B &C A, !(A), !(B), !(C), !(!(B) & !(C)) : · ` A & B A, !(A), !(B), !(C), !(!(B) & !(C)) : !(C) ` C RL RL ! ! C, !(A), !(B), !(C), !(!(A) & !(B)) : · [!(A)] ⇐ A C, !(A), !(B), !(C), !(!(A) & !(B)) : · ⇒ !(B &C) A, !(A), !(B), !(C), !(!(B) & !(C)) : · ⇒ !(A & B) A, !(A), !(B), !(C), !(!(B) & !(C)) : · [!(C)] ⇐ C DC DC DR DR C, !(A), !(B), !(C), !(!(A) & !(B)) : · ` A C, !(A), !(B), !(C), !(!(A) & !(B)) : · ` !(B &C) A, !(A), !(B), !(C), !(!(B) & !(C)) : · ` !(A & B) A, !(A), !(B), !(C), !(!(B) & !(C)) : · ` C ? ? C, !(A), !(B), !(C), !(!(A) & !(B)) : · ` A & !(B &C) A, !(A), !(B), !(C), !(!(B) & !(C)) : · ` !(A & B) &C ! ! C, !(A), !(B), !(C), !(!(A) & !(B)) : · ⇒ !(A & !(B &C)) A, !(A), !(B), !(C), !(!(B) & !(C)) : · ⇒ !(!(A & B) &C) DR DR C, !(A), !(B), !(C), !(!(A) & !(B)) : · ` !(A & !(B &C)) A, !(A), !(B), !(C), !(!(B) & !(C)) : · ` !(!(A & B) &C) ? ? C, !(C), !(!(A) & !(B)) : !(!(A) & !(B)) ` !(A & !(B &C)) A, !(A), !(!(B) & !(C)) : !(!(B) & !(C)) ` !(!(A & B) &C) RL RL C, !(C), !(!(A) & !(B)) : · [!(!(A) & !(B))] ⇐ !(A & !(B &C)) A, !(A), !(!(B) & !(C)) : · [!(!(B) & !(C))] ⇐ !(!(A & B) &C) DC DC C, !(C), !(!(A) & !(B)) : · ` !(A & !(B &C)) A, !(A), !(!(B) & !(C)) : · ` !(!(A & B) &C) ? ? !(C), !(!(A) & !(B)) : !(C) ` !(A & !(B &C)) !(A), !(!(B) & !(C)) : !(A) ` !(!(A & B) &C) RL RL !(C), !(!(A) & !(B)) : · [!(C)] ⇐ !(A & !(B &C)) !(A), !(!(B) & !(C)) : · [!(A)] ⇐ !(!(A & B) &C) DC DC !(C), !(!(A) & !(B)) : · ` !(A & !(B &C)) !(A), !(!(B) & !(C)) : · ` !(!(A & B) &C) ? ? · : · ` !(!(!(A) & !(B)) & !(C)) −◦ !(A & !(B &C)) · : · ` !(!(A) & !(!(B) & !(C))) −◦ !(!(A & B) &C) ! ! · : · ⇒ !(!(!(!(A) & !(B)) & !(C)) −◦ !(A & !(B &C))) · : · ⇒ !(!(!(A) & !(!(B) & !(C))) −◦ !(!(A & B) &C)) DR DR · : · ` !(!(!(!(A) & !(B)) & !(C)) −◦ !(A & !(B &C))) · : · ` !(!(!(A) & !(!(B) & !(C))) −◦ !(!(A & B) &C)) ? · : · ` !(!(!(!(A) & !(B)) & !(C)) −◦ !(A & !(B &C))) & !(!(!(A) & !(!(B) & !(C))) −◦ !(!(A & B) &C)) ! · : · ⇒ !(!(!(!(!(A) & !(B)) & !(C)) −◦ !(A & !(B &C))) & !(!(!(A) & !(!(B) & !(C))) −◦ !(!(A & B) &C))) DR · : · ` !(!(!(!(!(A) & !(B)) & !(C)) −◦ !(A & !(B &C))) & !(!(!(A) & !(!(B) & !(C))) −◦ !(!(A & B) &C)))

Girard’s Translation (81ms) I I I I A, B : · ⇒ B A, B : · ⇒ A A, B : · ⇒ A A, B : · ⇒ B D D D D A, B : · ` B R A, B : · ` A R A, B : · ` A R A, B : · ` B R ? · : · ` !(A & B) −◦ B & A & !(B & A) −◦ A & B

Positive decoration (217ms) I I I I A, B : · ⇒ B A, B : · ⇒ A A, B : · ⇒ A A, B : · ⇒ B D D D D A, B : · ` B R A, B : · ` A R A, B : · ` A R A, B : · ` B R ! ! ! ! A, B : · ⇒ !(B) A, B : · ⇒ !(A) A, B : · ⇒ !(A) A, B : · ⇒ !(B) ⊗ ⊗ A, B : · ⇒ !(B) ⊗ !(A) A, B : · ⇒ !(A) ⊗ !(B) DR DR A, B : · ` !(B) ⊗ !(A) A, B : · ` !(A) ⊗ !(B) ? ? · : · ` !(A) ⊗ !(B) −◦ !(B) ⊗ !(A) · : · ` !(B) ⊗ !(A) −◦ !(A) ⊗ !(B) ! ! · : · ⇒ !(!(A) ⊗ !(B) −◦ !(B) ⊗ !(A)) · : · ⇒ !(!(B) ⊗ !(A) −◦ !(A) ⊗ !(B)) ⊗ · : · ⇒ !(!(A) ⊗ !(B) −◦ !(B) ⊗ !(A)) ⊗ !(!(B) ⊗ !(A) −◦ !(A) ⊗ !(B)) DR · : · ` !(!(A) ⊗ !(B) −◦ !(B) ⊗ !(A)) ⊗ !(!(B) ⊗ !(A) −◦ !(A) ⊗ !(B))

0/1 focused decoration (276ms) I I B, !(A), !(B) : · ⇒ B A, !(A), !(B) : · ⇒ A DR DR B, !(A), !(B) : · ` B A, !(A), !(B) : · ` A ? ? !(A), !(B) : !(B) ` B !(A), !(B) : !(A) ` A RL RL !(A), !(B) : · [!(B)] ⇐ B !(A), !(B) : · [!(A)] ⇐ A DC DC !(A), !(B) : · ` B !(A), !(B) : · ` A ? !(A), !(B) : · ` B & A ! !(A), !(B) : · ⇒ !(B & A) DR !(A), !(B) : · ` !(B & A) ? · : · ` !(!(A) & !(B)) −◦ !(B & A)

I I A, !(A), !(B) : · ⇒ A B, !(A), !(B) : · ⇒ B DR DR A, !(A), !(B) : · ` A B, !(A), !(B) : · ` B ? ? !(A), !(B) : !(A) ` A !(A), !(B) : !(B) ` B RL RL !(A), !(B) : · [!(A)] ⇐ A !(A), !(B) : · [!(B)] ⇐ B DC DC !(A), !(B) : · ` A !(A), !(B) : · ` B ? !(A), !(B) : · ` A & B ! !(A), !(B) : · ⇒ !(A & B) DR !(A), !(B) : · ` !(A & B) ? · : · ` !(!(B) & !(A)) −◦ !(A & B)

! ! · : · ⇒ !(!(!(A) & !(B)) −◦ !(B & A)) · : · ⇒ !(!(!(B) & !(A)) −◦ !(A & B)) DR DR · : · ` !(!(!(A) & !(B)) −◦ !(B & A)) · : · ` !(!(!(B) & !(A)) −◦ !(A & B)) ? · : · ` !(!(!(A) & !(B)) −◦ !(B & A)) & !(!(!(B) & !(A)) −◦ !(A & B)) ! · : · ⇒ !(!(!(!(A) & !(B)) −◦ !(B & A)) & !(!(!(B) & !(A)) −◦ !(A & B))) DR · : · ` !(!(!(!(A) & !(B)) −◦ !(B & A)) & !(!(!(B) & !(A)) −◦ !(A & B)))

36

Linear Logic (36) A ` A → B ↔ B

(35) · ` A ∧ A ↔ A

LJ (21ms)

LJ (35ms)

Multiplicative translation (18ms)

? ? A, A → B ` A A, B ` B ⊃L A, A → B ` B ? A ` A → B → B∧B → A → B

fail

Multiplicative translation (19ms)

Girard’s Translation (50ms)

fail

· ` A∧A → A∧A → A∧A

?

I I I A: ·⇒A D A: ·⇒A D A: ·⇒A D R R A: ·`A A: ·`A A: ·`A ? R · : · ` !(A & A) −◦ A & !(A) −◦ A & A Positive decoration (180ms) I I A: ·⇒A D A: ·⇒A D I A: ·`A R A: ·`A R A: ·⇒A D ! ! A : · ⇒ !(A) A : · ⇒ !(A) A: ·`A R ⊗ ! A : · ⇒ !(A) A : · ⇒ !(A) ⊗ !(A) DR DR A : · ` !(A) A : · ` !(A) ⊗ !(A) ? ? · : · ` !(A) ⊗ !(A) −◦ !(A) · : · ` !(A) −◦ !(A) ⊗ !(A) ! ! · : · ⇒ !(!(A) ⊗ !(A) −◦ !(A)) · : · ⇒ !(!(A) −◦ !(A) ⊗ !(A)) ⊗ · : · ⇒ !(!(A) ⊗ !(A) −◦ !(A)) ⊗ !(!(A) −◦ !(A) ⊗ !(A)) DR · : · ` !(!(A) ⊗ !(A) −◦ !(A)) ⊗ !(!(A) −◦ !(A) ⊗ !(A))

0/1 focused decoration (153ms) I A, !(A) : · ⇒ A I I DR A: ·⇒A D A: ·⇒A D A, !(A) : · ` A R R A : · ` A A : · ` A ? ? !(A) : !(A) ` A A : · ` A&A RL ! !(A) : · [!(A)] ⇐ A A : · ⇒ !(A & A) DC DR !(A) : · ` A A : · ` !(A & A) ? ? · : · ` !(!(A) & !(A)) −◦ A · : · ` !(A) −◦ !(A & A) ! ! · : · ⇒ !(!(!(A) & !(A)) −◦ A) · : · ⇒ !(!(A) −◦ !(A & A)) DR DR · : · ` !(!(!(A) & !(A)) −◦ A) · : · ` !(!(A) −◦ !(A & A)) ? · : · ` !(!(!(A) & !(A)) −◦ A) & !(!(A) −◦ !(A & A)) ! · : · ⇒ !(!(!(!(A) & !(A)) −◦ A) & !(!(A) −◦ !(A & A))) DR · : · ` !(!(!(!(A) & !(A)) −◦ A) & !(!(A) −◦ !(A & A)))

Girard’s Translation (107ms) I I A, !(A) −◦ B : · ⇒ A A, !(A) −◦ B : B ⇒ B DR DR A, !(A) −◦ B : · ` A A, !(A) −◦ B : B ` B RL ! A, !(A) −◦ B : · ⇒ !(A) A, !(A) −◦ B : · [B] ⇐ B −◦ I A, !(A) −◦ B : · [!(A) −◦ B] ⇐ B A, B : · ⇒ B DC D A, !(A) −◦ B : · ` B A, B : · ` B R ? · : !(A) ` !(!(A) −◦ B) −◦ B & !(B) −◦ !(A) −◦ B

Positive decoration (209ms) I A, B, !(A) −◦ !(B) : · ⇒ B DR I I A, !(A) −◦ !(B) : · ⇒ A A, B, !(A) −◦ !(B) : · ` B A, B : · ⇒ B ? DR D A, !(A) −◦ !(B) : · ` A A, !(A) −◦ !(B) : !(B) ` B A, B : · ` B R RL ! ! A, !(A) −◦ !(B) : · ⇒ !(A) A, !(A) −◦ !(B) : · [!(B)] ⇐ B A, B : · ⇒ !(B) DR −◦ A, !(A) −◦ !(B) : · [!(A) −◦ !(B)] ⇐ B A, B : · ` !(B) ? DC A, !(A) −◦ !(B) : · ` B A, B : · ` !(A) −◦ !(B) ! ! A, !(A) −◦ !(B) : · ⇒ !(B) A, B : · ⇒ !(!(A) −◦ !(B)) DR DR A, !(A) −◦ !(B) : · ` !(B) A, B : · ` !(!(A) −◦ !(B)) ? ? A : · ` !(!(A) −◦ !(B)) −◦ !(B) A : · ` !(B) −◦ !(!(A) −◦ !(B)) ! ! A : · ⇒ !(!(!(A) −◦ !(B)) −◦ !(B)) A : · ⇒ !(!(B) −◦ !(!(A) −◦ !(B))) ⊗ A : · ⇒ !(!(!(A) −◦ !(B)) −◦ !(B)) ⊗ !(!(B) −◦ !(!(A) −◦ !(B))) DR A : · ` !(!(!(A) −◦ !(B)) −◦ !(B)) ⊗ !(!(B) −◦ !(!(A) −◦ !(B))) ? · : !(A) ` !(!(!(A) −◦ !(B)) −◦ !(B)) ⊗ !(!(B) −◦ !(!(A) −◦ !(B)))

0/1 focused decoration (184ms) I A, B, !(A) −◦ !(B) : · ⇒ B DR I A, !(A) −◦ !(B) : · ⇒ A A, B, !(A) −◦ !(B) : · ` B ? DR A, !(A) −◦ !(B) : · ` A A, !(A) −◦ !(B) : !(B) ` B RL ! A, !(A) −◦ !(B) : · ⇒ !(A) A, !(A) −◦ !(B) : · [!(B)] ⇐ B −◦ A, !(A) −◦ !(B) : · [!(A) −◦ !(B)] ⇐ B DC A, !(A) −◦ !(B) : · ` B ? A : · ` !(!(A) −◦ !(B)) −◦ B ! A : · ⇒ !(!(!(A) −◦ !(B)) −◦ B) DR A : · ` !(!(!(A) −◦ !(B)) −◦ B)

I A, B : · ⇒ B D A, B : · ` B R ? A, B : · ` !(A) −◦ B ! A, B : · ⇒ !(!(A) −◦ B) DR A, B : · ` !(!(A) −◦ B) ? A : · ` !(B) −◦ !(!(A) −◦ B) ! A : · ⇒ !(!(B) −◦ !(!(A) −◦ B)) DR A : · ` !(!(B) −◦ !(!(A) −◦ B)) ? A : · ` !(!(!(A) −◦ !(B)) −◦ B) & !(!(B) −◦ !(!(A) −◦ B)) ! A : · ⇒ !(!(!(!(A) −◦ !(B)) −◦ B) & !(!(B) −◦ !(!(A) −◦ B))) DR A : · ` !(!(!(!(A) −◦ !(B)) −◦ B) & !(!(B) −◦ !(!(A) −◦ B))) ? · : !(A) ` !(!(!(!(A) −◦ !(B)) −◦ B) & !(!(B) −◦ !(!(A) −◦ B)))

C. Olarte, V. de Paiva, E. Pimentel & G. Reis

37 (38) ¬A ` A → B ↔ ¬A

(37) B ` A → B ↔ B

LJ (18ms) B ` A → B → B∧B → A → B

LJ (54ms) ?

Multiplicative translation (19ms) fail Girard’s Translation (67ms) I I B, !(A) −◦ B : · ⇒ B A, B : · ⇒ B DR D B, !(A) −◦ B : · ` B A, B : · ` B R ? · : !(B) ` !(!(A) −◦ B) −◦ B & !(B) −◦ !(A) −◦ B

Positive decoration (151ms) I A, B : · ⇒ B D A, B : · ` B R ! A, B : · ⇒ !(B) DR I B, !(A) −◦ !(B) : · ⇒ B A, B : · ` !(B) ? DR B, !(A) −◦ !(B) : · ` B B : · ` !(A) −◦ !(B) ! ! B, !(A) −◦ !(B) : · ⇒ !(B) B : · ⇒ !(!(A) −◦ !(B)) DR DR B, !(A) −◦ !(B) : · ` !(B) B : · ` !(!(A) −◦ !(B)) ? ? B : · ` !(!(A) −◦ !(B)) −◦ !(B) B : · ` !(B) −◦ !(!(A) −◦ !(B)) ! ! B : · ⇒ !(!(!(A) −◦ !(B)) −◦ !(B)) B : · ⇒ !(!(B) −◦ !(!(A) −◦ !(B))) ⊗ B : · ⇒ !(!(!(A) −◦ !(B)) −◦ !(B)) ⊗ !(!(B) −◦ !(!(A) −◦ !(B))) DR B : · ` !(!(!(A) −◦ !(B)) −◦ !(B)) ⊗ !(!(B) −◦ !(!(A) −◦ !(B))) ? · : !(B) ` !(!(!(A) −◦ !(B)) −◦ !(B)) ⊗ !(!(B) −◦ !(!(A) −◦ !(B)))

0/1 focused decoration (139ms) I A, B : · ⇒ B D A, B : · ` B R ? B : · ` !(A) −◦ B I ! B, !(A) −◦ !(B) : · ⇒ B B : · ⇒ !(!(A) −◦ B) DR DR B, !(A) −◦ !(B) : · ` B B : · ` !(!(A) −◦ B) ? ? B : · ` !(!(A) −◦ !(B)) −◦ B B : · ` !(B) −◦ !(!(A) −◦ B) ! ! B : · ⇒ !(!(!(A) −◦ !(B)) −◦ B) B : · ⇒ !(!(B) −◦ !(!(A) −◦ B)) DR DR B : · ` !(!(!(A) −◦ !(B)) −◦ B) B : · ` !(!(B) −◦ !(!(A) −◦ B)) ? B : · ` !(!(!(A) −◦ !(B)) −◦ B) & !(!(B) −◦ !(!(A) −◦ B)) ! B : · ⇒ !(!(!(!(A) −◦ !(B)) −◦ B) & !(!(B) −◦ !(!(A) −◦ B))) DR B : · ` !(!(!(!(A) −◦ !(B)) −◦ B) & !(!(B) −◦ !(!(A) −◦ B))) ? · : !(B) ` !(!(!(!(A) −◦ !(B)) −◦ B) & !(!(B) −◦ !(!(A) −◦ B)))

? ? ? ? A, A → B, A → ⊥ ` A A, ⊥, A → B ` ⊥ A, A → ⊥ ` A A, ⊥ ` B ⊃L ⊃L A, A → B, A → ⊥ ` ⊥ A, A → ⊥ ` B ? A → ⊥ ` A → B → A → ⊥∧A → ⊥ → A → B

Multiplicative translation (21ms) fail Girard’s Translation (157ms) I I A, !(A) −◦ B, !(A) −◦ 0 : · ⇒ A A, !(A) −◦ 0 : · ⇒ A ? ? DR DR A, !(A) −◦ B, !(A) −◦ 0 : · ` A A, !(A) −◦ B, !(A) −◦ 0 : 0 ` 0 A, !(A) −◦ 0 : · ` A A, !(A) −◦ 0 : 0 ` B RL RL ! ! A, !(A) −◦ B, !(A) −◦ 0 : · ⇒ !(A) A, !(A) −◦ B, !(A) −◦ 0 : · [0] ⇐ 0 A, !(A) −◦ 0 : · ⇒ !(A) A, !(A) −◦ 0 : · [0] ⇐ B −◦ −◦ A, !(A) −◦ B, !(A) −◦ 0 : · [!(A) −◦ 0] ⇐ 0 A, !(A) −◦ 0 : · [!(A) −◦ 0] ⇐ B DC DC A, !(A) −◦ B, !(A) −◦ 0 : · ` 0 A, !(A) −◦ 0 : · ` B ? · : !(!(A) −◦ 0) ` !(!(A) −◦ B) −◦ !(A) −◦ 0 & !(!(A) −◦ 0) −◦ !(A) −◦ B

Positive decoration (333ms) I A, !(A) −◦ 0, !(A) −◦ !(B) : · ⇒ A ? DR A, !(A) −◦ 0, !(A) −◦ !(B) : · ` A A, !(A) −◦ 0, !(A) −◦ !(B) : 0 ` 0 RL ! A, !(A) −◦ 0, !(A) −◦ !(B) : · ⇒ !(A) A, !(A) −◦ 0, !(A) −◦ !(B) : · [0] ⇐ 0 −◦ A, !(A) −◦ 0, !(A) −◦ !(B) : · [!(A) −◦ 0] ⇐ 0 DC A, !(A) −◦ 0, !(A) −◦ !(B) : · ` 0 ? !(A) −◦ 0, !(A) −◦ !(B) : · ` !(A) −◦ 0 ! !(A) −◦ 0, !(A) −◦ !(B) : · ⇒ !(!(A) −◦ 0) DR !(A) −◦ 0, !(A) −◦ !(B) : · ` !(!(A) −◦ 0) ? !(A) −◦ 0 : · ` !(!(A) −◦ !(B)) −◦ !(!(A) −◦ 0)

I A, !(A) −◦ 0 : · ⇒ A ? DR A, !(A) −◦ 0 : · ` A A, !(A) −◦ 0 : 0 ` !(B) RL ! A, !(A) −◦ 0 : · ⇒ !(A) A, !(A) −◦ 0 : · [0] ⇐ !(B) −◦ A, !(A) −◦ 0 : · [!(A) −◦ 0] ⇐ !(B) DC A, !(A) −◦ 0 : · ` !(B) ? !(A) −◦ 0 : · ` !(A) −◦ !(B) ! !(A) −◦ 0 : · ⇒ !(!(A) −◦ !(B)) DR !(A) −◦ 0 : · ` !(!(A) −◦ !(B)) ? !(A) −◦ 0 : · ` !(!(A) −◦ 0) −◦ !(!(A) −◦ !(B))

! ! !(A) −◦ 0 : · ⇒ !(!(!(A) −◦ !(B)) −◦ !(!(A) −◦ 0)) !(A) −◦ 0 : · ⇒ !(!(!(A) −◦ 0) −◦ !(!(A) −◦ !(B))) ⊗ !(A) −◦ 0 : · ⇒ !(!(!(A) −◦ !(B)) −◦ !(!(A) −◦ 0)) ⊗ !(!(!(A) −◦ 0) −◦ !(!(A) −◦ !(B))) DR !(A) −◦ 0 : · ` !(!(!(A) −◦ !(B)) −◦ !(!(A) −◦ 0)) ⊗ !(!(!(A) −◦ 0) −◦ !(!(A) −◦ !(B))) ? · : !(!(A) −◦ 0) ` !(!(!(A) −◦ !(B)) −◦ !(!(A) −◦ 0)) ⊗ !(!(!(A) −◦ 0) −◦ !(!(A) −◦ !(B)))

0/1 focused decoration (319ms) I I A, !(A) −◦ !(B), !(A) −◦ !(0) : · ⇒ A A, !(A) −◦ !(0) : · ⇒ A ? ? DR DR A, !(A) −◦ !(B), !(A) −◦ !(0) : · ` A A, !(A) −◦ !(B), !(A) −◦ !(0) : !(0) ` 0 A, !(A) −◦ !(0) : · ` A A, !(A) −◦ !(0) : !(0) ` B RL RL ! ! A, !(A) −◦ !(B), !(A) −◦ !(0) : · ⇒ !(A) A, !(A) −◦ !(B), !(A) −◦ !(0) : · [!(0)] ⇐ 0 A, !(A) −◦ !(0) : · ⇒ !(A) A, !(A) −◦ !(0) : · [!(0)] ⇐ B −◦ −◦ A, !(A) −◦ !(B), !(A) −◦ !(0) : · [!(A) −◦ !(0)] ⇐ 0 A, !(A) −◦ !(0) : · [!(A) −◦ !(0)] ⇐ B DC DC A, !(A) −◦ !(B), !(A) −◦ !(0) : · ` 0 A, !(A) −◦ !(0) : · ` B ? ? !(A) −◦ !(B), !(A) −◦ !(0) : · ` !(A) −◦ 0 !(A) −◦ !(0) : · ` !(A) −◦ B ! ! !(A) −◦ !(B), !(A) −◦ !(0) : · ⇒ !(!(A) −◦ 0) !(A) −◦ !(0) : · ⇒ !(!(A) −◦ B) DR DR !(A) −◦ !(B), !(A) −◦ !(0) : · ` !(!(A) −◦ 0) !(A) −◦ !(0) : · ` !(!(A) −◦ B) ? ? !(A) −◦ !(0) : · ` !(!(A) −◦ !(B)) −◦ !(!(A) −◦ 0) !(A) −◦ !(0) : · ` !(!(A) −◦ !(0)) −◦ !(!(A) −◦ B) ! ! !(A) −◦ !(0) : · ⇒ !(!(!(A) −◦ !(B)) −◦ !(!(A) −◦ 0)) !(A) −◦ !(0) : · ⇒ !(!(!(A) −◦ !(0)) −◦ !(!(A) −◦ B)) DR DR !(A) −◦ !(0) : · ` !(!(!(A) −◦ !(B)) −◦ !(!(A) −◦ 0)) !(A) −◦ !(0) : · ` !(!(!(A) −◦ !(0)) −◦ !(!(A) −◦ B)) ? !(A) −◦ !(0) : · ` !(!(!(A) −◦ !(B)) −◦ !(!(A) −◦ 0)) & !(!(!(A) −◦ !(0)) −◦ !(!(A) −◦ B)) ! !(A) −◦ !(0) : · ⇒ !(!(!(!(A) −◦ !(B)) −◦ !(!(A) −◦ 0)) & !(!(!(A) −◦ !(0)) −◦ !(!(A) −◦ B))) DR !(A) −◦ !(0) : · ` !(!(!(!(A) −◦ !(B)) −◦ !(!(A) −◦ 0)) & !(!(!(A) −◦ !(0)) −◦ !(!(A) −◦ B))) ? · : !(!(A) −◦ !(0)) ` !(!(!(!(A) −◦ !(B)) −◦ !(!(A) −◦ 0)) & !(!(!(A) −◦ !(0)) −◦ !(!(A) −◦ B)))

38

Linear Logic (40) B ` A ∧ B ↔ A

(39) ¬B ` A → B ↔ ¬A

LJ (67ms)

LJ (21ms)

? ? A, B, B → ⊥ ` B A, B, ⊥ ` ⊥ ⊃L ? ? ? A, A → B, B → ⊥ ` A A, B, B → ⊥ ` ⊥ A, A → ⊥, B → ⊥ ` A A, ⊥, B → ⊥ ` B ⊃L ⊃L A, A → B, B → ⊥ ` ⊥ A, A → ⊥, B → ⊥ ` B ? B → ⊥ ` A → B → A → ⊥∧A → ⊥ → A → B

B ` A∧B → A∧A → A∧B

Multiplicative translation (22ms)

?

