Cập nhật đề thi mới nhất tại http://toanhocbactrungnam.vn/
THỬ SỨC TRƯỚC KỲ THI_TẠP CHÍ TOÁN HỌC VÀ TUỔI TRẺ - Số 477 (3 - 2017) ĐỀ SỐ 7 (Thời gian làm bài: 90 phút) Giáo viên ra đề: NGUYỄN VIỆT HÙNG - Trường THPT Chuyên KHTN, ĐHQG Hà Nội Câu 1.
2
hàm số f là A. 0. Câu 2.
3
Cho hàm số f có đạo hàm là f x x x 1 x 2 với mọi x . Số điểm cực trị của B. 1.
C. 2.
Các đường tiệm cận của đồ thị hàm số y
D. 3.
4 x 5 tạo với hai trục toạ độ một hình chữ nhật 2x 3
có diện tích bằng A. 1.
B. 2.
D.
3 . 2
mx 2 2 x m 1 . Đường thẳng nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số này 2x 1 vuông góc với đường phân giác của góc phần tư thứ nhất khi m bằng 1 A. 0. B. 1. C. 1. D. . 2
Câu 3.
Cho hàm số y
Câu 4.
Đồ thị hàm số y
1 3 A. ; . 2 2 Câu 5.
C. 3.
3x 1 có tâm đối xứng là điểm 2x 1 1 3 1 3 B. ; . C. ; . 2 2 2 2
1 3 D. ; . 2 2
x 2 . Khẳng định nào sau đây đúng? x 1 A. Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ;1 và 1; .
Cho hàm số y
B. Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng ;1 và 1; . C. Hàm số đồng biến trên \ 1 . D. Hàm số đồng biến với mọi x 1. Câu 6.
Đường thẳng y 6 x m là tiếp tuyến của đường cong y x 3 3x 1 khi m bằng A. 3 hoặc 1 . B. 1 hoặc 3. C. 1 hoặc 3. D. 3 hoặc 1.
Câu 7.
Hàm số y x 3 3 x 1 m có giá trị cực đại và giá trị cực tiểu trái dấu khi A. m 1 hoặc m 3. B. m 1 hoặc m 3 . C. 1 m 3.
Câu 8.
Hàm số f x x 1 x 2 có tập giá trị là A. 1;1 .
Câu 9.
D. 1 m 3.
B. 1; 2 .
C. 0; 1 .
D. 1; 2 .
Đường thẳng nối điểm cực đại với điểm cực tiểu của đồ thị hàm số y x 3 x m đi qua điểm M 3; 1 khi m bằng
A. 1.
B. 1.
C. 0.
D. một giá trị khác.
Câu 10. Khi phương trình sin x cos x sin 2 x m có nghiệm thực khi và chỉ khi A.
2 1 m 1.
B.
5 2 1 m . 4
TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập
5 C. 1 m . 4
5 D. m 1 hoặc m . 4 Trang 1/21
Cập nhật đề thi mới nhất tại http://toanhocbactrungnam.vn/
Câu 11. Số điểm có tọa độ nguyên nằm trên đồ thị hàm số y A. 0.
B. 1.
C. 2.
Câu 12. Cho n 1 là một số nguyên. Giá trị của biểu thức B. n.
A. 0.
3x 7 là 2x 1
D. 4.
1 1 1 ... bằng log 2 n ! log 3 n ! log n n !
C. n !.
D. 1.
2
Câu 13. Số nghiệm thực của phương trình log x 1 2 là A. 2.
B. 1.
C. 0.
D. một số khác.
Câu 14. Số nghiệm thực nguyên của bất phương trình log 2 x 2 11x 15 1 là A. 3.
B. 4 .
C. 5.
D. 6.
Câu 15. Bất phương trình max log 3 x, log 1 2
A. ; 27 .
x 3 có tập nghiệm là 1 B. 8; 27 . C. ; 27 . 8
D. 27; .
Câu 16. Phương trình log 2 x.log 4 x.log 6 x log 2 x.log 4 x log 2 x.log 6 x log 4 x.log 6 x có tập nghiệm là A. 1 .
B. 2; 4; 6 .
C. 1;12 .
Câu 17. Cho log 9 x log12 y log16 x y . Giá trị của tỉ số A.
3 5 . 2
B.
3 5 . 2
D. 1; 48 .
x là y 5 1 . 2
C.
D.
1 5 . 2
2x 1 Câu 18. Bất phương trình log 1 log 3 0 có tập nghiệm là x 1 2 A. ; 2 4; . B. ; 2 4; . C. 4; .
D. 2; 1 1; 4 .
2
Câu 19. Nếu log 2 log8 x log 8 log 2 x thì log 2 x bằng A. 3.
B. 3 3.
C. 27.
D. 2
Câu 20. Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số f x 2sin x 2cos A. 2 và 2 2.
B. 2 và 3.
C.
2
x
1 . 3
lần lượt là
2 và 3.
D. 2 2 và 3.
Câu 21. Nếu log 8 a log 4 b 2 5 và log 4 a 2 log 8 b 7 thì giá trị của ab bằng A. 29.
B. 218.
C. 8.
D. 2.
C. 2.
D. e.
C. 5.
D. 6.
a
Câu 22. Nếu
x
xe dx 1 thì giá trị của a bằng 0
A. 0.
B. 1.
6
Câu 23. Nếu
sin 0
A. 3.
n
x cos xdx
1 thì n bằng 64 B. 4.
TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập
Trang 2/21
Cập nhật đề thi mới nhất tại http://toanhocbactrungnam.vn/ n 1
Câu 24. Giá trị của lim
n
1
1 e
x
dx bằng
n
A. 1.
B. 1.
C. e.
D. 0.
x2
Câu 25. Cho hàm số G x cos t dt. Đạo hàm của G x là 0
A. G x 2 x cos x .
B. G x 2 x cos x.
C. G x x cos x.
Câu 26. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y
D. G x 2 x sin x.
1 , trục hoành và hai đường thẳng x 1 , x
x e là A. 0.
