Toancap3.com - Chuyên đề Toán cấp 3 cơ bản và nâng cao, luyện thi THPT quốc gia, tuyển sinh đại học Chuyên đề: Chứng minh bất đẳng thức
http://thaytoan.net
VẤN ĐỀ I: Chứng minh Bất đẳng thức bằng phương pháp đổi biến số 1. Dự đoán được điều kiện đẳng thức xảy ra
m
Ví dụ 1: Cho a b 2 . Chứng minh rằng: B = a5 b5 2 . Nhận xét: Dự đoán đẳng thức xảy ra khi a = b = 1. Do vậy ta đặt: a 1 x . Từ giả thiết suy ra: b 1 x , ( x R ). Ta có: B = a5 b5 (1 x )5 (1 x)5 10 x 4 20 x 2 2 2 Đẳng thức xảy ra x = 0, hay a = b = 1. Vậy B 2.
C = b3 a3 6b2 a2 9b 0 .
.co
Ví dụ 2: Cho a b 3, a 1 . Chứng minh rằng:
Nhận xét: Dự đoán đẳng thức xảy ra khi a = 1; b = 2. Do vậy ta đặt a 1 x , với x 0. Từ giả thiết suy ra b 2 x .
C = b3 a3 6b2 a2 9b = (2 x )3 (1 x )3 6(2 x )2 (1 x )2 9(2 x )
Ta có:
ap3
= x 3 2 x 2 x = x( x 1)2 0 (vì x 0). Đẳng thức xảy ra x = 0 hoặc x = 1 tức a = 1, b = 2 hoặc a = 0, b = 3. Vậy C 0. Ví dụ 3: Cho a b c 3 . Chứng minh rằng: A = a2 b2 c 2 ab bc ca 6 . Nhận xét: Dự đoán rằng đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1. Do vậy ta đặt: a 1 x, b 1 y , ( x, y R ). Từ giả thiết suy ra: c 1 x y . A = a2 b2 c 2 ab bc ca
Ta có:
= (1 x )2 (1 y)2 (1 x y)2 (1 x )(1 y ) (1 y)(1 x y ) (1 x y )(1 x ) 2
1 3 = x xy y 6 = x y y 2 6 6 2 4 1 Đẳng thức xảy ra y = 0 và x y 0 x = y = 0 hay a = b = c =1. Vậy A 6. 2 2
anc
2
Ví dụ 4: Cho a b c d . Chứng minh rằng: D = a2 b2 ab 3cd . Nhận xét: Dự đoán đẳng thức xảy ra khi a = b = c = d. Do vậy đặt: a c x , với x R. Từ giả thiết suy ra b d x . D = (c x )2 (d x )2 (c x )(d x ) = c 2 d 2 x 2 cd cx dx
To
Ta có:
2
1 3 1 3 = c2 d 2 x 2 2cd cx dx 3cd x 2 = c d x x 2 3cd 3cd . 4 4 2 4 1 Đẳng thức xảy ra x = 0 và c d x 0 x = 0 và c = d hay a = b = c = d. 2 Vậy D 3cd. Ví dụ 5: Cho a b 2 . Chứng minh rằng: a3 b3 a4 b 4 . Nhận xét: Dự đoán đẳng thức xảy ra khi a = b = 1. Do vậy đặt a 1 x, b 1 y . Từ giả thiết suy ra x y 0 .
Trang 1
http://thaytoan.net
Ta có:
Chuyên đề: Chứng minh bất đẳng thức
a3 b3 a4 b 4 (1 x )3 (1 y)3 (1 x )4 (1 y)4
(1 x )4 (1 y)4 (1 x )3 (1 y)3 0 x(1 x )3 y(1 y)3 0 x y 3( x y)( x 2 xy y 2 ) 3( x 2 y 2 ) x 4 y 4 0 ( Đúng vì x + y 0) Đẳng thức xảy ra x = y = 0 hay a = b = 1. Vậy bất đẳng thức được chứng minh. E = a2 (2 a) 32 0 .
Nhận xét: Dự đoán đẳng thức xảy ra khi a = 4. Do vậy đặt a 4 x . Từ giả thiết suy ra x 0.
m
Ví dụ 6: Cho a 4. Chứng minh rằng:
Ta có: E = (4 x )2 (2 4 x ) x 3 10 x 2 32 x x ( x 5)2 7 0 . Đẳng thức xảy ra x = 0 hay a = 4. Vậy E 0 .
.co
Ví dụ 7: Cho ab 1. Chứng minh rằng: a2 b2 a b . Nhận xét: Dự đoán đẳng thức xảy ra khi a = b = 1. Do vậy đặt a 1 x; b 1 y . Ta có: ab 1 (1 x )(1 y) 1 x y xy 0
Mặt khác: a2 b2 a b (1 x )2 (1 y )2 (1 x ) (1 y ) x 2 y 2 x y 0
ap3
Lại có: x 2 y 2 2 xy , với mọi x, y nên ta có:
1 x 2 y 2 x y ( x 2 y 2 ) xy x y 0 (Đúng vì xy + x + y 0) 2 Đẳng thức xảy ra x = y = 0 hay a = b = 1. Vậy BĐT được chứng minh.
anc
2. Dạng cho biết điều kiện của tổng các biến nhưng không ( hoặc khó) dự đoán điều kiện của biến để đẳng thức xảy ra. Đối với loại này ta cũng có thể đổi biến như trên.
27 0 4 Đặt a = 1– x và a + b = 3 + y. Từ giả thiết suy ra x, y 0 nên ta có: b = 2 + x + y. 27 25 Từ đó : F = 3(1– x )2 (2 x y)2 3(1 – x )(2 x y) – = x 2 y 2 5 x 7 y xy 4 4 Ví dụ 8: Cho a 1; a + b 3. Chứng minh rằng:
F = 3a2 b2 3ab
2
To
1 5 3 9 = x y y2 y 0 2 2 4 2 5 3 9 Đẳng thức xảy ra x = và y = 0 hay a = và b = . 2 2 2 Vậy bất đẳng thức F 0 được chứng minh. Ví dụ 9: Cho a, b, c [1; 3] và a + b + c = 6. Chứng minh rằng: a) a2 b2 c2 14 b) a3 b3 c 3 36 Đặt a = x + 1; b = y + 1; c = z + 1. Khi đó x, y, z [0; 2] và x + y + z = 3 Giả sử x = max{x; y; z} suy ra: x + y+ z = 3 3x 1 x 2 (x –1)(x –2) 0 nên: x 2 y2 z2 x 2 ( y z)2 x 2 (3 – x )2 5 2( x –1)( x – 2) 5 Tức là: x 2 y2 z2 5 (*). Tương tự ta chứng minh được x 3 y3 z3 9 (**) Trang 2
Chuyên đề: Chứng minh bất đẳng thức
http://thaytoan.net
a) Ta có: a2 b2 c2 ( x 1)2 ( y 1)2 ( z 1)2 x 2 y2 z2 2( x y z) 3
(1)
Thay (*) vào (1) ta có: a2 b2 c2 14 là điều phải chứng minh. b) Ta có:
a3 b3 c3 ( x 1)3 ( y 1)3 ( z 1)3 x 3 y3 z3 3( x 2 y2 z2 ) 3( x y z) 9 (2) Thay (*) và (**) vào (2) ta có: a3 b3 c 3 36 là điều phải chứng minh. 2
Đặt c
2
m
Ví dụ 10: Cho các số thực a, b với a + b 0. Chứng minh:
1 ab a b 2. ab 2
1 ab . Ta có: ab + bc + ca = –1 và lúc này BĐT cần chứng minh trở thành: ab (luôn đúng).
.co
a2 b2 c2 2 a2 b 2 c2 2(ab bc ca) (a b c)2 0 Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
ap3
3. Dạng bất đẳng thức với điều kiện cho ba số có tích bằng 1 x y z Cách1 : Đặt a ; b ; c , với x, y, z 0. y z x Sau đây là một số ví dụ làm sáng tỏ điều này.
anc
Ví dụ 11: Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn abc = 1. Chứng minh rằng: 1 1 1 3 a(b 1) b(c 1) c(a 1) 2 Nhận xét: a, b, c là các số thực dương và abc = 1 nên ta đặt: x y z a ; b ; c , với x, y, z là các số thực dương. y z x 1 1 1 3 1 1 1 3 Ta có: a(b 1) b(c 1) c(a 1) 2 xy y z zx 2 1 1 1 y z z x x y
yz zx xy 3 xy zx yz xy zx yz 2 Đây chính là BĐT Néb–sít cho ba số dương xy, yz, zx, suy ra điều phải chứng minh.
To
Ví dụ 12: (Ôlimpic quốc tế 2000) Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn abc = 1. 1 1 1 Chứng minh rằng: a 1 b 1 c 1 1 . b c a Nhận xét: a, b, c là các số thực dương thoả mãn abc = 1, nên ta đặt: x y z a ; b ; c , với x, y, z là các số thực dương. y z x 1 1 1 ( x y z)( y z x )(z x y ) Ta có: 1 a 1 b 1 c 1 1 b c a xyz ( x y z)( y z x )( z x y ) xyz (*) Đặt x m n; y n p; z p m . Khi đó (*) (m n)(n p)( p m ) 8mnp (**) Áp dụng BĐT Cô–si cho hai số dương ta có: m n 2 mn ; n p 2 np ; p m 2 pm Trang 3
http://thaytoan.net
Chuyên đề: Chứng minh bất đẳng thức
Ba bất đẳng thức trên có hai vế đều dương nên nhân vế theo vế ta có bất đẳng thức cần chứng minh. Chú ý: Ta có thể chứng minh (*) theo cách sau đây: Do vai trò x, y, z có vai trò như nhau, không mất tính tổng quát nên giả sử : x y z > 0. Như vậy x – y +z > 0 và y – z + x > 0. + Nếu z – x + y 0 thì (*) hiển nhiên đúng. + Nếu z – x + y > 0, áp dụng BĐT Cô–si cho hai số dương ta có:
m
( x y z)( y z x ) x ; ( y z x )( z x y) y ; ( z x y)( x y z) z Nhân vế theo vế các bất đẳng thức trên, suy ra (*). Vậy (*) đúng cho mọi x, y, z là các số thực dương, suy ra bài toán được chứng minh.