Multiplicative translation (18ms) fail

fail Girard’s Translation (271ms) I I A, !(A) −◦ B, !(B) −◦ 0 : · ⇒ A A, !(A) −◦ B, !(B) −◦ 0 : B ⇒ B DR DR A, !(A) −◦ B, !(B) −◦ 0 : · ` A A, !(A) −◦ B, !(B) −◦ 0 : B ` B RL ! A, !(A) −◦ B, !(B) −◦ 0 : · ⇒ !(A) A, !(A) −◦ B, !(B) −◦ 0 : · [B] ⇐ B −◦ A, !(A) −◦ B, !(B) −◦ 0 : · [!(A) −◦ B] ⇐ B DC A, !(A) −◦ B, !(B) −◦ 0 : · ` B ! A, !(A) −◦ B, !(B) −◦ 0 : · ⇒ !(B)

I A, !(A) −◦ 0, !(B) −◦ 0 : · ⇒ A ? ? DR A, !(A) −◦ B, !(B) −◦ 0 : 0 ` 0 A, !(A) −◦ 0, !(B) −◦ 0 : · ` A A, !(A) −◦ 0, !(B) −◦ 0 : 0 ` B RL RL ! A, !(A) −◦ B, !(B) −◦ 0 : · [0] ⇐ 0 A, !(A) −◦ 0, !(B) −◦ 0 : · ⇒ !(A) A, !(A) −◦ 0, !(B) −◦ 0 : · [0] ⇐ B −◦ −◦ A, !(A) −◦ B, !(B) −◦ 0 : · [!(B) −◦ 0] ⇐ 0 A, !(A) −◦ 0, !(B) −◦ 0 : · [!(A) −◦ 0] ⇐ B DC DC A, !(A) −◦ B, !(B) −◦ 0 : · ` 0 A, !(A) −◦ 0, !(B) −◦ 0 : · ` B ? · : !(!(B) −◦ 0) ` !(!(A) −◦ B) −◦ !(A) −◦ 0 & !(!(A) −◦ 0) −◦ !(A) −◦ B

Positive decoration (595ms) I A, B, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ 0 : · ⇒ B ? DR A, B, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ 0 : · ` B A, B, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ 0 : 0 ` 0 RL ! A, B, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ 0 : · ⇒ !(B) A, B, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ 0 : · [0] ⇐ 0 −◦ A, B, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ 0 : · [!(B) −◦ 0] ⇐ 0 DC I A, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ 0 : · ⇒ A A, B, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ 0 : · ` 0 ? DR A, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ 0 : · ` A A, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ 0 : !(B) ` 0 RL ! A, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ 0 : · ⇒ !(A) A, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ 0 : · [!(B)] ⇐ 0 −◦ A, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ 0 : · [!(A) −◦ !(B)] ⇐ 0 DC A, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ 0 : · ` 0 ? !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ 0 : · ` !(A) −◦ 0 ! !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ 0 : · ⇒ !(!(A) −◦ 0) DR !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ 0 : · ` !(!(A) −◦ 0) ? !(B) −◦ 0 : · ` !(!(A) −◦ !(B)) −◦ !(!(A) −◦ 0) ! !(B) −◦ 0 : · ⇒ !(!(!(A) −◦ !(B)) −◦ !(!(A) −◦ 0))

I A, !(A) −◦ 0, !(B) −◦ 0 : · ⇒ A ? DR A, !(A) −◦ 0, !(B) −◦ 0 : · ` A A, !(A) −◦ 0, !(B) −◦ 0 : 0 ` !(B) RL ! A, !(A) −◦ 0, !(B) −◦ 0 : · ⇒ !(A) A, !(A) −◦ 0, !(B) −◦ 0 : · [0] ⇐ !(B) −◦ A, !(A) −◦ 0, !(B) −◦ 0 : · [!(A) −◦ 0] ⇐ !(B) DC A, !(A) −◦ 0, !(B) −◦ 0 : · ` !(B) ? !(A) −◦ 0, !(B) −◦ 0 : · ` !(A) −◦ !(B) ! !(A) −◦ 0, !(B) −◦ 0 : · ⇒ !(!(A) −◦ !(B)) DR !(A) −◦ 0, !(B) −◦ 0 : · ` !(!(A) −◦ !(B)) ? !(B) −◦ 0 : · ` !(!(A) −◦ 0) −◦ !(!(A) −◦ !(B)) ! !(B) −◦ 0 : · ⇒ !(!(!(A) −◦ 0) −◦ !(!(A) −◦ !(B))) ⊗ !(B) −◦ 0 : · ⇒ !(!(!(A) −◦ !(B)) −◦ !(!(A) −◦ 0)) ⊗ !(!(!(A) −◦ 0) −◦ !(!(A) −◦ !(B))) DR !(B) −◦ 0 : · ` !(!(!(A) −◦ !(B)) −◦ !(!(A) −◦ 0)) ⊗ !(!(!(A) −◦ 0) −◦ !(!(A) −◦ !(B))) ? · : !(!(B) −◦ 0) ` !(!(!(A) −◦ !(B)) −◦ !(!(A) −◦ 0)) ⊗ !(!(!(A) −◦ 0) −◦ !(!(A) −◦ !(B)))

0/1 focused decoration (626ms) I A, B, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(0) : · ⇒ B ? DR A, B, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(0) : · ` B A, B, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(0) : !(0) ` 0 RL ! A, B, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(0) : · ⇒ !(B) A, B, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(0) : · [!(0)] ⇐ 0 −◦ A, B, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(0) : · [!(B) −◦ !(0)] ⇐ 0 DC I A, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(0) : · ⇒ A A, B, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(0) : · ` 0 ? DR A, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(0) : · ` A A, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(0) : !(B) ` 0 R ! L A, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(0) : · ⇒ !(A) A, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(0) : · [!(B)] ⇐ 0 −◦ A, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(0) : · [!(A) −◦ !(B)] ⇐ 0 DC A, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(0) : · ` 0 ? !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(0) : · ` !(A) −◦ 0

I A, !(A) −◦ !(0), !(B) −◦ !(0) : · ⇒ A ? DR A, !(A) −◦ !(0), !(B) −◦ !(0) : · ` A A, !(A) −◦ !(0), !(B) −◦ !(0) : !(0) ` B RL ! A, !(A) −◦ !(0), !(B) −◦ !(0) : · ⇒ !(A) A, !(A) −◦ !(0), !(B) −◦ !(0) : · [!(0)] ⇐ B −◦ A, !(A) −◦ !(0), !(B) −◦ !(0) : · [!(A) −◦ !(0)] ⇐ B DC A, !(A) −◦ !(0), !(B) −◦ !(0) : · ` B ? !(A) −◦ !(0), !(B) −◦ !(0) : · ` !(A) −◦ B

! ! !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(0) : · ⇒ !(!(A) −◦ 0) !(A) −◦ !(0), !(B) −◦ !(0) : · ⇒ !(!(A) −◦ B) DR DR !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(0) : · ` !(!(A) −◦ 0) !(A) −◦ !(0), !(B) −◦ !(0) : · ` !(!(A) −◦ B) ? ? !(B) −◦ !(0) : · ` !(!(A) −◦ !(B)) −◦ !(!(A) −◦ 0) !(B) −◦ !(0) : · ` !(!(A) −◦ !(0)) −◦ !(!(A) −◦ B) ! ! !(B) −◦ !(0) : · ⇒ !(!(!(A) −◦ !(B)) −◦ !(!(A) −◦ 0)) !(B) −◦ !(0) : · ⇒ !(!(!(A) −◦ !(0)) −◦ !(!(A) −◦ B)) DR DR !(B) −◦ !(0) : · ` !(!(!(A) −◦ !(B)) −◦ !(!(A) −◦ 0)) !(B) −◦ !(0) : · ` !(!(!(A) −◦ !(0)) −◦ !(!(A) −◦ B)) ? !(B) −◦ !(0) : · ` !(!(!(A) −◦ !(B)) −◦ !(!(A) −◦ 0)) & !(!(!(A) −◦ !(0)) −◦ !(!(A) −◦ B)) ! !(B) −◦ !(0) : · ⇒ !(!(!(!(A) −◦ !(B)) −◦ !(!(A) −◦ 0)) & !(!(!(A) −◦ !(0)) −◦ !(!(A) −◦ B))) DR !(B) −◦ !(0) : · ` !(!(!(!(A) −◦ !(B)) −◦ !(!(A) −◦ 0)) & !(!(!(A) −◦ !(0)) −◦ !(!(A) −◦ B))) ? · : !(!(B) −◦ !(0)) ` !(!(!(!(A) −◦ !(B)) −◦ !(!(A) −◦ 0)) & !(!(!(A) −◦ !(0)) −◦ !(!(A) −◦ B)))

Girard’s Translation (67ms) I I I A, B : · ⇒ A A, B : · ⇒ A A, B : · ⇒ B DR DR D A, B : · ` A A, B : · ` A A, B : · ` B R ? · : !(B) ` !(A & B) −◦ A & !(A) −◦ A & B

Positive decoration (165ms) I I A, B : · ⇒ A A, B : · ⇒ B DR DR I A, B : · ` A A, B : · ` B A, B : · ⇒ A ! ! DR A, B : · ⇒ !(A) A, B : · ⇒ !(B) A, B : · ` A ⊗ ! A, B : · ⇒ !(A) A, B : · ⇒ !(A) ⊗ !(B) DR DR A, B : · ` !(A) A, B : · ` !(A) ⊗ !(B) ? ? B : · ` !(A) ⊗ !(B) −◦ !(A) B : · ` !(A) −◦ !(A) ⊗ !(B) ! ! B : · ⇒ !(!(A) ⊗ !(B) −◦ !(A)) B : · ⇒ !(!(A) −◦ !(A) ⊗ !(B)) ⊗ B : · ⇒ !(!(A) ⊗ !(B) −◦ !(A)) ⊗ !(!(A) −◦ !(A) ⊗ !(B)) DR B : · ` !(!(A) ⊗ !(B) −◦ !(A)) ⊗ !(!(A) −◦ !(A) ⊗ !(B)) ? · : !(B) ` !(!(A) ⊗ !(B) −◦ !(A)) ⊗ !(!(A) −◦ !(A) ⊗ !(B))

0/1 focused decoration (178ms) I I I A, B, !(A), !(B) : · ⇒ A A, B : · ⇒ A A, B : · ⇒ B DR D D A, B, !(A), !(B) : · ` A A, B : · ` A R A, B : · ` B R ? ? B, !(A), !(B) : !(A) ` A A, B : · ` A & B RL ! B, !(A), !(B) : · [!(A)] ⇐ A A, B : · ⇒ !(A & B) DC DR B, !(A), !(B) : · ` A A, B : · ` !(A & B) ? ? B : · ` !(!(A) & !(B)) −◦ A B : · ` !(A) −◦ !(A & B) ! ! B : · ⇒ !(!(!(A) & !(B)) −◦ A) B : · ⇒ !(!(A) −◦ !(A & B)) DR DR B : · ` !(!(!(A) & !(B)) −◦ A) B : · ` !(!(A) −◦ !(A & B)) ? B : · ` !(!(!(A) & !(B)) −◦ A) & !(!(A) −◦ !(A & B)) ! B : · ⇒ !(!(!(!(A) & !(B)) −◦ A) & !(!(A) −◦ !(A & B))) DR B : · ` !(!(!(!(A) & !(B)) −◦ A) & !(!(A) −◦ !(A & B))) ? · : !(B) ` !(!(!(!(A) & !(B)) −◦ A) & !(!(A) −◦ !(A & B)))

C. Olarte, V. de Paiva, E. Pimentel & G. Reis

39 (42) · ` A → ¬¬A

(41) ¬B ` A ∧ B ↔ B

LJ (33ms)

? ? B, B → ⊥ ` B B, ⊥ ` A ⊃L B, B → ⊥ ` A ? B → ⊥ ` A∧B → B∧B → A∧B

LJ (41ms)

? ? A, A → ⊥ ` A A, ⊥ ` ⊥ ⊃L A, A → ⊥ ` ⊥ ? ·`A→A→⊥→⊥

Multiplicative translation (21ms) fail Girard’s Translation (130ms)

Multiplicative translation (61ms) I A, B, !(B) −◦ 0 : · ⇒ B DR A, B, !(B) −◦ 0 : · ` B

I B, !(B) −◦ 0 : · ⇒ B ? DR B, !(B) −◦ 0 : · ` B B, !(B) −◦ 0 : 0 ` A RL ! B, !(B) −◦ 0 : · ⇒ !(B) B, !(B) −◦ 0 : · [0] ⇐ A −◦ B, !(B) −◦ 0 : · [!(B) −◦ 0] ⇐ A DC B, !(B) −◦ 0 : · ` A · : !(!(B) −◦ 0) ` !(A & B) −◦ B & !(B) −◦ A & B

I B, !(B) −◦ 0 : · ⇒ B DR B, !(B) −◦ 0 : · ` B ?

Positive decoration (172ms) I B, !(B) −◦ 0 : · ⇒ B ? DR I A, B, !(B) −◦ 0 : · ⇒ B B, !(B) −◦ 0 : · ` B B, !(B) −◦ 0 : 0 ` !(A) ⊗ !(B) DR RL ! A, B, !(B) −◦ 0 : · ` B B, !(B) −◦ 0 : · ⇒ !(B) B, !(B) −◦ 0 : · [0] ⇐ !(A) ⊗ !(B) −◦ ! A, B, !(B) −◦ 0 : · ⇒ !(B) B, !(B) −◦ 0 : · [!(B) −◦ 0] ⇐ !(A) ⊗ !(B) DC DR A, B, !(B) −◦ 0 : · ` !(B) B, !(B) −◦ 0 : · ` !(A) ⊗ !(B) ? ? !(B) −◦ 0 : · ` !(A) ⊗ !(B) −◦ !(B) !(B) −◦ 0 : · ` !(B) −◦ !(A) ⊗ !(B) ! ! !(B) −◦ 0 : · ⇒ !(!(A) ⊗ !(B) −◦ !(B)) !(B) −◦ 0 : · ⇒ !(!(B) −◦ !(A) ⊗ !(B)) ⊗ !(B) −◦ 0 : · ⇒ !(!(A) ⊗ !(B) −◦ !(B)) ⊗ !(!(B) −◦ !(A) ⊗ !(B)) DR !(B) −◦ 0 : · ` !(!(A) ⊗ !(B) −◦ !(B)) ⊗ !(!(B) −◦ !(A) ⊗ !(B)) ? · : !(!(B) −◦ 0) ` !(!(A) ⊗ !(B) −◦ !(B)) ⊗ !(!(B) −◦ !(A) ⊗ !(B))

0/1 focused decoration (209ms) I I B, !(A), !(B), !(B) −◦ !(0) : · ⇒ B B, !(B) −◦ !(0) : · ⇒ B ? DR DR B, !(A), !(B), !(B) −◦ !(0) : · ` B B, !(B) −◦ !(0) : · ` B B, !(B) −◦ !(0) : !(0) ` !(A & B) ? RL ! !(A), !(B), !(B) −◦ !(0) : !(B) ` B B, !(B) −◦ !(0) : · ⇒ !(B) B, !(B) −◦ !(0) : · [!(0)] ⇐ !(A & B) RL −◦ !(A), !(B), !(B) −◦ !(0) : · [!(B)] ⇐ B B, !(B) −◦ !(0) : · [!(B) −◦ !(0)] ⇐ !(A & B) DC DC !(A), !(B), !(B) −◦ !(0) : · ` B B, !(B) −◦ !(0) : · ` !(A & B) ? ? !(B) −◦ !(0) : · ` !(!(A) & !(B)) −◦ B !(B) −◦ !(0) : · ` !(B) −◦ !(A & B) ! ! !(B) −◦ !(0) : · ⇒ !(!(!(A) & !(B)) −◦ B) !(B) −◦ !(0) : · ⇒ !(!(B) −◦ !(A & B)) DR DR !(B) −◦ !(0) : · ` !(!(!(A) & !(B)) −◦ B) !(B) −◦ !(0) : · ` !(!(B) −◦ !(A & B)) ? !(B) −◦ !(0) : · ` !(!(!(A) & !(B)) −◦ B) & !(!(B) −◦ !(A & B)) ! !(B) −◦ !(0) : · ⇒ !(!(!(!(A) & !(B)) −◦ B) & !(!(B) −◦ !(A & B))) DR !(B) −◦ !(0) : · ` !(!(!(!(A) & !(B)) −◦ B) & !(!(B) −◦ !(A & B))) ? · : !(!(B) −◦ !(0)) ` !(!(!(!(A) & !(B)) −◦ B) & !(!(B) −◦ !(A & B)))

⊥ I ·: A⇒A · : · [⊥] ⇐⊥ −◦ · : A [A−◦ ⊥] ⇐⊥ DL · : A, A−◦ ⊥`⊥ ? · : · ` A −◦ A−◦ ⊥ −◦ ⊥ Girard’s Translation (83ms) I A, !(A) −◦ 0 : · ⇒ A ? DR A, !(A) −◦ 0 : · ` A A, !(A) −◦ 0 : 0 ` 0 RL ! A, !(A) −◦ 0 : · ⇒ !(A) A, !(A) −◦ 0 : · [0] ⇐ 0 −◦ A, !(A) −◦ 0 : · [!(A) −◦ 0] ⇐ 0 DC A, !(A) −◦ 0 : · ` 0 ? · : · ` !(A) −◦ !(!(A) −◦ 0) −◦ 0

Positive decoration (120ms) I A, !(A) −◦ 0 : · ⇒ A ? DR A, !(A) −◦ 0 : · ` A A, !(A) −◦ 0 : 0 ` 0 RL ! A, !(A) −◦ 0 : · ⇒ !(A) A, !(A) −◦ 0 : · [0] ⇐ 0 −◦ A, !(A) −◦ 0 : · [!(A) −◦ 0] ⇐ 0 DC A, !(A) −◦ 0 : · ` 0 ? A : · ` !(!(A) −◦ 0) −◦ 0 ! A : · ⇒ !(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) DR A : · ` !(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) ? · : · ` !(A) −◦ !(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) ! · : · ⇒ !(!(A) −◦ !(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0)) DR · : · ` !(!(A) −◦ !(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0))

0/1 focused decoration (122ms)

40 I A, !(A) −◦ !(0) : · ⇒ A ? DR A, !(A) −◦ !(0) : · ` A A, !(A) −◦ !(0) : !(0) ` 0 RL ! A, !(A) −◦ !(0) : · ⇒ !(A) A, !(A) −◦ !(0) : · [!(0)] ⇐ 0 −◦ A, !(A) −◦ !(0) : · [!(A) −◦ !(0)] ⇐ 0 DC A, !(A) −◦ !(0) : · ` 0 ? A : · ` !(!(A) −◦ !(0)) −◦ 0 ! A : · ⇒ !(!(!(A) −◦ !(0)) −◦ 0) DR A : · ` !(!(!(A) −◦ !(0)) −◦ 0) ? · : · ` !(A) −◦ !(!(!(A) −◦ !(0)) −◦ 0) ! · : · ⇒ !(!(A) −◦ !(!(!(A) −◦ !(0)) −◦ 0)) DR · : · ` !(!(A) −◦ !(!(!(A) −◦ !(0)) −◦ 0))

Linear Logic (43) · ` ¬¬¬A ↔ ¬A

LJ (96ms) ? ? A, A → ⊥, A → ⊥ → ⊥ → ⊥ ` A A, ⊥, A → ⊥ → ⊥ → ⊥ ` ⊥ ⊃L A, A → ⊥, A → ⊥ → ⊥ → ⊥ ` ⊥ ? A, A → ⊥ → ⊥ → ⊥ ` A → ⊥ → ⊥

? ? A, A → ⊥, A → ⊥ → ⊥ ` A A, ⊥, A → ⊥ → ⊥ ` ⊥ ⊃L A, A → ⊥, A → ⊥ → ⊥ ` ⊥ ? ? ? A, ⊥ ` ⊥ A → ⊥, A → ⊥ → ⊥ ` A → ⊥ ⊥, A → ⊥ ` ⊥ ⊃L ⊃L A, A → ⊥ → ⊥ → ⊥ ` ⊥ A → ⊥, A → ⊥ → ⊥ ` ⊥ ? · ` A → ⊥ → ⊥ → ⊥ → A → ⊥∧A → ⊥ → A → ⊥ → ⊥ → ⊥

Multiplicative translation (183ms) ⊥ ⊥ I I ·: A⇒A · : · [⊥] ⇐⊥ ·: A⇒A · : · [⊥] ⇐⊥ −◦ −◦ · : A [A−◦ ⊥] ⇐⊥ · : A [A−◦ ⊥] ⇐⊥ DL DL · : A, A−◦ ⊥`⊥ · : A, A−◦ ⊥`⊥ ? ? · : A ` A−◦ ⊥ −◦ ⊥ · : A−◦ ⊥` A−◦ ⊥ R R ⊥ ⊥ · : A ⇒ A−◦ ⊥ −◦ ⊥ R · : · [⊥] ⇐⊥ · : A−◦ ⊥⇒ A−◦ ⊥ R · : · [⊥] ⇐⊥ −◦ −◦ · : A [A−◦ ⊥ −◦ ⊥ −◦ ⊥] ⇐⊥ · : A−◦ ⊥ [A−◦ ⊥ −◦ ⊥] ⇐⊥ DL DL · : A, A−◦ ⊥ −◦ ⊥ −◦ ⊥`⊥ · : A−◦ ⊥, A−◦ ⊥ −◦ ⊥`⊥ ? ? · : · ` A−◦ ⊥ −◦ ⊥ −◦ ⊥ −◦A−◦ ⊥ · : · ` A−◦ ⊥ −◦A−◦ ⊥ −◦ ⊥ −◦ ⊥ R R · : · ⇒ A−◦ ⊥ −◦ ⊥ −◦ ⊥ −◦A−◦ ⊥ R · : · ⇒ A−◦ ⊥ −◦A−◦ ⊥ −◦ ⊥ −◦ ⊥ R ⊗ · : · ⇒ A−◦ ⊥ −◦ ⊥ −◦ ⊥ −◦A−◦ ⊥ ⊗A−◦ ⊥ −◦A−◦ ⊥ −◦ ⊥ −◦ ⊥ D · : · ` A−◦ ⊥ −◦ ⊥ −◦ ⊥ −◦A−◦ ⊥ ⊗A−◦ ⊥ −◦A−◦ ⊥ −◦ ⊥ −◦ ⊥ R

Girard’s Translation (271ms) I A, !(A) −◦ 0, !(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ 0 : · ⇒ A ? DR A, !(A) −◦ 0, !(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ 0 : · ` A A, !(A) −◦ 0, !(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ 0 : 0 ` 0 RL ! A, !(A) −◦ 0, !(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ 0 : · ⇒ !(A) A, !(A) −◦ 0, !(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ 0 : · [0] ⇐ 0 −◦ A, !(A) −◦ 0, !(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ 0 : · [!(A) −◦ 0] ⇐ 0 DC A, !(A) −◦ 0, !(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ 0 : · ` 0 ? A, !(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ 0 : · ` !(!(A) −◦ 0) −◦ 0

I A, !(A) −◦ 0, !(!(A) −◦ 0) −◦ 0 : · ⇒ A ? DR A, !(A) −◦ 0, !(!(A) −◦ 0) −◦ 0 : · ` A A, !(A) −◦ 0, !(!(A) −◦ 0) −◦ 0 : 0 ` 0 RL ! A, !(A) −◦ 0, !(!(A) −◦ 0) −◦ 0 : · ⇒ !(A) A, !(A) −◦ 0, !(!(A) −◦ 0) −◦ 0 : · [0] ⇐ 0 −◦ A, !(A) −◦ 0, !(!(A) −◦ 0) −◦ 0 : · [!(A) −◦ 0] ⇐ 0 DC A, !(A) −◦ 0, !(!(A) −◦ 0) −◦ 0 : · ` 0 ? ? ? A, !(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ 0 : 0 ` 0 !(A) −◦ 0, !(!(A) −◦ 0) −◦ 0 : · ` !(A) −◦ 0 !(A) −◦ 0, !(!(A) −◦ 0) −◦ 0 : 0 ` 0 RL RL ! A, !(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ 0 : · ⇒ !(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) A, !(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ 0 : · [0] ⇐ 0 !(A) −◦ 0, !(!(A) −◦ 0) −◦ 0 : · ⇒ !(!(A) −◦ 0) !(A) −◦ 0, !(!(A) −◦ 0) −◦ 0 : · [0] ⇐ 0 −◦ −◦ A, !(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ 0 : · [!(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ 0] ⇐ 0 !(A) −◦ 0, !(!(A) −◦ 0) −◦ 0 : · [!(!(A) −◦ 0) −◦ 0] ⇐ 0 DC DC A, !(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ 0 : · ` 0 !(A) −◦ 0, !(!(A) −◦ 0) −◦ 0 : · ` 0 ? · : · ` !(!(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ 0) −◦ !(A) −◦ 0 & !(!(A) −◦ 0) −◦ !(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ 0 !