B. 1.
C. e.
D.
1 . e
Câu 27. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y 2 4 x và đường thẳng x 1 bằng S . Giá trị của S là 3 8 A. 1. B. . C. . D. 16. 8 3 Câu 28. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi nhánh đường cong y x 2 với x 0, đường thẳng y 2 x và trục hoành bằng 7 1 5 A. 2. B. . C. . D. . 6 3 6 Câu 29. Phương trình z 2 iz 1 0 có tập nghiệm là
1 5 1 5 A. i; i . 2 2
1 5 1 5 B. i; i. 2 2
1 i 5 1 i 5 C. ; . 2 2
1 i 5 1 i 5 D. i; . 2 2
1 3 Câu 30. Cho a, b, c là các số thực và z i . Giá trị của a bz cz 2 a bz 2 cz bằng 2 2 A. a b c. B. a 2 b 2 c 2 ab bc ca. C. a 2 b 2 c 2 ab bc ca. D. 0. Câu 31. Gọi z1 , z 2 là hai nghiệm phức của phương trình z 2 z 1 0. Giá trị của A. 0.
B. 1.
Câu 32. Nếu số phức z 1 thỏa z 1 thì phần thực của A.
1 . 2
1 B. . 2
C. 2.
1 1 bằng z1 z2
D. 4.
1 bằng 1 z
C. 2.
D. một giá trị khác.
Câu 33. Cho P z là một đa thức với hệ số thực. Nếu số phức z thỏa mãn P z 0 thì A. P z 0.
1 B. P 0. z
TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập
1 C. P 0. z
D. P z 0.
Trang 3/21
Cập nhật đề thi mới nhất tại http://toanhocbactrungnam.vn/
Câu 34. Cho z1 , z 2 , z3 là các số phức thỏa z1 z2 z3 1. Khẳng định nào dưới đây là đúng? A. z1 z2 z3 z1 z2 z2 z3 z3 z1 .
B. z1 z2 z3 z1 z2 z2 z3 z3 z1 .
C. z1 z2 z3 z1 z2 z2 z3 z3 z1 .
D. z1 z2 z3 z1 z 2 z2 z3 z3 z1 .
Câu 35. Cho z1 , z 2 , z3 là các số phức thỏa mãn z1 z2 z3 0 và z1 z2 z3 1. Khẳng định nào dưới đây là sai ? A. z13 z23 z33 z13 z23 z33 .
B. z13 z23 z33 z13 z 23 z33 .
C. z13 z23 z33 z13 z 23 z33 .
D. z13 z23 z33 z13 z23 z33 .
Câu 36. Nếu ba kích thước của một khối hộp chữ nhật được tăng lên (hoặc giảm đi) lần lượt k1 , k2 , k3 lần nhưng thể tích vẫn không thay đổi thì A. k1 k2 k3 1. C. k1k2 k 2 k3 k3 k1 1.
B. k1k2 k3 1. D. k1 k2 k3 k1k 2 k3 .
Câu 37. Các đường chéo của các mặt của một hình hộp chữ nhật bằng a, b, c . Thể tích của khối hộp đó là A. V B. V
b
2
c 2 a 2 c 2 a 2 b 2 a 2 b 2 c 2
8 2 2 2 2 2 b c a c a b2 a 2 b2 c 2 8
.
.
C. V abc. D. V a b c. Câu 38. Cho khối đa diện đều n mặt có thể tích V và diện tích mỗi mặt của nó bằng S . Khi đó, tổng các khoảng cách từ một điểm bất kì bên trong khối đa diện đó đến các mặt của nó bằng nV V 3V V A. . B. . C. . D. . S nS S 3S Câu 39. Một hình hộp đứng có đáy là hình thoi cạnh a , góc nhọn 60 và đường chéo lớn của đáy bằng đường chéo nhỏ của hình hộp. Thể tích của khối hộp đó là A. a3 .
B.
3a 3 .
C.
3a 3 . 2
D.
6a3 . 2
Câu 40. Một hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng b . Thể tích của khối chóp đó là A.
a2 3b 2 a 2 . 4
B.
a2 3b 2 a 2 . 12
C.
a2 3b 2 a 2 . 6
D. a 2 3b 2 a 2 .
Câu 41. Một hình lăng trụ có đáy là tam giác đều cạnh bằng a , cạnh bên bằng b và tạo với mặt phẳng đáy một góc . Thể tích của khối chóp có đáy là đáy của lăng trụ và đỉnh là một điểm bất kì trên đáy còn lại là A.
3 2 a b sin . 12
B.
3 2 a b sin . 4
C.
3 2 a b cos . 12
D.
3 2 a b cos . 4
Câu 42. Một hình chóp tứ giác đều có đáy là hình vuông cạnh a , các mặt bên tạo với đáy một góc . Thể tích của khối chóp đó là A.
a3 sin . 2
B.
a3 tan . 2
TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập
C.
a3 cot . 6
D.
a3 tan . 6 Trang 4/21
Cập nhật đề thi mới nhất tại http://toanhocbactrungnam.vn/
Câu 43. Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vuông cạnh a . Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, cạnh bên SC tạo với mặt phẳng SAB một góc 30 . Thể tích của khối chóp đó bằng A.
3a 3 . 3
B.
2a 3 . 4
C.
2a 3 . 2
2a 3 . 3
D.
Câu 44. Cho bốn điểm A a; 1; 6 , B 3; 1; 4 , C 5; 1;0 , D 1; 2;1 và thể tích của tứ diện ABCD bằng 30. Giá trị của a là A. 1. B. 2.
C. 2 hoặc 32.
D. 32.
Câu 45. Cho A 2;1; 1 , B 3, 0,1 , C 2, 1, 3 , điểm D nằm trên trục Oy và thể tích tứ diện ABCD bằng 5. Tọa độ điểm D là: A. 0; 7; 0 .