.co
Phát hiện: Việc đổi biến và vận dụng (**) một cách khéo léo giúp ta giải được bài toán ở Ví dụ 13 sau đây: Ví dụ 13: (Ôlimpic quốc tế 2001) Cho a, b, c là ba số dương. Chứng minh rằng: a b c 1. 2 2 2 a 8bc b 8ca c 8ab Đặt x
a 2
; y
b 2
; z
c 2
.
ap3
a 8bc b 8ca c 8ab Ta thấy x, y, z đều dương và BĐT cần chứng minh trở thành S = x y z 1 . 2
a a2 1 8bc Do x x = 1 . 2 2 2 2 2 a 8 bc x a a 8bc a 8bc 1 8ca 1 8ab Tương tự ta có: 1 ; . 1 y2 b2 z2 c2
a
2
1 1 1 3 (1) 2 1 2 1 2 1 8 x y z Mặt khác nếu S = x + y + z < 1 S 2 S 2 S 2 1 1 1 thì: T = 1 1 1 > 1 1 1 2 z2 x 2 y2 x 2 y 2 z – Ta thấy (S – x)(S – y)(S – z) =(x + y)(y + z)(z + x) 8xyz (theo (**) ở ví dụ 12) (2) – Với ba số dương x + y, y + z, z + x, ta lại có (S x )(S y)(S z) 64 xyz (3)
anc
Suy ra:
– Nhân (2) và (3) vế với vế, ta được: (S 2 – x 2 )(S 2 – y 2 )(S 2 – z2 ) 83 x 2 y 2 z2
To
S 2 S 2 S 2 3 1 1 1 8 z2 x 2 y 2 3 Từ đây suy ra: T > 8 mâu thuẩn với (1). Vậy S = x + y + z 1, tức bài toán được chứng minh. hay:
Ngược lại, đối với một số bài toán chứng minh bất đẳng thức mà các biểu thức ( hoặc x y z biến đổi của nó) có chứa các biểu thức có dạng: ; ; , với x, y, z 0. Lúc này việc y z x x y z đặt a ; b ; c , với abc = 1 là một phương pháp hữu hiệu, sau đây là các ví dụ y z x minh chứng điều này: Trang 4
Chuyên đề: Chứng minh bất đẳng thức
http://thaytoan.net
.co
m
Ví dụ 14: Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng: b c a a b c 1) 1 2) 1. a 2 b b 2c c 2 a a 2 b b 2c c 2 a 1 1 1 1) BĐT 1. a b c 2 2 2 b c a a b c Đặt x ; y ; z . Ta có x, y, z là các số thực dương có tích xyz = 1. b c a 1 1 1 1 1 1 Suy ra: 1 1 a b c x 2 y2 z2 2 2 2 b c a (x + 2)(y + 2) + (y + 2)(z + 2) + (z + 2)(x + 2) (x + 2)(y + 2)(z + 2) (xy + yz + zx) + 4(x + y + z) + 12 xyz + 2(xy + yz + zx) + 4(x + y + z) + 8 4 xyz + xy + yz + zx 3 xy + yz + zx. Đây là bất đẳng thức đúng vì áp dụng bất đẳng thức Cô–si cho ba số dương ta có:
Cách 2 : Ngoài cách đặt a
ap3
xy yz zx 3 3 ( xyz)2 3 . Suy ra điều phải chứng minh. 2) Cách 1: Chứng minh tương tự câu 1). b c a a b c Cách 2: Ta có: 2 3 a 2 b b 2 c c 2 a a 2 b b 2c c 2 a Áp dụng kết quả bài toán 1), ta suy ra bất đẳng thức cần chứng minh.
x y z ; b ; c như trên ta còn có cách đổi biến khác. Cụ thể y z x
ta xét ví dụ sau:
anc
Ví dụ 15: Cho ba số dương a, b, c thoả mãn abc = 1.Chứng minh: a b c 4 1 (a 1)2 (b 1)2 (c 1)2 (a 1)(b 1)(c 1) 4
(*)
1 a 1 b 1 c 1 x 1 y 1 z ;y ; z –1
To
Đặt: x
4b
Tương tự: nên:
(b 1)2
(*)
4a
2
(a 1) 2
1 y2; 4b
2
(b 1) 2
2 4c 2 1 y và 1 z2 ; 1 z b 1 c 1 (c 1)2 4c 2
(c 1)
1 2.
2 2 2 . . (a 1) (b 1) (c 1)
2
1 x 1 y 1 z 1 2(1 x )(1 y)(1 z)
x 2 y 2 z2 2( xy yz zx ) 2( x y z xyz) 0 ( x y z)2 0 . Đây là bất đẳng thức luôn đúng nên bài toán được chứng minh.
Trang 5
http://thaytoan.net
Chuyên đề: Chứng minh bất đẳng thức
x y z ; b ; c ở đây còn áp dụng được rất y z x hay ở bài toán chứng minh đẳng thức, ví dụ 16; 17 sau đây cho thấy điều này. (Việc đưa ra hai ví dụ sau nhằm nhấn mạnh thêm tính đa dạng và hữu hiệu của phương pháp đổi biến trong giải toán nói chung). Phát hiện: Việc đổi biến bằng cách đặt a
.co
m
Ví dụ 16: Cho a, b, c là ba số thực thoả mãn abc = 1. Chứng minh rằng: 1 1 1 1 1 a ab 1 b bc 1 c ca x y z Nhận xét: Vì abc = 1 nên ta có thể đặt a ; b ; c , với x, y, z 0. y z x Khi đó vế trái của đẳng thức trên được biến đổi thành: 1 1 1 yz zx xy = = 1 (đpcm). x x y y z z xy yz zx xy yz zx xy yz zx 1 1 1 y z z x x y
(*)
ap3
Ví dụ 17: Cho a, b, c là ba số thực thoả mãn abc = 1. Chứng minh rằng: 1 1 1 1 1 1 a 1 b 1 c 1 a 1 b 1 c 1 b c a b c a
x y z Nhận xét: Tương tự trên ta đặt a ; b ; c , với x, y, z 0. y z x Khi đó vế trái của đẳng thức (*) được biến đổi thành: x z y x z y x yz yz x zx y . . 1 1 1 y z y x x y z x y ( x y z)( y z x )( z x y ) (1) xyz Tương tự ta cũng biến đổi được vế phải của (*) về biểu thức (1), suy ra đpcm.
anc
=
4. Đối với một số bài toán chứng minh bất đẳng thức chứa ba biến a, b, c không âm có vai trò như nhau ta có thể sử dụng phương pháp đổi biến như sau: Đặt x a b c ; y ab bc ca ; z abc . Ta có các đẳng thức sau: xy – z (a b)(b c)(c a) (1)
To
x 2 y (a b)(b c) (b c)(c a) (c a)(a b) 2
2
2
x 2y a b c
2
(2) (3)
x 3 3 xy 3z a3 b3 c3 Cùng với việc áp dụng các bất đẳng thức sau:
(4)
x 2 3y
(5)
x 3 27z
(6)
2
y 3xz xy 9z
(7) (8)
x 3 4 xy 9z 0 (Bạn đọc tự chứng minh các bất đẳng thức trên). Trang 6
(9)
Chuyên đề: Chứng minh bất đẳng thức
http://thaytoan.net
Sau đây là một số ví dụ để làm sáng tỏ vấn đề này: Ví dụ 18: Cho ba số dương a, b, c thoả mãn điều kiện abc = 1. Chứng minh: (a b)(b c)(c a) 2(1 a b c)
m
Đặt x a b c ; y ab bc ca ; z abc . Theo (1) thì bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: xy z 2(1 x ) xy 1 2(1 x ) x( y 2) 3 . Do z = abc = 1 nên theo (6) và (7) suy ra: x 3; y 3 suy ra: x(y – 2) 3 là BĐT đúng. Đẳng thức xảy ra x = y = 3 hay a = b = c =1. Suy ra bài toán được chứng minh.
.co
Ví dụ 19: Cho ba số dương a, b, c thoả mãn: a + b + c = 3. Chứng minh: 12 abc 5 ab bc ca Đặt x a b c ; y ab bc ca ; z abc . Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức sau: 12 z 5 (*) y Theo (9) kết hợp với x = a + b + c =3 ta có: 27 12 y 9z 0 .
4y 9 12 4 y 9 12 z (**) 3 y 3 y 4 y 9 12 Mặt khác: 5 4 y2 9y 36 15y ( y 3)2 0 (đúng với mọi y). 3 y Từ (*) và (**) suy ra bài toán được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a = b = c =1. z
ap3
Suy ra:
Ví dụ 20: Cho ba số không âm a, b, c, thoả mãn: ab bc ca abc 4 . Chứng minh: (*)
anc
3(a 2 b2 c2 ) abc 10
Đặt x a b c ; y ab bc ca ; z abc . Do y z ab bc ca abc 4 , nên theo (3) bất đẳng thức (*) trở thành:
3( x 2 2 y) z 10 3x 2 6 7 y . Mặt khác, theo (9) suy ra: x 3 36 4x 9 x 3 36 Vậy để hoàn thành bài toán ta cần chứng minh: 3x 2 6 7. . 4x 9 Thật vậy, từ (5) và (6) suy ra:
To
x 3 4 xy 9( y z) 9y x 3 36 9 y 4 xy y
x 2 x3 x 3 9 x 2 108 0 ( x 3)( x 2 12 x 36) 0 x 3 . 3 27 x 3 36 Từ đó ta có: 3x 2 6 7. 12 x 3 24 x 27 x 2 54 7 x 3 252 4x 9 4 yz
( x 3)(5 x 2 42 x 102) 0 Đây là bất đẳng thức đúng. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a = b = c = 1.