Positive decoration (528ms) I A, !(A) −◦ 0, !(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ 0 : · ⇒ A ? DR A, !(A) −◦ 0, !(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ 0 : · ` A A, !(A) −◦ 0, !(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ 0 : 0 ` 0 RL ! A, !(A) −◦ 0, !(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ 0 : · ⇒ !(A) A, !(A) −◦ 0, !(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ 0 : · [0] ⇐ 0 −◦ A, !(A) −◦ 0, !(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ 0 : · [!(A) −◦ 0] ⇐ 0 DC A, !(A) −◦ 0, !(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ 0 : · ` 0 ? A, !(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ 0 : · ` !(!(A) −◦ 0) −◦ 0

? A, !(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ 0 : 0 ` 0 RL ! A, !(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ 0 : · ⇒ !(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) A, !(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ 0 : · [0] ⇐ 0 −◦ A, !(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ 0 : · [!(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ 0] ⇐ 0 DC A, !(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ 0 : · ` 0 ? !(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ 0 : · ` !(A) −◦ 0 ! !(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ 0 : · ⇒ !(!(A) −◦ 0) DR !(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ 0 : · ` !(!(A) −◦ 0) ? · : · ` !(!(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ 0) −◦ !(!(A) −◦ 0) ! · : · ⇒ !(!(!(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ 0) −◦ !(!(A) −◦ 0))

I A, !(A) −◦ 0, !(!(A) −◦ 0) −◦ 0 : · ⇒ A ? DR A, !(A) −◦ 0, !(!(A) −◦ 0) −◦ 0 : · ` A A, !(A) −◦ 0, !(!(A) −◦ 0) −◦ 0 : 0 ` 0 RL ! A, !(A) −◦ 0, !(!(A) −◦ 0) −◦ 0 : · ⇒ !(A) A, !(A) −◦ 0, !(!(A) −◦ 0) −◦ 0 : · [0] ⇐ 0 −◦ A, !(A) −◦ 0, !(!(A) −◦ 0) −◦ 0 : · [!(A) −◦ 0] ⇐ 0 DC A, !(A) −◦ 0, !(!(A) −◦ 0) −◦ 0 : · ` 0 ? !(A) −◦ 0, !(!(A) −◦ 0) −◦ 0 : · ` !(A) −◦ 0

? !(A) −◦ 0, !(!(A) −◦ 0) −◦ 0 : 0 ` 0 RL ! !(A) −◦ 0, !(!(A) −◦ 0) −◦ 0 : · ⇒ !(!(A) −◦ 0) !(A) −◦ 0, !(!(A) −◦ 0) −◦ 0 : · [0] ⇐ 0 −◦ !(A) −◦ 0, !(!(A) −◦ 0) −◦ 0 : · [!(!(A) −◦ 0) −◦ 0] ⇐ 0 DC !(A) −◦ 0, !(!(A) −◦ 0) −◦ 0 : · ` 0 ? !(A) −◦ 0 : · ` !(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ 0 ! !(A) −◦ 0 : · ⇒ !(!(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ 0) DR !(A) −◦ 0 : · ` !(!(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ 0) ? · : · ` !(!(A) −◦ 0) −◦ !(!(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ 0) ! · : · ⇒ !(!(!(A) −◦ 0) −◦ !(!(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ 0)) ⊗ · : · ⇒ !(!(!(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ 0) −◦ !(!(A) −◦ 0)) ⊗ !(!(!(A) −◦ 0) −◦ !(!(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ 0)) DR · : · ` !(!(!(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ 0) −◦ !(!(A) −◦ 0)) ⊗ !(!(!(A) −◦ 0) −◦ !(!(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ 0))

0/1 focused decoration (7431ms) I A, !(A) −◦ !(0), !(!(!(!(A) −◦ !(0)) −◦ 0)) −◦ !(0) : · ⇒ A ? DR A, !(A) −◦ !(0), !(!(!(!(A) −◦ !(0)) −◦ 0)) −◦ !(0) : · ` A A, !(A) −◦ !(0), !(!(!(!(A) −◦ !(0)) −◦ 0)) −◦ !(0) : !(0) ` 0 RL ! A, !(A) −◦ !(0), !(!(!(!(A) −◦ !(0)) −◦ 0)) −◦ !(0) : · ⇒ !(A) A, !(A) −◦ !(0), !(!(!(!(A) −◦ !(0)) −◦ 0)) −◦ !(0) : · [!(0)] ⇐ 0 −◦ A, !(A) −◦ !(0), !(!(!(!(A) −◦ !(0)) −◦ 0)) −◦ !(0) : · [!(A) −◦ !(0)] ⇐ 0 DC A, !(A) −◦ !(0), !(!(!(!(A) −◦ !(0)) −◦ 0)) −◦ !(0) : · ` 0 ? A, !(!(!(!(A) −◦ !(0)) −◦ 0)) −◦ !(0) : · ` !(!(A) −◦ !(0)) −◦ 0 ! A, !(!(!(!(A) −◦ !(0)) −◦ 0)) −◦ !(0) : · ⇒ !(!(!(A) −◦ !(0)) −◦ 0) ? DR A, !(!(!(!(A) −◦ !(0)) −◦ 0)) −◦ !(0) : · ` !(!(!(A) −◦ !(0)) −◦ 0) A, !(!(!(!(A) −◦ !(0)) −◦ 0)) −◦ !(0) : !(0) ` 0 RL ! A, !(!(!(!(A) −◦ !(0)) −◦ 0)) −◦ !(0) : · ⇒ !(!(!(!(A) −◦ !(0)) −◦ 0)) A, !(!(!(!(A) −◦ !(0)) −◦ 0)) −◦ !(0) : · [!(0)] ⇐ 0 −◦ A, !(!(!(!(A) −◦ !(0)) −◦ 0)) −◦ !(0) : · [!(!(!(!(A) −◦ !(0)) −◦ 0)) −◦ !(0)] ⇐ 0 DC A, !(!(!(!(A) −◦ !(0)) −◦ 0)) −◦ !(0) : · ` 0 ? !(!(!(!(A) −◦ !(0)) −◦ 0)) −◦ !(0) : · ` !(A) −◦ 0

I A, !(A) −◦ !(0), !(!(!(A) −◦ 0)) −◦ !(0) : · ⇒ A ? DR A, !(A) −◦ !(0), !(!(!(A) −◦ 0)) −◦ !(0) : · ` A A, !(A) −◦ !(0), !(!(!(A) −◦ 0)) −◦ !(0) : !(0) ` 0 RL ! A, !(A) −◦ !(0), !(!(!(A) −◦ 0)) −◦ !(0) : · ⇒ !(A) A, !(A) −◦ !(0), !(!(!(A) −◦ 0)) −◦ !(0) : · [!(0)] ⇐ 0 −◦ A, !(A) −◦ !(0), !(!(!(A) −◦ 0)) −◦ !(0) : · [!(A) −◦ !(0)] ⇐ 0 DC A, !(A) −◦ !(0), !(!(!(A) −◦ 0)) −◦ !(0) : · ` 0 ? !(A) −◦ !(0), !(!(!(A) −◦ 0)) −◦ !(0) : · ` !(A) −◦ 0 ! !(A) −◦ !(0), !(!(!(A) −◦ 0)) −◦ !(0) : · ⇒ !(!(A) −◦ 0) ? DR !(A) −◦ !(0), !(!(!(A) −◦ 0)) −◦ !(0) : · ` !(!(A) −◦ 0) !(A) −◦ !(0), !(!(!(A) −◦ 0)) −◦ !(0) : !(0) ` 0 RL ! !(A) −◦ !(0), !(!(!(A) −◦ 0)) −◦ !(0) : · ⇒ !(!(!(A) −◦ 0)) !(A) −◦ !(0), !(!(!(A) −◦ 0)) −◦ !(0) : · [!(0)] ⇐ 0 −◦ !(A) −◦ !(0), !(!(!(A) −◦ 0)) −◦ !(0) : · [!(!(!(A) −◦ 0)) −◦ !(0)] ⇐ 0 DC !(A) −◦ !(0), !(!(!(A) −◦ 0)) −◦ !(0) : · ` 0 ? !(A) −◦ !(0) : · ` !(!(!(!(A) −◦ 0)) −◦ !(0)) −◦ 0

! ! !(!(!(!(A) −◦ !(0)) −◦ 0)) −◦ !(0) : · ⇒ !(!(A) −◦ 0) !(A) −◦ !(0) : · ⇒ !(!(!(!(!(A) −◦ 0)) −◦ !(0)) −◦ 0) DR DR !(!(!(!(A) −◦ !(0)) −◦ 0)) −◦ !(0) : · ` !(!(A) −◦ 0) !(A) −◦ !(0) : · ` !(!(!(!(!(A) −◦ 0)) −◦ !(0)) −◦ 0) ? ? · : · ` !(!(!(!(!(A) −◦ !(0)) −◦ 0)) −◦ !(0)) −◦ !(!(A) −◦ 0) · : · ` !(!(A) −◦ !(0)) −◦ !(!(!(!(!(A) −◦ 0)) −◦ !(0)) −◦ 0) ! ! · : · ⇒ !(!(!(!(!(!(A) −◦ !(0)) −◦ 0)) −◦ !(0)) −◦ !(!(A) −◦ 0)) · : · ⇒ !(!(!(A) −◦ !(0)) −◦ !(!(!(!(!(A) −◦ 0)) −◦ !(0)) −◦ 0)) DR DR · : · ` !(!(!(!(!(!(A) −◦ !(0)) −◦ 0)) −◦ !(0)) −◦ !(!(A) −◦ 0)) · : · ` !(!(!(A) −◦ !(0)) −◦ !(!(!(!(!(A) −◦ 0)) −◦ !(0)) −◦ 0)) ? · : · ` !(!(!(!(!(!(A) −◦ !(0)) −◦ 0)) −◦ !(0)) −◦ !(!(A) −◦ 0)) & !(!(!(A) −◦ !(0)) −◦ !(!(!(!(!(A) −◦ 0)) −◦ !(0)) −◦ 0)) ! · : · ⇒ !(!(!(!(!(!(!(A) −◦ !(0)) −◦ 0)) −◦ !(0)) −◦ !(!(A) −◦ 0)) & !(!(!(A) −◦ !(0)) −◦ !(!(!(!(!(A) −◦ 0)) −◦ !(0)) −◦ 0))) DR · : · ` !(!(!(!(!(!(!(A) −◦ !(0)) −◦ 0)) −◦ !(0)) −◦ !(!(A) −◦ 0)) & !(!(!(A) −◦ !(0)) −◦ !(!(!(!(!(A) −◦ 0)) −◦ !(0)) −◦ 0)))

C. Olarte, V. de Paiva, E. Pimentel & G. Reis (44) · ` ¬(A ∧ ¬A)

41 I A, !(A), !(!(A) −◦ !(0)), !(A) −◦ !(0) : · ⇒ A ? DR A, !(A), !(!(A) −◦ !(0)), !(A) −◦ !(0) : · ` A A, !(A), !(!(A) −◦ !(0)), !(A) −◦ !(0) : !(0) ` 0 RL ! A, !(A), !(!(A) −◦ !(0)), !(A) −◦ !(0) : · ⇒ !(A) A, !(A), !(!(A) −◦ !(0)), !(A) −◦ !(0) : · [!(0)] ⇐ 0 −◦ A, !(A), !(!(A) −◦ !(0)), !(A) −◦ !(0) : · [!(A) −◦ !(0)] ⇐ 0 DC A, !(A), !(!(A) −◦ !(0)), !(A) −◦ !(0) : · ` 0 ? A, !(A), !(!(A) −◦ !(0)) : !(!(A) −◦ !(0)) ` 0 RL A, !(A), !(!(A) −◦ !(0)) : · [!(!(A) −◦ !(0))] ⇐ 0 DC A, !(A), !(!(A) −◦ !(0)) : · ` 0 ? !(A), !(!(A) −◦ !(0)) : !(A) ` 0 RL !(A), !(!(A) −◦ !(0)) : · [!(A)] ⇐ 0 DC !(A), !(!(A) −◦ !(0)) : · ` 0 ? · : · ` !(!(A) & !(!(A) −◦ !(0))) −◦ 0 ! · : · ⇒ !(!(!(A) & !(!(A) −◦ !(0))) −◦ 0) DR · : · ` !(!(!(A) & !(!(A) −◦ !(0))) −◦ 0)

LJ (34ms) ? ? A, A → ⊥ ` A A, ⊥ ` ⊥ ⊃L A, A → ⊥ ` ⊥ ? · ` A∧A → ⊥ → ⊥ Multiplicative translation (59ms)

⊥ I ·: A⇒A · : · [⊥] ⇐⊥ −◦ · : A [A−◦ ⊥] ⇐⊥ DL · : A, A−◦ ⊥`⊥ ? · : · ` A ⊗ A−◦ ⊥ −◦ ⊥ Girard’s Translation (88ms) I A, !(A) −◦ 0 : · ⇒ A ? DR A, !(A) −◦ 0 : · ` A A, !(A) −◦ 0 : 0 ` 0 RL ! A, !(A) −◦ 0 : · ⇒ !(A) A, !(A) −◦ 0 : · [0] ⇐ 0 −◦ A, !(A) −◦ 0 : · [!(A) −◦ 0] ⇐ 0 DC A, !(A) −◦ 0 : · ` 0 ? · : · ` !(A & !(A) −◦ 0) −◦ 0 Positive decoration (102ms) I A, !(A) −◦ 0 : · ⇒ A ? DR A, !(A) −◦ 0 : · ` A A, !(A) −◦ 0 : 0 ` 0 RL ! A, !(A) −◦ 0 : · ⇒ !(A) A, !(A) −◦ 0 : · [0] ⇐ 0 −◦ A, !(A) −◦ 0 : · [!(A) −◦ 0] ⇐ 0 DC A, !(A) −◦ 0 : · ` 0 ? · : · ` !(A) ⊗ !(!(A) −◦ 0) −◦ 0 ! · : · ⇒ !(!(A) ⊗ !(!(A) −◦ 0) −◦ 0) DR · : · ` !(!(A) ⊗ !(!(A) −◦ 0) −◦ 0)

0/1 focused decoration (141ms)

42

Linear Logic (45) · ` ¬(A ↔ ¬A)

(46) · ` ¬¬(¬¬A → A)

LJ (96ms)

LJ (66ms)

? ? A, A → ⊥, A → ⊥ → A ` A A, ⊥, A → ⊥ → A ` ⊥ ⊃L ? ? ? A, A → A → ⊥, A → ⊥ → A ` A A, A → ⊥, A → ⊥ → A ` ⊥ A, A → ⊥ ` A A, ⊥ ` ⊥ ⊃L ⊃L ? A, A → A → ⊥, A → ⊥ → A ` ⊥ A, A → A → ⊥ ` A A, A → ⊥ ` ⊥ ⊃L ? A → A → ⊥, A → ⊥ → A ` A → ⊥ A, A → A → ⊥ ` ⊥ ⊃L A → A → ⊥, A → ⊥ → A ` ⊥ ? · ` A → A → ⊥∧A → ⊥ → A → ⊥

? ? A, A → ⊥ → ⊥, A → ⊥ → ⊥ → A → ⊥ ` A → ⊥ → ⊥ → A A, ⊥, A → ⊥ → ⊥ ` ⊥ ⊃L A, A → ⊥ → ⊥, A → ⊥ → ⊥ → A → ⊥ ` ⊥ ? ? A → ⊥ → ⊥, A → ⊥ → ⊥ → A → ⊥ ` A → ⊥ ⊥, A → ⊥ → ⊥ → A → ⊥ ` A ⊃L A → ⊥ → ⊥, A → ⊥ → ⊥ → A → ⊥ ` A ? A→⊥→⊥→A→⊥`A→⊥→⊥→A A→⊥→⊥→A→⊥`⊥ ? ·`A→⊥→⊥→A→⊥→⊥

Multiplicative translation (19ms)

Multiplicative translation (25ms)

fail

fail

Girard’s Translation (Timeout)

Girard’s Translation (185ms) I A, !(!(A) −◦ 0) −◦ 0, !(!(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ A) −◦ 0 : · ⇒ A DR A, !(!(A) −◦ 0) −◦ 0, !(!(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ A) −◦ 0 : · ` A ? ? A, !(!(A) −◦ 0) −◦ 0, !(!(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ A) −◦ 0 : · ` !(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ A A, !(!(A) −◦ 0) −◦ 0, !(!(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ A) −◦ 0 : 0 ` 0 RL ! A, !(!(A) −◦ 0) −◦ 0, !(!(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ A) −◦ 0 : · ⇒ !(!(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ A) A, !(!(A) −◦ 0) −◦ 0, !(!(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ A) −◦ 0 : · [0] ⇐ 0 −◦ A, !(!(A) −◦ 0) −◦ 0, !(!(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ A) −◦ 0 : · [!(!(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ A) −◦ 0] ⇐ 0 DC A, !(!(A) −◦ 0) −◦ 0, !(!(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ A) −◦ 0 : · ` 0 ? ? !(!(A) −◦ 0) −◦ 0, !(!(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ A) −◦ 0 : · ` !(A) −◦ 0 !(!(A) −◦ 0) −◦ 0, !(!(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ A) −◦ 0 : 0 ` A RL ! !(!(A) −◦ 0) −◦ 0, !(!(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ A) −◦ 0 : · ⇒ !(!(A) −◦ 0) !(!(A) −◦ 0) −◦ 0, !(!(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ A) −◦ 0 : · [0] ⇐ A −◦ !(!(A) −◦ 0) −◦ 0, !(!(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ A) −◦ 0 : · [!(!(A) −◦ 0) −◦ 0] ⇐ A DC !(!(A) −◦ 0) −◦ 0, !(!(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ A) −◦ 0 : · ` A ? !(!(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ A) −◦ 0 : · ` !(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ A ! !(!(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ A) −◦ 0 : · ⇒ !(!(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ A)

Timeout

!(!(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ A) −◦ 0 : · [!(!(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ A) −◦ 0] ⇐ 0 DC !(!(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ A) −◦ 0 : · ` 0 ? · : · ` !(!(!(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ A) −◦ 0) −◦ 0

? ⊥`⊥ ⊃ L

? !(!(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ A) −◦ 0 : 0 ` 0 RL !(!(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ A) −◦ 0 : · [0] ⇐ 0 −◦

Positive decoration (5241ms) I A, !(A) −◦ 0, !(A) −◦ !(!(A) −◦ 0), !(!(A) −◦ 0) −◦ !(A) : · ⇒ A ? DR A, !(A) −◦ 0, !(A) −◦ !(!(A) −◦ 0), !(!(A) −◦ 0) −◦ !(A) : · ` A A, !(A) −◦ 0, !(A) −◦ !(!(A) −◦ 0), !(!(A) −◦ 0) −◦ !(A) : 0 ` 0 RL ! A, !(A) −◦ 0, !(A) −◦ !(!(A) −◦ 0), !(!(A) −◦ 0) −◦ !(A) : · ⇒ !(A) A, !(A) −◦ 0, !(A) −◦ !(!(A) −◦ 0), !(!(A) −◦ 0) −◦ !(A) : · [0] ⇐ 0 −◦ A, !(A) −◦ 0, !(A) −◦ !(!(A) −◦ 0), !(!(A) −◦ 0) −◦ !(A) : · [!(A) −◦ 0] ⇐ 0 DC I A, !(A) −◦ !(!(A) −◦ 0), !(!(A) −◦ 0) −◦ !(A) : · ⇒ A A, !(A) −◦ 0, !(A) −◦ !(!(A) −◦ 0), !(!(A) −◦ 0) −◦ !(A) : · ` 0 ? DR A, !(A) −◦ !(!(A) −◦ 0), !(!(A) −◦ 0) −◦ !(A) : · ` A A, !(A) −◦ !(!(A) −◦ 0), !(!(A) −◦ 0) −◦ !(A) : !(!(A) −◦ 0) ` 0 RL ! A, !(A) −◦ !(!(A) −◦ 0), !(!(A) −◦ 0) −◦ !(A) : · ⇒ !(A) A, !(A) −◦ !(!(A) −◦ 0), !(!(A) −◦ 0) −◦ !(A) : · [!(!(A) −◦ 0)] ⇐ 0 −◦ A, !(A) −◦ !(!(A) −◦ 0), !(!(A) −◦ 0) −◦ !(A) : · [!(A) −◦ !(!(A) −◦ 0)] ⇐ 0 DC A, !(A) −◦ !(!(A) −◦ 0), !(!(A) −◦ 0) −◦ !(A) : · ` 0 ? !(A) −◦ !(!(A) −◦ 0), !(!(A) −◦ 0) −◦ !(A) : · ` !(A) −◦ 0 !(A) −◦ !(!(A) −◦ 0), !(!(A) −◦ 0) −◦ !(A) : · ⇒ !(!(A) −◦ 0)

!

I A, !(A) −◦ 0, !(A) −◦ !(!(A) −◦ 0), !(!(A) −◦ 0) −◦ !(A) : · ⇒ A ? DR A, !(A) −◦ 0, !(A) −◦ !(!(A) −◦ 0), !(!(A) −◦ 0) −◦ !(A) : · ` A A, !(A) −◦ 0, !(A) −◦ !(!(A) −◦ 0), !(!(A) −◦ 0) −◦ !(A) : 0 ` 0 RL ! A, !(A) −◦ 0, !(A) −◦ !(!(A) −◦ 0), !(!(A) −◦ 0) −◦ !(A) : · ⇒ !(A) A, !(A) −◦ 0, !(A) −◦ !(!(A) −◦ 0), !(!(A) −◦ 0) −◦ !(A) : · [0] ⇐ 0 −◦ A, !(A) −◦ 0, !(A) −◦ !(!(A) −◦ 0), !(!(A) −◦ 0) −◦ !(A) : · [!(A) −◦ 0] ⇐ 0 DC I A, !(A) −◦ !(!(A) −◦ 0), !(!(A) −◦ 0) −◦ !(A) : · ⇒ A A, !(A) −◦ 0, !(A) −◦ !(!(A) −◦ 0), !(!(A) −◦ 0) −◦ !(A) : · ` 0 ? DR A, !(A) −◦ !(!(A) −◦ 0), !(!(A) −◦ 0) −◦ !(A) : · ` A A, !(A) −◦ !(!(A) −◦ 0), !(!(A) −◦ 0) −◦ !(A) : !(!(A) −◦ 0) ` 0 RL ! A, !(A) −◦ !(!(A) −◦ 0), !(!(A) −◦ 0) −◦ !(A) : · ⇒ !(A) A, !(A) −◦ !(!(A) −◦ 0), !(!(A) −◦ 0) −◦ !(A) : · [!(!(A) −◦ 0)] ⇐ 0 −◦ A, !(A) −◦ !(!(A) −◦ 0), !(!(A) −◦ 0) −◦ !(A) : · [!(A) −◦ !(!(A) −◦ 0)] ⇐ 0 DC A, !(A) −◦ !(!(A) −◦ 0), !(!(A) −◦ 0) −◦ !(A) : · ` 0 ? !(A) −◦ !(!(A) −◦ 0), !(!(A) −◦ 0) −◦ !(A) : !(A) ` 0 RL !(A) −◦ !(!(A) −◦ 0), !(!(A) −◦ 0) −◦ !(A) : · [!(A)] ⇐ 0 −◦ !(A) −◦ !(!(A) −◦ 0), !(!(A) −◦ 0) −◦ !(A) : · [!(!(A) −◦ 0) −◦ !(A)] ⇐ 0 DC !(A) −◦ !(!(A) −◦ 0), !(!(A) −◦ 0) −◦ !(A) : · ` 0 ? · : · ` !(!(A) −◦ !(!(A) −◦ 0)) ⊗ !(!(!(A) −◦ 0) −◦ !(A)) −◦ 0 ! · : · ⇒ !(!(!(A) −◦ !(!(A) −◦ 0)) ⊗ !(!(!(A) −◦ 0) −◦ !(A)) −◦ 0) DR · : · ` !(!(!(A) −◦ !(!(A) −◦ 0)) ⊗ !(!(!(A) −◦ 0) −◦ !(A)) −◦ 0)

Positive decoration (250ms) I A, !(!(A) −◦ 0) −◦ 0, !(!(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ !(A)) −◦ 0 : · ⇒ A DR A, !(!(A) −◦ 0) −◦ 0, !(!(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ !(A)) −◦ 0 : · ` A ! A, !(!(A) −◦ 0) −◦ 0, !(!(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ !(A)) −◦ 0 : · ⇒ !(A) DR A, !(!(A) −◦ 0) −◦ 0, !(!(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ !(A)) −◦ 0 : · ` !(A) ? ? A, !(!(A) −◦ 0) −◦ 0, !(!(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ !(A)) −◦ 0 : · ` !(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ !(A) A, !(!(A) −◦ 0) −◦ 0, !(!(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ !(A)) −◦ 0 : 0 ` 0 RL ! A, !(!(A) −◦ 0) −◦ 0, !(!(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ !(A)) −◦ 0 : · ⇒ !(!(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ !(A)) A, !(!(A) −◦ 0) −◦ 0, !(!(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ !(A)) −◦ 0 : · [0] ⇐ 0 −◦ A, !(!(A) −◦ 0) −◦ 0, !(!(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ !(A)) −◦ 0 : · [!(!(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ !(A)) −◦ 0] ⇐ 0 DC A, !(!(A) −◦ 0) −◦ 0, !(!(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ !(A)) −◦ 0 : · ` 0 ? !(!(A) −◦ 0) −◦ 0, !(!(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ !(A)) −◦ 0 : · ` !(A) −◦ 0 ! !(!(A) −◦ 0) −◦ 0, !(!(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ !(A)) −◦ 0 : · ⇒ !(!(A) −◦ 0)

? !(!(A) −◦ 0) −◦ 0, !(!(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ !(A)) −◦ 0 : 0 ` !(A) RL !(!(A) −◦ 0) −◦ 0, !(!(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ !(A)) −◦ 0 : · [0] ⇐ !(A) −◦ !(!(A) −◦ 0) −◦ 0, !(!(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ !(A)) −◦ 0 : · [!(!(A) −◦ 0) −◦ 0] ⇐ !(A) DC !(!(A) −◦ 0) −◦ 0, !(!(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ !(A)) −◦ 0 : · ` !(A) ? !(!(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ !(A)) −◦ 0 : · ` !(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ !(A) ! !(!(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ !(A)) −◦ 0 : · ⇒ !(!(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ !(A))

0/1 focused decoration (Timeout) Timeout

!(!(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ !(A)) −◦ 0 : · [!(!(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ !(A)) −◦ 0] ⇐ 0 DC !(!(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ !(A)) −◦ 0 : · ` 0 ? · : · ` !(!(!(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ !(A)) −◦ 0) −◦ 0

? !(!(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ !(A)) −◦ 0 : 0 ` 0 RL !(!(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ !(A)) −◦ 0 : · [0] ⇐ 0 −◦

! · : · ⇒ !(!(!(!(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ !(A)) −◦ 0) −◦ 0) DR · : · ` !(!(!(!(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ !(A)) −◦ 0) −◦ 0)

0/1 focused decoration (427ms) I A, !(!(!(A) −◦ 0)) −◦ !(0), !(!(!(!(!(!(A) −◦ 0)) −◦ !(0)) −◦ A)) −◦ !(0) : · ⇒ A DR A, !(!(!(A) −◦ 0)) −◦ !(0), !(!(!(!(!(!(A) −◦ 0)) −◦ !(0)) −◦ A)) −◦ !(0) : · ` A

?

