´ UNIVERSIDAD DE CONCEPCION
Electrodin´amica-II, 2014-1
Certamen 2 Electrodin´amica-II
9 de julio de 2014
1.
Escoja s´ olo 1 problema de esta secci´ on 1. Cuando un fot´ on choca contra un electr´on, se dice que tenemos una colisi´on Compton (Compton Scattering). Considere que est´ a en un marco com´ovil con un electr´on (i.e., un electr´on en reposo), y que un fot´ on de energ´ıa inicial E0 colisiona con ´el.
Figura 1: Scattering Compton Encuentre: a) La energ´ıa E del fot´ on despu´es de la colisi´on en t´erminos de su ´angulo de desviaci´on θ (scattering angle), b) Encuentre la longitud de onda λ del fot´on en t´erminos de su ´angulo de desviaci´on, teniendo en cuenta que hc E= λ c) Como resultado de la colisi´ on, el electr´on se mueve. Encuentre el ´angulo φ entre el fot´on original y el electr´ on despu´es de la colisi´on. 2. Considere una carga el´ectrica q en resposo en un sistema de referencia K. En otro sistema de ¯ la carga esta en movimiento rectil´ıneo y uniforme descrito por referencia K, x ¯ (t¯) = v t¯, y¯ (t¯) = 0, z¯ (t¯) = 0. Utilice las transformaciones de Lorentz del campo alectromagn´etico para calcular http://elektroudec-2014-1.blogspot.com/
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¯ i en el sistema K ¯ y a) El campo el´ectrico E ¯ i en el sistema K. ¯ b) El campo magn´etico B 3. Considere el principio de acci´ on electromagn´etico Z τ2 Z 1 1 µν µ 4 dτ. Fµν F + Aµ J − m0 c2 S= d x − c M (4) 4µ0 τ1 a) Calcule las ecuaciones de campo inducidas por este principio de acci´on al variar Aµ → Aµ +δAµ y requerir δS = 0. b) Demuestre que estas ecuaciones corresponden a las ecuaciones de Maxwell con fuentes (i.e. Ley ´ de Gauss y Ley de Ampere–Maxwell)
2.
Problema Obligatorio.
En una l´ampara de rayos X, tenemos un haz de electrones viajando con una velocidad cercana a la de la luz, los cuales chocan contra una l´ amina met´alica.
Figura 2: Radiaci´on de frenado (Bremsstrahlung) Al chocar, sufren una aceleraci´ on enorme, y por lo tanto emiten radiaci´on electromagn´etica. 1. El campo el´ectrico generado por una carga puntual en movimiento arbitrario (campo de Li´enard– Wiechart) viene dado por 2 µ0 q 1 c c Ei (x, t) = (ˆ ni − βi ) + ikm n ˆ k mpj (ˆ np − βp ) β˙ j , 3 2 2 l 4π (1 − n R ˆlβ ) γ R R tr =t− c
en donde R = xi − x ¯i (tr ) corresponde a la distancia tridimensional entre el punto de observaci´ on xi y el punto x ¯i (tr ) en el cual estuvo la carga en el tiempo retardado tr . Adem´as n ˆi = i i 2 i i a x v ˙ i 1 d x¯ β i = 1c d¯ dt = c y β = c dt2 = c .