Trang 7
http://thaytoan.net
Chuyên đề: Chứng minh bất đẳng thức
Ví dụ 21: Cho ba số dương a, b, c thoả mãn điều kiện ab + bc + ca = 3. Chứng minh: 1 1 1 abc 3 ab bc ca 6 abc Đặt x a b c ; y ab bc ca 3 ; z abc .
1 1 1 abc 3 ab bc ca 6 abc (a b)(b c) (b c)(c a) (c a)(a b) a b c 3 (a b)(b c)(c a) 6 abc Theo (1) và (2) thì (*) trở thành: Ta có:
m
x2 y x 3 ( x 2 3)6 x ( x 2 18)(3 x z) 0 xy z 6 x
(*)
6 x 3 18 x 3 x 3 54 x x 2 z 18z 0 3 x 3 36 x x 2 z 18z 0
3( x 3 12 x 9z) x 2 z 9z 0
.co
3( x 3 4 xy 9z) z( x 2 9) 0
Do y = 3 nên từ (5) suy ra x 2 9 , kết hợp (9) ta có bất đẳng thức trên đúng, suy ra bài toán được chứng minh. Đẳng thức xảy ra a = b = c = 1. Ví dụ 22: Cho ba số a, b, c thuộc (0; 1) thoả mãn abc (1– a)(1– b)(1 – c) . Chứng minh:
ap3
a3 b3 c3 5abc 1 Ta có: abc (1– a)(1– b)(1 – c) = 1–(a b c) (ab bc ca) – abc . Do vậy, nếu đặt x a b c ; y ab bc ca 3 ; z abc thì ta có: 2z 1– x y . Theo (9) thì ta có bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:
x 3 3 xy 3z 5z 1 x 3 3xy 8z 1 x 3 4 x 3 y(3 x 4) Chú ý rằng: 1– x y 2z 0 và x 2 3y suy ra: x 1 y
anc
Ta xét ba trường hợp sau:
x2 . 3
Trường hợp 1: Nếu x 1 thì x 3 4 x 3 (1 x )(3 x x 2 ) 0 y(3x 4) . Trường hợp 2: Nếu 1 x
4 thì: 3x – 4< 0 và 0 < x – 1 < y, suy ra: 3
( x 3 4 x 3) y(3x 4) ( x 3 4 x 3) ( x 1)(3x 4) ( x 1)3 0 Trường hợp 3: Nếu x
4 thì: 3
To
( x 3 4 x 3) y (3x 4) ( x 3 4 x 3)
x2 (2 x 3)2 (3 x 4) 0 3 2
Như vậy trong mọi trường hợp ta đều có x 3 4 x 3 y(3 x 4) luôn đúng, suy ra bài toán được chứng minh. 1 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a = b = c = . 2 II. Các bài tập áp dụng : Bài 1: Chứng minh các bất đẳng thức sau: 2 3 a) Cho a, b > 0 thoả mãn a + b = 1. Chứng minh: 14 . 2 ab a b2
Trang 8
Chuyên đề: Chứng minh bất đẳng thức
http://thaytoan.net
b) Cho a + b + c + d = 1. Chứng minh: (a c)(b d ) 2(ac bd )
1 . 2
c) Cho a + b + c 3. Chứng minh: a4 b 4 c 4 a3 b3 c 3 .
.co
m
d) Cho a + b > 8 và b 3. Chứng minh: 27a2 10b3 945 . 1 1 1 Bài 2: Cho a, b, c là các số dương và 2 . Chứng minh: 8abc 1 a 1 b 1 c 1 Bài 3: Cho ba số dương a, b, c thoả mãn abc = 1. Chứng minh: (a + b)(b + c)(c + a) 5(a + b + c) – 7 Bài 4: Cho các số dương a, b, c sao cho abc = 1. Chứng minh: a3 b3 c3 3 (a 1)2 (b 1)2 (c 1)2 a b c 3 Bài 5: Cho các số dương a, b, c sao cho abc = 1. Chứng minh: (a b c 1) . b c a 2 Bài 6: Cho ba số a, b, c không âm thoả mãn: a + b + c = 1. Chứng minh: 0 27(ab bc ca) 54abc 7 Bài 7: Cho ba số dương a, b, c. Chứng minh:
ap3
2(1 a 2 )(1 b 2 )(1 c2 ) (1 a)(1 b)(1 c) 2(1 abc )
VẤN ĐỀ II: Chứng minh Bất đẳng thức bằng cách sử dụng vai trò như nhau của các biến
anc
Ví dụ 1: Cho các số thực a, b, c không âm. Chứng minh rằng: a(a b)(a c) b(b c )(b a) c(c a)(c b) 0
(*)
Do vai trò của a, b, c là như nhau nên có thể giả sử a b c. + Nếu có hai trong ba số a, b, c bằng nhau thì BĐT hiển nhiên đúng. + Nếu a > b > c, chia hai vế của (*) cho (a b)(b c)(a c) ta được BĐT tương đương:
To
a b c 0 (1) bc ac ab a b c a b 0 (1) luôn đúng do và 0. bc ac ab 0 b c a c Ví dụ 2: Cho các số thực a, b, c đôi một khác nhau thuộc đoạn [0; 2]. Chứng minh rằng: 1 1 1 9 (*) 2 2 2 4 (a b) (b c ) (c a) Sử dụng BĐT Cô-si với x > 0, y > 0, ta có: Suy ra:
1 x
2
1 y
2
8 ( x y )2
1 1 1 2 2 2 ( x y) 2. .4 xy 8 . xy y x
(1). Đẳng thức xảy ra x = y.
Trang 9
http://thaytoan.net
Chuyên đề: Chứng minh bất đẳng thức
m
Do vai trò của a, b, c là như nhau nên có thể giả sử a > b > c. Áp dụng BĐT (1) cho cặp số 1 1 8 8 dương a – b và b – c, ta có: . 2 2 2 ( a b ) ( b c) ( a b b c) (a c)2 Đẳng thức xảy ra a – b = b – c. 1 1 1 8 1 9 Suy ra: . (a b)2 (b c )2 (c a)2 (a c)2 (c a)2 (a c)2 Mặt khác, do a, c [0; 2] và a > c nên 0 < a – c 2. Đẳng thức xảy ra a = 2 và c = 0. 1 1 1 9 9 Do đó: . (a b)2 (b c )2 (c a)2 (a c)2 4 Đẳng thức xảy ra khi (a; b; c) = (2; 1; 0) và các hoán vị.
.co
Ví dụ 3: Cho ba số dương a, b, c thoả mãn: a b c abc 4 . Chứng minh rằng: a b c ab bc ca Do vai trò của a, b, c là như nhau nên có thể giả sử a b c. 3c c 3 4 a b c abc 3a a3 a 1 và c 1.
Từ giả thiết ta có:
+ Nếu a b 1 c thì 4 a b 2 ab ab 4. Do đó:
(a b 2)2 4(a 1)(b 1) ab(a 1)(b 1)
4ab (a b 1) ab 1
ap3
(a b ab)(ab 1) (4 a b)(a b 1) a b ab
(1)
4ab . Kết hợp với (1) ta có: ab 1 a b ab c(a b 1) a b c ab bc ca (đpcm). + Nếu a 1 b c thì ta có (a 1)(b 1)(c 1) 0 a b c ab bc ca 1 abc (2) Mặt khác, áp dụng BĐT Cô-si cho các số dương, ta có: Mặt khác, từ giả thiết suy ra c
anc
4 a b c abc 4 4 abcabc abc 1. Kết hợp với (2) ta có đpcm. Đẳng thức xảy ra a = b= c = 1.
Ví dụ 4: Cho ba số thực dương a, b, c thoả mãn abc = 1. Chứng minh rằng: 1 1 1 3 1 a2 1 b2 1 c2 2
To
Do vai trò của a, b, c là như nhau nên có thể giả sử a b c. Vì abc = 1 nên bc 1 và a 1. Ta có: 2 1 b2c 2 1 1 1 b2 c 2 2 = 2 1 2 1 2 2 (1 b2 )(1 c2 ) (1 bc)2 1 b 1 c 4 4a = 1 bc 1 a 1 1 a 2 (1) 2 2 1 a 1 b 1 c
1 1 2 1 c2 1 b
Suy ra:
Mặt khác ta có:
1 1 a
2
2 1 a
(2)
Trang 10
Chuyên đề: Chứng minh bất đẳng thức
2
Ta sẽ chứng minh:
http://thaytoan.net
a 2 3 (3) 1 a 1 a 2 2
Thật vậy, (3) 1 3a 2 2a(1 a) 0 2a 1 a 0 (luôn đúng). Từ (1), (2) và (3) suy ra đpcm. Đẳng thức xảy ra a = b = c = 1. Ví dụ 5: Cho các số thực dương a, b, c thoả mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng:
m
a2 b2 c2 abc 4 Do vai trò của a, b, c là như nhau nên có thể giả sử a b c. Suy ra c 1.
Ta có: a2 b2 c2 abc 9 2(ab bc ca) abc = 9 ab(c 2) 2c(3 c) . 2
2
.co
a b 3c Lại có: ab và c – 2 < 0 nên 2 2 2
3 c a b c 9 (c 2) 2c(3 c) 2 2
2
2
2
Ta sẽ chứng minh:
3c 9 (c 2) 2c(3 c) 4 2
(1) (2)
ap3
Thật vậy, (2) (c 1)2 (c 2) 0 (luôn đúng). Từ (1) và (2) suy ra đpcm. Đẳng thức xảy ra a = b = c = 1.