A, !(!(!(A) −◦ 0)) −◦ !(0), !(!(!(!(!(!(A) −◦ 0)) −◦ !(0)) −◦ A)) −◦ !(0) : · ` !(!(!(!(A) −◦ 0)) −◦ !(0)) −◦ A ! A, !(!(!(A) −◦ 0)) −◦ !(0), !(!(!(!(!(!(A) −◦ 0)) −◦ !(0)) −◦ A)) −◦ !(0) : · ⇒ !(!(!(!(!(A) −◦ 0)) −◦ !(0)) −◦ A) ? DR A, !(!(!(A) −◦ 0)) −◦ !(0), !(!(!(!(!(!(A) −◦ 0)) −◦ !(0)) −◦ A)) −◦ !(0) : · ` !(!(!(!(!(A) −◦ 0)) −◦ !(0)) −◦ A) A, !(!(!(A) −◦ 0)) −◦ !(0), !(!(!(!(!(!(A) −◦ 0)) −◦ !(0)) −◦ A)) −◦ !(0) : !(0) ` 0 RL ! A, !(!(!(A) −◦ 0)) −◦ !(0), !(!(!(!(!(!(A) −◦ 0)) −◦ !(0)) −◦ A)) −◦ !(0) : · ⇒ !(!(!(!(!(!(A) −◦ 0)) −◦ !(0)) −◦ A)) A, !(!(!(A) −◦ 0)) −◦ !(0), !(!(!(!(!(!(A) −◦ 0)) −◦ !(0)) −◦ A)) −◦ !(0) : · [!(0)] ⇐ 0 −◦ A, !(!(!(A) −◦ 0)) −◦ !(0), !(!(!(!(!(!(A) −◦ 0)) −◦ !(0)) −◦ A)) −◦ !(0) : · [!(!(!(!(!(!(A) −◦ 0)) −◦ !(0)) −◦ A)) −◦ !(0)] ⇐ 0 DC A, !(!(!(A) −◦ 0)) −◦ !(0), !(!(!(!(!(!(A) −◦ 0)) −◦ !(0)) −◦ A)) −◦ !(0) : · ` 0 ? !(!(!(A) −◦ 0)) −◦ !(0), !(!(!(!(!(!(A) −◦ 0)) −◦ !(0)) −◦ A)) −◦ !(0) : · ` !(A) −◦ 0 ! !(!(!(A) −◦ 0)) −◦ !(0), !(!(!(!(!(!(A) −◦ 0)) −◦ !(0)) −◦ A)) −◦ !(0) : · ⇒ !(!(A) −◦ 0) ? DR !(!(!(A) −◦ 0)) −◦ !(0), !(!(!(!(!(!(A) −◦ 0)) −◦ !(0)) −◦ A)) −◦ !(0) : · ` !(!(A) −◦ 0) !(!(!(A) −◦ 0)) −◦ !(0), !(!(!(!(!(!(A) −◦ 0)) −◦ !(0)) −◦ A)) −◦ !(0) : !(0) ` A RL ! !(!(!(A) −◦ 0)) −◦ !(0), !(!(!(!(!(!(A) −◦ 0)) −◦ !(0)) −◦ A)) −◦ !(0) : · ⇒ !(!(!(A) −◦ 0)) !(!(!(A) −◦ 0)) −◦ !(0), !(!(!(!(!(!(A) −◦ 0)) −◦ !(0)) −◦ A)) −◦ !(0) : · [!(0)] ⇐ A −◦ !(!(!(A) −◦ 0)) −◦ !(0), !(!(!(!(!(!(A) −◦ 0)) −◦ !(0)) −◦ A)) −◦ !(0) : · [!(!(!(A) −◦ 0)) −◦ !(0)] ⇐ A DC !(!(!(A) −◦ 0)) −◦ !(0), !(!(!(!(!(!(A) −◦ 0)) −◦ !(0)) −◦ A)) −◦ !(0) : · ` A ? !(!(!(!(!(!(A) −◦ 0)) −◦ !(0)) −◦ A)) −◦ !(0) : · ` !(!(!(!(A) −◦ 0)) −◦ !(0)) −◦ A ! !(!(!(!(!(!(A) −◦ 0)) −◦ !(0)) −◦ A)) −◦ !(0) : · ⇒ !(!(!(!(!(A) −◦ 0)) −◦ !(0)) −◦ A) ? DR !(!(!(!(!(!(A) −◦ 0)) −◦ !(0)) −◦ A)) −◦ !(0) : · ` !(!(!(!(!(A) −◦ 0)) −◦ !(0)) −◦ A) !(!(!(!(!(!(A) −◦ 0)) −◦ !(0)) −◦ A)) −◦ !(0) : !(0) ` 0 RL ! !(!(!(!(!(!(A) −◦ 0)) −◦ !(0)) −◦ A)) −◦ !(0) : · ⇒ !(!(!(!(!(!(A) −◦ 0)) −◦ !(0)) −◦ A)) !(!(!(!(!(!(A) −◦ 0)) −◦ !(0)) −◦ A)) −◦ !(0) : · [!(0)] ⇐ 0 −◦ !(!(!(!(!(!(A) −◦ 0)) −◦ !(0)) −◦ A)) −◦ !(0) : · [!(!(!(!(!(!(A) −◦ 0)) −◦ !(0)) −◦ A)) −◦ !(0)] ⇐ 0 DC !(!(!(!(!(!(A) −◦ 0)) −◦ !(0)) −◦ A)) −◦ !(0) : · ` 0 ? · : · ` !(!(!(!(!(!(!(A) −◦ 0)) −◦ !(0)) −◦ A)) −◦ !(0)) −◦ 0 ! · : · ⇒ !(!(!(!(!(!(!(!(A) −◦ 0)) −◦ !(0)) −◦ A)) −◦ !(0)) −◦ 0) DR · : · ` !(!(!(!(!(!(!(!(A) −◦ 0)) −◦ !(0)) −◦ A)) −◦ !(0)) −◦ 0)

C. Olarte, V. de Paiva, E. Pimentel & G. Reis (47) · ` A ∧ (B ∧ ¬B) ↔ B ∧ ¬B

LJ (61ms)

(48) · ` (A → B) → ¬(A ∧ ¬B)

LJ (48ms)

? ? ? ? ? ? A, B, B → ⊥ ` B A, B, ⊥ ` ⊥ B, B → ⊥ ` B B, ⊥ ` A B, B → ⊥ ` B B, ⊥ ` ⊥ ⊃L ⊃L ⊃L A, B, B → ⊥ ` ⊥ B, B → ⊥ ` A B, B → ⊥ ` ⊥ ? · ` A∧B∧B → ⊥ → B∧B → ⊥∧B∧B → ⊥ → A∧B∧B → ⊥

Multiplicative translation (19ms)

? ? A, B, B → ⊥ ` B A, B, ⊥ ` ⊥ ⊃L ? A, A → B, B → ⊥ ` A A, B, B → ⊥ ` ⊥ ⊃L A, A → B, B → ⊥ ` ⊥ ? · ` A → B → A∧B → ⊥ → ⊥

Multiplicative translation (94ms)

fail Girard’s Translation (234ms) I A, B, !(B) −◦ 0 : · ⇒ B DR A, B, !(B) −◦ 0 : · ` B

43

I I A, B, !(B) −◦ 0 : · ⇒ B B, !(B) −◦ 0 : · ⇒ B ? ? DR DR A, B, !(B) −◦ 0 : · ` B A, B, !(B) −◦ 0 : 0 ` 0 B, !(B) −◦ 0 : · ` B B, !(B) −◦ 0 : 0 ` A RL RL ! ! A, B, !(B) −◦ 0 : · ⇒ !(B) A, B, !(B) −◦ 0 : · [0] ⇐ 0 B, !(B) −◦ 0 : · ⇒ !(B) B, !(B) −◦ 0 : · [0] ⇐ A −◦ −◦ A, B, !(B) −◦ 0 : · [!(B) −◦ 0] ⇐ 0 B, !(B) −◦ 0 : · [!(B) −◦ 0] ⇐ A DC DC A, B, !(B) −◦ 0 : · ` 0 B, !(B) −◦ 0 : · ` A · : · ` !(A & B & !(B) −◦ 0) −◦ B & !(B) −◦ 0 & !(B & !(B) −◦ 0) −◦ A & B & !(B) −◦ 0

I B, !(B) −◦ 0 : · ⇒ B DR B, !(B) −◦ 0 : · ` B

I B, !(B) −◦ 0 : · ⇒ B ? DR B, !(B) −◦ 0 : · ` B B, !(B) −◦ 0 : 0 ` 0 RL ! B, !(B) −◦ 0 : · ⇒ !(B) B, !(B) −◦ 0 : · [0] ⇐ 0 −◦ B, !(B) −◦ 0 : · [!(B) −◦ 0] ⇐ 0 DC B, !(B) −◦ 0 : · ` 0 ?

Positive decoration (186ms) I I A, B, !(B) −◦ 0 : · ⇒ B B, !(B) −◦ 0 : · ⇒ B ? ? DR DR A, B, !(B) −◦ 0 : · ` B A, B, !(B) −◦ 0 : 0 ` !(B) ⊗ !(!(B) −◦ 0) B, !(B) −◦ 0 : · ` B B, !(B) −◦ 0 : 0 ` !(A) ⊗ !(B) ⊗ !(!(B) −◦ 0) RL RL ! ! A, B, !(B) −◦ 0 : · ⇒ !(B) A, B, !(B) −◦ 0 : · [0] ⇐ !(B) ⊗ !(!(B) −◦ 0) B, !(B) −◦ 0 : · ⇒ !(B) B, !(B) −◦ 0 : · [0] ⇐ !(A) ⊗ !(B) ⊗ !(!(B) −◦ 0) −◦ −◦ A, B, !(B) −◦ 0 : · [!(B) −◦ 0] ⇐ !(B) ⊗ !(!(B) −◦ 0) B, !(B) −◦ 0 : · [!(B) −◦ 0] ⇐ !(A) ⊗ !(B) ⊗ !(!(B) −◦ 0) DC DC A, B, !(B) −◦ 0 : · ` !(B) ⊗ !(!(B) −◦ 0) B, !(B) −◦ 0 : · ` !(A) ⊗ !(B) ⊗ !(!(B) −◦ 0) ? ? · : · ` !(A) ⊗ !(B) ⊗ !(!(B) −◦ 0) −◦ !(B) ⊗ !(!(B) −◦ 0) · : · ` !(B) ⊗ !(!(B) −◦ 0) −◦ !(A) ⊗ !(B) ⊗ !(!(B) −◦ 0) ! ! · : · ⇒ !(!(A) ⊗ !(B) ⊗ !(!(B) −◦ 0) −◦ !(B) ⊗ !(!(B) −◦ 0)) · : · ⇒ !(!(B) ⊗ !(!(B) −◦ 0) −◦ !(A) ⊗ !(B) ⊗ !(!(B) −◦ 0)) ⊗ · : · ⇒ !(!(A) ⊗ !(B) ⊗ !(!(B) −◦ 0) −◦ !(B) ⊗ !(!(B) −◦ 0)) ⊗ !(!(B) ⊗ !(!(B) −◦ 0) −◦ !(A) ⊗ !(B) ⊗ !(!(B) −◦ 0)) DR · : · ` !(!(A) ⊗ !(B) ⊗ !(!(B) −◦ 0) −◦ !(B) ⊗ !(!(B) −◦ 0)) ⊗ !(!(B) ⊗ !(!(B) −◦ 0) −◦ !(A) ⊗ !(B) ⊗ !(!(B) −◦ 0))

0/1 focused decoration (875ms) I B, !(A), !(B), !(!(B) & !(!(B) −◦ !(0))), !(!(B) −◦ !(0)), !(B) −◦ !(0) : · ⇒ B ? DR B, !(A), !(B), !(!(B) & !(!(B) −◦ !(0))), !(!(B) −◦ !(0)), !(B) −◦ !(0) : · ` B B, !(A), !(B), !(!(B) & !(!(B) −◦ !(0))), !(!(B) −◦ !(0)), !(B) −◦ !(0) : !(0) ` !(B & !(!(B) −◦ 0)) RL ! B, !(A), !(B), !(!(B) & !(!(B) −◦ !(0))), !(!(B) −◦ !(0)), !(B) −◦ !(0) : · ⇒ !(B) B, !(A), !(B), !(!(B) & !(!(B) −◦ !(0))), !(!(B) −◦ !(0)), !(B) −◦ !(0) : · [!(0)] ⇐ !(B & !(!(B) −◦ 0)) −◦ B, !(A), !(B), !(!(B) & !(!(B) −◦ !(0))), !(!(B) −◦ !(0)), !(B) −◦ !(0) : · [!(B) −◦ !(0)] ⇐ !(B & !(!(B) −◦ 0)) DC B, !(A), !(B), !(!(B) & !(!(B) −◦ !(0))), !(!(B) −◦ !(0)), !(B) −◦ !(0) : · ` !(B & !(!(B) −◦ 0)) ? B, !(A), !(B), !(!(B) & !(!(B) −◦ !(0))), !(!(B) −◦ !(0)) : !(!(B) −◦ !(0)) ` !(B & !(!(B) −◦ 0)) RL B, !(A), !(B), !(!(B) & !(!(B) −◦ !(0))), !(!(B) −◦ !(0)) : · [!(!(B) −◦ !(0))] ⇐ !(B & !(!(B) −◦ 0)) DC B, !(A), !(B), !(!(B) & !(!(B) −◦ !(0))), !(!(B) −◦ !(0)) : · ` !(B & !(!(B) −◦ 0)) ? !(A), !(B), !(!(B) & !(!(B) −◦ !(0))), !(!(B) −◦ !(0)) : !(B) ` !(B & !(!(B) −◦ 0)) RL !(A), !(B), !(!(B) & !(!(B) −◦ !(0))), !(!(B) −◦ !(0)) : · [!(B)] ⇐ !(B & !(!(B) −◦ 0)) DC !(A), !(B), !(!(B) & !(!(B) −◦ !(0))), !(!(B) −◦ !(0)) : · ` !(B & !(!(B) −◦ 0)) ? !(A), !(!(B) & !(!(B) −◦ !(0))) : !(!(B) & !(!(B) −◦ !(0))) ` !(B & !(!(B) −◦ 0)) RL !(A), !(!(B) & !(!(B) −◦ !(0))) : · [!(!(B) & !(!(B) −◦ !(0)))] ⇐ !(B & !(!(B) −◦ 0)) DC !(A), !(!(B) & !(!(B) −◦ !(0))) : · ` !(B & !(!(B) −◦ 0)) ? · : · ` !(!(A) & !(!(B) & !(!(B) −◦ !(0)))) −◦ !(B & !(!(B) −◦ 0)) ! · : · ⇒ !(!(!(A) & !(!(B) & !(!(B) −◦ !(0)))) −◦ !(B & !(!(B) −◦ 0))) DR · : · ` !(!(!(A) & !(!(B) & !(!(B) −◦ !(0)))) −◦ !(B & !(!(B) −◦ 0)))

I B, !(B), !(!(B) −◦ !(0)), !(B) −◦ !(0) : · ⇒ B ? DR B, !(B), !(!(B) −◦ !(0)), !(B) −◦ !(0) : · ` B B, !(B), !(!(B) −◦ !(0)), !(B) −◦ !(0) : !(0) ` !(A & !(B & !(!(B) −◦ 0))) RL ! B, !(B), !(!(B) −◦ !(0)), !(B) −◦ !(0) : · ⇒ !(B) B, !(B), !(!(B) −◦ !(0)), !(B) −◦ !(0) : · [!(0)] ⇐ !(A & !(B & !(!(B) −◦ 0))) −◦ B, !(B), !(!(B) −◦ !(0)), !(B) −◦ !(0) : · [!(B) −◦ !(0)] ⇐ !(A & !(B & !(!(B) −◦ 0))) DC B, !(B), !(!(B) −◦ !(0)), !(B) −◦ !(0) : · ` !(A & !(B & !(!(B) −◦ 0))) ? B, !(B), !(!(B) −◦ !(0)) : !(!(B) −◦ !(0)) ` !(A & !(B & !(!(B) −◦ 0))) RL B, !(B), !(!(B) −◦ !(0)) : · [!(!(B) −◦ !(0))] ⇐ !(A & !(B & !(!(B) −◦ 0))) DC B, !(B), !(!(B) −◦ !(0)) : · ` !(A & !(B & !(!(B) −◦ 0))) ? !(B), !(!(B) −◦ !(0)) : !(B) ` !(A & !(B & !(!(B) −◦ 0))) RL !(B), !(!(B) −◦ !(0)) : · [!(B)] ⇐ !(A & !(B & !(!(B) −◦ 0))) DC !(B), !(!(B) −◦ !(0)) : · ` !(A & !(B & !(!(B) −◦ 0))) ? · : · ` !(!(B) & !(!(B) −◦ !(0))) −◦ !(A & !(B & !(!(B) −◦ 0))) ! · : · ⇒ !(!(!(B) & !(!(B) −◦ !(0))) −◦ !(A & !(B & !(!(B) −◦ 0)))) DR · : · ` !(!(!(B) & !(!(B) −◦ !(0))) −◦ !(A & !(B & !(!(B) −◦ 0)))) ? · : · ` !(!(!(A) & !(!(B) & !(!(B) −◦ !(0)))) −◦ !(B & !(!(B) −◦ 0))) & !(!(!(B) & !(!(B) −◦ !(0))) −◦ !(A & !(B & !(!(B) −◦ 0)))) ! · : · ⇒ !(!(!(!(A) & !(!(B) & !(!(B) −◦ !(0)))) −◦ !(B & !(!(B) −◦ 0))) & !(!(!(B) & !(!(B) −◦ !(0))) −◦ !(A & !(B & !(!(B) −◦ 0))))) DR · : · ` !(!(!(!(A) & !(!(B) & !(!(B) −◦ !(0)))) −◦ !(B & !(!(B) −◦ 0))) & !(!(!(B) & !(!(B) −◦ !(0))) −◦ !(A & !(B & !(!(B) −◦ 0)))))

⊥ I ·: B⇒B · : · [⊥] ⇐⊥ −◦ · : B [B−◦ ⊥] ⇐⊥ DL · : B, B−◦ ⊥`⊥ RL I ·: A⇒A · : B−◦ ⊥ [B] ⇐⊥ −◦ · : A, B−◦ ⊥ [A −◦ B] ⇐⊥ DL · : A, A −◦ B, B−◦ ⊥`⊥ ? · : · ` A −◦ B −◦ A ⊗ B−◦ ⊥ −◦ ⊥

Girard’s Translation (146ms) I I A, !(A) −◦ B, !(B) −◦ 0 : · ⇒ A A, !(A) −◦ B, !(B) −◦ 0 : B ⇒ B DR DR A, !(A) −◦ B, !(B) −◦ 0 : · ` A A, !(A) −◦ B, !(B) −◦ 0 : B ` B RL ! A, !(A) −◦ B, !(B) −◦ 0 : · ⇒ !(A) A, !(A) −◦ B, !(B) −◦ 0 : · [B] ⇐ B −◦ A, !(A) −◦ B, !(B) −◦ 0 : · [!(A) −◦ B] ⇐ B ? DC A, !(A) −◦ B, !(B) −◦ 0 : · ` B A, !(A) −◦ B, !(B) −◦ 0 : 0 ` 0 RL ! A, !(A) −◦ B, !(B) −◦ 0 : · ⇒ !(B) A, !(A) −◦ B, !(B) −◦ 0 : · [0] ⇐ 0 −◦ A, !(A) −◦ B, !(B) −◦ 0 : · [!(B) −◦ 0] ⇐ 0 DC A, !(A) −◦ B, !(B) −◦ 0 : · ` 0 ? · : · ` !(!(A) −◦ B) −◦ !(A & !(B) −◦ 0) −◦ 0

Positive decoration (181ms) I A, B, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ 0 : · ⇒ B ? DR A, B, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ 0 : · ` B A, B, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ 0 : 0 ` 0 RL ! A, B, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ 0 : · ⇒ !(B) A, B, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ 0 : · [0] ⇐ 0 −◦ A, B, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ 0 : · [!(B) −◦ 0] ⇐ 0 D I C A, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ 0 : · ⇒ A A, B, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ 0 : · ` 0 ? DR A, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ 0 : · ` A A, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ 0 : !(B) ` 0 RL ! A, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ 0 : · ⇒ !(A) A, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ 0 : · [!(B)] ⇐ 0 −◦ A, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ 0 : · [!(A) −◦ !(B)] ⇐ 0 DC A, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ 0 : · ` 0 ? !(A) −◦ !(B) : · ` !(A) ⊗ !(!(B) −◦ 0) −◦ 0 ! !(A) −◦ !(B) : · ⇒ !(!(A) ⊗ !(!(B) −◦ 0) −◦ 0) DR !(A) −◦ !(B) : · ` !(!(A) ⊗ !(!(B) −◦ 0) −◦ 0) ? · : · ` !(!(A) −◦ !(B)) −◦ !(!(A) ⊗ !(!(B) −◦ 0) −◦ 0) ! · : · ⇒ !(!(!(A) −◦ !(B)) −◦ !(!(A) ⊗ !(!(B) −◦ 0) −◦ 0)) DR · : · ` !(!(!(A) −◦ !(B)) −◦ !(!(A) ⊗ !(!(B) −◦ 0) −◦ 0))

0/1 focused decoration (370ms) I A, B, !(A), !(!(B) −◦ !(0)), !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(0) : · ⇒ B ? DR A, B, !(A), !(!(B) −◦ !(0)), !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(0) : · ` B A, B, !(A), !(!(B) −◦ !(0)), !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(0) : !(0) ` 0 RL ! A, B, !(A), !(!(B) −◦ !(0)), !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(0) : · ⇒ !(B) A, B, !(A), !(!(B) −◦ !(0)), !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(0) : · [!(0)] ⇐ 0 −◦ A, B, !(A), !(!(B) −◦ !(0)), !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(0) : · [!(B) −◦ !(0)] ⇐ 0 DC I A, !(A), !(!(B) −◦ !(0)), !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(0) : · ⇒ A A, B, !(A), !(!(B) −◦ !(0)), !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(0) : · ` 0 ? DR A, !(A), !(!(B) −◦ !(0)), !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(0) : · ` A A, !(A), !(!(B) −◦ !(0)), !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(0) : !(B) ` 0 RL ! A, !(A), !(!(B) −◦ !(0)), !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(0) : · ⇒ !(A) A, !(A), !(!(B) −◦ !(0)), !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(0) : · [!(B)] ⇐ 0 −◦ A, !(A), !(!(B) −◦ !(0)), !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(0) : · [!(A) −◦ !(B)] ⇐ 0 DC A, !(A), !(!(B) −◦ !(0)), !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(0) : · ` 0 ? A, !(A), !(!(B) −◦ !(0)), !(A) −◦ !(B) : !(!(B) −◦ !(0)) ` 0 RL A, !(A), !(!(B) −◦ !(0)), !(A) −◦ !(B) : · [!(!(B) −◦ !(0))] ⇐ 0 DC A, !(A), !(!(B) −◦ !(0)), !(A) −◦ !(B) : · ` 0 ? !(A), !(!(B) −◦ !(0)), !(A) −◦ !(B) : !(A) ` 0 RL !(A), !(!(B) −◦ !(0)), !(A) −◦ !(B) : · [!(A)] ⇐ 0 DC !(A), !(!(B) −◦ !(0)), !(A) −◦ !(B) : · ` 0 ? !(A) −◦ !(B) : · ` !(!(A) & !(!(B) −◦ !(0))) −◦ 0 ! !(A) −◦ !(B) : · ⇒ !(!(!(A) & !(!(B) −◦ !(0))) −◦ 0) DR !(A) −◦ !(B) : · ` !(!(!(A) & !(!(B) −◦ !(0))) −◦ 0) ? · : · ` !(!(A) −◦ !(B)) −◦ !(!(!(A) & !(!(B) −◦ !(0))) −◦ 0) ! · : · ⇒ !(!(!(A) −◦ !(B)) −◦ !(!(!(A) & !(!(B) −◦ !(0))) −◦ 0)) DR · : · ` !(!(!(A) −◦ !(B)) −◦ !(!(!(A) & !(!(B) −◦ !(0))) −◦ 0))

44

Linear Logic (49) · ` (A → ¬B) ↔ (¬(A ∧ B))

LJ (66ms)

(50) · ` (¬(A ∧ B)) ↔ ((¬¬A) → ¬B)

LJ (94ms)

? ? A, B, B → ⊥ ` B A, B, ⊥ ` ⊥ ⊃L ? ? ? A, B, A → B → ⊥ ` A A, B, B → ⊥ ` ⊥ A, B, A ∧ B → ⊥ ` A ∧ B A, B, ⊥ ` ⊥ ⊃L ⊃L A, B, A → B → ⊥ ` ⊥ A, B, A ∧ B → ⊥ ` ⊥ ? · ` A → B → ⊥ → A∧B → ⊥∧A∧B → ⊥ → A → B → ⊥

Multiplicative translation (161ms) ⊥ I I I ·: B⇒B · : · [⊥] ⇐⊥ ·: B⇒B ⊗ −◦ · : A ⇒ A ⊥ I ·: A⇒A · : B [B−◦ ⊥] ⇐⊥ · : A, B ⇒ A ⊗ B · : · [⊥] ⇐⊥ −◦ −◦ · : A, B [A −◦ B−◦ ⊥] ⇐⊥ · : A, B [A ⊗ B−◦ ⊥] ⇐⊥ DL DL · : A, B, A −◦ B−◦ ⊥`⊥ · : A, B, A ⊗ B−◦ ⊥`⊥ ? ? · : · ` A −◦ B−◦ ⊥ −◦A ⊗ B−◦ ⊥ · : · ` A ⊗ B−◦ ⊥ −◦A −◦ B−◦ ⊥ R R · : · ⇒ A −◦ B−◦ ⊥ −◦A ⊗ B−◦ ⊥ R · : · ⇒ A ⊗ B−◦ ⊥ −◦A −◦ B−◦ ⊥ R ⊗ · : · ⇒ A −◦ B−◦ ⊥ −◦A ⊗ B−◦ ⊥ ⊗A ⊗ B−◦ ⊥ −◦A −◦ B−◦ ⊥ D · : · ` A −◦ B−◦ ⊥ −◦A ⊗ B−◦ ⊥ ⊗A ⊗ B−◦ ⊥ −◦A −◦ B−◦ ⊥ R

? ? ? ? A, B, A ∧ B → ⊥, A → ⊥ → ⊥ ` A ∧ B A, B, ⊥, A → ⊥ → ⊥ ` ⊥ A, B, A → ⊥, A → ⊥ → ⊥ → B → ⊥ ` A A, B, ⊥, A → ⊥ → ⊥ → B → ⊥ ` ⊥ ⊃L ⊃L A, B, A ∧ B → ⊥, A → ⊥ → ⊥ ` ⊥ A, B, A → ⊥, A → ⊥ → ⊥ → B → ⊥ ` ⊥ ? ? ? B, A ∧ B → ⊥, A → ⊥ → ⊥ ` A → ⊥ B, ⊥, A ∧ B → ⊥ ` ⊥ A, B, A → ⊥ → ⊥ → B → ⊥ ` A → ⊥ → ⊥ ⊃L B, A ∧ B → ⊥, A → ⊥ → ⊥ ` ⊥ A, B, A → ⊥ → ⊥ → B → ⊥ ` ⊥ ? · ` A∧B → ⊥ → A → ⊥ → ⊥ → B → ⊥∧A → ⊥ → ⊥ → B → ⊥ → A∧B → ⊥

? ? A, B, B → ⊥ ` B A, B, ⊥ ` ⊥ ⊃L A, B, B → ⊥ ` ⊥ ⊃L

Multiplicative translation (245ms) I I ·: A⇒A ·: B⇒B ⊗ ⊥ · : A, B ⇒ A ⊗ B · : · [⊥] ⇐⊥ −◦ · : A, B [A ⊗ B−◦ ⊥] ⇐⊥ DL · : A, B, A ⊗ B−◦ ⊥`⊥ ? · : B, A ⊗ B−◦ ⊥` A−◦ ⊥ R · : B, A ⊗ B−◦ ⊥⇒ A−◦ ⊥ R