B. 0; 7;0 hoặc 0;8; 0 .
C. 0;8; 0 .
D. 0;7;0 hoặc 0; 8; 0 .
Câu 46. Cho 2 điểm M 2;3;1 , N 5; 6; 2 . Đường thẳng MN cắt mặt phẳng Oxz tại điểm A. Điểm A chia đoạn thẳng MN theo tỉ số A. 2.
B. 2.
1 C. . 2
D.
1 . 2
Câu 47. Cho A 5;1;3 , B 5;1; 1 , C 1; 3; 0 , D 3; 6; 2 . Tọa độ của điểm A đối xứng với A qua mặt phẳng BCD là A. 1;7;5 . Câu 48. Cho đường thẳng d :
B. 1; 7;5 .
C. 1; 7; 5 .
D. 1; 7;5 .
x 1 y 1 z 2 . Hình chiếu vuông góc của d trên mặt phẳng Oxy 2 1 1
có phương trình là x 0 A. y 1 t . z 0
x 1 2t B. y 1 t . z 0
x 1 2t C. y 1 t . z 0
x 1 2t D. y 1 t . z 0
Câu 49. Cho hai điểm A 3;3;1 , B 0; 2;1 và mặt phẳng : x y z 7 0 . Đường thẳng d nằm trên sao cho mọi điểm của d cách đều 2 điểm A, B có phương trình là x t A. y 7 3t . z 2t
x t B. y 7 3t . z 2t
x t C. y 7 3t . z 2t
x 2t D. y 7 3t . z t
x 2 t x 2 2t Câu 50. Cho hai đường thẳng d1 : y 1 t và d 2 : y 3 . Mặt phẳng cách đều hai đường thẳng z 2t z t
d1 và d 2 có phương trình là A. x 5 y 2 z 12 0.
B. x 5 y 2 z 12 0.
C. x 5 y 2 z 12 0.
D. x 5 y 2 z 12 0.
----------HẾT---------TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập
Trang 5/21
Cập nhật đề thi mới nhất tại http://toanhocbactrungnam.vn/
BẢNG ĐÁP ÁN 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 C C C D B A C D A B D D A B C D C B C D A B A D B 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 B C D A B C A D A D B A C D B A D D C B D C B A D
HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1.
2
3
Cho hàm số f có đạo hàm là f x x x 1 x 2 với mọi x . Số điểm cực trị của hàm số f là A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. 3.
Hướng dẫn giải Chọn C.
f x x x 1 x y
2
x 2 3 0 x 0 hoặc
–∞ +
2 0 CĐ
–
x 1 hoặc x 2 .
0 0
+
1 0
+∞ +
y
0 CT
Số điểm cực trị của hàm số là 2 . Câu 2.
Các đường tiệm cận của đồ thị hàm số y
4 x 5 tạo với hai trục toạ độ một hình chữ nhật có 2x 3
diện tích bằng A. 1.
B. 2.
C. 3.
D.
3 . 2
Hướng dẫn giải Chọn C. 4 x 5 3 có TCĐ: x và TCN: y 2 2x 3 2 3 Diện tích hình chữ nhật là S .2 3 . 2
Đồ thị hàm số y
Câu 3.
mx 2 2 x m 1 . Đường thẳng nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số này 2x 1 vuông góc với đường phân giác của góc phần tư thứ nhất khi m bằng 1 A. 0. B. 1. C. 1. D. . 2 Cho hàm số y
Hướng dẫn giải Chọn C. Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số
TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập
Trang 6/21
Cập nhật đề thi mới nhất tại http://toanhocbactrungnam.vn/
u x mx 2 2 x m 1 u x 2mx 2 y là y mx 1 v x 2x 1 v x 2 Đường thẳng d : y mx 1 vuông góc với đường thẳng y x nên m 1 . Câu 4.
Đồ thị hàm số y
1 3 A. ; . 2 2
3x 1 có tâm đối xứng là điểm 2x 1 1 3 1 3 B. ; . C. ; . 2 2 2 2
1 3 D. ; . 2 2
Hướng dẫn giải Chọn D. 3x 1 1 3 nhận đường x là tiệm cận đứng và đường y là 2x 1 2 2 1 3 tiệm cận ngang nên C có tâm đối xứng là I ; . 2 2
Đồ thị C của hàm số y
Câu 5.
x 2 . Khẳng định nào sau đây đúng? x 1 A. Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ;1 và 1; .
Cho hàm số y
B. Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng ;1 và 1; . C. Hàm số đồng biến trên \ 1 . D. Hàm số đồng biến với mọi x 1. Hướng dẫn giải Chọn B. Ta có y
1
x 1
Do đó hàm số y Câu 6.
2
0, x 1.
x 2 nghịch biến trên mỗi khoảng ;1 và 1; . x 1
Đường thẳng y 6 x m là tiếp tuyến của đường cong y x 3 3x 1 khi m bằng A. 3 hoặc 1 .
B. 1 hoặc 3.
C. 1 hoặc 3.
D. 3 hoặc 1.
Hướng dẫn giải Chọn A. Điều kiện tiếp xúc là hệ sau có nghiệm
x 3 3x 1 6 x m m x 3 3 x 1 m 3 2 x 1 3 x 3 6 m 1 Câu 7.
Hàm số y x 3 3 x 1 m có giá trị cực đại và giá trị cực tiểu trái dấu khi A. m 1 hoặc m 3. B. m 1 hoặc m 3 . C. 1 m 3.
D. 1 m 3.
Hướng dẫn giải Chọn C. x 1 y 1 m Ta có y 3 x 2 3 0 x 1 y 3 m TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập
Trang 7/21
Cập nhật đề thi mới nhất tại http://toanhocbactrungnam.vn/
Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu trái dấu 1 m 3 m 0 1 m 3 Câu 8.
Hàm số f x x 1 x 2 có tập giá trị là A. 1;1 .