Ví dụ 6: Cho a, b, c là các số thực không âm thoả mãn: a2 b2 c 2 3 . Chứng minh rằng: ab bc ca 2 abc Do vai trò của a, b, c là như nhau nên có thể giả sử a = max{a, b, c}. Xét hai khả năng: + Với a b c 0. Khi đó:
a(b a)(b c) 0 a2 b abc ab2 ca 2 ab2 bc2 ca2 a2 b bc2 abc
anc
Mà a2 b bc2 2 b(3 b2 ) 2 (b 1)2 (b 2) 0 Từ (1) và (2) suy ra đpcm. + Với a c b 0. Khi đó:
b(c a)(c b) 0 ab2 bc2 ca2 ca2 cb2 abc 2
2
2
2
Lại có: ca cb 2 c(3 c ) 2 (c 1) (c 2) 0 Từ (3) và (4) suy ra đpcm.
(1)
(2)
(3) (4)
To
Đẳng thức xảy ra (a; b; c) (1;1;1), 2;0;1 , 0;1; 2 , 1; 2; 0 . II. Bài tập áp dụng: Bài 1: Cho a, b, c là các số thực không âm, thoả mãn a + b + c = 1. Chứng minh rằng: 1 ab bc ca 3abc . 4 Bài 2: Cho a, b, c là các số thực không âm, thoả mãn a2 b2 c2 abc 4 . Chứng minh rằng: abc 2 ab bc ca abc . Bài 3: Cho a, b, c là các số thực thuộc đoạn [–1; 1]. Chứng minh rằng: 5 (a b)(b c) (b c)(c a) (c a)(a b) (a b)(b c )(c a) . 2 Bài 4: Cho a, b, c là các số thực thuộc đoạn [1; 2]. Chứng minh rằng:
Trang 11
http://thaytoan.net
Chuyên đề: Chứng minh bất đẳng thức
1 1 1 (a b c) 10 . a b c Bài 5: Cho a, b, c là các số thực thuộc đoạn [0; 1]. Chứng minh rằng: a(1 b) b(1 c) c(1 a) 1 .
m
VẤN ĐỀ III: Chứng minh Bất đẳng thức có chứa biến ở mẫu
.co
I. Một số phương pháp 1. Sử dụng hai bất đẳng thức cơ bản sau: Với a, b, c là ba số thực dương tuỳ ý, ta có: 1 1 4 1 1 1 9 (1) a b ab a b c abc
(2)
ap3
Ví dụ 1: Cho ba số thực dương a, b, c thoả mãn a + b + c = 1. Chứng minh rằng: 1 1 16 (*) ac bc 1 1 11 1 4 4 Áp dụng (1) ta có: 16 . ac bc c a b c(a b) c a b 2 2 1 1 Đẳng thức xảy ra c , a b . 2 4
To
anc
Ví dụ 2: Cho ba số thực dương a, b, c thoả mãn a + b + c 3. Chứng minh rằng: 1 2009 670 . a 2 b2 c2 ab bc ca Áp dụng (2), ta có: 1 1 1 9 2 2 2 2 2 2 ab bc ca ab bc ca a b c 2(ab bc ca) a b c 9 1 (3) (a b c)2 2007 3.2007 Mặt khác, ta có: 3(ab bc ca) (a b c)2 669 ab bc ca (a b c)2
(4)
Từ (3) và (4) suy ra đpcm. Đẳng thức xảy ra a b c 1 . 2. Đặt mẫu là các biến mới
25x 4y 9z 12 (*) y z z x x y Đặt a y z, b z x , c x y (với a > 0, b > 0, c > 0). Ví dụ 3: Cho ba số thực dương x, y, z. Chứng minh rằng:
Suy ra:
x
bca cab abc ,y ,z . 2 2 2
Trang 12
Chuyên đề: Chứng minh bất đẳng thức
http://thaytoan.net
25(b c a) 4(c a b) 9(a b c ) 2a 2b 2c 25b 4a 25c 9a 4a 9b = 19 10 + 15 + 6 – 19 = 12. 2a 2b 2a 2c 2b 2c 5b 2a Đẳng thức xảy ra 5b 5c 5a x = 0 (vô lí). Vậy BĐT (*) đúng. 5c 3a Ta có: VT (*) =
m
3. Đánh giá nghịch đảo Ví dụ 4: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: a b c 3. bca cab abc 2
bca bca bc 1 a a a
a 2a . bca bc
.co
Áp dụng BĐT Cô-si, ta có:
b 2b c 2c ; cab ac abc ab a b c 3 Ta chỉ cần chứng minh: là xong. bc ca ab 2
Tương tự:
Ta có:
a 1 a2
a
ap3
4. Đưa về đồng bậc Ví dụ 5: Cho ba số thực dương a, b, c thoả mãn: ab bc ca 1 . Chứng minh rằng: a b c 3 . 1 a2 1 b2 1 c2 2
a
ab bc ca a2 b 1 b b , 2 2 a b b c 1 b
c
anc
Tương tự:
1 a a . (a b)(a c) 2 a b a c 1 c c . 2 2 a c b c 1 c
Cộng các BĐT trên, vế theo vế, ta được đpcm. Đẳng thức xảy ra a b c 5. Thêm bớt biểu thức để khử mẫu Ví dụ 6: Cho ba số thực dương x, y, z thoả mãn x y z 3 . Chứng minh rằng:
x3
y3
3
To
3
y 8
Ta có:
x3
y3 8
z3
3
x 8
VT (*)
1 2 ( xy yz zx ) . 9 27
(*)
y 2 y2 2y 4 x x3 9 x y y2 6 . 27 27 3 27 y3 8
9 y z z2 6 ; 27 z3 8 Cộng các BĐT trên, vế theo vế, ta có:
Tương tự:
y3
z 8
z3 x3 8
9z x x 2 6 . 27
10( x y z) ( x 2 y 2 z2 ) 18 12 ( x 2 y 2 z2 ) = = 27 27
Trang 13
1 3
.
http://thaytoan.net
Chuyên đề: Chứng minh bất đẳng thức
3 ( x y z)2 ( x 2 y 2 z2 ) 1 2 = ( xy yz zx ) (đpcm). 27 9 27 Đẳng thức xảy ra x y z 1 . =
a 1 b2
a(1 b 2 ) ab 2
a
1 b2 b bc b ; 2 1 c2
Tương tự:
ab2 1 b2
c 1 a2
a
c
ab . 2
ac . 2
.co
Ta có:
m
Ví dụ 7: Cho ba số thực dương a, b, c thoả mãn a b c 3 . Chứng minh rằng: a b c 3 . (*) 2 2 2 2 1 b 1 c 1 a
1 3 a b c (ab bc ca) . 2 2
Do đó, ta chỉ cần chứng minh:
Từ BĐT 3(ab bc ca) (a b c)2 suy ra ab bc ca 3 .
1 3 a b c (ab bc ca) . Đẳng thức xảy ra a b c 1 . 2 2
ap3
Do đó:
6. Đánh giá mẫu Ví dụ 8: Cho ba số thực dương a, b, c . Chứng minh rằng:
a2 3a2 8b2 14ab
b2
3b2 8c2 14bc
c2
1 (a b c ) 3c 2 8a2 14ca 5
(*)
1 3a2 8b2 14ab (a 4b)(3a 2b) (4 a 6 b) 2 a 3b . 2 Tương tự với các mẫu số còn lại. Từ đó:
anc
Ta có:
a2 b2 c2 (a b c )2 1 (a b c) (đpcm). 2a 3b 2b 3c 2c 3a 2a 3b 2b 3c 2c 3a 5 Đẳng thức xảy ra a b c . VT (*)
To
Ví dụ 9: Cho ba số thực dương a, b, c thoả mãn abc 1 . Chứng minh rằng: ab bc ca 1. (*) 5 5 5 5 5 a b ab b c bc c a5 ca Trước hết ta chứng minh BĐT:
x 5 y 5 x 2 y 2 ( x y ) (1) với mọi x > 0, y > 0.
Ta có: (1) x 3 ( x 2 y 2 ) y3 ( y 2 x 2 ) 0 ( x 3 y3 )( x 2 y2 ) 0 ( x y)2 ( x y)( x 2 xy y2 ) 0 (luôn đúng với mọi x > 0, y > 0).
Do đó: Tương tự:
ab
a 5 b5 ab bc
ab
a2 b2 (a b) ab 1 ; 5 5 b c bc bc(a b c )
1 1 . ab(a b) abc ab(a b c)
Trang 14
ca 5
5
c a ca
1 . ca(a b c)
Chuyên đề: Chứng minh bất đẳng thức
http://thaytoan.net
1 1 1 abc 1 . (đpcm) ab(a b c ) bc(a b c ) ca(a b c ) abc(a b c ) Đẳng thức xảy ra a b c 1 . Suy ra: VT (*)
II. Bài tập áp dụng Bài 1: Cho ba số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng: 2 a3
2 b3
2c3
a b c . a 6 bc b6 ca c 6 ab bc ca ab Bài 2: Cho ba số thực dương x, y, z thảo mãn x 2 y 3z 18 . Chứng minh rằng:
m
ap3
.co
2 y 3z 5 3z x 5 x 2 y 5 51 . 1 x 1 2y 1 3z 7 Bài 3: Cho hai số a, b dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: ab P= . a(4 a 5b) b(4b 5a) Bài 4: Cho ba số thực dương a, b, c thoả mãn a b c 2 . Chứng minh rằng: ab bc ca 1. 2c ab 2a bc 2 b ca Bài 5: Cho ba số thực dương a, b, c . Chứng minh rằng: 3 6 1 . ab bc ca a b c
Bài 6: Cho ba số thực dương a, b, c thoả mãn a2 b2 c 2 3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
M=
a5 3
2
b5
3
2
c5
3
2
a4 b4 c 4 .