xi −¯ xi (tr ) , R
A partir de este resultado, demuestre que en el caso de un electr´on que choca contra la l´amina con velocidad y aceleraci´ on ˆ ˜v = vk, ˆ ˜a = −ak,
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entonces las componentes del campo el´ectrico vienen dadas por 2 1 c µ0 e 1 , Ex (x, t) = − − a cos θ cos ϕ sin θ 4π (1 − cos θβ)3 γ 2 R2 R tr =t− R c 2 µ0 e 1 c 1 Ey (x, t) = − − a cos θ sin ϕ sin θ , 4π (1 − cos θβ)3 γ 2 R2 R tr =t− R c 2 µ0 e 1 c 1 2 . Ez (x, t) = − (cos θ − β) + a sin θ 4π (1 − cos θβ)3 γ 2 R2 R tr =t− R c
Pista: Las componentes de n ˆ i en coordenadas esf´ericas corresponden a n ˆ x = cos ϕ sin θ, n ˆ y = sin ϕ sin θ, n ˆ z = cos θ. 2. En el caso de una carga puntual en movimiento arbitrario, es posible demostrar que el campo magn´etico de Li´enard–Wiechart producido por ella corresponde a 1 B i = ijk n ˆ j Ek . c a) A partir de este u ´ltimo resultado, demuestre que el vector de Poynting en el caso de Li´enard– Wiechart corresponde a 1 S i (x, t) = ni E 2 − np Ep E i . µ0 c b) Utilizando la expresi´ on general 2 µ0 q 1 c c Ei = (ˆ ni − βi ) + ikm n ˆ k mpj (ˆ np − βp ) β˙ j 3 4π (1 − n R ˆ l β l ) γ 2 R2
tr =t− R c
para el campo el´ectrico, demuestre que en el caso de radiaci´ on (i.e., cuando se considera s´ olo 1 el t´ermino proporcional a R ) se cumple que el vector de Poynting viene dado s´olo por i Srad (x, t) = i (x, t) = 3. Utilizando esta u ´ltima expresi´ on Srad
1 i 2 n Erad . µ0 c
1 i 2 µ0 c n Erad ,
a) Calcule el vector de Poynting correspondiente al caso de nuestro electr´on chocando contra la l´amina met´ alica. b) ¿Se est´ a radiando energ´ıa sobre el eje z? c) Cuando β = 0 pero β˙ 6= 0, ¿en qu´e direcci´on se est´a radiando con mayor intensidad?
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´ Relaciones Utiles 1. Boost general de Lorentz: Λ0 0 = γ, Λ0 j = −γβj , Λi 0 = −γβ i , γ−1 i β βj . Λi j = δji + β2 2. Cuadrimomentum de una part´ıcula de masa m
γmc E/c γmvx px P µ = mU µ = γmvy = py γmvz pz
,
3. Relaciones u ´tiles entre la energ´ıa y el 3-momentum de una part´ıcula 2 E 2 = mc2 + (pc)2 , pi , E pc
vi = c2
v = cq . (mc2 )2 + (pc)2 4. Cuadricorriente
ρc ρvx J µ = ρ0 U µ = ρvy , ρvz
en donde ρ0 es la densidad de carga propia o com´ovil, y ρ = γρ0 es la densidad de carga observada. 5. Cuadripotencial y Campo Electromagn´etico:
φ c Ax
Aµ = Ay , Az Fµν = ∂µ Aν − ∂ν Aµ . 1 F0i = − Ei , c Fij = ijk B k . 6. Transformaci´ on del Campo Electromagn´etico bajo Boosts generales de Lorentz ¯ i = γE i − γ − 1 β i βj E j + γijk Vj Bk , E β2 ¯i = γBi − γ − 1 βi β j Bj − 1 γijk β j E k . B β2 c http://elektroudec-2014-1.blogspot.com/
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7. Leyes de Conservaci´ on: El Tensor de Momentum-Energ´ıa del campo Electromagn´etico viene dado por 1 1 µ ρσ µ µλ T ν =− Fρσ F δν + F Fλν µ0 4 y obedece la ley de conservaci´ on ∂µ T µν + f ν = 0, con la densidad de fuerzas sobre la materia dada por fµ =
dπµ = Fµν J ν . dτ
Las componentes del tensor de momentum-energ´ıa son 1 1 2 T 00 = B + 0 E 2 = u, 2 µ0 1 ijk 1 T 0i = Ej Bk = S i , µ0 c c 1 1 2 ij 1 2 ij i j i j ij E δ −E E + B δ −B B , T = 0 2 µ0 2 en donde u corresponde a la densidad de energ´ıa del campo electromagn´etico y S i corresponde al vector de Poynting. El vector de Poynting Si =
1 ijk Ej Bk µ0
indica cuanta energ´ıa electromagn´etica est´a pasando por unidad de tiempo y por unidad de ´ area en una cierta direcci´ on. Esto significa que tiene unidades SI h i S~ =
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J m2
5
·s
=
W . m2
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J
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