C. 0; 1 .
B. 1; 2 .
D. 1; 2 .
Hướng dẫn giải Chọn D. Tập xác định D 1;1 ; y 1
x 1 x
2
; y 0
x 1 x
2
1 x 1 x2
x 0 2 (do x 0 ) 2 x 2 2 x 1 x Bảng biến thiên
x
2 2
1
y
1
0
2
y 1 Vậy tập giá trị của f x là 1; 2
Câu 9.
1
Đường thẳng nối điểm cực đại với điểm cực tiểu của đồ thị hàm số y x 3 x m đi qua điểm M 3; 1 khi m bằng
A. 1.
B. 1.
C. 0.
D. một giá trị khác.
Hướng dẫn giải Chọn A. Ta có: y 3 x 2 1
y
1 2 1 2 x 3x 2 1 x m = x. y x m 3 3 3 3
2 Phương trình đường thẳng đi qua 2 cực trị là d : y x m 3 M 3; 1 d 1 2 m m 1 Câu 10. Khi phương trình sin x cos x sin 2 x m có nghiệm thực khi và chỉ khi A.
2 1 m 1.
B.
5 2 1 m . 4
5 C. 1 m . 4
5 D. m 1 hoặc m . 4
Hướng dẫn giải Chọn B. Đặt t sin x cos x , t 0; 2 phương trình trở thành t 1 t 2 m t 2 t 1 m 1 1 5 Xét f (t ) t 2 t 1 f (t ) 2t 1 0 t ; f (0) 1; f ; f 2 2 1 . 2 2 4
TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập
Trang 8/21
Cập nhật đề thi mới nhất tại http://toanhocbactrungnam.vn/
2 1 m
Do đó phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi Câu 11. Số điểm có tọa độ nguyên nằm trên đồ thị hàm số y A. 0.
B. 1.
5 4
3x 7 là 2x 1
C. 2.
D. 4.
Hướng dẫn giải Chọn D. 3x 7 6 x 14 17 y 2y 3 2x 1 2x 1 2x 1 y 2 y 2 x 1 17; 1;1;17 x 8; 0;1;9
x 8 y 1; x 0 y 7; x 1 y 10; x 9 y 2 Câu 12. Cho n 1 là một số nguyên. Giá trị của biểu thức B. n.
A. 0.
1 1 1 ... bằng log 2 n ! log 3 n ! log n n !
C. n !.
D. 1.
Hướng dẫn giải Chọn D. n 1, n
1 1 1 1 ... log n ! 2 log n! 3 log n ! 4 ... log n! n log 2 n ! log 3 n ! log 4 n ! log n n !
log n! 2.3.4...n log n! n ! 1 2
Câu 13. Số nghiệm thực của phương trình log x 1 2 là A. 2.
B. 1.
C. 0.
D. một số khác.
Hướng dẫn giải Chọn A 2
ĐK: x 1 0 x 1 x 11 2 log x 1 2 2 log x 1 2 log x 1 1 x 1 10 tm x 9 Câu 14. Số nghiệm thực nguyên của bất phương trình log 2 x 2 11x 15 1 là A. 3.
B. 4 .
C. 5.
D. 6.
Hướng dẫn giải Chọn B. ĐK: 2 x 2 11x 15 0 x
5 hoặc x 3 . 2
log 2 x 2 11x 15 1 2 x 2 11x 15 10 2 x 2 11x 5 0
Kết hợp điều kiện ta có:
1 x 5. 2
1 5 x hoặc 3 x 5 . 2 2
Vậy BPT có 4 nghiệm nguyên là : x 1;2;4;5 .
TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập
Trang 9/21
Cập nhật đề thi mới nhất tại http://toanhocbactrungnam.vn/
Câu 15. Bất phương trình max log 3 x, log 1 x 3 có tập nghiệm là 2 1 A. ; 27 . B. 8; 27 . C. ; 27 . 8
D. 27; .
Hướng dẫn giải Chọn C. Điều kiện: x 0 . max log3 x, log 1 2
x 27 log 3 x 3 1 x 3 log x 3 1 x 27 . 1 8 2 x 8
1 Vậy tập nghiệm của BPT là: ; 27 . 8
Câu 16. Phương trình log 2 x.log 4 x.log 6 x log 2 x.log 4 x log 2 x.log 6 x log 4 x.log 6 x có tập nghiệm là A. 1 .
B. 2; 4; 6 .
C. 1;12 .
D. 1; 48 .
Hướng dẫn giải Chọn D. log 2 x.log 4 x.log 6 x log 2 x.log 4 x log 2 x.log 6 x log 4 x.log 6 x 1 1 1 log 22 x.log 4 x log 22 x log 2 x.log 6 x log 2 x.log 6 x 2 2 2
x 1 log 2 x 0 log 2 x.log 6 x log 2 x 3log 6 x log 2 x.log 6 x log 2 x 3log 6 x
2
Với x 1 , ta có log 2 x 3log 6 x log 6 x 1 3log 6 2 log 2 x
2 log 6 x
log 6 x log 6 48 x 48
Câu 17. Cho log 9 x log12 y log16 x y . Giá trị của tỉ số A.
3 5 . 2
B.
3 5 . 2
x là y
C.
5 1 . 2
D.
1 5 . 2
Hướng dẫn giải Chọn C.
x 9t Đặt log 9 x log12 y log16 x y t y 12t t x y 16 2t
t
t
x 1 5 3 3 3 1 5 9 12 16 1 0 2 y 2 4 4 4 t
t
t
TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập
Trang 10/21
Cập nhật đề thi mới nhất tại http://toanhocbactrungnam.vn/
2x 1 Câu 18. Bất phương trình log 1 log 3 0 có tập nghiệm là x 1 2 A. ; 2 4; . B. ; 2 4; . C. 4; .
D. 2; 1 1; 4 .
Hướng dẫn giải Chọn B.
x 4 2x 1 2x 1 x 4 log 1 3 0 3 x 1 x 1 x 1 x 2 x 1 BPT x 4 log 2 x 1 0 2x 1 1 x 2 0 x 1 3 x 1 x 1 x 2 x 1 2
Câu 19. Nếu log 2 log8 x log 8 log 2 x thì log 2 x bằng A. 3.