⊥ I ·: A⇒A · : · [⊥] ⇐⊥ −◦ · : A [A−◦ ⊥] ⇐⊥ DL · : A, A−◦ ⊥`⊥ ? · : A ` A−◦ ⊥ −◦ ⊥ R · : A ⇒ A−◦ ⊥ −◦ ⊥ R

⊥ I ·: B⇒B · : · [⊥] ⇐⊥ −◦ ⊥ · : · [⊥] ⇐⊥ · : B [B−◦ ⊥] ⇐⊥ −◦ −◦ · : B, A ⊗ B−◦ ⊥ [A−◦ ⊥ −◦ ⊥] ⇐⊥ · : A, B [A−◦ ⊥ −◦ ⊥ −◦B−◦ ⊥] ⇐⊥ DL DL · : B, A ⊗ B−◦ ⊥, A−◦ ⊥ −◦ ⊥`⊥ · : A, B, A−◦ ⊥ −◦ ⊥ −◦B−◦ ⊥`⊥ ? ? · : · ` A ⊗ B−◦ ⊥ −◦A−◦ ⊥ −◦ ⊥ −◦B−◦ ⊥ · : · ` A−◦ ⊥ −◦ ⊥ −◦B−◦ ⊥ −◦A ⊗ B−◦ ⊥ R R · : · ⇒ A ⊗ B−◦ ⊥ −◦A−◦ ⊥ −◦ ⊥ −◦B−◦ ⊥ R · : · ⇒ A−◦ ⊥ −◦ ⊥ −◦B−◦ ⊥ −◦A ⊗ B−◦ ⊥ R ⊗ · : · ⇒ A ⊗ B−◦ ⊥ −◦A−◦ ⊥ −◦ ⊥ −◦B−◦ ⊥ ⊗A−◦ ⊥ −◦ ⊥ −◦B−◦ ⊥ −◦A ⊗ B−◦ ⊥ DR · : · ` A ⊗ B−◦ ⊥ −◦A−◦ ⊥ −◦ ⊥ −◦B−◦ ⊥ ⊗A−◦ ⊥ −◦ ⊥ −◦B−◦ ⊥ −◦A ⊗ B−◦ ⊥

Girard’s Translation (2618ms)

Girard’s Translation (204ms) I I I A, B, !(A) −◦ !(B) −◦ 0 : · ⇒ B A, B, !(A & B) −◦ 0 : · ⇒ A A, B, !(A & B) −◦ 0 : · ⇒ B ? DR DR DR I A, B, !(A) −◦ !(B) −◦ 0 : · ⇒ A A, B, !(A) −◦ !(B) −◦ 0 : · ` B A, B, !(A) −◦ !(B) −◦ 0 : 0 ` 0 A, B, !(A & B) −◦ 0 : · ` A A, B, !(A & B) −◦ 0 : · ` B ? ? DR RL ! A, B, !(A) −◦ !(B) −◦ 0 : · ` A A, B, !(A) −◦ !(B) −◦ 0 : · ⇒ !(B) A, B, !(A) −◦ !(B) −◦ 0 : · [0] ⇐ 0 A, B, !(A & B) −◦ 0 : · ` A & B A, B, !(A & B) −◦ 0 : 0 ` 0 RL −◦ ! ! A, B, !(A) −◦ !(B) −◦ 0 : · ⇒ !(A) A, B, !(A) −◦ !(B) −◦ 0 : · [!(B) −◦ 0] ⇐ 0 A, B, !(A & B) −◦ 0 : · ⇒ !(A & B) A, B, !(A & B) −◦ 0 : · [0] ⇐ 0 −◦ −◦ A, B, !(A) −◦ !(B) −◦ 0 : · [!(A) −◦ !(B) −◦ 0] ⇐ 0 A, B, !(A & B) −◦ 0 : · [!(A & B) −◦ 0] ⇐ 0 DC DC A, B, !(A) −◦ !(B) −◦ 0 : · ` 0 A, B, !(A & B) −◦ 0 : · ` 0 ? · : · ` !(!(A) −◦ !(B) −◦ 0) −◦ !(A & B) −◦ 0 & !(!(A & B) −◦ 0) −◦ !(A) −◦ !(B) −◦ 0

I I A, B, !(A & B) −◦ 0, !(!(A) −◦ 0) −◦ 0 : · ⇒ A A, B, !(A & B) −◦ 0, !(!(A) −◦ 0) −◦ 0 : · ⇒ B DR DR A, B, !(A & B) −◦ 0, !(!(A) −◦ 0) −◦ 0 : · ` A A, B, !(A & B) −◦ 0, !(!(A) −◦ 0) −◦ 0 : · ` B ? ? A, B, !(A & B) −◦ 0, !(!(A) −◦ 0) −◦ 0 : · ` A & B A, B, !(A & B) −◦ 0, !(!(A) −◦ 0) −◦ 0 : 0 ` 0 RL ! A, B, !(A & B) −◦ 0, !(!(A) −◦ 0) −◦ 0 : · ⇒ !(A & B) A, B, !(A & B) −◦ 0, !(!(A) −◦ 0) −◦ 0 : · [0] ⇐ 0 −◦ A, B, !(A & B) −◦ 0, !(!(A) −◦ 0) −◦ 0 : · [!(A & B) −◦ 0] ⇐ 0 DC A, B, !(A & B) −◦ 0, !(!(A) −◦ 0) −◦ 0 : · ` 0 ? B, !(A & B) −◦ 0, !(!(A) −◦ 0) −◦ 0 : · ` !(A) −◦ 0 ! B, !(A & B) −◦ 0, !(!(A) −◦ 0) −◦ 0 : · ⇒ !(!(A) −◦ 0)

I A, B, !(A) −◦ 0, !(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ !(B) −◦ 0 : · ⇒ A ? DR A, B, !(A) −◦ 0, !(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ !(B) −◦ 0 : · ` A A, B, !(A) −◦ 0, !(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ !(B) −◦ 0 : 0 ` 0 RL ! A, B, !(A) −◦ 0, !(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ !(B) −◦ 0 : · ⇒ !(A) A, B, !(A) −◦ 0, !(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ !(B) −◦ 0 : · [0] ⇐ 0 −◦ I A, B, !(A) −◦ 0, !(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ !(B) −◦ 0 : · [!(A) −◦ 0] ⇐ 0 A, B, !(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ !(B) −◦ 0 : · ⇒ B ? DC DR A, B, !(A) −◦ 0, !(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ !(B) −◦ 0 : · ` 0 A, B, !(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ !(B) −◦ 0 : · ` B A, B, !(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ !(B) −◦ 0 : 0 ` 0 ? ? RL ! B, !(A & B) −◦ 0, !(!(A) −◦ 0) −◦ 0 : 0 ` 0 A, B, !(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ !(B) −◦ 0 : · ` !(!(A) −◦ 0) −◦ 0 A, B, !(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ !(B) −◦ 0 : · ⇒ !(B) A, B, !(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ !(B) −◦ 0 : · [0] ⇐ 0 RL −◦ ! B, !(A & B) −◦ 0, !(!(A) −◦ 0) −◦ 0 : · [0] ⇐ 0 A, B, !(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ !(B) −◦ 0 : · ⇒ !(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) A, B, !(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ !(B) −◦ 0 : · [!(B) −◦ 0] ⇐ 0 −◦ −◦ B, !(A & B) −◦ 0, !(!(A) −◦ 0) −◦ 0 : · [!(!(A) −◦ 0) −◦ 0] ⇐ 0 A, B, !(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ !(B) −◦ 0 : · [!(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ !(B) −◦ 0] ⇐ 0 DC DC B, !(A & B) −◦ 0, !(!(A) −◦ 0) −◦ 0 : · ` 0 A, B, !(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ !(B) −◦ 0 : · ` 0 ? · : · ` !(!(A & B) −◦ 0) −◦ !(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ !(B) −◦ 0 & !(!(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ !(B) −◦ 0) −◦ !(A & B) −◦ 0

Positive decoration (18580ms) Positive decoration (535ms) I I A, B, !(!(A) −◦ 0) −◦ 0, !(A) ⊗ !(B) −◦ 0 : · ⇒ A A, B, !(!(A) −◦ 0) −◦ 0, !(A) ⊗ !(B) −◦ 0 : · ⇒ B DR DR A, B, !(!(A) −◦ 0) −◦ 0, !(A) ⊗ !(B) −◦ 0 : · ` A A, B, !(!(A) −◦ 0) −◦ 0, !(A) ⊗ !(B) −◦ 0 : · ` B ? ! ! A, B, !(!(A) −◦ 0) −◦ 0, !(A) ⊗ !(B) −◦ 0 : · ⇒ !(A) A, B, !(!(A) −◦ 0) −◦ 0, !(A) ⊗ !(B) −◦ 0 : · ⇒ !(B) A, B, !(!(A) −◦ 0) −◦ 0, !(A) ⊗ !(B) −◦ 0 : 0 ` 0 RL ⊗ A, B, !(!(A) −◦ 0) −◦ 0, !(A) ⊗ !(B) −◦ 0 : · ⇒ !(A) ⊗ !(B) A, B, !(!(A) −◦ 0) −◦ 0, !(A) ⊗ !(B) −◦ 0 : · [0] ⇐ 0 −◦ A, B, !(!(A) −◦ 0) −◦ 0, !(A) ⊗ !(B) −◦ 0 : · [!(A) ⊗ !(B) −◦ 0] ⇐ 0 DC A, B, !(!(A) −◦ 0) −◦ 0, !(A) ⊗ !(B) −◦ 0 : · ` 0 ? B, !(!(A) −◦ 0) −◦ 0, !(A) ⊗ !(B) −◦ 0 : · ` !(A) −◦ 0

I A, B, !(A) −◦ !(!(B) −◦ 0), !(B) −◦ 0 : · ⇒ B ? DR A, B, !(A) −◦ !(!(B) −◦ 0), !(B) −◦ 0 : · ` B A, B, !(A) −◦ !(!(B) −◦ 0), !(B) −◦ 0 : 0 ` 0 RL ! A, B, !(A) −◦ !(!(B) −◦ 0), !(B) −◦ 0 : · ⇒ !(B) A, B, !(A) −◦ !(!(B) −◦ 0), !(B) −◦ 0 : · [0] ⇐ 0 −◦ A, B, !(A) −◦ !(!(B) −◦ 0), !(B) −◦ 0 : · [!(B) −◦ 0] ⇐ 0 DC I A, B, !(A) −◦ !(!(B) −◦ 0) : · ⇒ A A, B, !(A) −◦ !(!(B) −◦ 0), !(B) −◦ 0 : · ` 0 ? DR A, B, !(A) −◦ !(!(B) −◦ 0) : · ` A A, B, !(A) −◦ !(!(B) −◦ 0) : !(!(B) −◦ 0) ` 0 RL ! A, B, !(A) −◦ !(!(B) −◦ 0) : · ⇒ !(A) A, B, !(A) −◦ !(!(B) −◦ 0) : · [!(!(B) −◦ 0)] ⇐ 0 −◦ A, B, !(A) −◦ !(!(B) −◦ 0) : · [!(A) −◦ !(!(B) −◦ 0)] ⇐ 0 DC A, B, !(A) −◦ !(!(B) −◦ 0) : · ` 0 ? !(A) −◦ !(!(B) −◦ 0) : · ` !(A) ⊗ !(B) −◦ 0 ! !(A) −◦ !(!(B) −◦ 0) : · ⇒ !(!(A) ⊗ !(B) −◦ 0) DR !(A) −◦ !(!(B) −◦ 0) : · ` !(!(A) ⊗ !(B) −◦ 0) ? · : · ` !(!(A) −◦ !(!(B) −◦ 0)) −◦ !(!(A) ⊗ !(B) −◦ 0) ! · : · ⇒ !(!(!(A) −◦ !(!(B) −◦ 0)) −◦ !(!(A) ⊗ !(B) −◦ 0))

I I A, B, !(A) ⊗ !(B) −◦ 0 : · ⇒ A A, B, !(A) ⊗ !(B) −◦ 0 : · ⇒ B DR DR A, B, !(A) ⊗ !(B) −◦ 0 : · ` A A, B, !(A) ⊗ !(B) −◦ 0 : · ` B ? ! ! A, B, !(A) ⊗ !(B) −◦ 0 : · ⇒ !(A) A, B, !(A) ⊗ !(B) −◦ 0 : · ⇒ !(B) A, B, !(A) ⊗ !(B) −◦ 0 : 0 ` 0 RL ⊗ A, B, !(A) ⊗ !(B) −◦ 0 : · ⇒ !(A) ⊗ !(B) A, B, !(A) ⊗ !(B) −◦ 0 : · [0] ⇐ 0 −◦ A, B, !(A) ⊗ !(B) −◦ 0 : · [!(A) ⊗ !(B) −◦ 0] ⇐ 0 DC A, B, !(A) ⊗ !(B) −◦ 0 : · ` 0 ? A, !(A) ⊗ !(B) −◦ 0 : · ` !(B) −◦ 0

! !(!(A) −◦ 0) −◦ 0, !(A) ⊗ !(B) −◦ 0 : · ⇒ !(!(B) −◦ 0) DR !(!(A) −◦ 0) −◦ 0, !(A) ⊗ !(B) −◦ 0 : · ` !(!(B) −◦ 0) ? !(A) ⊗ !(B) −◦ 0 : · ` !(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ !(!(B) −◦ 0) ! !(A) ⊗ !(B) −◦ 0 : · ⇒ !(!(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ !(!(B) −◦ 0)) DR !(A) ⊗ !(B) −◦ 0 : · ` !(!(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ !(!(B) −◦ 0)) ? · : · ` !(!(A) ⊗ !(B) −◦ 0) −◦ !(!(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ !(!(B) −◦ 0)) ! · : · ⇒ !(!(!(A) ⊗ !(B) −◦ 0) −◦ !(!(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ !(!(B) −◦ 0)))

I A, B, !(A) −◦ 0, !(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ !(!(B) −◦ 0) : · ⇒ A ? DR A, B, !(A) −◦ 0, !(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ !(!(B) −◦ 0) : · ` A A, B, !(A) −◦ 0, !(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ !(!(B) −◦ 0) : 0 ` 0 RL ! A, B, !(A) −◦ 0, !(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ !(!(B) −◦ 0) : · ⇒ !(A) A, B, !(A) −◦ 0, !(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ !(!(B) −◦ 0) : · [0] ⇐ 0 −◦ A, B, !(A) −◦ 0, !(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ !(!(B) −◦ 0) : · [!(A) −◦ 0] ⇐ 0 DC A, B, !(A) −◦ 0, !(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ !(!(B) −◦ 0) : · ` 0 ? A, B, !(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ !(!(B) −◦ 0) : · ` !(!(A) −◦ 0) −◦ 0 ! A, B, !(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ !(!(B) −◦ 0) : · ⇒ !(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0)

I A, B, !(B) −◦ 0, !(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ !(!(B) −◦ 0) : · ⇒ B ? DR A, B, !(B) −◦ 0, !(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ !(!(B) −◦ 0) : · ` B A, B, !(B) −◦ 0, !(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ !(!(B) −◦ 0) : 0 ` 0 RL ! A, B, !(B) −◦ 0, !(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ !(!(B) −◦ 0) : · ⇒ !(B) A, B, !(B) −◦ 0, !(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ !(!(B) −◦ 0) : · [0] ⇐ 0 −◦ A, B, !(B) −◦ 0, !(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ !(!(B) −◦ 0) : · [!(B) −◦ 0] ⇐ 0 DC A, B, !(B) −◦ 0, !(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ !(!(B) −◦ 0) : · ` 0 ? A, B, !(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ !(!(B) −◦ 0) : !(!(B) −◦ 0) ` 0 RL A, B, !(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ !(!(B) −◦ 0) : · [!(!(B) −◦ 0)] ⇐ 0 −◦ A, B, !(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ !(!(B) −◦ 0) : · [!(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ !(!(B) −◦ 0)] ⇐ 0 DC A, B, !(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ !(!(B) −◦ 0) : · ` 0 ? !(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ !(!(B) −◦ 0) : · ` !(A) ⊗ !(B) −◦ 0

! !(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ !(!(B) −◦ 0) : · ⇒ !(!(A) ⊗ !(B) −◦ 0) DR !(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ !(!(B) −◦ 0) : · ` !(!(A) ⊗ !(B) −◦ 0) ? · : · ` !(!(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ !(!(B) −◦ 0)) −◦ !(!(A) ⊗ !(B) −◦ 0) ! · : · ⇒ !(!(!(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ !(!(B) −◦ 0)) −◦ !(!(A) ⊗ !(B) −◦ 0)) ⊗ · : · ⇒ !(!(!(A) ⊗ !(B) −◦ 0) −◦ !(!(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ !(!(B) −◦ 0))) ⊗ !(!(!(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ !(!(B) −◦ 0)) −◦ !(!(A) ⊗ !(B) −◦ 0)) DR · : · ` !(!(!(A) ⊗ !(B) −◦ 0) −◦ !(!(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ !(!(B) −◦ 0))) ⊗ !(!(!(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ !(!(B) −◦ 0)) −◦ !(!(A) ⊗ !(B) −◦ 0))

! A, !(A) ⊗ !(B) −◦ 0 : · ⇒ !(!(B) −◦ 0) DR A, !(A) ⊗ !(B) −◦ 0 : · ` !(!(B) −◦ 0) ? !(A) ⊗ !(B) −◦ 0 : · ` !(A) −◦ !(!(B) −◦ 0) ! !(A) ⊗ !(B) −◦ 0 : · ⇒ !(!(A) −◦ !(!(B) −◦ 0)) DR !(A) ⊗ !(B) −◦ 0 : · ` !(!(A) −◦ !(!(B) −◦ 0))

? · : · ` !(!(A) ⊗ !(B) −◦ 0) −◦ !(!(A) −◦ !(!(B) −◦ 0)) ! · : · ⇒ !(!(!(A) ⊗ !(B) −◦ 0) −◦ !(!(A) −◦ !(!(B) −◦ 0))) ⊗ · : · ⇒ !(!(!(A) −◦ !(!(B) −◦ 0)) −◦ !(!(A) ⊗ !(B) −◦ 0)) ⊗ !(!(!(A) ⊗ !(B) −◦ 0) −◦ !(!(A) −◦ !(!(B) −◦ 0))) DR · : · ` !(!(!(A) −◦ !(!(B) −◦ 0)) −◦ !(!(A) ⊗ !(B) −◦ 0)) ⊗ !(!(!(A) ⊗ !(B) −◦ 0) −◦ !(!(A) −◦ !(!(B) −◦ 0)))

0/1 focused decoration (46292ms) I A, B, !(A), !(B), !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(0)), !(B) −◦ !(0) : · ⇒ B ? DR A, B, !(A), !(B), !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(0)), !(B) −◦ !(0) : · ` B A, B, !(A), !(B), !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(0)), !(B) −◦ !(0) : !(0) ` 0 RL ! A, B, !(A), !(B), !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(0)), !(B) −◦ !(0) : · ⇒ !(B) A, B, !(A), !(B), !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(0)), !(B) −◦ !(0) : · [!(0)] ⇐ 0 −◦ A, B, !(A), !(B), !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(0)), !(B) −◦ !(0) : · [!(B) −◦ !(0)] ⇐ 0 DC I A, B, !(A), !(B), !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(0)) : · ⇒ A A, B, !(A), !(B), !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(0)), !(B) −◦ !(0) : · ` 0 ? DR A, B, !(A), !(B), !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(0)) : · ` A A, B, !(A), !(B), !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(0)) : !(!(B) −◦ !(0)) ` 0 RL ! A, B, !(A), !(B), !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(0)) : · ⇒ !(A) A, B, !(A), !(B), !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(0)) : · [!(!(B) −◦ !(0))] ⇐ 0 −◦ A, B, !(A), !(B), !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(0)) : · [!(A) −◦ !(!(B) −◦ !(0))] ⇐ 0 DC A, B, !(A), !(B), !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(0)) : · ` 0 ? A, !(A), !(B), !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(0)) : !(B) ` 0 RL A, !(A), !(B), !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(0)) : · [!(B)] ⇐ 0 DC A, !(A), !(B), !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(0)) : · ` 0 ? !(A), !(B), !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(0)) : !(A) ` 0 RL !(A), !(B), !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(0)) : · [!(A)] ⇐ 0 DC !(A), !(B), !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(0)) : · ` 0 ? !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(0)) : · ` !(!(A) & !(B)) −◦ 0 ! !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(0)) : · ⇒ !(!(!(A) & !(B)) −◦ 0) DR !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(0)) : · ` !(!(!(A) & !(B)) −◦ 0) ? · : · ` !(!(A) −◦ !(!(B) −◦ !(0))) −◦ !(!(!(A) & !(B)) −◦ 0) ! · : · ⇒ !(!(!(A) −◦ !(!(B) −◦ !(0))) −◦ !(!(!(A) & !(B)) −◦ 0)) DR · : · ` !(!(!(A) −◦ !(!(B) −◦ !(0))) −◦ !(!(!(A) & !(B)) −◦ 0))

? B, !(!(A) −◦ 0) −◦ 0, !(A) ⊗ !(B) −◦ 0 : 0 ` 0 RL ! B, !(!(A) −◦ 0) −◦ 0, !(A) ⊗ !(B) −◦ 0 : · ⇒ !(!(A) −◦ 0) B, !(!(A) −◦ 0) −◦ 0, !(A) ⊗ !(B) −◦ 0 : · [0] ⇐ 0 −◦ B, !(!(A) −◦ 0) −◦ 0, !(A) ⊗ !(B) −◦ 0 : · [!(!(A) −◦ 0) −◦ 0] ⇐ 0 DC B, !(!(A) −◦ 0) −◦ 0, !(A) ⊗ !(B) −◦ 0 : · ` 0 ? !(!(A) −◦ 0) −◦ 0, !(A) ⊗ !(B) −◦ 0 : · ` !(B) −◦ 0

I I A, B, !(!(A & B)) −◦ !(0) : · ⇒ A A, B, !(!(A & B)) −◦ !(0) : · ⇒ B DR DR A, B, !(!(A & B)) −◦ !(0) : · ` A A, B, !(!(A & B)) −◦ !(0) : · ` B ? A, B, !(!(A & B)) −◦ !(0) : · ` A & B ! A, B, !(!(A & B)) −◦ !(0) : · ⇒ !(A & B) ? DR A, B, !(!(A & B)) −◦ !(0) : · ` !(A & B) A, B, !(!(A & B)) −◦ !(0) : !(0) ` 0 RL ! A, B, !(!(A & B)) −◦ !(0) : · ⇒ !(!(A & B)) A, B, !(!(A & B)) −◦ !(0) : · [!(0)] ⇐ 0 −◦ A, B, !(!(A & B)) −◦ !(0) : · [!(!(A & B)) −◦ !(0)] ⇐ 0 DC A, B, !(!(A & B)) −◦ !(0) : · ` 0 ? A, !(!(A & B)) −◦ !(0) : · ` !(B) −◦ 0

· : · ` !(!(!(A) −◦ !(!(B) −◦ !(0))) −◦ !(!(!(A) & !(B)) −◦ 0)) & !(!(!(!(A & B)) −◦ !(0)) −◦ !(!(A) −◦ !(!(B) −◦ 0))) ! · : · ⇒ !(!(!(!(A) −◦ !(!(B) −◦ !(0))) −◦ !(!(!(A) & !(B)) −◦ 0)) & !(!(!(!(A & B)) −◦ !(0)) −◦ !(!(A) −◦ !(!(B) −◦ 0)))) DR · : · ` !(!(!(!(A) −◦ !(!(B) −◦ !(0))) −◦ !(!(!(A) & !(B)) −◦ 0)) & !(!(!(!(A & B)) −◦ !(0)) −◦ !(!(A) −◦ !(!(B) −◦ 0))))

! A, !(!(A & B)) −◦ !(0) : · ⇒ !(!(B) −◦ 0) DR A, !(!(A & B)) −◦ !(0) : · ` !(!(B) −◦ 0) ? !(!(A & B)) −◦ !(0) : · ` !(A) −◦ !(!(B) −◦ 0) ! !(!(A & B)) −◦ !(0) : · ⇒ !(!(A) −◦ !(!(B) −◦ 0)) DR !(!(A & B)) −◦ !(0) : · ` !(!(A) −◦ !(!(B) −◦ 0)) ? · : · ` !(!(!(A & B)) −◦ !(0)) −◦ !(!(A) −◦ !(!(B) −◦ 0)) ! · : · ⇒ !(!(!(!(A & B)) −◦ !(0)) −◦ !(!(A) −◦ !(!(B) −◦ 0))) DR · : · ` !(!(!(!(A & B)) −◦ !(0)) −◦ !(!(A) −◦ !(!(B) −◦ 0))) ?

0/1 focused decoration (Timeout) Timeout

C. Olarte, V. de Paiva, E. Pimentel & G. Reis (51) ¬¬B → B ` (¬¬A → B) ↔ (A → B)

LJ (882ms) ? ? A, A → ⊥, A → ⊥ → ⊥ → B, B → ⊥ → ⊥ → B ` A A, ⊥, A → ⊥ → ⊥ → B, B → ⊥ → ⊥ → B ` ⊥ ⊃L A, A → ⊥, A → ⊥ → ⊥ → B, B → ⊥ → ⊥ → B ` ⊥ ? A, A → ⊥ → ⊥ → B, B → ⊥ → ⊥ → B ` A → ⊥ → ⊥ A, A → ⊥ → ⊥ → B, B → ⊥ → ⊥ → B ` B

(52) ¬¬B → B ` (A → B) ↔ ¬(A ∧ ¬B)

LJ (112ms) ? ? A, B, B → ⊥, A → ⊥ → ⊥, B → ⊥ → ⊥ → B ` B A, B, ⊥, A → ⊥ → ⊥, B → ⊥ → ⊥ → B ` ⊥ ⊃L ? A, A → B, B → ⊥, A → ⊥ → ⊥, B → ⊥ → ⊥ → B ` A A, B, B → ⊥, A → ⊥ → ⊥, B → ⊥ → ⊥ → B ` ⊥ ⊃L A, A → B, B → ⊥, A → ⊥ → ⊥, B → ⊥ → ⊥ → B ` ⊥ ? A → B, B → ⊥, A → ⊥ → ⊥, B → ⊥ → ⊥ → B ` A → ⊥ A, B, B → ⊥ → ⊥ → B ` B

? ⊃L B → ⊥ → ⊥ → B ` A → ⊥ → ⊥ → B → A → B∧A → B → A → ⊥ → ⊥ → B

? ⊥, A → B, B → ⊥, B → ⊥ → ⊥ → B ` ⊥ ⊃L A → B, B → ⊥, A → ⊥ → ⊥, B → ⊥ → ⊥ → B ` ⊥ ? A → B, A → ⊥ → ⊥, B → ⊥ → ⊥ → B ` B → ⊥ → ⊥ A → B, A → ⊥ → ⊥, B → ⊥ → ⊥ → B ` B ?