anc
b c c a a b Bài 7: Cho ba số thực dương a, b, c thoả mãn ab bc ca 3 . Chứng minh rằng: 1 1 1 1 . 2 2 2 1 a (b c) 1 b (c a) 1 c (a b) abc
Bài 8: Cho ba số thực dương a, b, c thoả mãn a2 b2 c2 1 . Chứng minh rằng:
To
a5 b5 b5 c 5 c 5 a5 3(ab bc ca) 2 . ab(a b) bc(b c) ca(c a) Bài 9: Cho ba số thực dương a, b, c thoả mãn abc 1 . Chứng minh rằng: 1 1 1 27 . a b c a 1 b 1 c 1 8 Bài 10: Cho ba số thực dương a, b, c . Chứng minh rằng:
a 2 bc b2 ca c2 ab abc. bc ca ab
Trang 15
http://thaytoan.net
Chuyên đề: Chứng minh bất đẳng thức
VẤN ĐỀ IV: CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC TỪ NHỮNG BÀI TOÁN TRONG TAM GIÁC
I. Khi nào thì có thể vận dụng bất đẳng thức trong tam giác?
m
Mở đầu: Trong chứng minh bất đẳng thức, đặc biệt là các bài toán có biến ràng buộc bới một hệ thức cho trước thoạt nhìn chúng ta cứ nghĩ đó là bài toán đại số thuần tuý nhưng nếu biết biến đổi linh hoạt điều kiện để chuyển bài toán về dạng lượng giác thì cách giải sẽ trở nên đơn giản hơn rất nhiều. Qua bài viết này tác giả mong muốn gửi đến các em học sinh một phương pháp mà từ trước đến nay thông thường các em ít nghĩ đến.
Từ điều kiện a, b, c R , ab bc ca 1 luôn tồn tại 3 góc của ABC sao cho:
A B C , b tan , c tan 2 2 2
.co
a tan
Từ điều kiện a, b, c R , ab bc ca abc luôn tồn tại 3 góc của ABC sao cho: a tan A, b tan B, c tan C Từ điều kiện a, b, c R , a2 b2 c2 bc (*) với (0;2) Tồn tại ABC có 3 góc thoả mãn điều kiện (*) và ta dễ dàng tính được góc A thông qua định lý hàm số côsin……..
ap3
Từ điều kiện a2 b2 c2 2abc 1, a, b, c 1;1 luôn tồn tại: a = cosA, b = cosB, c = cosC với A B C II. Một số kết quả cơ bản Khi ta đặt a tan
A 2a 1 a2 A a A 1 sin A ; cos A ;sin ; cos 2 2 2 1 a2 1 a2 1 a2 1 a2
a, b, c R , ab + bc + ca = 1
a, b R
1 b2 (b c)(b a),
anc
1 a2 (a b)(a c), 1 ab
1 a2 1 b 2
1
1 c2 (c a)(c b) (1)
(2)
Thật vậy (2) tương đương với (1 ab)2 (1 a 2 )(1 b2 ) 2ab a2 b 2
a
a, b, c R , ab bc ca 1
2
b
1 1 c2
To
1 a 1 b Thật vậy trước hết ta chứng minh: a b 1 ab 1 a2 1 b2 (1 a 2 )(1 b2 )(1 c 2 )
2
a(b c) b(c a) 1 ab (Áp dụng kết quả (1)) (a b)(b c)(c a) (a b)(b c )(c a) a(b c) b(c a) 1 ab ab bc ca 1
Vì
1 ab 2
2
1 đpcm
(1 a )(1 b ) a, b, c R , ab bc ca 1
1 a2 1 a2
1 b2 1 b2
Trang 16
2c 1 c2
(3)
Chuyên đề: Chứng minh bất đẳng thức
http://thaytoan.net
Thật vậy trước hết ta chứng minh
1 a2 1 a2
1 b2 1 b2
2c(1 ab) (1 a 2 )(1 b2 )(1 c 2 )
Ta thấy (4) cos A cos B 2 sin
C 2
AB AB C .cos , cos 1 đpcm. 2 2 2
ap3
Nhưng ta có: cos A cos B 2sin
.co
m
Sau đó dùng kết quả (2), ta có điều phải chứng minh. III. Nhìn bài toán bằng con mắt lượng giác: 1 ab Ta thấy (2) 1 1 a2 1 b2 1 a2 1 b2 A B A B A B cos .cos sin .sin 1 cos 1 2 2 2 2 2 2 Rõ ràng bất đẳng thức này luôn đúng. C Ta thấy (3) sin A sin B 2 cos 2 AB AB C Nhưng ta có: sin A sin B 2 cos .cos , cos 1 đpcm. 2 2 2
Bây giờ ta sẽ chứng minh các bài toán phức tạp hơn. Bài 1. Cho a, b, c 0, ab bc ca 1 . Chứng minh rằng: Ta thấy (1) sin A sin B 6 sin
1 a
2
b
1 b
2
3c 1 c2
10
(1)
C 2 10 . 2
C C C , nên ta sẽ chứng minh 3sin cos 10 . 2 2 2
anc
Lại có sin A sin B 2 cos
a
2
Theo BĐT Bunhiacopxki
2C C C C cos2 10 đpcm. 3sin cos (9 1) sin 2 2 2 2
Bài 2. Cho a, b, c 0, abc a c b . Chứng minh rằng:
2 1 a
2
2 1 b
2
3 1 c
2
To
Đây là bài toán khó nhưng nhìn kỹ các bạn sẽ thấy abc a c b ac
10 3
(2)
a c 1. b b
A 1 B C , tan , c tan . 2 b 2 2 A B C 10 C 10 (2) 2 cos2 2sin2 3 cos2 (cos A 1) (1 cos B) 3 1 sin2 2 2 2 3 2 3 AB C 1 2C (*) 2sin .cos 3sin 2 2 3 2 Từ đó ta đặt a tan
AB C 2C Vì cos 1 VT (*) 2 sin 3sin 2 2 2 Ta sẽ chứng minh: Trang 17
http://thaytoan.net
Chuyên đề: Chứng minh bất đẳng thức 2
C 1 C C 1 C C 1 2sin 3sin 2 2sin 3sin2 0 3 sin 0 . 2 2 3 2 2 3 2 3 Điều này là hiển nhiên đpcm.
m
Bài 3. Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn x(x + y + z)=3yz. Chứng minh rằng: (x + y)3 + (x + z)3 + 3(x +y)(y +z )(z + x) ≤ 5(y + z)3 (TSĐH 2009A) Đặt a = x + y , b = y + z, c = z + x thì a, b, c là các số dương và bca cab abc x ; y ; z 2 2 2
Bài toán trở thành: Cho a, b, c là các số dương thỏa mản a2 b 2 c 2 bc . Chứng minh: (*) b3 c3 3abc 5a3 Coi a, b, c như là 3 cạnh của tam giác, ta suy ra góc A = 600
.co
Ta có (*) (b c)(b2 bc c2 ) 3abc a2 (b c) 3abc 5a3
a(b c) 3bc 5a2 (**) 0 Vận dụng điều kiện góc A = 60 và các hệ thức a = 2Rsin A, b = 2RsinB, c= 2RsinC Ta có (**) 2 3(sin B sin C ) 12sin B.sin C 15 Mặt khác ta có:
2
ap3
B C 2 sin 2 B C (sin B sin C ) 3 2 sinB + sinC 2 sin( ) 3, sin B sin C 2 4 4 4 Ta suy ra đpcm. Dấu bằng xảy ra khi a = b = c x y z . Bài 4. Cho a, b, c 0, a 2 b2 c 2 2abc 4 . Chứng minh rằng a b c abc 2
(4)
anc
Từ giả thiết suy ra a, b, c 0;2 , do đó tồn tại A, B, C 0; sao cho 2 a = 2cosA, b = 2cosB, c = 2cosC và a2 b2 c2 2abc 1 Suy ra A, B, C là các đỉnh của tam giác nhọn ABC. (4) cos A cos B cos C 4 cos A.cos B.cos C 1 A B C sin sin sin cos A.cos B.cos C 2 2 2
cos A cos B 2
AB C 2C .cos2 sin 4 2 2 2 Tương tự có 2 bất đẳng thức nữa. Sau đó nhân vế với vế, 3 bất đẳng thức cùng chiều ta có điều phải chứng minh. sin 2
To
Ta có cos A.cos B
x , y, z 0 Bài 5. Cho . Chứng minh rằng: x y z xyz
x 1 x
2
y 1 y
2
z 1 z
2
3 3 2
Đặt x = tanA, y = tanB, z = tanC với A, B, C là 3 góc nhọn của tam giác ABC thì
(5) sin A sin B sin C
3 3 2
Trang 18
(5)
Chuyên đề: Chứng minh bất đẳng thức
http://thaytoan.net
Tacó
AB AB AB sin A sin B 2 sin .cos 2 sin 2 2 2
và
C 60 0 sin C sin 60 0 2 sin 2
sin A sin B sin C
3 3 (đpcm). 2
.co
hay
m
A B C 600 4 3 Từ đó suy ra sin A sin B sin C sin 600 4 sin 4 sin 600 4 2
VẤN ĐỀ V: CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC BẰNG PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC
ap3
* Để học sinh nắm kiến thức một cách hệ thống tôi (tác giả) đã lập bảng một số dấu hiệu nhận biết sau: ( Giả sử các hàm số lượng giác sau đều có nghĩa) Biểu thức đại số
Biểu thức lượng giác tương tự
1 x 2
1 tan 2 t
4 x3 3x 2 x2 1
1 x
1 tan 2 t
2x 1 x 2 xy 1 xy
To
x2 1
...
cos2 t
4 cos3 t 3 cos t cos3t
2 cos2 t 1
2 cos2 t 1 cos 2t
2 tan t
2
1
4 cos3 t 3 cos t
anc
2x
Công thức lượng giác
2 tan t
2
1 tan t
1 tan 2 t
2 tan t
2 tan t
1 tan 2 t
1 tan 2 t
tan tan 1 tan .tan 1
2
cos ....
tan 2t sin 2t
tan tan tan( ) 1 tan .tan
1
1 2
cos
1 tan 2 ......