B. 3 3.
C. 27.
D.
1 . 3
Hướng dẫn giải Chọn C.
log 8 x 3 log 2 x log 32 x 27 log 2 x Ta có: log 2 log8 x log 8 log 2 x log 22 x 27 . log x 0 2 log 2 x 0 2
Câu 20. Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số f x 2sin x 2cos A. 2 và 2 2.
B. 2 và 3.
C.
2
x
lần lượt là
2 và 3.
D. 2 2 và 3.
Hướng dẫn giải Chọn D. 2
Đặt 2sin x t , t 1; 2 , suy ra: f x g t t
g t 0 t 2 , g 1 3, g
2 2
2 t
2, g 2 3
Vậy min g t 2 2, max g t 3 . 1;2
1;2
Câu 21. Nếu log 8 a log 4 b 2 5 và log 4 a 2 log 8 b 7 thì giá trị của ab bằng A. 29.
B. 218.
C. 8.
D. 2.
Hướng dẫn giải Chọn A. Đặt x log 2 a a 2 x ; y log 2 b b 2 y . 1 x y 5 x 3 y 15 x 6 log 8 a log 4 b 5 3 Ta có . Suy ra ab 2 x y 29 . 2 1 3 x y 21 y 3 log 4 a log8 b 7 x y 7 3 2
a
Câu 22. Nếu
x
xe dx 1 thì giá trị của a bằng 0
A. 0.
B. 1.
TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập
C. 2.
D. e. Trang 11/21
Cập nhật đề thi mới nhất tại http://toanhocbactrungnam.vn/
Hướng dẫn giải Chọn B. a u x du dx Ta có: I xe x dx 1 . Đặt x x 0 d v e dx v e a
a
a
a
0
0
Khi đó: I xe x e x dx xe x e x ae a e a 1 e a a 1 1 0
0
Từ giả thiết, suy ra e a a 1 1 1 a 1 6
Câu 23. Nếu
sin
n
x cos xdx
0
1 thì n bằng 64
A. 3.
B. 4.
C. 5.
D. 6.
Hướng dẫn giải Chọn A. Đặt t sin x dt cos xdx . Đổi cận: khi x 0 t 0; x 1 2
Khi đó: I t n dt 0
1 Suy ra 2
n 1
t 1 1 . n 1 0 n 1 2
1
1 e
n
n 1
1 . 64
n 1 có nghiệm duy nhất n 3 (tính đơn điệu). 64 n 1
Câu 24. Giá trị của lim
1 n 1 2
1 t 6 2
x
dx bằng
n
A. 1.
C. e.
B. 1.
D. 0.
Hướng dẫn giải Chọn D. n 1
Ta có: I
1
1 e
x
dx
n
Đặt t 1 e x dt e x dx . Đổi cận: Khi x n t 1 e n ; x n 1 t 1 e n 1 1 e n1
Khi đó: I
1 en
1 dt t t 1
1 e n1
1 e n
1 en1 1 en 1 1 d t ln t 1 ln t 1 ln 1en t 1 t 1 e n 1
n
1 en Mà 1 e n 1
1 1 1 1 e n khi n , Do đó, lim I 1 ln 0 n e e 1 e e x2
Câu 25. Cho hàm số G x cos t dt. Đạo hàm của G x là 0
A. G x 2 x cos x .
B. G x 2 x cos x.
C. G x x cos x.
D. G x 2 x sin x.
Hướng dẫn giải TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập
Trang 12/21
Cập nhật đề thi mới nhất tại http://toanhocbactrungnam.vn/
Chọn B. x2
Đặt cos t dt F t F t cos t cos t dt F x 2 F 0 G x F x 2 .2 x 0
2 x.cos x 2 2 x cos x 2 x cos x . Câu 26. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y
1 , trục hoành và hai đường thẳng x 1 , x
x e là A. 0.
C. e.
B. 1.
D.
1 . e
Hướng dẫn giải Chọn B. e
Ta có S 1
e
1 1 e dx dx ln x 1 1. x 1 x
Câu 27. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y 2 4 x và đường thẳng x 1 bằng S . Giá trị của S là 3 8 A. 1. B. . C. . D. 16. 8 3 Hướng dẫn giải Chọn C. Ta có : Phương trình tung độ giao điểm
y2 1 y 2 4
2
2
y2 y3 4 4 8 S 1 dy y . 4 3 3 3 12 2 2 Câu 28. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi nhánh đường cong y x 2 với x 0, đường thẳng y 2 x và trục hoành bằng A. 2.
B.
7 . 6
C. Hướng dẫn giải
Chọn . Phương trình hoành độ giao điểm : x 2 2 x x 2 x 2 0 x 1 hoặc x 2 . 1
1 . 3
D. 6
4
2
O 1
2
5 Ta có S x dx 2 x dx 6 0 1 2
5 . 6
2
5
2
4
Câu 29. Phương trình z 2 iz 1 0 có tập nghiệm là
1 5 1 5 A. i; i . 2 2
TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập
1 5 1 5 B. i; i. 2 2
Trang 13/21
Cập nhật đề thi mới nhất tại http://toanhocbactrungnam.vn/
1 i 5 1 i 5 C. ; . 2 2
1 i 5 1 i 5 D. i; . 2 2 Hướng dẫn giải
Chọn A. Ta có i 2 4 5 . Một căn bậc hai của là Phương trình có hai nghiệm phân biệt
5i .
i 5i 1 5 i. 2 2
1 3 Câu 30. Cho a, b, c là các số thực và z i . Giá trị của a bz cz 2 a bz 2 cz bằng 2 2 A. a b c. B. a 2 b 2 c 2 ab bc ca. C. a 2 b 2 c 2 ab bc ca. D. 0. Hướng dẫn giải Chọn B.