B, A → B, A → ⊥ → ⊥ ` B

? ⊃L

Multiplicative translation (295ms) ⊥ I ·: B⇒B · : · [⊥] ⇐⊥ −◦ · : B [B−◦ ⊥] ⇐⊥ DL · : B, B−◦ ⊥`⊥ R L I ·: A⇒A · : B−◦ ⊥ [B] ⇐⊥ −◦ · : A, B−◦ ⊥ [A −◦ B] ⇐⊥ DL · : A, A −◦ B, B−◦ ⊥`⊥ ? · : A −◦ B, B−◦ ⊥` A−◦ ⊥ R ⊥ ⊥ I · : A −◦ B, B−◦ ⊥⇒ A−◦ ⊥ R · : · [⊥] ⇐⊥ ·: A⇒A · : · [⊥] ⇐⊥ −◦ −◦ · : A −◦ B, B−◦ ⊥ [A−◦ ⊥ −◦ ⊥] ⇐⊥ · : A [A−◦ ⊥] ⇐⊥ DL DL I I · : A −◦ B, B−◦ ⊥, A−◦ ⊥ −◦ ⊥`⊥ · : A, A−◦ ⊥`⊥ ·: B⇒B D ·: B⇒B D ? ? R R · : A −◦ B, A−◦ ⊥ −◦ ⊥` B−◦ ⊥ −◦ ⊥ · : A ` A−◦ ⊥ −◦ ⊥ ·: B`B R ·: B`B R R R L L · : A ⇒ A−◦ ⊥ −◦ ⊥ R · : · [B] ⇐ B · : A −◦ B, A−◦ ⊥ −◦ ⊥⇒ B−◦ ⊥ −◦ ⊥ R · : · [B] ⇐ B −◦ −◦ · : A [A−◦ ⊥ −◦ ⊥ −◦B] ⇐ B · : A −◦ B, A−◦ ⊥ −◦ ⊥ [B−◦ ⊥ −◦ ⊥ −◦B] ⇐ B DL DL · : A, A−◦ ⊥ −◦ ⊥ −◦B ` B · : A −◦ B, A−◦ ⊥ −◦ ⊥, B−◦ ⊥ −◦ ⊥ −◦B ` B ? ? · : · ` A−◦ ⊥ −◦ ⊥ −◦B −◦ A −◦ B · : B−◦ ⊥ −◦ ⊥ −◦B ` A −◦ B −◦ A−◦ ⊥ −◦ ⊥ −◦B R R · : · ⇒ A−◦ ⊥ −◦ ⊥ −◦B −◦ A −◦ B R · : B−◦ ⊥ −◦ ⊥ −◦B ⇒ A −◦ B −◦ A−◦ ⊥ −◦ ⊥ −◦B R ⊗ · : B−◦ ⊥ −◦ ⊥ −◦B ⇒ A−◦ ⊥ −◦ ⊥ −◦B −◦ A −◦ B ⊗ A −◦ B −◦ A−◦ ⊥ −◦ ⊥ −◦B D · : B−◦ ⊥ −◦ ⊥ −◦B ` A−◦ ⊥ −◦ ⊥ −◦B −◦ A −◦ B ⊗ A −◦ B −◦ A−◦ ⊥ −◦ ⊥ −◦B R

Girard’s Translation (Timeout) Timeout

Positive decoration (Timeout) Timeout

0/1 focused decoration (Timeout) Timeout

45

? ? A, B, B → ⊥, A ∧ B → ⊥ → ⊥, B → ⊥ → ⊥ → B ` B A, B, ⊥, A ∧ B → ⊥ → ⊥, B → ⊥ → ⊥ → B ` ⊥ ⊃L A, B, B → ⊥, A ∧ B → ⊥ → ⊥, B → ⊥ → ⊥ → B ` ⊥ ? ? A, B → ⊥, A ∧ B → ⊥ → ⊥, B → ⊥ → ⊥ → B ` A ∧ B → ⊥ A, ⊥, B → ⊥, B → ⊥ → ⊥ → B ` ⊥ ⊃L ? ? A, B, B → ⊥, B → ⊥ → ⊥ → B ` B A, B, ⊥, B → ⊥ → ⊥ → B ` ⊥ A, B → ⊥, A ∧ B → ⊥ → ⊥, B → ⊥ → ⊥ → B ` ⊥ ⊃L ? ? A, A → B, B → ⊥, B → ⊥ → ⊥ → B ` A A, B, B → ⊥, B → ⊥ → ⊥ → B ` ⊥ A, A ∧ B → ⊥ → ⊥, B → ⊥ → ⊥ → B ` B → ⊥ → ⊥ ⊃L A, A → B, B → ⊥, B → ⊥ → ⊥ → B ` ⊥ A, A ∧ B → ⊥ → ⊥, B → ⊥ → ⊥ → B ` B ? B → ⊥ → ⊥ → B ` A → B → A∧B → ⊥ → ⊥∧A∧B → ⊥ → ⊥ → A → B

A, B, A ∧ B → ⊥ → ⊥ ` B

? ⊃L

Multiplicative translation (257ms) ⊥ I ·: B⇒B · : · [⊥] ⇐⊥ −◦ · : B [B−◦ ⊥] ⇐⊥ DL · : B, B−◦ ⊥`⊥ ? · : B−◦ ⊥` B−◦ ⊥ R I ·: A⇒A · : B−◦ ⊥⇒ B−◦ ⊥ R ⊗ ⊥ · : A, B−◦ ⊥⇒ A ⊗ B−◦ ⊥ · : · [⊥] ⇐⊥ −◦ · : A, B−◦ ⊥ [A ⊗ B−◦ ⊥ −◦ ⊥] ⇐⊥ DL · : A, B−◦ ⊥, A ⊗ B−◦ ⊥ −◦ ⊥`⊥ ? · : A, A ⊗ B−◦ ⊥ −◦ ⊥` B−◦ ⊥ −◦ ⊥ R · : A, A ⊗ B−◦ ⊥ −◦ ⊥⇒ B−◦ ⊥ −◦ ⊥ R

⊥ I ·: B⇒B · : · [⊥] ⇐⊥ −◦ I · : B [B−◦ ⊥] ⇐⊥ ·: B⇒B D DL R · : B, B−◦ ⊥`⊥ ·: B`B R RL L I ·: A⇒A · : B−◦ ⊥ [B] ⇐⊥ · : · [B] ⇐ B −◦ −◦ · : A, B−◦ ⊥ [A −◦ B] ⇐⊥ · : A, A ⊗ B−◦ ⊥ −◦ ⊥ [B−◦ ⊥ −◦ ⊥ −◦B] ⇐ B DL DL · : A, A −◦ B, B−◦ ⊥`⊥ · : A, A ⊗ B−◦ ⊥ −◦ ⊥, B−◦ ⊥ −◦ ⊥ −◦B ` B ? ? · : · ` A −◦ B −◦ A ⊗ B−◦ ⊥ −◦ ⊥ · : B−◦ ⊥ −◦ ⊥ −◦B ` A ⊗ B−◦ ⊥ −◦ ⊥ −◦A −◦ B R R · : · ⇒ A −◦ B −◦ A ⊗ B−◦ ⊥ −◦ ⊥ R · : B−◦ ⊥ −◦ ⊥ −◦B ⇒ A ⊗ B−◦ ⊥ −◦ ⊥ −◦A −◦ B R ⊗ · : B−◦ ⊥ −◦ ⊥ −◦B ⇒ A −◦ B −◦ A ⊗ B−◦ ⊥ −◦ ⊥ ⊗A ⊗ B−◦ ⊥ −◦ ⊥ −◦A −◦ B D · : B−◦ ⊥ −◦ ⊥ −◦B ` A −◦ B −◦ A ⊗ B−◦ ⊥ −◦ ⊥ ⊗A ⊗ B−◦ ⊥ −◦ ⊥ −◦A −◦ B R

Girard’s Translation (Timeout) Timeout

Positive decoration (Timeout) Timeout

0/1 focused decoration (Timeout) Timeout

46

Linear Logic (53) · ` (¬¬A → B) → ¬(A ∧ ¬B)

LJ (67ms)

(54) · ` A ∧ B → ¬(A → ¬B)

LJ (49ms)

? ? A, A → ⊥, B → ⊥, A → ⊥ → ⊥ → B ` A A, ⊥, B → ⊥, A → ⊥ → ⊥ → B ` ⊥ ⊃L A, A → ⊥, B → ⊥, A → ⊥ → ⊥ → B ` ⊥ ? ? A, B → ⊥, A → ⊥ → ⊥ → B ` A → ⊥ → ⊥ A, B, B → ⊥ ` B ⊃L ? A, B → ⊥, A → ⊥ → ⊥ → B ` B A, ⊥, A → ⊥ → ⊥ → B ` ⊥ ⊃L A, B → ⊥, A → ⊥ → ⊥ → B ` ⊥ ? · ` A → ⊥ → ⊥ → B → A∧B → ⊥ → ⊥

? ? A, B, B → ⊥ ` B A, B, ⊥ ` ⊥ ⊃L ? A, B, A → B → ⊥ ` A A, B, B → ⊥ ` ⊥ ⊃L A, B, A → B → ⊥ ` ⊥ ? · ` A∧B → A → B → ⊥ → ⊥

Multiplicative translation (126ms) ⊥ I ·: A⇒A · : · [⊥] ⇐⊥ −◦ · : B ⇒ B I · : · [⊥] ⇐⊥ ⊥ · : A [A−◦ ⊥] ⇐⊥ −◦ DL · : B [B−◦ ⊥] ⇐⊥ · : A, A−◦ ⊥`⊥ DL ? · : B, B−◦ ⊥`⊥ · : A ` A−◦ ⊥ −◦ ⊥ RL R · : A ⇒ A−◦ ⊥ −◦ ⊥ R · : B−◦ ⊥ [B] ⇐⊥ −◦ · : A, B−◦ ⊥ [A−◦ ⊥ −◦ ⊥ −◦B] ⇐⊥ DL · : A, B−◦ ⊥, A−◦ ⊥ −◦ ⊥ −◦B `⊥ ? · : · ` A−◦ ⊥ −◦ ⊥ −◦B −◦ A ⊗ B−◦ ⊥ −◦ ⊥

Girard’s Translation (255ms) I A, !(A) −◦ 0, !(B) −◦ 0, !(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ B : · ⇒ A ? DR A, !(A) −◦ 0, !(B) −◦ 0, !(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ B : · ` A A, !(A) −◦ 0, !(B) −◦ 0, !(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ B : 0 ` 0 RL ! A, !(A) −◦ 0, !(B) −◦ 0, !(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ B : · ⇒ !(A) A, !(A) −◦ 0, !(B) −◦ 0, !(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ B : · [0] ⇐ 0 −◦ A, !(A) −◦ 0, !(B) −◦ 0, !(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ B : · [!(A) −◦ 0] ⇐ 0 DC I A, !(A) −◦ 0, !(B) −◦ 0, !(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ B : · ` 0 A, !(B) −◦ 0, !(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ B : B ⇒ B ? DR A, !(B) −◦ 0, !(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ B : · ` !(!(A) −◦ 0) −◦ 0 A, !(B) −◦ 0, !(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ B : B ` B RL ! A, !(B) −◦ 0, !(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ B : · ⇒ !(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) A, !(B) −◦ 0, !(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ B : · [B] ⇐ B −◦ A, !(B) −◦ 0, !(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ B : · [!(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ B] ⇐ B ? DC A, !(B) −◦ 0, !(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ B : · ` B A, !(B) −◦ 0, !(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ B : 0 ` 0 RL ! A, !(B) −◦ 0, !(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ B : · ⇒ !(B) A, !(B) −◦ 0, !(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ B : · [0] ⇐ 0 −◦ A, !(B) −◦ 0, !(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ B : · [!(B) −◦ 0] ⇐ 0 DC A, !(B) −◦ 0, !(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ B : · ` 0 ? · : · ` !(!(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ B) −◦ !(A & !(B) −◦ 0) −◦ 0

Positive decoration (335ms) I A, !(A) −◦ 0, !(B) −◦ 0, !(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ !(B) : · ⇒ A ? DR A, !(A) −◦ 0, !(B) −◦ 0, !(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ !(B) : · ` A A, !(A) −◦ 0, !(B) −◦ 0, !(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ !(B) : 0 ` 0 RL ! A, !(A) −◦ 0, !(B) −◦ 0, !(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ !(B) : · ⇒ !(A) A, !(A) −◦ 0, !(B) −◦ 0, !(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ !(B) : · [0] ⇐ 0 −◦ A, !(A) −◦ 0, !(B) −◦ 0, !(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ !(B) : · [!(A) −◦ 0] ⇐ 0 DC A, !(A) −◦ 0, !(B) −◦ 0, !(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ !(B) : · ` 0 ? A, !(B) −◦ 0, !(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ !(B) : · ` !(!(A) −◦ 0) −◦ 0

I A, B, !(B) −◦ 0, !(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ !(B) : · ⇒ B DR A, B, !(B) −◦ 0, !(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ !(B) : · ` B ? A, !(B) −◦ 0, !(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ !(B) : !(B) ` B RL ! A, !(B) −◦ 0, !(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ !(B) : · ⇒ !(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) A, !(B) −◦ 0, !(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ !(B) : · [!(B)] ⇐ B −◦ A, !(B) −◦ 0, !(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ !(B) : · [!(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ !(B)] ⇐ B ? DC A, !(B) −◦ 0, !(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ !(B) : · ` B A, !(B) −◦ 0, !(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ !(B) : 0 ` 0 RL ! A, !(B) −◦ 0, !(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ !(B) : · ⇒ !(B) A, !(B) −◦ 0, !(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ !(B) : · [0] ⇐ 0 −◦ A, !(B) −◦ 0, !(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ !(B) : · [!(B) −◦ 0] ⇐ 0 DC A, !(B) −◦ 0, !(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ !(B) : · ` 0 ? !(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ !(B) : · ` !(A) ⊗ !(!(B) −◦ 0) −◦ 0 ! !(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ !(B) : · ⇒ !(!(A) ⊗ !(!(B) −◦ 0) −◦ 0) DR !(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ !(B) : · ` !(!(A) ⊗ !(!(B) −◦ 0) −◦ 0) ? · : · ` !(!(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ !(B)) −◦ !(!(A) ⊗ !(!(B) −◦ 0) −◦ 0) ! · : · ⇒ !(!(!(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ !(B)) −◦ !(!(A) ⊗ !(!(B) −◦ 0) −◦ 0)) DR · : · ` !(!(!(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) −◦ !(B)) −◦ !(!(A) ⊗ !(!(B) −◦ 0) −◦ 0))

0/1 focused decoration (14764ms) I A, !(A), !(!(B) −◦ !(0)), !(A) −◦ !(0), !(B) −◦ !(0), !(!(!(!(A) −◦ !(0)) −◦ 0)) −◦ !(B) : · ⇒ A ? DR A, !(A), !(!(B) −◦ !(0)), !(A) −◦ !(0), !(B) −◦ !(0), !(!(!(!(A) −◦ !(0)) −◦ 0)) −◦ !(B) : · ` A A, !(A), !(!(B) −◦ !(0)), !(A) −◦ !(0), !(B) −◦ !(0), !(!(!(!(A) −◦ !(0)) −◦ 0)) −◦ !(B) : !(0) ` 0 RL ! A, !(A), !(!(B) −◦ !(0)), !(A) −◦ !(0), !(B) −◦ !(0), !(!(!(!(A) −◦ !(0)) −◦ 0)) −◦ !(B) : · ⇒ !(A) A, !(A), !(!(B) −◦ !(0)), !(A) −◦ !(0), !(B) −◦ !(0), !(!(!(!(A) −◦ !(0)) −◦ 0)) −◦ !(B) : · [!(0)] ⇐ 0 −◦ A, !(A), !(!(B) −◦ !(0)), !(A) −◦ !(0), !(B) −◦ !(0), !(!(!(!(A) −◦ !(0)) −◦ 0)) −◦ !(B) : · [!(A) −◦ !(0)] ⇐ 0 DC A, !(A), !(!(B) −◦ !(0)), !(A) −◦ !(0), !(B) −◦ !(0), !(!(!(!(A) −◦ !(0)) −◦ 0)) −◦ !(B) : · ` 0 ? A, !(A), !(!(B) −◦ !(0)), !(B) −◦ !(0), !(!(!(!(A) −◦ !(0)) −◦ 0)) −◦ !(B) : · ` !(!(A) −◦ !(0)) −◦ 0

I A, B, !(A), !(!(B) −◦ !(0)), !(B) −◦ !(0), !(!(!(!(A) −◦ !(0)) −◦ 0)) −◦ !(B) : · ⇒ B DR ! A, !(A), !(!(B) −◦ !(0)), !(B) −◦ !(0), !(!(!(!(A) −◦ !(0)) −◦ 0)) −◦ !(B) : · ⇒ !(!(!(A) −◦ !(0)) −◦ 0) A, B, !(A), !(!(B) −◦ !(0)), !(B) −◦ !(0), !(!(!(!(A) −◦ !(0)) −◦ 0)) −◦ !(B) : · ` B ? DR A, !(A), !(!(B) −◦ !(0)), !(B) −◦ !(0), !(!(!(!(A) −◦ !(0)) −◦ 0)) −◦ !(B) : · ` !(!(!(A) −◦ !(0)) −◦ 0) A, !(A), !(!(B) −◦ !(0)), !(B) −◦ !(0), !(!(!(!(A) −◦ !(0)) −◦ 0)) −◦ !(B) : !(B) ` B RL ! A, !(A), !(!(B) −◦ !(0)), !(B) −◦ !(0), !(!(!(!(A) −◦ !(0)) −◦ 0)) −◦ !(B) : · ⇒ !(!(!(!(A) −◦ !(0)) −◦ 0)) A, !(A), !(!(B) −◦ !(0)), !(B) −◦ !(0), !(!(!(!(A) −◦ !(0)) −◦ 0)) −◦ !(B) : · [!(B)] ⇐ B −◦ A, !(A), !(!(B) −◦ !(0)), !(B) −◦ !(0), !(!(!(!(A) −◦ !(0)) −◦ 0)) −◦ !(B) : · [!(!(!(!(A) −◦ !(0)) −◦ 0)) −◦ !(B)] ⇐ B DC A, !(A), !(!(B) −◦ !(0)), !(B) −◦ !(0), !(!(!(!(A) −◦ !(0)) −◦ 0)) −◦ !(B) : · ` B ! A, !(A), !(!(B) −◦ !(0)), !(B) −◦ !(0), !(!(!(!(A) −◦ !(0)) −◦ 0)) −◦ !(B) : · ⇒ !(B)

? A, !(A), !(!(B) −◦ !(0)), !(B) −◦ !(0), !(!(!(!(A) −◦ !(0)) −◦ 0)) −◦ !(B) : !(0) ` 0 RL A, !(A), !(!(B) −◦ !(0)), !(B) −◦ !(0), !(!(!(!(A) −◦ !(0)) −◦ 0)) −◦ !(B) : · [!(0)] ⇐ 0 −◦ A, !(A), !(!(B) −◦ !(0)), !(B) −◦ !(0), !(!(!(!(A) −◦ !(0)) −◦ 0)) −◦ !(B) : · [!(B) −◦ !(0)] ⇐ 0 DC A, !(A), !(!(B) −◦ !(0)), !(B) −◦ !(0), !(!(!(!(A) −◦ !(0)) −◦ 0)) −◦ !(B) : · ` 0 ? A, !(A), !(!(B) −◦ !(0)), !(!(!(!(A) −◦ !(0)) −◦ 0)) −◦ !(B) : !(!(B) −◦ !(0)) ` 0 RL A, !(A), !(!(B) −◦ !(0)), !(!(!(!(A) −◦ !(0)) −◦ 0)) −◦ !(B) : · [!(!(B) −◦ !(0))] ⇐ 0 DC A, !(A), !(!(B) −◦ !(0)), !(!(!(!(A) −◦ !(0)) −◦ 0)) −◦ !(B) : · ` 0 ? !(A), !(!(B) −◦ !(0)), !(!(!(!(A) −◦ !(0)) −◦ 0)) −◦ !(B) : !(A) ` 0 RL !(A), !(!(B) −◦ !(0)), !(!(!(!(A) −◦ !(0)) −◦ 0)) −◦ !(B) : · [!(A)] ⇐ 0 DC !(A), !(!(B) −◦ !(0)), !(!(!(!(A) −◦ !(0)) −◦ 0)) −◦ !(B) : · ` 0 ? !(!(!(!(A) −◦ !(0)) −◦ 0)) −◦ !(B) : · ` !(!(A) & !(!(B) −◦ !(0))) −◦ 0 ! !(!(!(!(A) −◦ !(0)) −◦ 0)) −◦ !(B) : · ⇒ !(!(!(A) & !(!(B) −◦ !(0))) −◦ 0) DR !(!(!(!(A) −◦ !(0)) −◦ 0)) −◦ !(B) : · ` !(!(!(A) & !(!(B) −◦ !(0))) −◦ 0) ? · : · ` !(!(!(!(!(A) −◦ !(0)) −◦ 0)) −◦ !(B)) −◦ !(!(!(A) & !(!(B) −◦ !(0))) −◦ 0) ! · : · ⇒ !(!(!(!(!(!(A) −◦ !(0)) −◦ 0)) −◦ !(B)) −◦ !(!(!(A) & !(!(B) −◦ !(0))) −◦ 0)) DR · : · ` !(!(!(!(!(!(A) −◦ !(0)) −◦ 0)) −◦ !(B)) −◦ !(!(!(A) & !(!(B) −◦ !(0))) −◦ 0))

Multiplicative translation (74ms) ⊥ I ·: B⇒B · : · [⊥] ⇐⊥ −◦ I ·: A⇒A · : B [B−◦ ⊥] ⇐⊥ −◦ · : A, B [A −◦ B−◦ ⊥] ⇐⊥ DL · : A, B, A −◦ B−◦ ⊥`⊥ ? · : · ` A ⊗ B −◦ A −◦ B−◦ ⊥ −◦ ⊥

Girard’s Translation (115ms) I A, B, !(A) −◦ !(B) −◦ 0 : · ⇒ B ? DR I A, B, !(A) −◦ !(B) −◦ 0 : · ⇒ A A, B, !(A) −◦ !(B) −◦ 0 : · ` B A, B, !(A) −◦ !(B) −◦ 0 : 0 ` 0 DR RL ! A, B, !(A) −◦ !(B) −◦ 0 : · ` A A, B, !(A) −◦ !(B) −◦ 0 : · ⇒ !(B) A, B, !(A) −◦ !(B) −◦ 0 : · [0] ⇐ 0 −◦ ! A, B, !(A) −◦ !(B) −◦ 0 : · ⇒ !(A) A, B, !(A) −◦ !(B) −◦ 0 : · [!(B) −◦ 0] ⇐ 0 −◦ A, B, !(A) −◦ !(B) −◦ 0 : · [!(A) −◦ !(B) −◦ 0] ⇐ 0 DC A, B, !(A) −◦ !(B) −◦ 0 : · ` 0 ? · : · ` !(A & B) −◦ !(!(A) −◦ !(B) −◦ 0) −◦ 0

Positive decoration (170ms) I A, B, !(A) −◦ !(!(B) −◦ 0), !(B) −◦ 0 : · ⇒ B ? DR A, B, !(A) −◦ !(!(B) −◦ 0), !(B) −◦ 0 : · ` B A, B, !(A) −◦ !(!(B) −◦ 0), !(B) −◦ 0 : 0 ` 0 RL ! A, B, !(A) −◦ !(!(B) −◦ 0), !(B) −◦ 0 : · ⇒ !(B) A, B, !(A) −◦ !(!(B) −◦ 0), !(B) −◦ 0 : · [0] ⇐ 0 −◦ A, B, !(A) −◦ !(!(B) −◦ 0), !(B) −◦ 0 : · [!(B) −◦ 0] ⇐ 0 DC I A, B, !(A) −◦ !(!(B) −◦ 0) : · ⇒ A A, B, !(A) −◦ !(!(B) −◦ 0), !(B) −◦ 0 : · ` 0 ? DR A, B, !(A) −◦ !(!(B) −◦ 0) : · ` A A, B, !(A) −◦ !(!(B) −◦ 0) : !(!(B) −◦ 0) ` 0 RL ! A, B, !(A) −◦ !(!(B) −◦ 0) : · ⇒ !(A) A, B, !(A) −◦ !(!(B) −◦ 0) : · [!(!(B) −◦ 0)] ⇐ 0 −◦ A, B, !(A) −◦ !(!(B) −◦ 0) : · [!(A) −◦ !(!(B) −◦ 0)] ⇐ 0 DC A, B, !(A) −◦ !(!(B) −◦ 0) : · ` 0 ? A, B : · ` !(!(A) −◦ !(!(B) −◦ 0)) −◦ 0 ! A, B : · ⇒ !(!(!(A) −◦ !(!(B) −◦ 0)) −◦ 0) DR A, B : · ` !(!(!(A) −◦ !(!(B) −◦ 0)) −◦ 0) ? · : · ` !(A) ⊗ !(B) −◦ !(!(!(A) −◦ !(!(B) −◦ 0)) −◦ 0) ! · : · ⇒ !(!(A) ⊗ !(B) −◦ !(!(!(A) −◦ !(!(B) −◦ 0)) −◦ 0)) DR · : · ` !(!(A) ⊗ !(B) −◦ !(!(!(A) −◦ !(!(B) −◦ 0)) −◦ 0))

0/1 focused decoration (268ms) I A, B, !(A), !(B), !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(0)), !(B) −◦ !(0) : · ⇒ B ? DR A, B, !(A), !(B), !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(0)), !(B) −◦ !(0) : · ` B A, B, !(A), !(B), !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(0)), !(B) −◦ !(0) : !(0) ` 0 RL ! A, B, !(A), !(B), !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(0)), !(B) −◦ !(0) : · ⇒ !(B) A, B, !(A), !(B), !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(0)), !(B) −◦ !(0) : · [!(0)] ⇐ 0 −◦ A, B, !(A), !(B), !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(0)), !(B) −◦ !(0) : · [!(B) −◦ !(0)] ⇐ 0 DC I A, B, !(A), !(B), !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(0)) : · ⇒ A A, B, !(A), !(B), !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(0)), !(B) −◦ !(0) : · ` 0 ? DR A, B, !(A), !(B), !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(0)) : · ` A A, B, !(A), !(B), !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(0)) : !(!(B) −◦ !(0)) ` 0 RL ! A, B, !(A), !(B), !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(0)) : · ⇒ !(A) A, B, !(A), !(B), !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(0)) : · [!(!(B) −◦ !(0))] ⇐ 0 −◦ A, B, !(A), !(B), !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(0)) : · [!(A) −◦ !(!(B) −◦ !(0))] ⇐ 0 DC A, B, !(A), !(B), !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(0)) : · ` 0 ? A, !(A), !(B), !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(0)) : !(B) ` 0 RL A, !(A), !(B), !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(0)) : · [!(B)] ⇐ 0 DC A, !(A), !(B), !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(0)) : · ` 0 ? !(A), !(B), !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(0)) : !(A) ` 0 RL !(A), !(B), !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(0)) : · [!(A)] ⇐ 0 DC !(A), !(B), !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(0)) : · ` 0 ? !(A), !(B) : · ` !(!(A) −◦ !(!(B) −◦ !(0))) −◦ 0 ! !(A), !(B) : · ⇒ !(!(!(A) −◦ !(!(B) −◦ !(0))) −◦ 0) DR !(A), !(B) : · ` !(!(!(A) −◦ !(!(B) −◦ !(0))) −◦ 0) ? · : · ` !(!(A) & !(B)) −◦ !(!(!(A) −◦ !(!(B) −◦ !(0))) −◦ 0) ! · : · ⇒ !(!(!(A) & !(B)) −◦ !(!(!(A) −◦ !(!(B) −◦ !(0))) −◦ 0)) DR · : · ` !(!(!(A) & !(B)) −◦ !(!(!(A) −◦ !(!(B) −◦ !(0))) −◦ 0))

C. Olarte, V. de Paiva, E. Pimentel & G. Reis (55) · ` (A ∧ ¬B) → ¬(A → B)

LJ (49ms)

47 (56) · ` ¬¬A ∧ B → ¬(A → ¬B)

LJ (64ms)

? ? A, B, B → ⊥ ` B A, B, ⊥ ` ⊥ ⊃L A, A → B, B → ⊥ ` A A, B, B → ⊥ ` ⊥ ⊃L A, A → B, B → ⊥ ` ⊥ ? · ` A∧B → ⊥ → A → B → ⊥ ?