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐ
I. DẠNG 1: Sử dụng hệ thức sin 2 cos2 1 1. Phương pháp:
x sin a) Nếu thấy x 2 y 2 1 thì đặt y cos Trang 19
với [0; 2].
http://thaytoan.net
Chuyên đề: Chứng minh bất đẳng thức
x a sin b) Nếu thấy x 2 y2 a2 (a > 0) thì đặt với [0; 2]. y a cos 2. Các ví dụ minh hoạ: Ví dụ 1: Cho 4 số a, b, c, d thoả mãn: a2 b2 c 2 d 2 1 . Chứng minh rằng:
2 S a(c d ) b(c d ) 2
(1)
m
a sin u c sin v Đặt và b cos u d cos v S = sin u(sin v cos v) cos u(sin v cos v)
= (sin u cos v sin v cos u) (cos u cos v sin u sin v) = sin(u v) cos(u v)
.co
2 sin (u v) 2 S a(c d ) b(c d ) 2 (đpcm). 4
=
2
2
1 1 25 Ví dụ 2: Cho a b 1 . Chứng minh rằng: a2 b2 2 a2 b2 2
2
2
2
ap3
Đặt a cos , b sin với 0 2.
2
1 1 1 2 1 VT (2) = a2 b2 cos2 sin 2 2 2 a b cos sin2
1
= cos4 sin4
cos4
1
sin 4
4 = cos4 sin 4
1 = cos4 sin4 1 cos4 .sin4
= cos2 sin2
2
1 2 cos2 sin2 1 4 4 cos .sin
cos4 sin 4 cos4 .sin 4
4
4
1 1 16 17 25 = 1 sin2 2 1 4 1 (1 16) 4 4 2 2 2 sin 4 2 2 Dấu "=" xảy ra sin 2 1 a b
To
2
4
anc
(2)
(đpcm)
2 . 2
Bây giờ ta đẩy bài toán lên mức độ cao hơn một bước nữa để xuất hiện a2 b2 1 . Ví dụ 3: Cho a2 b2 2a 4b 4 0 . Chứng minh rằng: A = a2 b2 2 3ab 2(1 2 3)a (4 2 3)b 4 3 3 2 Biến đổi điều kiện: a2 b2 2a 4b 4 0 (a 1)2 (b 2)2 1 .
a 1 sin a 1 sin Đặt . b 2 cos b 2 cos Trang 20
(3)
Chuyên đề: Chứng minh bất đẳng thức
http://thaytoan.net
A sin2 cos2 2 3 sin cos 3 sin 2 cos 2 2
3 1 sin 2 cos 2 2 sin 2 2 2 2 6
1 3 a 1 a 2 2 hoặc Dấu "=" xảy ra . 5 3 b b 2 2 2
(đpcm)
m
Ví dụ 4: Cho a, b thoả mãn : 5a 12b 7 13 . Chứng minh rằng: a2 b2 2(b 1) 1
a 1 R sin Đặt với R 0 b 1 R cos
.co
Biến đổi bất đẳng thức (4) (a 1)2 (b 1)2 1
a R sin 1 2 2 2 b R cos 1 (a 1) (b 1) R
Ta có: 5a 12b 7 13 5( R sin 1) 12( R cos 1) 7 13
5 12 5 sin cos R sin arccos R 13 13 13
ap3
5R sin 12 R cos 13 1 R
Từ đó suy ra (a 1)2 (b 1)2 R 2 1 (đpcm).
anc
18 8 a 13 a 13 Dấu "=" xảy ra hoặc . 1 25 b b 13 13
II. DẠNG 2: Sử dụng tập giá trị sin 1; 1. Phương pháp:
cos 1
To
x sin khi ; a) Nếu thấy x 1 thì đặt 2 2 x cos khi 0; x m sin khi ; b) Nếu thấy x m ( m 0 ) thì đặt 2 2 x m cos khi 0;
2. Các ví dụ minh hoạ:
Ví dụ 1: Chứng minh rằng: (1 x ) p (1 x ) p 2 p , với x 1, p 1 . Đặt x = cos với [0; ]. Khi đó
(1 x ) p (1 x ) p (1 cos ) p (1 cos ) p
Trang 21
(4)
http://thaytoan.net
Chuyên đề: Chứng minh bất đẳng thức p
p
= 2 cos2 2sin 2 2 p cos2 p sin 2 p 2 p cos2 sin 2 2 p 2 2 2 2 2 2
Ví dụ 2: Chứng minh rằng:
3 2 A 2 3a2 2a 1 a 2 3 2
Từ đk 1 a 2 0 a 1 nên đặt a = cos với 0 1 a2 = sin.
m
Khi đó ta có:
A = 2 3a2 2a 1 a2 2 3 cos2 2 cos sin 3(1 cos 2 ) sin 2
.co
3 1 =2 cos 2 sin 2 3 2sin 2 3 3 2 A 3 2 (đpcm) 2 3 2
Ví dụ 3: Chứng minh rằng: 1 1 a2 (1 a)3 (1 a)3 2 2 2 2 a2
1 a 2 sin (1) 1 2 sin
; 2
ap3
Từ đk a 1 nên đặt a = cos với [0, ]
(1)
1 a 2 cos ; 2
1 a2 sin
cos .2 2 cos3 sin 3 2 2 2 2 sin cos 2 2 2 2 2 2
anc
sin cos cos sin cos2 sin cos sin2 1 sin cos 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 sin cos cos sin cos2 sin2 cos 1 đúng (đpcm) 2 2 2 2 2 2
Ví dụ 4: Chứng minh rằng: S = 4 (1 a 2 )3 a3 3 a 1 a2 2
To
Từ đk a 1 nên đặt a = cos với [0, ] 1 a2 = sin. Khi đó: S = 4(sin3 cos3 ) 3(cos sin ) (3sin 4sin3 ) (4 cos3 3 cos ) = sin 3 cos3 2 sin 3 2 (đpcm) 4
Ví dụ 5: Chứng minh rằng A = a 1 b2 b 1 a2 3 ab (1 a2 )(1 b2 ) 2 Từ điều kiện: 1 a2 0, 1 b2 0 a 1, b 1 nên:
Trang 22
Chuyên đề: Chứng minh bất đẳng thức
http://thaytoan.net
Đặt a = sin, b = sin với , ; 2 2 Khi đó A = sin cos cos sin 3 cos( ) 1 3 sin( ) cos( ) 2 2
= 2 sin ( ) 2 3
(đpcm)
m
= sin( ) 3 cos( ) 2
.co
Ví dụ 6: Chứng minh rằng: A = 4a3 24a2 45a 26 1, a 1;3 .
Do a [1; 3] nên a 2 1 nên ta đặt a 2 cos a 2 cos .
Ta có: A = 4(2 cos )3 24(2 cos )2 45(2 cos ) 26 4 cos3 3 cos = cos3 1
2a a2 3a 3 2, a [0;2]
ap3
Ví dụ 7: Chứng minh rằng: A =
(đpcm)
Do a [0; 2] nên a 1 1 nên ta đặt a 1 cos với [0; ]. Ta có: A =
2(1 cos ) (1 cos )2 3(1 cos ) 3 1 cos2 3 cos
anc
1 3 = sin 3 cos 2 sin cos 2 sin 2 2 2 3
III. DẠNG 3: Sử dụng công thức: 1 tan 2 1. Phương pháp:
1
cos
a) Nếu x 1 hoặc bài toán có chứa biểu thức
b) Nếu x m hoặc bài toán có chứa biểu thức thì đặt x
tan2
x2 1
3 1 với 0; , cos 2 2
To
thì đặt x
2
x 2 m2
3 m với 0; , cos 2 2
2. Các ví dụ minh hoạ:
Ví dụ 1: Chứng minh rằng A =
a2 1 3 2, a 1 a
Trang 23
1 2
cos
(đpcm)
1 (
k ) 2
http://thaytoan.net
Chuyên đề: Chứng minh bất đẳng thức
Do a 1 nên đặt a
3 1 với 0; , cos 2 2
a 2 1 tan2 tan .
Khi đó:
Do a 1 nên đặt a
a
2
5 12 a2 1 a2
9, a 1
3 1 với 0; , cos 2 2
5 12 a2 1
Khi đó: A =
4
4 A
a 2 1 tan2 tan .
.co
Ví dụ 2: Chứng minh rằng:
m
a2 1 3 tan 3 cos sin 3 cos 2 sin 2 (đpcm) a 3
= (5 12 tan ) cos2 5 cos2 12sin cos
=
5(1 cos 2 ) 6sin 2 2
=
5 13 5 13 5 12 5 cos 2 sin 2 cos 2 arccos 2 2 13 13 13 2 2
ap3
A=
5 13 5 13 5 5 13 (1) A cos 2 arccos .1 9 (đpcm) 2 2 2 2 13 2 2 a 2 1 b2 1 1, ab
Ví dụ 3: Chứng minh rằng: A =
a , b 1.
3 1 1 , b với , 0; , cos cos 2 2
anc
Do a , b 1 nên đặt a Khi đó ta có:
.