1 3 1 3 3 PP tự luận: Ta có z i z2 i ; z 1; z 4 z và z 2 z 1 2 2 2 2 Ta có a bz cz 2 a bz 2 cz a 2 b 2 z 3 c 2 z 3 ab z 2 z bc z 2 z ca z 2 z
a 2 b 2 c 2 ab bc ca PP trắc nghiệm: Chọn a 1; b 2; b 3 . Ta có (a bz cz 2 )(a bz 2 cz) (1 2 z 3 z 2 )(1 2 z 2 3 z ) 3 . Thử các đáp án với a 1; b 2; b 3 ta thấy chỉ có B thỏa mãn. Câu 31. Gọi z1 , z 2 là hai nghiệm phức của phương trình z 2 z 1 0. Giá trị của A. 0.
B. 1.
C. 2.
1 1 bằng z1 z2
D. 4.
Hướng dẫn giải Chọn C. Phương trình z 2 z 1 0 có hai nghiệm z1 Có z1 z2 1 . Vậy
1 3 1 3 i,z2 i. 2 2 2 2
1 1 2. z1 z2
Câu 32. Nếu số phức z 1 thỏa z 1 thì phần thực của A.
1 . 2
1 B. . 2
1 bằng 1 z
C. 2.
D. một giá trị khác.
Hướng dẫn giải Chọn A. Gọi z a bi, a,b ,z 1. Do z 1 a 2 b 2 1 . Ta có
1 1 1 a bi 1 a b i 1 b i . 1 z 1 a bi 1 a 2 b2 2 2a 2 2a 2 2 2a
TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập
Trang 14/21
Cập nhật đề thi mới nhất tại http://toanhocbactrungnam.vn/
1 1 là . 1 z 2
Vậy phần thực của số phức
Câu 33. Cho P z là một đa thức với hệ số thực. Nếu số phức z thỏa mãn P z 0 thì
1 B. P 0. z
A. P z 0.
1 C. P 0. z
D. P z 0.
Hướng dẫn giải Chọn D. Giả sử P z có dạng P z a0 a1 z a2 z 2 ... an z n a0 ; a1 ; a2 ;...; an ; an 0
P z 0 a0 a1 z a2 z 2 ... an z n 0 a0 a1 z a2 z 2 ... an z n 0 a0 a1 z a2 z 2 ... an z n 0 P z 0
Câu 34. Cho z1 , z 2 , z3 là các số phức thỏa z1 z2 z3 1. Khẳng định nào dưới đây là đúng? A. z1 z2 z3 z1 z2 z2 z3 z3 z1 .
B. z1 z2 z3 z1 z2 z2 z3 z3 z1 .
C. z1 z2 z3 z1 z2 z2 z3 z3 z1 .
D. z1 z2 z3 z1 z 2 z2 z3 z3 z1 .
Hướng dẫn giải Chọn A. Kí hiệu Re : là phần thực của số phức. 2
2
2
2
Ta có z1 z2 z3 z1 z 2 z3 2 Re z1 z2 z2 z3 z3 z1 3 2 Re z1 z2 z2 z3 z3 z1 (1). 2
2
2
2
z1 z 2 z2 z3 z3 z1 z1 z 2 z2 z3 z3 z1 2 Re z1 z2 z2 z3 z2 z3 z3 z1 z3 z1 z1 z2 2
2
2
2
2
2
2
2
2
z1 . z 2 z2 . z3 z3 . z1 2 Re z1 z2 z3 z2 z3 z1 z3 z1 z2
3 2 Re z1 z3 z2 z1 z3 z 2 3 2 Re z1 z2 z3 z3 z3 z1 (2).
Từ 1 và 2 suy ra z1 z2 z3 z1 z 2 z2 z3 z3 z1 . Các h khác: B hoặc C đúng suy ra D đúngLoại B, C. Chọn z1 z2 z3 A đúng và D sai Câu 35. Cho z1 , z 2 , z3 là các số phức thỏa mãn z1 z2 z3 0 và z1 z2 z3 1. Khẳng định nào dưới đây là sai ? A. z13 z23 z33 z13 z23 z33 .
B. z13 z23 z33 z13 z 23 z33 .
C. z13 z23 z33 z13 z 23 z33 .
D. z13 z23 z33 z13 z23 z33 . Hướng dẫn giải
Chọn D. Ta có: z1 z2 z3 0 z 2 z3 z1
z1 z2 z3
3
z13 z23 z33 3 z1 z2 z1 z3 z1 z2 z3 3z 2 z3 z2 z3
z13 z23 z33 3z1 z2 z3 z13 z 23 z33 3 z1 z2 z3 .
z13 z23 z33 3z1 z 2 z3 3 z1 z2 z3 3 3
3
3
Mặt khác z1 z2 z3 1 nên z1 z 2 z3 3 . Vậy phương án D sai. TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập
Trang 15/21
Cập nhật đề thi mới nhất tại http://toanhocbactrungnam.vn/
Câu 36. Nếu ba kích thước của một khối hộp chữ nhật được tăng lên (hoặc giảm đi) lần lượt k1 , k2 , k3 lần nhưng thể tích vẫn không thay đổi thì A. k1 k2 k3 1.
B. k1k2 k3 1.
C. k1k2 k 2 k3 k3 k1 1.
D. k1 k2 k3 k1k 2 k3 . Hướng dẫn giải
Chọn B. Gọi a , b , c là 3 kích thước khối hộp chữ nhật ban đầu, thể tích khối hộp chữ nhật là V a.b.c . Sau khi được tăng lên (hoặc giảm đi) lần lượt k1 , k2 , k3 thì ba kích thước của khối hộp chữ nhật mới là ak1 , bk2 , ck3 , thể tích khối hộp chữ nhật mới là V abck1k2 k3 . Thể tích khối hộp chữ nhật không thay đổi nên V V abc abck1k2 k3 k1k2 k3 1 . Câu 37. Các đường chéo của các mặt của một hình hộp chữ nhật bằng a, b, c . Thể tích của khối hộp đó là A. V
b
b B. V
2
c 2 a 2 c 2 a 2 b 2 a 2 b 2 c 2 8
2
c 2 a 2 c 2 a 2 b 2 a 2 b 2 c 2 8
. B
C a
x
. A
C. V abc. D. V a b c.
z
y
D
c
b
B
C
Hướng dẫn giải Chọn A. Giả sử hình hộp chữ nhật có ba kích thước: x, y, z .