? ? A, B, B → ⊥, A → ⊥ → ⊥ ` B A, B, ⊥, A → ⊥ → ⊥ ` ⊥ ⊃L ? A, B, A → B → ⊥, A → ⊥ → ⊥ ` A A, B, B → ⊥, A → ⊥ → ⊥ ` ⊥ ⊃L A, B, A → B → ⊥, A → ⊥ → ⊥ ` ⊥ ? B, A → B → ⊥, A → ⊥ → ⊥ ` A → ⊥ B, A → B → ⊥, A → ⊥ → ⊥ ` ⊥ ? · ` A → ⊥ → ⊥∧B → A → B → ⊥ → ⊥

B, ⊥, A → B → ⊥ ` ⊥

? ⊃L

Multiplicative translation (97ms) Multiplicative translation (92ms) ⊥ I ·: B⇒B · : · [⊥] ⇐⊥ −◦ · : B [B−◦ ⊥] ⇐⊥ DL · : B, B−◦ ⊥`⊥ RL I ·: A⇒A · : B−◦ ⊥ [B] ⇐⊥ −◦ · : A, B−◦ ⊥ [A −◦ B] ⇐⊥ DL · : A, A −◦ B, B−◦ ⊥`⊥ ? · : · ` A ⊗ B−◦ ⊥ −◦A −◦ B−◦ ⊥ Girard’s Translation (136ms)

⊥ I ·: B⇒B · : · [⊥] ⇐⊥ −◦ ·: A⇒A · : B [B−◦ ⊥] ⇐⊥ −◦ · : A, B [A −◦ B−◦ ⊥] ⇐⊥ DL · : A, B, A −◦ B−◦ ⊥`⊥ ? · : B, A −◦ B−◦ ⊥` A−◦ ⊥ R ⊥ · : B, A −◦ B−◦ ⊥⇒ A−◦ ⊥ R · : · [⊥] ⇐⊥ −◦ · : B, A −◦ B−◦ ⊥ [A−◦ ⊥ −◦ ⊥] ⇐⊥ DL · : B, A −◦ B−◦ ⊥, A−◦ ⊥ −◦ ⊥`⊥ ? · : · ` A−◦ ⊥ −◦ ⊥ ⊗B −◦ A −◦ B−◦ ⊥ −◦ ⊥ I

Girard’s Translation (181ms) I A, B, !(A) −◦ !(B) −◦ 0, !(!(A) −◦ 0) −◦ 0 : · ⇒ B ? DR I A, B, !(A) −◦ !(B) −◦ 0, !(!(A) −◦ 0) −◦ 0 : · ⇒ A A, B, !(A) −◦ !(B) −◦ 0, !(!(A) −◦ 0) −◦ 0 : · ` B A, B, !(A) −◦ !(B) −◦ 0, !(!(A) −◦ 0) −◦ 0 : 0 ` 0 DR RL ! A, B, !(A) −◦ !(B) −◦ 0, !(!(A) −◦ 0) −◦ 0 : · ` A A, B, !(A) −◦ !(B) −◦ 0, !(!(A) −◦ 0) −◦ 0 : · ⇒ !(B) A, B, !(A) −◦ !(B) −◦ 0, !(!(A) −◦ 0) −◦ 0 : · [0] ⇐ 0 −◦ ! A, B, !(A) −◦ !(B) −◦ 0, !(!(A) −◦ 0) −◦ 0 : · ⇒ !(A) A, B, !(A) −◦ !(B) −◦ 0, !(!(A) −◦ 0) −◦ 0 : · [!(B) −◦ 0] ⇐ 0 −◦ A, B, !(A) −◦ !(B) −◦ 0, !(!(A) −◦ 0) −◦ 0 : · [!(A) −◦ !(B) −◦ 0] ⇐ 0 DC A, B, !(A) −◦ !(B) −◦ 0, !(!(A) −◦ 0) −◦ 0 : · ` 0 ? B, !(A) −◦ !(B) −◦ 0, !(!(A) −◦ 0) −◦ 0 : · ` !(A) −◦ 0 B, !(A) −◦ !(B) −◦ 0, !(!(A) −◦ 0) −◦ 0 : · ⇒ !(!(A) −◦ 0)

I I A, !(A) −◦ B, !(B) −◦ 0 : · ⇒ A A, !(A) −◦ B, !(B) −◦ 0 : B ⇒ B DR DR A, !(A) −◦ B, !(B) −◦ 0 : · ` A A, !(A) −◦ B, !(B) −◦ 0 : B ` B RL ! A, !(A) −◦ B, !(B) −◦ 0 : · ⇒ !(A) A, !(A) −◦ B, !(B) −◦ 0 : · [B] ⇐ B −◦ A, !(A) −◦ B, !(B) −◦ 0 : · [!(A) −◦ B] ⇐ B ? DC A, !(A) −◦ B, !(B) −◦ 0 : · ` B A, !(A) −◦ B, !(B) −◦ 0 : 0 ` 0 RL ! A, !(A) −◦ B, !(B) −◦ 0 : · ⇒ !(B) A, !(A) −◦ B, !(B) −◦ 0 : · [0] ⇐ 0 −◦ A, !(A) −◦ B, !(B) −◦ 0 : · [!(B) −◦ 0] ⇐ 0 DC A, !(A) −◦ B, !(B) −◦ 0 : · ` 0 ? · : · ` !(A & !(B) −◦ 0) −◦ !(!(A) −◦ B) −◦ 0

Positive decoration (187ms) I A, B, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ 0 : · ⇒ B ? DR A, B, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ 0 : · ` B A, B, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ 0 : 0 ` 0 RL ! A, B, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ 0 : · ⇒ !(B) A, B, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ 0 : · [0] ⇐ 0 −◦ A, B, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ 0 : · [!(B) −◦ 0] ⇐ 0 D I C A, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ 0 : · ⇒ A A, B, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ 0 : · ` 0 ? DR A, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ 0 : · ` A A, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ 0 : !(B) ` 0 RL ! A, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ 0 : · ⇒ !(A) A, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ 0 : · [!(B)] ⇐ 0 −◦ A, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ 0 : · [!(A) −◦ !(B)] ⇐ 0 DC A, !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ 0 : · ` 0 ? A, !(B) −◦ 0 : · ` !(!(A) −◦ !(B)) −◦ 0 ! A, !(B) −◦ 0 : · ⇒ !(!(!(A) −◦ !(B)) −◦ 0) DR A, !(B) −◦ 0 : · ` !(!(!(A) −◦ !(B)) −◦ 0) ? · : · ` !(A) ⊗ !(!(B) −◦ 0) −◦ !(!(!(A) −◦ !(B)) −◦ 0) ! · : · ⇒ !(!(A) ⊗ !(!(B) −◦ 0) −◦ !(!(!(A) −◦ !(B)) −◦ 0)) DR · : · ` !(!(A) ⊗ !(!(B) −◦ 0) −◦ !(!(!(A) −◦ !(B)) −◦ 0))

0/1 focused decoration (345ms) I A, B, !(A), !(!(B) −◦ !(0)), !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(0) : · ⇒ B ? DR A, B, !(A), !(!(B) −◦ !(0)), !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(0) : · ` B A, B, !(A), !(!(B) −◦ !(0)), !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(0) : !(0) ` 0 RL ! A, B, !(A), !(!(B) −◦ !(0)), !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(0) : · ⇒ !(B) A, B, !(A), !(!(B) −◦ !(0)), !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(0) : · [!(0)] ⇐ 0 −◦ A, B, !(A), !(!(B) −◦ !(0)), !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(0) : · [!(B) −◦ !(0)] ⇐ 0 DC I A, !(A), !(!(B) −◦ !(0)), !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(0) : · ⇒ A A, B, !(A), !(!(B) −◦ !(0)), !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(0) : · ` 0 ? DR A, !(A), !(!(B) −◦ !(0)), !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(0) : · ` A A, !(A), !(!(B) −◦ !(0)), !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(0) : !(B) ` 0 RL ! A, !(A), !(!(B) −◦ !(0)), !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(0) : · ⇒ !(A) A, !(A), !(!(B) −◦ !(0)), !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(0) : · [!(B)] ⇐ 0 −◦ A, !(A), !(!(B) −◦ !(0)), !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(0) : · [!(A) −◦ !(B)] ⇐ 0 DC A, !(A), !(!(B) −◦ !(0)), !(A) −◦ !(B), !(B) −◦ !(0) : · ` 0 ? A, !(A), !(!(B) −◦ !(0)), !(A) −◦ !(B) : !(!(B) −◦ !(0)) ` 0 RL A, !(A), !(!(B) −◦ !(0)), !(A) −◦ !(B) : · [!(!(B) −◦ !(0))] ⇐ 0 DC A, !(A), !(!(B) −◦ !(0)), !(A) −◦ !(B) : · ` 0 ? !(A), !(!(B) −◦ !(0)), !(A) −◦ !(B) : !(A) ` 0 RL !(A), !(!(B) −◦ !(0)), !(A) −◦ !(B) : · [!(A)] ⇐ 0 DC !(A), !(!(B) −◦ !(0)), !(A) −◦ !(B) : · ` 0 ? !(A), !(!(B) −◦ !(0)) : · ` !(!(A) −◦ !(B)) −◦ 0 ! !(A), !(!(B) −◦ !(0)) : · ⇒ !(!(!(A) −◦ !(B)) −◦ 0) DR !(A), !(!(B) −◦ !(0)) : · ` !(!(!(A) −◦ !(B)) −◦ 0) ? · : · ` !(!(A) & !(!(B) −◦ !(0))) −◦ !(!(!(A) −◦ !(B)) −◦ 0) ! · : · ⇒ !(!(!(A) & !(!(B) −◦ !(0))) −◦ !(!(!(A) −◦ !(B)) −◦ 0)) DR · : · ` !(!(!(A) & !(!(B) −◦ !(0))) −◦ !(!(!(A) −◦ !(B)) −◦ 0))

!

B, !(A) −◦ !(B) −◦ 0, !(!(A) −◦ 0) −◦ 0 : · [!(!(A) −◦ 0) −◦ 0] ⇐ 0 DC B, !(A) −◦ !(B) −◦ 0, !(!(A) −◦ 0) −◦ 0 : · ` 0 ? · : · ` !(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0 & B) −◦ !(!(A) −◦ !(B) −◦ 0) −◦ 0

? B, !(A) −◦ !(B) −◦ 0, !(!(A) −◦ 0) −◦ 0 : 0 ` 0 RL B, !(A) −◦ !(B) −◦ 0, !(!(A) −◦ 0) −◦ 0 : · [0] ⇐ 0 −◦

Positive decoration (253ms) I A, B, !(A) −◦ !(!(B) −◦ 0), !(B) −◦ 0, !(!(A) −◦ 0) −◦ 0 : · ⇒ B ? DR A, B, !(A) −◦ !(!(B) −◦ 0), !(B) −◦ 0, !(!(A) −◦ 0) −◦ 0 : · ` B A, B, !(A) −◦ !(!(B) −◦ 0), !(B) −◦ 0, !(!(A) −◦ 0) −◦ 0 : 0 ` 0 RL ! A, B, !(A) −◦ !(!(B) −◦ 0), !(B) −◦ 0, !(!(A) −◦ 0) −◦ 0 : · ⇒ !(B) A, B, !(A) −◦ !(!(B) −◦ 0), !(B) −◦ 0, !(!(A) −◦ 0) −◦ 0 : · [0] ⇐ 0 −◦ A, B, !(A) −◦ !(!(B) −◦ 0), !(B) −◦ 0, !(!(A) −◦ 0) −◦ 0 : · [!(B) −◦ 0] ⇐ 0 DC I A, B, !(A) −◦ !(!(B) −◦ 0), !(!(A) −◦ 0) −◦ 0 : · ⇒ A A, B, !(A) −◦ !(!(B) −◦ 0), !(B) −◦ 0, !(!(A) −◦ 0) −◦ 0 : · ` 0 ? DR A, B, !(A) −◦ !(!(B) −◦ 0), !(!(A) −◦ 0) −◦ 0 : · ` A A, B, !(A) −◦ !(!(B) −◦ 0), !(!(A) −◦ 0) −◦ 0 : !(!(B) −◦ 0) ` 0 RL ! A, B, !(A) −◦ !(!(B) −◦ 0), !(!(A) −◦ 0) −◦ 0 : · ⇒ !(A) A, B, !(A) −◦ !(!(B) −◦ 0), !(!(A) −◦ 0) −◦ 0 : · [!(!(B) −◦ 0)] ⇐ 0 −◦ A, B, !(A) −◦ !(!(B) −◦ 0), !(!(A) −◦ 0) −◦ 0 : · [!(A) −◦ !(!(B) −◦ 0)] ⇐ 0 DC A, B, !(A) −◦ !(!(B) −◦ 0), !(!(A) −◦ 0) −◦ 0 : · ` 0 ? B, !(A) −◦ !(!(B) −◦ 0), !(!(A) −◦ 0) −◦ 0 : · ` !(A) −◦ 0 B, !(A) −◦ !(!(B) −◦ 0), !(!(A) −◦ 0) −◦ 0 : · ⇒ !(!(A) −◦ 0)

!

B, !(A) −◦ !(!(B) −◦ 0), !(!(A) −◦ 0) −◦ 0 : · [!(!(A) −◦ 0) −◦ 0] ⇐ 0 DC B, !(A) −◦ !(!(B) −◦ 0), !(!(A) −◦ 0) −◦ 0 : · ` 0 ? B, !(!(A) −◦ 0) −◦ 0 : · ` !(!(A) −◦ !(!(B) −◦ 0)) −◦ 0 ! B, !(!(A) −◦ 0) −◦ 0 : · ⇒ !(!(!(A) −◦ !(!(B) −◦ 0)) −◦ 0) DR B, !(!(A) −◦ 0) −◦ 0 : · ` !(!(!(A) −◦ !(!(B) −◦ 0)) −◦ 0) ? · : · ` !(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) ⊗ !(B) −◦ !(!(!(A) −◦ !(!(B) −◦ 0)) −◦ 0) ! · : · ⇒ !(!(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) ⊗ !(B) −◦ !(!(!(A) −◦ !(!(B) −◦ 0)) −◦ 0)) DR · : · ` !(!(!(!(A) −◦ 0) −◦ 0) ⊗ !(B) −◦ !(!(!(A) −◦ !(!(B) −◦ 0)) −◦ 0))

? B, !(A) −◦ !(!(B) −◦ 0), !(!(A) −◦ 0) −◦ 0 : 0 ` 0 RL B, !(A) −◦ !(!(B) −◦ 0), !(!(A) −◦ 0) −◦ 0 : · [0] ⇐ 0 −◦

0/1 focused decoration (3946ms) I A, B, !(B), !(!(!(!(A) −◦ 0)) −◦ !(0)), !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(0)), !(B) −◦ !(0), !(!(!(A) −◦ 0)) −◦ !(0) : · ⇒ B ? DR A, B, !(B), !(!(!(!(A) −◦ 0)) −◦ !(0)), !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(0)), !(B) −◦ !(0), !(!(!(A) −◦ 0)) −◦ !(0) : · ` B A, B, !(B), !(!(!(!(A) −◦ 0)) −◦ !(0)), !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(0)), !(B) −◦ !(0), !(!(!(A) −◦ 0)) −◦ !(0) : !(0) ` 0 RL ! A, B, !(B), !(!(!(!(A) −◦ 0)) −◦ !(0)), !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(0)), !(B) −◦ !(0), !(!(!(A) −◦ 0)) −◦ !(0) : · ⇒ !(B) A, B, !(B), !(!(!(!(A) −◦ 0)) −◦ !(0)), !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(0)), !(B) −◦ !(0), !(!(!(A) −◦ 0)) −◦ !(0) : · [!(0)] ⇐ 0 −◦ A, B, !(B), !(!(!(!(A) −◦ 0)) −◦ !(0)), !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(0)), !(B) −◦ !(0), !(!(!(A) −◦ 0)) −◦ !(0) : · [!(B) −◦ !(0)] ⇐ 0 DC I A, B, !(B), !(!(!(!(A) −◦ 0)) −◦ !(0)), !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(0)), !(!(!(A) −◦ 0)) −◦ !(0) : · ⇒ A A, B, !(B), !(!(!(!(A) −◦ 0)) −◦ !(0)), !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(0)), !(B) −◦ !(0), !(!(!(A) −◦ 0)) −◦ !(0) : · ` 0 ? DR A, B, !(B), !(!(!(!(A) −◦ 0)) −◦ !(0)), !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(0)), !(!(!(A) −◦ 0)) −◦ !(0) : · ` A A, B, !(B), !(!(!(!(A) −◦ 0)) −◦ !(0)), !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(0)), !(!(!(A) −◦ 0)) −◦ !(0) : !(!(B) −◦ !(0)) ` 0 RL ! A, B, !(B), !(!(!(!(A) −◦ 0)) −◦ !(0)), !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(0)), !(!(!(A) −◦ 0)) −◦ !(0) : · ⇒ !(A) A, B, !(B), !(!(!(!(A) −◦ 0)) −◦ !(0)), !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(0)), !(!(!(A) −◦ 0)) −◦ !(0) : · [!(!(B) −◦ !(0))] ⇐ 0 −◦ A, B, !(B), !(!(!(!(A) −◦ 0)) −◦ !(0)), !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(0)), !(!(!(A) −◦ 0)) −◦ !(0) : · [!(A) −◦ !(!(B) −◦ !(0))] ⇐ 0 DC A, B, !(B), !(!(!(!(A) −◦ 0)) −◦ !(0)), !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(0)), !(!(!(A) −◦ 0)) −◦ !(0) : · ` 0 ? B, !(B), !(!(!(!(A) −◦ 0)) −◦ !(0)), !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(0)), !(!(!(A) −◦ 0)) −◦ !(0) : · ` !(A) −◦ 0 ! B, !(B), !(!(!(!(A) −◦ 0)) −◦ !(0)), !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(0)), !(!(!(A) −◦ 0)) −◦ !(0) : · ⇒ !(!(A) −◦ 0) DR B, !(B), !(!(!(!(A) −◦ 0)) −◦ !(0)), !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(0)), !(!(!(A) −◦ 0)) −◦ !(0) : · ` !(!(A) −◦ 0) ! B, !(B), !(!(!(!(A) −◦ 0)) −◦ !(0)), !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(0)), !(!(!(A) −◦ 0)) −◦ !(0) : · ⇒ !(!(!(A) −◦ 0)) B, !(B), !(!(!(!(A) −◦ 0)) −◦ !(0)), !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(0)), !(!(!(A) −◦ 0)) −◦ !(0) : · [!(!(!(A) −◦ 0)) −◦ !(0)] ⇐ 0 DC B, !(B), !(!(!(!(A) −◦ 0)) −◦ !(0)), !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(0)), !(!(!(A) −◦ 0)) −◦ !(0) : · ` 0 ? B, !(B), !(!(!(!(A) −◦ 0)) −◦ !(0)), !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(0)) : !(!(!(!(A) −◦ 0)) −◦ !(0)) ` 0 RL B, !(B), !(!(!(!(A) −◦ 0)) −◦ !(0)), !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(0)) : · [!(!(!(!(A) −◦ 0)) −◦ !(0))] ⇐ 0 DC B, !(B), !(!(!(!(A) −◦ 0)) −◦ !(0)), !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(0)) : · ` 0 ? !(B), !(!(!(!(A) −◦ 0)) −◦ !(0)), !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(0)) : !(B) ` 0 RL !(B), !(!(!(!(A) −◦ 0)) −◦ !(0)), !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(0)) : · [!(B)] ⇐ 0 DC !(B), !(!(!(!(A) −◦ 0)) −◦ !(0)), !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(0)) : · ` 0 ? !(B), !(!(!(!(A) −◦ 0)) −◦ !(0)) : · ` !(!(A) −◦ !(!(B) −◦ !(0))) −◦ 0 ! !(B), !(!(!(!(A) −◦ 0)) −◦ !(0)) : · ⇒ !(!(!(A) −◦ !(!(B) −◦ !(0))) −◦ 0) DR !(B), !(!(!(!(A) −◦ 0)) −◦ !(0)) : · ` !(!(!(A) −◦ !(!(B) −◦ !(0))) −◦ 0) ? · : · ` !(!(!(!(!(A) −◦ 0)) −◦ !(0)) & !(B)) −◦ !(!(!(A) −◦ !(!(B) −◦ !(0))) −◦ 0) ! · : · ⇒ !(!(!(!(!(!(A) −◦ 0)) −◦ !(0)) & !(B)) −◦ !(!(!(A) −◦ !(!(B) −◦ !(0))) −◦ 0)) DR · : · ` !(!(!(!(!(!(A) −◦ 0)) −◦ !(0)) & !(B)) −◦ !(!(!(A) −◦ !(!(B) −◦ !(0))) −◦ 0))

? B, !(B), !(!(!(!(A) −◦ 0)) −◦ !(0)), !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(0)), !(!(!(A) −◦ 0)) −◦ !(0) : !(0) ` 0 RL B, !(B), !(!(!(!(A) −◦ 0)) −◦ !(0)), !(A) −◦ !(!(B) −◦ !(0)), !(!(!(A) −◦ 0)) −◦ !(0) : · [!(0)] ⇐ 0 −◦

48

Linear Logic (57) · ` (¬¬A ∧ ¬B) ↔ (¬(A → B))

LJ (385ms) ? ? A, B, B → ⊥, A → ⊥ → ⊥ ` B A, B, ⊥, A → ⊥ → ⊥ ` ⊥ ⊃L ? A, A → B, B → ⊥, A → ⊥ → ⊥ ` A A, B, B → ⊥, A → ⊥ → ⊥ ` ⊥ ⊃L A, A → B, B → ⊥, A → ⊥ → ⊥ ` ⊥ ? A → B, B → ⊥, A → ⊥ → ⊥ ` A → ⊥ A → B, B → ⊥, A → ⊥ → ⊥ ` ⊥

(58) · ` (¬(A → B)) ↔ (¬¬(A ∧ ¬B))

LJ (118ms) ? ? A, A → ⊥, A → B → ⊥ ` A A, ⊥, A → B → ⊥ ` B ⊃L A, A → ⊥, A → B → ⊥ ` B ? ? ? A → ⊥, A → B → ⊥ ` A → B ⊥, A → ⊥ ` ⊥ ⊃L ⊃L A → ⊥, A → B → ⊥ ` ⊥ · ` A → ⊥ → ⊥∧B → ⊥ → A → B → ⊥∧A → B → ⊥ → A → ⊥ → ⊥∧B → ⊥

⊥, A → B, B → ⊥ ` ⊥

? ? B, A → B → ⊥ ` A → B B, ⊥ ` ⊥ ⊃L B, A → B → ⊥ ` ⊥ ?

? ? A, B, A ∧ B → ⊥ → ⊥, A → B → ⊥ ` A → B A, B, ⊥, A ∧ B → ⊥ → ⊥ ` ⊥ ⊃L A, B, A ∧ B → ⊥ → ⊥, A → B → ⊥ ` ⊥ ? ? A, A ∧ B → ⊥ → ⊥, A → B → ⊥ ` A ∧ B → ⊥ A, ⊥, A → B → ⊥ ` B ⊃L A, A ∧ B → ⊥ → ⊥, A → B → ⊥ ` B ? A ∧ B → ⊥ → ⊥, A → B → ⊥ ` A → B A ∧ B → ⊥ → ⊥, A → B → ⊥ ` ⊥

⊥, A ∧ B → ⊥ → ⊥ ` ⊥

? ⊃L

? ? A, B, B → ⊥, A ∧ B → ⊥ → ⊥ → ⊥ ` B A, B, ⊥, A ∧ B → ⊥ → ⊥ → ⊥ ` ⊥ ⊃L ? A, A → B, B → ⊥, A ∧ B → ⊥ → ⊥ → ⊥ ` A A, B, B → ⊥, A ∧ B → ⊥ → ⊥ → ⊥ ` ⊥ ⊃L A, A → B, B → ⊥, A ∧ B → ⊥ → ⊥ → ⊥ ` ⊥ ? A → B, A ∧ B → ⊥ → ⊥ → ⊥ ` A ∧ B → ⊥ → ⊥ A → B, A ∧ B → ⊥ → ⊥ → ⊥ ` ⊥ ?

