@@@@@@@@@@@@
www.manti.01.ma
@@@ßìÿa@æî‹ánÜa@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
: ات اM ( z ) دد و ا ط
! A (1 + i ) , B ( z + i )
( )
() , M (z )
N م ازاو%& رؤوس )ﻠثM z N م ازاو%& )آون )ﻠ
N z2
( )
(1
( )
P iz ( ا ط3
,
N i
)
P z 3 ( ا ط2
,
()
,
(
, C 1 + iz
@ @ðäbrÜa@æî‹ánÜa
: ن ات ا0 آM ( z ) دد و ا ط
zz + z + z = 3
iz − 1 ∈ i ℝ (3 z + 2i
(4
z +1+i ∈ℝ z −i
z + i = z − 1 (1
(2
@ @@sÜbrÜa@æî‹ánÜa : ات اz دد2 ا)ﻠ) ا0آ3دد ا
(
)
) (
(
z = 1+i 1+ 3 +i
)
3 −1
z =
(2
θ ∈ ]0, π [ وz = cos 2θ + i cos2 θ (4 π π θ ∈ − , 2 2
وz=
π π α ∈ − , 2 2
1 1 + i tan θ
(6
وz = 1 + i tan α (8
3 3 +i 6 3 +i 3
(1
θ ∈ ]0, 2π [ وz = 1 − cos θ + i sin θ
(3
θ ∈ ]π , 2π [ وz = sin θ + i (1 + cos θ )
(5
π π α ∈ − ,
(7
و
2 2
z =
cos α − i sin α sin α − i cos α
@ @Êia‹Üa@æî‹ánÜa 2 2 2 2 z + z ' + z − z ' = 2 z + z '
(
z +z' = z + z'
)
⇔
( arg (z ) ≡ arg (z ' )
2π
(1
)
: ن ﻠ8
(2
ab + bc + ca = a + b + c ن أن8 1 ره2 أداد دc , b , a ( آن3
(∀ (a,b ) ∈ ℂ )
a
*2
(
z +z' = z + z'
)
⇔
a
2
−
b b
2
=
( arg (z ) ≡ arg (z ' )
a −b ab
2π
(4
)
(5
@ @÷àb©a@æî‹ánÜa Z =
iz >? i =فz دد دي0آ z −i z = 2 + 3i 0 ن أZ ( أ!ب1
Z = 1 + 2i د2 اℂ او0 (2
( ∀z ∈ ℂ − {i })
(Z = Z ) ⇔ z − 21 i z + 21 i − 14 = 0
www.manti.01.ma
: ن أن8 -( أ3
ب -ا! Bو ا ط ) M ( zن ا!وى ) ( Pو ا آون ن أﻠ Z D
)(
(4دد او ) ( Dﻠ ط M zن ا!وى ) ( Pو ا آون ن أﻠZ = 1 D
@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@www.manti.01.ma @@@@@@@@@@@@@@@@@@‘†bÜa@æî‹ánÜa i +z
آن zددا د 8ث z ≠ iو ?> 1 1 (1أ!ب Zن أ+ i 0 2 2 ℂ 0 (2ا2د Z = 2
(3أ -
(4
iz + 1
= Z
= z
أآب 8 Zد zو z
)
()
(
)}(∀z ∈ ℂ − {−i
ب-
8ن أن : Z = −Z ⇔ z + z i(z − z ) − 2 = 0
ج-
ا! ( E ) Bو ا ط ) M ( zا آون ن أﻠ Z Dددا =ﻠ
)(
دد ) ( Dو ا ط M zو ا آون ن أﻠZ = 1 D
)
(
2
(5أ8 -ن أن : Z = Z ⇔ z 2 + z + 2i z − z − 2 = 0
)}(∀z ∈ ℂ − {−i
ب -ا! (C ) Bو ا ط Mذات اﻠق zو ا آون ن أﻠ Z Dددا @ @ÊibÜa@æî‹ánÜa 82ر ا!وى ا 2دي ) ( Pا ط C , B , Aا أ& Dﻠ Hاوا b = −2i , a = 3 + iو c = −2 3 (1دد ا3آ 0ا)ﻠ) ﻠ2ددن a , b b −a 3 (2أ8 -ن أن : = −i b −c 2 ب -ا! Bط 28ا)ﻠث ABC