A = (tan tan ) cos cos sin cos sin cos sin( ) 1 (đpcm)
a
To
Ví dụ 4: Chứng minh rằng:
a
2
2 2 , a 1
a 1
Do a 1 nên đặt a = Khi đó:
a
a 2
a 1
1 với 0; cos 2
a a2 1
1 1 1 . . cos tan2 sin
1 1 1 1 2 2 2. . 2 2 cos sin cos sin sin 2
Trang 24
(đpcm)
Chuyên đề: Chứng minh bất đẳng thức
y x 2 1 4 y 2 1 3 xy 26 , x ; y 1
Ví dụ 5: Chứng minh rằng:
Bất đẳng thức (*)
http://thaytoan.net
(*)
2 x2 1 1 4 y 1 3 26 (1) x x y y
Do x , y 1 nên đặt x
1 1 , y với , 0, . cos cos 2
m
Khi đó: (1) S = sin + cos(4sin + 3cos) 26
Ta có: S sin + cos (42 32 )(sin2 cos2 ) sin 5cos
IV. DẠNG 4: Sử dụng công thức 1 tan 2
.co
(12 52 )(sin2 cos2 ) 26 (đpcm)
1
cos2
1. Phương pháp:
ap3
a) Nếu x R và bài toán chứa 1 x 2 thì đặt x tan với , 2 2
b) Nếu x R và bài toán chứa x 2 m2 thì đặt x m tan với , 2 2 2. Các ví dụ minh hoạ: Ví dụ 1: Chứng minh rằng:
3x
S=
1 x
2
4x3
2 3
1
(1 x )
anc
1 Đặt x tan với , 1 x 2 . cos 2 2
Khi đó: S = 3 tan .cos 4 tan3 .cos3 3sin 4sin3 sin 3 1
To
Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức: Đặt a 2 tan với , 2 2 A=
3 4 tan2 3 tan 4 (1 tan2 )2
=
(1 2a2 )2
thì ta có:
3cos4 4sin2 cos2 3sin 4 (cos2 sin2 )2
= 3(sin2 cos2 )2 2sin2 cos2 = 3
A=
3 8a2 12a 4
5 1 sin2 2 0 3 A 3 2 3 2 2 2 2 Trang 25
sin2 2 2
(đpcm)
http://thaytoan.net
Chuyên đề: Chứng minh bất đẳng thức
Với = 0 thì a = 0 MaxA = 3 ;
Với =
(a b)(1 ab)
Ví dụ 3: Chứng minh rằng:
2
2
(1 a )(1 b )
1 5 thì a MinA = . 4 2 2
1 , a, b R 2
Đặt a tan , b tan . 2
2
(1 a )(1 b )
= cos2 cos2 .
(tan tan )(1 tan tan )
m
(a b)(1 ab)
(1 tan2 )(1 tan2 )
sin( ) cos .cos sin .sin . cos .cos cos .cos
= sin( ) cos( )
1 1 sin 2( ) 2 2 ab
Ví dụ 4: Chứng minh rằng:
2
2
.co
Khi đó
(đpcm)
bc
2
2
(1 b )(1 c )
2
, a, b, c
(1 c )(1 a )
ap3
(1 a )(1 b )
2
ca
Đặt a tan , b tan , c tan . Khi đó: BĐT
tan tan (1 tan2 )(1 tan2 )
cos cos .
tan tan
(1 tan2 )(1 tan2 )
tan tan (1 tan2 )(1 tan2 )
sin( ) sin( ) sin( ) cos cos . cos cos . cos .cos cos .cos cos .cos
anc
sin( ) sin( ) sin( ) Biến đổi biểu thức vế phải ta có:
sin( ) sin ( ) ( ) sin( ) cos( ) sin( )cos( ) sin( ) cos( ) sin( ) cos( )
= sin( ) . cos( ) sin( ) . cos( ) (đpcm).
To
sin( ) sin( )
ab cd (a c)(b d ), a, b, c, d 0
Vi dụ 5: Chứng minh rằng: Ta có: (1)
ab cd 1 (a c )(b d ) (a c )(b d )
cd ab 1 c d c d 1 a 1 b 1 a 1 b 1
Trang 26
(2)
(1)
Chuyên đề: Chứng minh bất đẳng thức
Đặt tan2
http://thaytoan.net
c d , tan2 với , a b
Ta có VT (2) =
0, . 2
1 (1 tan2 )(1 tan2 )
tan2 .tan2 (1 tan2 )(1 tan2 )
= cos cos sin sin = cos( ) 1 đpcm.
c d . a b
Đặt a tan
A=
a2 1
. Khi đó: 2
4 tan 2 1 2 tan tan 2 1 2 2 2 4. 2 3. = 3sin 4 cos 2 2 2 tan 1 1 tan tan 1 2 2 2
ap3
6 tan
6a 4 a 2 1
A=
.co
Ví dụ 6: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức:
m
Dấu bằng xảy ra cos( ) 1 =
3sin 4.0 3sin 3(1) 3
(1)
Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacốpxki ta có: A2 = 3sin 4 cos
2 (32 42 )(sin2 cos2 ) 25
A5
Dấu "=" ở (1) xảy ra sin = –1 a = –1 minA = –3.
sin cos maxA = 5. 3 4
anc
Đấu "=" ở (2) xảy ra
V. DẠNG 5: Đổi biến số đưa về bất đẳng thức tam giác 1. Phương pháp:
To
x , y, z 0 A, B, C 0; a) Nếu 2 thì ABC : 2 2 2 x y z 2 xyz 1 x cos A; y cos B; z cos C x , y, z 0 A; B; C 0; b) Nếu thì ABC : 2 x y z xyz x tan A; y tan B; z tan C
Trang 27
(2)
http://thaytoan.net
Chuyên đề: Chứng minh bất đẳng thức
A, B, C 0; 2 x , y, z 0 x cot A ; y cot B; z cot C c) Nếu thì ABC : A, B, C (0; ) xy yz zx 1 A B C x tan ; y tan ; z tan 2 2 2
2. Các ví dụ minh hoạ:
1 1 1 3( x y z) x y z
Từ 0 < x, y, z < 1 nên đặt x tan Do xy + yz + zx = 1 nên tan
; y tan ; z tan với , , 0, 2 2 2 2
.co
S=
m
Ví dụ 1: Cho x, y, z > 0 và zy + yz + zx = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
tan tan tan tan tan 1 tan cot 2 2 2 2 2 2 2 2 2
S =
ap3
tan tan 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 3( x y z) = cot cot cot 3 tan tan tan x y z 2 2 2 2 2 2
= cot g tg cot g tg cot tan 2 tan tan tan 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = 2(cot cot cot ) 2 tan tan tan 2 2 2
anc
= cot cot 2 tan cot cot 2 tan cot cot 2 tan 2 2 2 Để ý rằng: cot cot
sin( ) 2 sin 2 sin sin .sin 2sin .sin cos( ) cos( )
4sin cos 2 2 2 tan cot cot 2 tan 0 2 2 2 cos2 2
To
2sin 2sin 1 cos( ) 1 cos
1
Từ đó suy ra S 0. Dấu "=" xảy ra x = y = z =
Ví dụ 2: Cho 0 < x, y, z < 1 và nhất của biểu thức:
x
1 x2
y 1 y2
z 1 z2
S x 2 y 2 z2 .
Trang 28
3
MinS = 0 4 xyz
(1 x 2 )(1 y 2 )(1 z2 )
. Tìm giá trị nhỏ
Chuyên đề: Chứng minh bất đẳng thức
http://thaytoan.net
Do 0 < x, y, z < 1 nên đặt x tan
Khi đó tan
2x 1 x
2
; tan
; y tan ; z tan với , , 2 2 2
2y 1 y
2
; tan
0, . 2
2z 1 z2
Và đẳng thức ở giả thiết trở thành:
1 x 2
+
2x 1 x 2
+
2x 1 x 2
=
8 xyz (1 x 2 )(1 y 2 )(1 z2 )
tan tan tan tan tan tan
tan( ) tan( )
tan tan tan( ) 1 tan .tan
.co
tan tan tan (1 tan tan )
m
2x
(1)
Do , , 0, nên từ (1) suy ra . Khi đó ta có: 2
tan tan tan tan tan 1 xy yz zx 1 2 2 2 2 2 2
ap3
tan
Mặt khác: ( x 2 y 2 z2 ) ( xy yz zx )
1 2 2 2 ( x y) ( y z) ( z x ) 0 2
S x 2 y 2 z2 xy yz zx 1 . 1
3
MinS = 1.
anc
Dấu "=" xảy ra x = y = z =
x y z 9 x , y, z 0 Ví dụ 3: Cho . Chứng minh rằng: S = x y z 1 x yz y zx z xy 4 yz tan ; x 2
Suy ra:
Do
cos
xz tan ; y 2
xy tan với , , z 2
0, . 2
x yz y zx z xy ; cos ; cos . x yz y zx z xy
To
Đặt
yz zx zx xy xy yz =x+y+z=1 . . . . x y y z z x
nên tan
tan tan tan tan tan 1 2 2 2 2 2 2
tan cot tan tan 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
Trang 29
http://thaytoan.net
2 2
S =
=
Chuyên đề: Chứng minh bất đẳng thức
2y 2z 3 x y z 1 2 x 1 1 1 x yz y zx z xy 2 x yz y zx z xy 2
1 x yz y zx z xy 3 2 x yz y zx z xy 2
m
1 3 1 3 = (cos cos cos ) = cos cos (cos cos sin sin ) 2 2 2 2
3 1 1 1 (cos cos )2 1 (sin2 sin2 ) cos cos 2 2 2 2
=
1 2 3 3 3 9 cos sin2 cos2 sin2 1 = 2 2 4 2 4
* cos cos (cos cos ).1
Chú ý:
.co
(đpcm)
1 2 (cos cos ) 1 2
ap3
1 * sin .sin (sin 2 sin 2 ) 2
BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1. Cho a2 b2 1 . Chứng minh rằng:
20a3 15a 36b 48b3 13 .