A
D
x2 y2 a2 y2 a2 x2 y 2 a 2 x2 Theo yêu cầu bài toán ta có y 2 z 2 c 2 y 2 z 2 c 2 a 2 x 2 b 2 x 2 c 2 x 2 z 2 b2 z 2 b2 x 2 z 2 b2 x2 2 a 2 b2 c2 y 2 2 a b2 c2 x2 V 2 2 b2 c2 a 2 z 2
a
2
c 2 b 2 a 2 b 2 c 2 b 2 c 2 a 2 8
Câu 38. Cho khối đa diện đều n mặt có thể tích V và diện tích mỗi mặt của nó bằng S . Khi đó, tổng các khoảng cách từ một điểm bất kì bên trong khối đa diện đó đến các mặt của nó bằng nV V 3V V A. . B. . C. . D. . S nS S 3S Hướng dẫn giải
S
Chọn C. Xét trong trường hợp khối tứ diện đều. Các trường hợp khác hoàn toàn tương tự. TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập
H A
C
B
Trang 16/21
Cập nhật đề thi mới nhất tại http://toanhocbactrungnam.vn/
1 1 1 1 Ta có VH . ABC h1.S ; VH . SBC h2 .S ; VH .SAB h3 .S ; VH . SAC h4 .S 3 3 3 3 3 V1 V2 V3 V4 3V 3V 3V 3V 3V h1 1 ; h2 2 ; h3 3 ; h4 4 h1 h2 h3 h4 S S S S S S
Câu 39. Một hình hộp đứng có đáy là hình thoi cạnh a , góc nhọn 60 và đường chéo lớn của đáy bằng đường chéo nhỏ của hình hộp. Thể tích của khối hộp đó là A. a3 .
B.
3a 3 .
C.
3a 3 . 2
6a3 . 2
D.
Hướng dẫn giải B
Chọn D.
a
A
C
a
60
D
Ta có AC BD a 3 ; BB BD2 BD 2 a 2 Vậy thể tích khối hộp đứng bằng
B
C
3
V B.h
1 a 6 a.a 3.a 2 . 2 2
A
D
Câu 40. Một hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng b . Thể tích của khối chóp đó là
a2 A. 3b 2 a 2 . 4
a2 B. 3b 2 a 2 . 12
a2 C. 3b 2 a 2 . 6
D. a 2 3b 2 a 2 .
Hướng dẫn giải
S
Chọn B. b
h
a2 3b 2 a 2 Chiều cao của hình chóp là h SA AH b . 3 A 3 2
2
2
1 1 3b 2 a 2 a 2 3 a 2 3b 2 a 2 Thể tích khối chóp là V h.S ABC . . 3 3 4 12 3
H
a
C
B
Câu 41. Một hình lăng trụ có đáy là tam giác đều cạnh bằng a , cạnh bên bằng b và tạo với mặt phẳng đáy một góc . Thể tích của khối chóp có đáy là đáy của lăng trụ và đỉnh là một điểm bất kì trên đáy còn lại là A.
3 2 a b sin . 12
B.
3 2 a b sin . 4
C.
3 2 a b cos . 12
D.
3 2 a b cos . 4
Hướng dẫn giải Chọn A.
TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập
Trang 17/21
Cập nhật đề thi mới nhất tại http://toanhocbactrungnam.vn/
A
C
S
B
A
C
H
H B
Gọi H là hình chiếu của A trên ABC . Khi đó AAH . Ta có AH AA.sin b sin nên thể tích khối lăng trụ là
a 2b 3 sin . 4 Lại có chiều cao của chóp theo yêu cầu đề bài chính là chiều cao của lăng trụ và bằng AH nên VABC . ABC AH .SABC
1 a 2 b 3 sin thể tích khối chóp là VS . ABC VABC . ABC . 3 12 Câu 42. Một hình chóp tứ giác đều có đáy là hình vuông cạnh a , các mặt bên tạo với đáy một góc . Thể tích của khối chóp đó là A.
a3 sin . 2
B.
a3 tan . 2
C.
a3 cot . 6
D.
a3 tan . 6
Hướng dẫn giải Chọn D. S
A
D
N
O
B
C
. Gọi O là hình chiếu của S trên đáy, M là trung điểm CD .Khi đó SMO Có SO OM .tan
1 a 3 tan a.tan nên thể tích khối chóp đã cho là V .SO.S ABCD . 2 3 6
Câu 43. Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vuông cạnh a . Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, cạnh bên SC tạo với mặt phẳng SAB một góc 30 . Thể tích của khối chóp đó bằng A.
3a 3 . 3
B.
2a 3 . 4
C.
2a 3 . 2
D.
Hướng dẫn giải
2a 3 . 3
S
Chọn D. 30
Ta có: Diện tích đáy: S ABCD a 2 . TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập
Trang 18/21
A
D
Cập nhật đề thi mới nhất tại http://toanhocbactrungnam.vn/
tan CSB
BC a SB a 3 SB tan 300
Xét tam giác SAB có: SA SB 2 AB 2 a 2
1 a3 2 Thể tích của khối chóp là: V a 2 a 2 . 3 3 Câu 44. Cho bốn điểm A a; 1; 6 , B 3; 1; 4 , C 5; 1;0 , D 1; 2;1 và thể tích của tứ diện ABCD bằng 30. Giá trị của a là A. 1. B. 2.