(3دد dق ا ط Dآ آون ABCDر>8 @ @æàbrÜa@æî‹ánÜa 82ر ا طن B ; Aذات اﻠق z A = 3 + iو z B = −1 + i 3ﻠ Hاوا (1دد ا3آ 0ا)ﻠ) ﻠ2ددن z B , z A
)
(
z (2أ!ب Bو ا! Bط 28ا)ﻠث OA Bو دد &! ﻠزاو OA,OB zA
82 (3ر ا2دد z C = z A + z Bو ا ط ) C ( z C أ -ه ط 28ارOACB 8 5π ≡ ) arg ( z C ب -دد &! ﻠزاو OA ,OCو ا! Bأن ] [ 2π 12 5π 5π ج -ا! & Bآ 0ن cos ; sin 12 12
)
(
@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@www.manti.01.ma@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@ÊbnÜa@æî‹ánÜa 82ر ا2دد ا 2دي Z = 2 + 2 + i 2 − 2و ?> ] θ ≡ arg (Z ) [2π π
8 (1ن أن ) θ ∈ 0, دون !ب ( θ 2
www.manti.01.ma
Z 2 = 2 2 (1 + i ) ن أن8 -( أ2
θ=
π
أنB ! و اu = 1 + i دد2 ا)ﻠ) ﻠ0آ3 دد ا-ب
8
cos
π
; sin
8
π 8
أ!ب-ج
@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@‹’bÉÜa@æî‹ánÜa@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@ θ ≡ arg( z1 ) [2π ] >? وz2 = 1 +
(
)
3 − 2 i وz1 =
(
)
3 + 2 + i ددن2ر ا82
اواH ﻠz 2 ; z 1 طن هB , A و آن π
( θ ) دون !بθ ∈ 0, ن أن8 -( أ1 2 arg( z2 ) ≡ − θ [2π ] أنB ! و اz 1 z 2 = 4 ن أن8 -ب 3 1 z1 = (2 + 3 ) + i ن أن8 -( أ2 z2 2 2 (OA ,OB ) و دد &س ازاوOA B ا)ﻠث28 طB ! ا-ب
θ=
cos
π 12
=
π 12
أنB ! ا-ج
2+ 3 ن أن8 (3 2
@ @‹“È@ñ†b¨a@æî‹ánÜa : ﻠℂ او0 (1 Z + (1 + i ) Z + i = 0 Z2 −
( E ) Z 2 − m (1 + i ) Z + im 2 = 0
(
)
(
)
(
)
Z 2 − 3 + i 3 Z + 2 1 + i 3 = 0 د2 ا0 )م
(E)
a
2iZ 2 + 2 (1 − i ) Z + 3 = 0
3 + 9i Z − 8 1 − i 3 = 0
a ∈ ℂ ثZ 2 − 2 Z + 1 + a 2 = 0
)
)
iZ2 + 1 + i Z + 1 = 0
2
Z 2 − 2 ( cos α ) Z + 1 = 0
(
(
Z + 2 (1 − i ) Z − 1 = 0
2
(Z
2
+ 3Z − 2 ) + ( 2 Z 2 − 3Z + 2 ) = 0 2
2
−2 − 2i 3 دد2ن ﻠ28( دد اذرن ار2
Z 3 + 3 ( 3 − i ) Z 2 + ( 24 − 9i ) Z − 26i = 0
: د2 اℂ ر او82 (3
( E ) د2 ا0 )مP م ددz0 =ﻠO 08 ( E ) د2ن أن ا8 ( E ) 2iZ 3 + 2 ( 2 − i ) Z 2 − ( 3 + 2i ) Z + i = 0 : د2 اℂ ر او82 (4 ( E ) د2 ا0 )مP م ددz0 =ﻠO 08 ( E ) د2ن أن ا8 O 08 D ( ﻠ أE ) 2Z 3 + ( −7 + i ) Z 2 + (10 − 4i ) Z − 8 + 4i = 0 د2ن أن ا8 -( أ5 ( Im ( z2 ) < 0 =ذR ) ( E ) د2 ﻠz2 , z1 =رنQ دد اﻠن ا-ب z12003 دد2ري ﻠ8 ا0آ3 دد ا-ج AM 1M 2 ا)ﻠث28 ه طM 2 ( z2 ) , M 1 ( z1 ) , A ( a ) ر ا ط82 -د
www.manti.01.ma