· ` A → B → ⊥ → A∧B → ⊥ → ⊥ → ⊥∧A∧B → ⊥ → ⊥ → ⊥ → A → B → ⊥

Multiplicative translation (20ms)

Multiplicative translation (20ms)

fail

fail

Girard’s Translation (Timeout)

Girard’s Translation (Timeout)

Timeout

Timeout

Positive decoration (Timeout)

Positive decoration (Timeout)

Timeout

Timeout

0/1 focused decoration (Timeout)

0/1 focused decoration (Timeout)

Timeout

Timeout

⊥, A → B ` ⊥

? ⊃L

C. Olarte, V. de Paiva, E. Pimentel & G. Reis (59) · ` (¬¬(A → B)) ↔ ((¬(A ∧ ¬B)))

LJ (168ms) ? ? A, B, A ∧ B → ⊥ → ⊥, A → B → ⊥ ` A → B A, B, ⊥, A ∧ B → ⊥ → ⊥ ` ⊥ ⊃L ? ? A, B, B → ⊥, A → B → ⊥ → ⊥ ` B A, B, ⊥, A → B → ⊥ → ⊥ ` ⊥ A, B, A ∧ B → ⊥ → ⊥, A → B → ⊥ ` ⊥ ⊃L ? ? ? A, A → B, B → ⊥, A → B → ⊥ → ⊥ ` A A, B, B → ⊥, A → B → ⊥ → ⊥ ` ⊥ A, A ∧ B → ⊥ → ⊥, A → B → ⊥ ` A ∧ B → ⊥ A, ⊥, A → B → ⊥ ` B ⊃L ⊃L A, A → B, B → ⊥, A → B → ⊥ → ⊥ ` ⊥ A, A ∧ B → ⊥ → ⊥, A → B → ⊥ ` B ? ? ? A, B → ⊥, A → B → ⊥ → ⊥ ` A → B → ⊥ A, ⊥, B → ⊥ ` ⊥ A ∧ B → ⊥ → ⊥, A → B → ⊥ ` A → B ⊃L A, B → ⊥, A → B → ⊥ → ⊥ ` ⊥ A ∧ B → ⊥ → ⊥, A → B → ⊥ ` ⊥ ? · ` A → B → ⊥ → ⊥ → A∧B → ⊥ → ⊥∧A∧B → ⊥ → ⊥ → A → B → ⊥ → ⊥

Multiplicative translation (20ms) fail

Girard’s Translation (Timeout) Timeout

Positive decoration (Timeout) Timeout

49 (60) · ` (¬(A ∧ ¬B)) ↔ ((A → ¬¬B))

LJ (96ms) ⊥, A ∧ B → ⊥ → ⊥ ` ⊥

? ⊃L

? ? A, B, B → ⊥, B → ⊥ → ⊥ ` B A, B, ⊥, B → ⊥ → ⊥ ` ⊥ ⊃L ? ? A, B, B → ⊥, A ∧ B → ⊥ → ⊥ ` B A, B, ⊥, A ∧ B → ⊥ → ⊥ ` ⊥ A, B, B → ⊥, B → ⊥ → ⊥ ` ⊥ ⊃L ? ? A, B, B → ⊥, A ∧ B → ⊥ → ⊥ ` ⊥ A, B → ⊥, B → ⊥ → ⊥ ` B → ⊥ A, ⊥, B → ⊥ ` ⊥ ⊃L ? ? ? A, B → ⊥, A ∧ B → ⊥ → ⊥ ` A ∧ B → ⊥ A, ⊥, B → ⊥ ` ⊥ A, A → B → ⊥ → ⊥, B → ⊥ ` A A, B → ⊥, B → ⊥ → ⊥ ` ⊥ ⊃L ⊃L A, B → ⊥, A ∧ B → ⊥ → ⊥ ` ⊥ A, A → B → ⊥ → ⊥, B → ⊥ ` ⊥ ? · ` A∧B → ⊥ → ⊥ → A → B → ⊥ → ⊥∧A → B → ⊥ → ⊥ → A∧B → ⊥ → ⊥

Multiplicative translation (214ms) ⊥ I ⊥ I ·: B⇒B · : · [⊥] ⇐⊥ ·: B⇒B · : · [⊥] ⇐⊥ −◦ −◦ · : B [B−◦ ⊥] ⇐⊥ · : B [B−◦ ⊥] ⇐⊥ DL DL · : B, B−◦ ⊥`⊥ · : B, B−◦ ⊥`⊥ ? ? · : B−◦ ⊥` B−◦ ⊥ · : B−◦ ⊥` B−◦ ⊥ R ⊥ R I · : B−◦ ⊥⇒ B−◦ ⊥ R · : · [⊥] ⇐⊥ ·: A⇒A · : B−◦ ⊥⇒ B−◦ ⊥ R −◦ ⊗ ⊥ I · : A, B−◦ ⊥⇒ A ⊗ B−◦ ⊥ · : · [⊥] ⇐⊥ ·: A⇒A · : B−◦ ⊥ [B−◦ ⊥ −◦ ⊥] ⇐⊥ −◦ −◦ · : A, B−◦ ⊥ [A ⊗ B−◦ ⊥ −◦ ⊥] ⇐⊥ · : A, B−◦ ⊥ [A −◦ B−◦ ⊥ −◦ ⊥] ⇐⊥ DL DL · : A, B−◦ ⊥, A ⊗ B−◦ ⊥ −◦ ⊥`⊥ · : A, A −◦ B−◦ ⊥ −◦ ⊥, B−◦ ⊥`⊥ ? ? · : · ` A ⊗ B−◦ ⊥ −◦ ⊥ −◦A −◦ B−◦ ⊥ −◦ ⊥ · : · ` A −◦ B−◦ ⊥ −◦ ⊥ −◦A ⊗ B−◦ ⊥ −◦ ⊥ R R · : · ⇒ A ⊗ B−◦ ⊥ −◦ ⊥ −◦A −◦ B−◦ ⊥ −◦ ⊥ R · : · ⇒ A −◦ B−◦ ⊥ −◦ ⊥ −◦A ⊗ B−◦ ⊥ −◦ ⊥ R ⊗ · : · ⇒ A ⊗ B−◦ ⊥ −◦ ⊥ −◦A −◦ B−◦ ⊥ −◦ ⊥ ⊗A −◦ B−◦ ⊥ −◦ ⊥ −◦A ⊗ B−◦ ⊥ −◦ ⊥ D · : · ` A ⊗ B−◦ ⊥ −◦ ⊥ −◦A −◦ B−◦ ⊥ −◦ ⊥ ⊗A −◦ B−◦ ⊥ −◦ ⊥ −◦A ⊗ B−◦ ⊥ −◦ ⊥ R

Girard’s Translation (4004ms) I A, B, !(A) −◦ !(!(B) −◦ 0) −◦ 0, !(B) −◦ 0 : · ⇒ B ? DR I A, B, !(B) −◦ 0, !(A & !(B) −◦ 0) −◦ 0 : · ⇒ B A, B, !(A) −◦ !(!(B) −◦ 0) −◦ 0, !(B) −◦ 0 : · ` B A, B, !(A) −◦ !(!(B) −◦ 0) −◦ 0, !(B) −◦ 0 : 0 ` 0 ? DR RL ! A, B, !(B) −◦ 0, !(A & !(B) −◦ 0) −◦ 0 : · ` B A, B, !(B) −◦ 0, !(A & !(B) −◦ 0) −◦ 0 : 0 ` 0 A, B, !(A) −◦ !(!(B) −◦ 0) −◦ 0, !(B) −◦ 0 : · ⇒ !(B) A, B, !(A) −◦ !(!(B) −◦ 0) −◦ 0, !(B) −◦ 0 : · [0] ⇐ 0 RL −◦ ! A, B, !(B) −◦ 0, !(A & !(B) −◦ 0) −◦ 0 : · ⇒ !(B) A, B, !(B) −◦ 0, !(A & !(B) −◦ 0) −◦ 0 : · [0] ⇐ 0 A, B, !(A) −◦ !(!(B) −◦ 0) −◦ 0, !(B) −◦ 0 : · [!(B) −◦ 0] ⇐ 0 DC −◦ I A, !(B) −◦ 0, !(A & !(B) −◦ 0) −◦ 0 : · ⇒ A A, B, !(B) −◦ 0, !(A & !(B) −◦ 0) −◦ 0 : · [!(B) −◦ 0] ⇐ 0 A, B, !(A) −◦ !(!(B) −◦ 0) −◦ 0, !(B) −◦ 0 : · ` 0 ? ? DC DR I A, !(B) −◦ 0, !(A & !(B) −◦ 0) −◦ 0 : · ` A A, B, !(B) −◦ 0, !(A & !(B) −◦ 0) −◦ 0 : · ` 0 A, !(A) −◦ !(!(B) −◦ 0) −◦ 0, !(B) −◦ 0 : · ⇒ A A, !(A) −◦ !(!(B) −◦ 0) −◦ 0, !(B) −◦ 0 : · ` !(B) −◦ 0 A, !(A) −◦ !(!(B) −◦ 0) −◦ 0, !(B) −◦ 0 : 0 ` 0 ? ? DR RL ! A, !(B) −◦ 0, !(A & !(B) −◦ 0) −◦ 0 : · ` A & !(B) −◦ 0 A, !(B) −◦ 0, !(A & !(B) −◦ 0) −◦ 0 : 0 ` 0 A, !(A) −◦ !(!(B) −◦ 0) −◦ 0, !(B) −◦ 0 : · ` A A, !(A) −◦ !(!(B) −◦ 0) −◦ 0, !(B) −◦ 0 : · ⇒ !(!(B) −◦ 0) A, !(A) −◦ !(!(B) −◦ 0) −◦ 0, !(B) −◦ 0 : · [0] ⇐ 0 RL −◦ ! ! A, !(B) −◦ 0, !(A & !(B) −◦ 0) −◦ 0 : · ⇒ !(A & !(B) −◦ 0) A, !(B) −◦ 0, !(A & !(B) −◦ 0) −◦ 0 : · [0] ⇐ 0 A, !(A) −◦ !(!(B) −◦ 0) −◦ 0, !(B) −◦ 0 : · ⇒ !(A) A, !(A) −◦ !(!(B) −◦ 0) −◦ 0, !(B) −◦ 0 : · [!(!(B) −◦ 0) −◦ 0] ⇐ 0 −◦ −◦ A, !(B) −◦ 0, !(A & !(B) −◦ 0) −◦ 0 : · [!(A & !(B) −◦ 0) −◦ 0] ⇐ 0 A, !(A) −◦ !(!(B) −◦ 0) −◦ 0, !(B) −◦ 0 : · [!(A) −◦ !(!(B) −◦ 0) −◦ 0] ⇐ 0 DC DC A, !(B) −◦ 0, !(A & !(B) −◦ 0) −◦ 0 : · ` 0 A, !(A) −◦ !(!(B) −◦ 0) −◦ 0, !(B) −◦ 0 : · ` 0 ? · : · ` !(!(A & !(B) −◦ 0) −◦ 0) −◦ !(A) −◦ !(!(B) −◦ 0) −◦ 0 & !(!(A) −◦ !(!(B) −◦ 0) −◦ 0) −◦ !(A & !(B) −◦ 0) −◦ 0

Positive decoration (8427ms) I A, B, !(B) −◦ 0, !(A) ⊗ !(!(B) −◦ 0) −◦ 0 : · ⇒ B ? DR A, B, !(B) −◦ 0, !(A) ⊗ !(!(B) −◦ 0) −◦ 0 : · ` B A, B, !(B) −◦ 0, !(A) ⊗ !(!(B) −◦ 0) −◦ 0 : 0 ` 0 RL ! A, B, !(B) −◦ 0, !(A) ⊗ !(!(B) −◦ 0) −◦ 0 : · ⇒ !(B) A, B, !(B) −◦ 0, !(A) ⊗ !(!(B) −◦ 0) −◦ 0 : · [0] ⇐ 0 −◦ A, B, !(B) −◦ 0, !(A) ⊗ !(!(B) −◦ 0) −◦ 0 : · [!(B) −◦ 0] ⇐ 0 DC I A, !(B) −◦ 0, !(A) ⊗ !(!(B) −◦ 0) −◦ 0 : · ⇒ A A, B, !(B) −◦ 0, !(A) ⊗ !(!(B) −◦ 0) −◦ 0 : · ` 0 ? DR A, !(B) −◦ 0, !(A) ⊗ !(!(B) −◦ 0) −◦ 0 : · ` A A, !(B) −◦ 0, !(A) ⊗ !(!(B) −◦ 0) −◦ 0 : · ` !(B) −◦ 0 ? ! ! A, !(B) −◦ 0, !(A) ⊗ !(!(B) −◦ 0) −◦ 0 : · ⇒ !(A) A, !(B) −◦ 0, !(A) ⊗ !(!(B) −◦ 0) −◦ 0 : · ⇒ !(!(B) −◦ 0) A, !(B) −◦ 0, !(A) ⊗ !(!(B) −◦ 0) −◦ 0 : 0 ` 0 RL ⊗ A, !(B) −◦ 0, !(A) ⊗ !(!(B) −◦ 0) −◦ 0 : · ⇒ !(A) ⊗ !(!(B) −◦ 0) A, !(B) −◦ 0, !(A) ⊗ !(!(B) −◦ 0) −◦ 0 : · [0] ⇐ 0 −◦ A, !(B) −◦ 0, !(A) ⊗ !(!(B) −◦ 0) −◦ 0 : · [!(A) ⊗ !(!(B) −◦ 0) −◦ 0] ⇐ 0 DC A, !(B) −◦ 0, !(A) ⊗ !(!(B) −◦ 0) −◦ 0 : · ` 0 ? A, !(A) ⊗ !(!(B) −◦ 0) −◦ 0 : · ` !(!(B) −◦ 0) −◦ 0

0/1 focused decoration (Timeout) Timeout

I A, B, !(A) −◦ !(!(!(B) −◦ 0) −◦ 0), !(B) −◦ 0, !(!(B) −◦ 0) −◦ 0 : · ⇒ B ? DR A, B, !(A) −◦ !(!(!(B) −◦ 0) −◦ 0), !(B) −◦ 0, !(!(B) −◦ 0) −◦ 0 : · ` B A, B, !(A) −◦ !(!(!(B) −◦ 0) −◦ 0), !(B) −◦ 0, !(!(B) −◦ 0) −◦ 0 : 0 ` 0 RL ! A, B, !(A) −◦ !(!(!(B) −◦ 0) −◦ 0), !(B) −◦ 0, !(!(B) −◦ 0) −◦ 0 : · ⇒ !(B) A, B, !(A) −◦ !(!(!(B) −◦ 0) −◦ 0), !(B) −◦ 0, !(!(B) −◦ 0) −◦ 0 : · [0] ⇐ 0 −◦ A, B, !(A) −◦ !(!(!(B) −◦ 0) −◦ 0), !(B) −◦ 0, !(!(B) −◦ 0) −◦ 0 : · [!(B) −◦ 0] ⇐ 0 DC A, B, !(A) −◦ !(!(!(B) −◦ 0) −◦ 0), !(B) −◦ 0, !(!(B) −◦ 0) −◦ 0 : · ` 0 ? A, !(A) −◦ !(!(!(B) −◦ 0) −◦ 0), !(B) −◦ 0, !(!(B) −◦ 0) −◦ 0 : · ` !(B) −◦ 0 ! A, !(A) −◦ !(!(!(B) −◦ 0) −◦ 0), !(B) −◦ 0, !(!(B) −◦ 0) −◦ 0 : · ⇒ !(!(B) −◦ 0)

? A, !(A) −◦ !(!(!(B) −◦ 0) −◦ 0), !(B) −◦ 0, !(!(B) −◦ 0) −◦ 0 : 0 ` 0 RL A, !(A) −◦ !(!(!(B) −◦ 0) −◦ 0), !(B) −◦ 0, !(!(B) −◦ 0) −◦ 0 : · [0] ⇐ 0 −◦ A, !(A) −◦ !(!(!(B) −◦ 0) −◦ 0), !(B) −◦ 0, !(!(B) −◦ 0) −◦ 0 : · [!(!(B) −◦ 0) −◦ 0] ⇐ 0 DC A, !(A) −◦ !(!(!(B) −◦ 0) −◦ 0), !(B) −◦ 0, !(!(B) −◦ 0) −◦ 0 : · ` 0 ? A, !(A) −◦ !(!(!(B) −◦ 0) −◦ 0), !(B) −◦ 0 : !(!(!(B) −◦ 0) −◦ 0) ` 0 RL A, !(A) −◦ !(!(!(B) −◦ 0) −◦ 0), !(B) −◦ 0 : · [!(!(!(B) −◦ 0) −◦ 0)] ⇐ 0 −◦ ! A, !(A) ⊗ !(!(B) −◦ 0) −◦ 0 : · ⇒ !(!(!(B) −◦ 0) −◦ 0) A, !(A) −◦ !(!(!(B) −◦ 0) −◦ 0), !(B) −◦ 0 : · [!(A) −◦ !(!(!(B) −◦ 0) −◦ 0)] ⇐ 0 DC DR A, !(A) ⊗ !(!(B) −◦ 0) −◦ 0 : · ` !(!(!(B) −◦ 0) −◦ 0) A, !(A) −◦ !(!(!(B) −◦ 0) −◦ 0), !(B) −◦ 0 : · ` 0 ? ? !(A) ⊗ !(!(B) −◦ 0) −◦ 0 : · ` !(A) −◦ !(!(!(B) −◦ 0) −◦ 0) !(A) −◦ !(!(!(B) −◦ 0) −◦ 0) : · ` !(A) ⊗ !(!(B) −◦ 0) −◦ 0 ! ! !(A) ⊗ !(!(B) −◦ 0) −◦ 0 : · ⇒ !(!(A) −◦ !(!(!(B) −◦ 0) −◦ 0)) !(A) −◦ !(!(!(B) −◦ 0) −◦ 0) : · ⇒ !(!(A) ⊗ !(!(B) −◦ 0) −◦ 0) DR DR !(A) ⊗ !(!(B) −◦ 0) −◦ 0 : · ` !(!(A) −◦ !(!(!(B) −◦ 0) −◦ 0)) !(A) −◦ !(!(!(B) −◦ 0) −◦ 0) : · ` !(!(A) ⊗ !(!(B) −◦ 0) −◦ 0) ? ? · : · ` !(!(A) ⊗ !(!(B) −◦ 0) −◦ 0) −◦ !(!(A) −◦ !(!(!(B) −◦ 0) −◦ 0)) · : · ` !(!(A) −◦ !(!(!(B) −◦ 0) −◦ 0)) −◦ !(!(A) ⊗ !(!(B) −◦ 0) −◦ 0) ! ! · : · ⇒ !(!(!(A) ⊗ !(!(B) −◦ 0) −◦ 0) −◦ !(!(A) −◦ !(!(!(B) −◦ 0) −◦ 0))) · : · ⇒ !(!(!(A) −◦ !(!(!(B) −◦ 0) −◦ 0)) −◦ !(!(A) ⊗ !(!(B) −◦ 0) −◦ 0)) ⊗ · : · ⇒ !(!(!(A) ⊗ !(!(B) −◦ 0) −◦ 0) −◦ !(!(A) −◦ !(!(!(B) −◦ 0) −◦ 0))) ⊗ !(!(!(A) −◦ !(!(!(B) −◦ 0) −◦ 0)) −◦ !(!(A) ⊗ !(!(B) −◦ 0) −◦ 0)) DR · : · ` !(!(!(A) ⊗ !(!(B) −◦ 0) −◦ 0) −◦ !(!(A) −◦ !(!(!(B) −◦ 0) −◦ 0))) ⊗ !(!(!(A) −◦ !(!(!(B) −◦ 0) −◦ 0)) −◦ !(!(A) ⊗ !(!(B) −◦ 0) −◦ 0)) I A, !(A) −◦ !(!(!(B) −◦ 0) −◦ 0), !(B) −◦ 0 : · ⇒ A DR A, !(A) −◦ !(!(!(B) −◦ 0) −◦ 0), !(B) −◦ 0 : · ` A ! A, !(A) −◦ !(!(!(B) −◦ 0) −◦ 0), !(B) −◦ 0 : · ⇒ !(A)

0/1 focused decoration (Timeout) Timeout

50

Linear Logic (61) · ` (A → ¬¬B) ↔ ((¬¬A) → ¬¬B) Timeout

LJ (9785ms) Positive decoration (Timeout) A, A → B → ⊥ → ⊥, B → ⊥, A → ⊥ → ⊥ ` A

?

? ? A, B, B → ⊥, A → ⊥ → ⊥, B → ⊥ → ⊥ ` B A, B, ⊥, A → ⊥ → ⊥, B → ⊥ → ⊥ ` ⊥ ⊃L A, B, B → ⊥, A → ⊥ → ⊥, B → ⊥ → ⊥ ` ⊥ ? ? A, B → ⊥, A → ⊥ → ⊥, B → ⊥ → ⊥ ` B → ⊥ A, ⊥, B → ⊥, A → ⊥ → ⊥ ` ⊥ ⊃L A, B → ⊥, A → ⊥ → ⊥, B → ⊥ → ⊥ ` ⊥ ⊃L

A, A → B → ⊥ → ⊥, B → ⊥, A → ⊥ → ⊥ ` ⊥ ? A → B → ⊥ → ⊥, B → ⊥, A → ⊥ → ⊥ ` A → ⊥

⊥, A → B → ⊥ → ⊥, B → ⊥ ` ⊥ A → B → ⊥ → ⊥, B → ⊥, A → ⊥ → ⊥ ` ⊥

? ⊃L

? ? A, A → ⊥, B → ⊥, A → ⊥ → ⊥ → B → ⊥ → ⊥ ` A A, ⊥, B → ⊥, A → ⊥ → ⊥ → B → ⊥ → ⊥ ` ⊥ ⊃L A, A → ⊥, B → ⊥, A → ⊥ → ⊥ → B → ⊥ → ⊥ ` ⊥ ? A, B → ⊥, A → ⊥ → ⊥ → B → ⊥ → ⊥ ` A → ⊥ → ⊥

? ? A, B, B → ⊥, B → ⊥ → ⊥ ` B A, B, ⊥, B → ⊥ → ⊥ ` ⊥ ⊃L A, B, B → ⊥, B → ⊥ → ⊥ ` ⊥ ? ? A, B → ⊥, B → ⊥ → ⊥ ` B → ⊥ A, ⊥, B → ⊥ ` ⊥ ⊃L A, B → ⊥, B → ⊥ → ⊥ ` ⊥ ⊃L ?

A, B → ⊥, A → ⊥ → ⊥ → B → ⊥ → ⊥ ` ⊥

· ` A → B → ⊥ → ⊥ → A → ⊥ → ⊥ → B → ⊥ → ⊥∧A → ⊥ → ⊥ → B → ⊥ → ⊥ → A → B → ⊥ → ⊥

Timeout Multiplicative translation (288ms) ⊥ I ·: B⇒B · : · [⊥] ⇐⊥ −◦ · : B [B−◦ ⊥] ⇐⊥ DL · : B, B−◦ ⊥`⊥ ? · : B−◦ ⊥` B−◦ ⊥ RR ⊥ · : B−◦ ⊥⇒ B−◦ ⊥ · : · [⊥] ⇐⊥ −◦ I ·: A⇒A · : B−◦ ⊥ [B−◦ ⊥ −◦ ⊥] ⇐⊥ −◦ · : A, B−◦ ⊥ [A −◦ B−◦ ⊥ −◦ ⊥] ⇐⊥ DL · : A, A −◦ B−◦ ⊥ −◦ ⊥, B−◦ ⊥`⊥ ? · : A −◦ B−◦ ⊥ −◦ ⊥, B−◦ ⊥` A−◦ ⊥ R · : A −◦ B−◦ ⊥ −◦ ⊥, B−◦ ⊥⇒ A−◦ ⊥ R

0/1 focused decoration (Timeout) ⊥ I ·: A⇒A · : · [⊥] ⇐⊥ −◦ · : A [A−◦ ⊥] ⇐⊥ DL · : A, A−◦ ⊥`⊥ ? · : A ` A−◦ ⊥ −◦ ⊥ R · : A ⇒ A−◦ ⊥ −◦ ⊥ R

⊥ I ·: B⇒B · : · [⊥] ⇐⊥ −◦ · : B [B−◦ ⊥] ⇐⊥ DL · : B, B−◦ ⊥`⊥ ? · : B−◦ ⊥` B−◦ ⊥ R · : B−◦ ⊥⇒ B−◦ ⊥ R

⊥ · : · [⊥] ⇐⊥ −◦ ⊥ · : · [⊥] ⇐⊥ · : B−◦ ⊥ [B−◦ ⊥ −◦ ⊥] ⇐⊥ −◦ −◦ · : A −◦ B−◦ ⊥ −◦ ⊥, B−◦ ⊥ [A−◦ ⊥ −◦ ⊥] ⇐⊥ · : A, B−◦ ⊥ [A−◦ ⊥ −◦ ⊥ −◦B−◦ ⊥ −◦ ⊥] ⇐⊥ DL DL · : A −◦ B−◦ ⊥ −◦ ⊥, B−◦ ⊥, A−◦ ⊥ −◦ ⊥`⊥ · : A, B−◦ ⊥, A−◦ ⊥ −◦ ⊥ −◦B−◦ ⊥ −◦ ⊥`⊥ ? ? · : · ` A −◦ B−◦ ⊥ −◦ ⊥ −◦A−◦ ⊥ −◦ ⊥ −◦B−◦ ⊥ −◦ ⊥ · : · ` A−◦ ⊥ −◦ ⊥ −◦B−◦ ⊥ −◦ ⊥ −◦A −◦ B−◦ ⊥ −◦ ⊥ R R · : · ⇒ A −◦ B−◦ ⊥ −◦ ⊥ −◦A−◦ ⊥ −◦ ⊥ −◦B−◦ ⊥ −◦ ⊥ R · : · ⇒ A−◦ ⊥ −◦ ⊥ −◦B−◦ ⊥ −◦ ⊥ −◦A −◦ B−◦ ⊥ −◦ ⊥ R ⊗ · : · ⇒ A −◦ B−◦ ⊥ −◦ ⊥ −◦A−◦ ⊥ −◦ ⊥ −◦B−◦ ⊥ −◦ ⊥ ⊗A−◦ ⊥ −◦ ⊥ −◦B−◦ ⊥ −◦ ⊥ −◦A −◦ B−◦ ⊥ −◦ ⊥ D · : · ` A −◦ B−◦ ⊥ −◦ ⊥ −◦A−◦ ⊥ −◦ ⊥ −◦B−◦ ⊥ −◦ ⊥ ⊗A−◦ ⊥ −◦ ⊥ −◦B−◦ ⊥ −◦ ⊥ −◦A −◦ B−◦ ⊥ −◦ ⊥ R

Girard’s Translation (Timeout)

Timeout