C. 2 hoặc 32.
D. 32.
Hướng dẫn giải Chọn C. Ta có: BC 8;0; 4 , BD 4;3;5 , BA a 3;0;10 BC , BD 12; 24; 24 BC , BD .BA 12 a 3 240 204 12a a 2 1 1 V BC , BD .BA 204 12a 30 34 2a 30 6 6 a 32 Câu 45. Cho A 2;1; 1 , B 3, 0,1 , C 2, 1, 3 , điểm D nằm trên trục Oy và thể tích tứ diện ABCD bằng 5. Tọa độ điểm D là: A. 0; 7; 0 .
B. 0; 7;0 hoặc 0;8; 0 .
C. 0;8; 0 .
D. 0;7;0 hoặc 0; 8; 0 . Hướng dẫn giải
Chọn B.
D Oy D 0; y; 0 . Ta có: AB 1; 1;2 , AC 0; 2; 4 , AD 2; y 1;1 AB, AC . AD 4 y 1 2 4 y 2
Theo đề:
y 7 D 0; 7; 0 1 4 y 2 5 6 y 8 D 0;8;0
Câu 46. Cho 2 điểm M 2;3;1 , N 5; 6; 2 . Đường thẳng MN cắt mặt phẳng Oxz tại điểm A. Điểm A chia đoạn thẳng MN theo tỉ số A. 2.
1 C. . 2
B. 2.
D.
1 . 2
Hướng dẫn giải Chọn D. Cách 1: Mặt phẳng (Oxz ) có phương trình y 0 Ta có:
MA d ( M ;(Oxz )) 3 1 . NA d ( N ;(Oxz )) 6 2
TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập
Trang 19/21
Cập nhật đề thi mới nhất tại http://toanhocbactrungnam.vn/
Cách 2: Đường thẳng MN đi qua M 2;3;1 và nhận MN (7;3; 3) làm vectơ chỉ phương
x 2 7t có phương trình y 3 3t z 1 3t
x 2 7t x 9 y 3 3t Tọa độ A là nghiệm của hệ y 0 A(9;0; 4) z 1 3 t z 4 y 0 AM 1 Ta có: MA 67; NA 2 67 nên . AN 2 Câu 47. Cho A 5;1;3 , B 5;1; 1 , C 1; 3; 0 , D 3; 6; 2 . Tọa độ của điểm A đối xứng với A qua mặt phẳng BCD là A. 1;7;5 .
B. 1; 7;5 .
C. 1; 7; 5 .
D. 1; 7;5 .
Hướng dẫn giải Chọn C. Ta có BC (6; 4;1); BD (8; 7;3) BC BD (5; 10; 10) 5(1; 2; 2) Mặt phẳng ( BCD ) qua C và nhận n (1; 2; 2) làm VTPT có pt: x 2 y 2 z 5 0 x 5 t Phương trình AA là: y 1 2t . Gọi H là giao điểm của AA và ( BCD ) thì H (3; 3; 1) z 3 2t
mà H là trung điểm AA nên A(1; 7; 5) Câu 48. Cho đường thẳng d :
x 1 y 1 z 2 . Hình chiếu vuông góc của d trên mặt phẳng Oxy 2 1 1
có phương trình là x 0 A. y 1 t . z 0
x 1 2t B. y 1 t . z 0
x 1 2t C. y 1 t . z 0
x 1 2t D. y 1 t . z 0
Hướng dẫn giải Chọn B. Dễ thấy d cắt (Oxy ) . x 1 2t Phương trình tham số của d : y 1 t . Giả sử d cắt (Oxy ) z 0 tại A thì A(3; 3;0) z 2 t
Lấy M (1; 1;2) d . Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên (Oxy ) x 1 Phương trình MH : y 1 suy ra tọa độ H (1; 1;0) z 2 t
TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập
Trang 20/21
Cập nhật đề thi mới nhất tại http://toanhocbactrungnam.vn/
x 1 2t Phương trình hình chiếu chính là phương trình AH : y 1 t z 0
Câu 49. Cho hai điểm A 3;3;1 , B 0; 2;1 và mặt phẳng : x y z 7 0 . Đường thẳng d nằm trên sao cho mọi điểm của d cách đều 2 điểm A, B có phương trình là x t A. y 7 3t . z 2t
x t B. y 7 3t . z 2t
x t C. y 7 3t . z 2t
x 2t D. y 7 3t . z t
Hướng dẫn giải Chọn A. Mọi điểm trên d cách đều hai điểm A, B nên d nằm trên mặt phẳng trung trực của đoạn AB . 3 5 Có AB 3; 1;0 và trung điểm AB là I ; ;1 nên mặt phẳng trung trực của AB là: 2 2 3 5 3 x y 0 3 x y 7 0 . 2 2 3 x y 7 0 y 7 3x Mặt khác d nên d là giao tuyến của hai mặt phẳng: . x y z 7 0 z 2 x x t Vậy phương trình d : y 7 3t t . z 2t
x 2 t x 2 2t Câu 50. Cho hai đường thẳng d1 : y 1 t và d 2 : y 3 . Mặt phẳng cách đều hai đường thẳng z 2t z t
d1 và d 2 có phương trình là A. x 5 y 2 z 12 0.
B. x 5 y 2 z 12 0.
C. x 5 y 2 z 12 0.
D. x 5 y 2 z 12 0.
A
Hướng dẫn giải Chọn D.
M
B P d1 qua A 2;1;0 và có VTCP là u1 1; 1;2 ; d2 qua B 2;3;0 và có VTCP là u2 2;0;1 . Có u1 , u2 1; 5; 2 ; AB 0;2;0 , suy ra u1 , u2 .AB 10 , nên d1; d2 là chéo nhau.
Vậy mặt phẳng P cách đều hai đường thẳng d1, d2 là đường thẳng song song với d1, d2 và đi qua trung điểm I 2;2;0 của đoạn thẳng AB . Vậy phương trình mặt phẳng P cần lập là: x 5y 2z 12 0 .
TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập
Trang 21/21