Bài 2. Cho (a 2)2 (b 1)2 5 . Chứng minh rằng: 2a b 10 .
anc
a; b 0 Bài 3. Cho Chứng minh rằng: a4 b2 a3 b3 a b 2
1 1 1 1 1 1 Bài 4. Cho a, b, c 1. Chứng minh rằng: a b c a b c b c a a b c
a) xyz
1 8
To
x , y, z 0 Bài 5. Cho 2 . Chứng minh rằng: 2 2 x y z 2 xyz 1
d) xy yz zx 2 xyz
Bài 6. Chứng minh rằng:
b) xy yz zx
1 2
e)
1
1 a
2
3 4
c) x 2 y 2 z2
1 x 1 y 1 z 3 1 x 1 y 1 z
1
1 b
2
2 1 ab
, a, b (0; 1]
Bài 7. Chứng minh rằng: (a2 2)(b2 2)(c2 2) 9(ab bc ca) , a, b, c > 0.
Trang 30
3 4
Chuyên đề: Chứng minh bất đẳng thức
http://thaytoan.net
x y z 3 3 x , y, z 0 Bài 8. Cho . Chứng minh rằng: . 2 xy yz zx 1 1 x 2 1 y 2 1 z2 x
x , y, z 0 Bài 9. Cho . Chứng minh rằng: x y z xyz
1 x2
y 1 y2
z 1 z2
3 2
.co
m
x , y, z 0 Bài 10. Cho . Chứng minh rằng: xy yz zx 1 1 1 1 2x 2y 2z . 2 2 2 2 2 2 1 x 1 y 1 z 1 x 1 y 1 z
VẤN ĐỀ VI: MỘT HƯỚNG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC A. Cơ sở lí thuyết
1 . Từ (*) ta suy ra: Hay
(*)
ap3
Xuất phát từ bất đẳng thức (a b)2 0, a, b Dấu “=” xảy ra a = b.
a2 b2 2ab, a, b
(1a)
a 2 b2 ab, a, b 2
(1b)
2(a2 b2 ) (a b)2 , a, b (1c) 2
anc
a 2 b2 a b , a, b 2 2 2. Với a, b > 0. Chia 2 vế của (1a) cho ab ta được: a b 2 b a 2
3. Cộng 2 vế của (1a) với 2ab ta được (a b) 4ab
(1d)
(2) 2
Hay
ab ab 2
(3)
ab ab ( BĐT Cô–si với 2 số không âm) 2 4. Với a, b > 0, chia 2 vế của (3) cho ab(a+b), ta được: ab 4 (4) ab ab 1 1 4 1 1 1 Hay , a b ab 4a 4b a b 5. Với a, b > 0, nhân hai vế của (2) với a ta được:
To
Với a, b 0. Khai phương 2 vế ta được:
a2 b 2a b Hoặc nhân hai vế với b, ta được:
(5a)
Trang 31
http://thaytoan.net
Chuyên đề: Chứng minh bất đẳng thức
b2 2b (5b) a 6. Với a, b > 0. Lấy nghịch đảo 2 vế của (1a) ta được: 1 1 (6a) 2ab a2 b2 1 1 ab ( nhân 2 vế với a + b ) 2a 2b a 2 b 2 11 1 ab (6b) 2 2 a b a b2
m
a
7. Với a, b > 0, từ (1) a2 ab b2 ab a3 b3 ab(a b) 8. Từ (a b)2 0, (b c)2 0, (c a)2 0 2
2
2
.co
a2 b2 c2 ab bc ca
Suy ra:
(8a)
2
3(a b c ) (a b c)
Hay
(7)
(8b)
B. Bài tập áp dụng
ap3
Bài 1. Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác ( p là nửa chu vi). Chứng minh rằng: 1 1 1 1 1 1 2 pa pb pc a b c
1 1 4 a b ab 1 1 4 4 Từ đó: p a p b 2p a b c 1 1 4 4 p b p c 2p b c a 1 1 4 4 p c p a 2p a c b Cộng (a), (b), (c), vế theo vế, ta được: 1 1 1 1 1 1 2 4 pa pb pc a b c Dấu "=" xảy ra a = b = c.
anc
Áp dụng (4), với a, b > 0 ta có:
(a)
(b) (c)
đpcm.
To
Bài 2. Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:
a 2 b 2 b 2 c2 c2 a 2 abc 2c 2a 2b
a2 b2 c 2a; a 2b; c a Cộng các BĐT trên, vế theo vế, ta được:
Từ công thức (5) ta có:
Tương tự :
a 2 b2 c 2 abc c a b a 2 b2 c 2 abc b c a Trang 32
(1) (2)
c2 b 2c b
Chuyên đề: Chứng minh bất đẳng thức
http://thaytoan.net
a 2 b 2 b 2 c2 c2 a 2 a b c (đpcm). 2c 2a 2b Dấu "=" xảy ra a = b = c. Cộng (1) với (2) ta được:
Bài 3. Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:
a2 b2 c2 abc bc ca ab 2 Từ công thức (5) ta có: 2
(2 b)2 (2c) (a c) 2.2b 4 b; (a b) 2.2c 4c ac bc 4 a 2 4b 2 4c 2 Cộng các BĐT trên, vế theo vế, ta được: 2(a b c ) bc ac ab Chia 2 vế cho 4 ta được đpcm.
Từ (3) ta có:
1 x
1 2 2 1 16 x x
2
(1 x )2 4 x 0
(a)
2
1 2 1 và 1 1 4 0 2 x x x x Nhân (a), (b), vế theo vế, suy ra đpcm. Dấu "=" xảy ra x = 1.
ap3
1
.co
Bài 4. Cho x > 0. Chứng minh rằng:
m
(2 a)2 (b c ) 2.2 a 4 a; bc
(b)
Bài 5. Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:
2
anc
1 1 1 1 1 1 3 4 ab ac bc ab ac bc
Từ (3) ta có (a b)2 4ab . Chia 2 vế cho ab(a b)2 0 , ta được:
1 4 ab (a b)2
1 4 1 4 ; 2 ac (a c) bc (b c )2 Cộng các BĐT trên, vế theo vế, ta được: 1 1 1 1 1 1 4 (a b)2 (b c)2 (a c)2 ab ac bc
To
Tương tự:
2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 4.3 4 2 2 2 ab ac bc ab ac bc (a b) (a c) (b c) (theo (8))
Bài 6. Chứng minh rằng: 2(a3 b3 c3 ) ab(a b) bc(b c) ac(a c) Từ (7) ta có: a3 b3 ab(a b); b3 c3 bc(b c); Cộng các BĐT trên, vế theo vế, ta được:
2(a3 b3 c3 ) ab(a b) bc(b c) (a c) Dấu "=" xảy ra a = b= c. Trang 33
c3 a3 ac(a c)
(đpcm).
http://thaytoan.net
Chuyên đề: Chứng minh bất đẳng thức
ax by 0 Bài 7. Cho (x; y) là nghiệm của hệ phương trình: . x y 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = xy . Trước hết ta tính x, y. Từ ax = by ax ay ay by a( x y) (a b) y y
xy
ab (a b)
Max xy
1 4
1 1 ab xy . 4 2
.co
Suy ra:
2
m
Khi đó:
a b x ab ab
ap3
Bài 8. Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng: 1 1 1 1 1 1 2a b c 2 b a c 2c a b 4a 4b 4c 4 1 1 1 1 1 Từ (4) ta có: ab a b 4a 4b 16a 16b 1 1 1 1 1 1 1 1 Suy ra 2a (b c) 8a 4(b c) 8a 4b 4c 8a 16b 16c 1 1 1 1 1 1 1 1 Tương tự : ; 2b (a c) 8b 16a 16c 2c (a b) 8c 16a 16b Cộng vế với vế 3 bđt trên, rồi rút gọn ta có đpcm.
2 1 1 ab cb . Chứng minh rằng: 4 b a c 2a b 2c b 2 ac 2ac Từ giả thiết b b ac ac 2ac a ab a2 3ac a 3c a c Suy ra: = 2 2 ac 2a b 2a 2 a 2a ac c b c 3b Tương tự : 2c b 2c ab cb a 3c c 3a ac 3c 2 ca 3a2 Do đó: = 2a b 2c b 2a 2c 2ac 2 2 3(a c ) 2ac 3.2ac 2 ac 8ac = 4 (đpcm). 2ac 2ac 2ac
To
anc
Bài 9. Cho a, b, c > 0 thoả mãn
Bài 10. Cho a, b, c > 0 thoả mãn a b c 1 . Chứng minh rằng: a b 2c 4(1 a)(1 b)(1 c) Từ a b c 1 b c 1 a và 0 c 1 c 2 1 1 1 c2 0
Trang 34
Chuyên đề: Chứng minh bất đẳng thức
http://thaytoan.net 2
Suy ra: 4(1 a)(1 b)(1 c) (b c) (1 b) (1 c ) = (1 c)2 (1 c) = (1 c2 )(1 c) 1 c a b 2c (đpcm). Bài 11. Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: a b c 3 (*) bca cab abc Đặt x b c a; y c a b; z a b c x y z a b c
yz z x xy ; b ; c 2 2 2 y z z x x y 1 y z x y x x 1 Ta có: VT (*) (2 2 2) 3 2x 2y 2z 2 x x y z z y 2 Dấu “=” xảy ra x = y = z a = b = c hay ABC đều.
.co
m
a
Suy ra:
Bài 12. Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: abc (b c a)(c a b)(a b c)
y z 2 yz , z x 2 zx
x y yz z x . . abc 2 2 2
ap3
Tương tự bài 11 ta có: x y 2 xy ,
(b c a)(c a b)(a b c) = xyz
Suy ra:
Bài 13. Cho a, b, c >0. Chứng minh rằng:
a 2 b 2 b 2 c2 c2 a 2 abc ab bc ca
a2 b2 a b . ab 2 b2 c 2 b c c 2 a2 c a Tương tự: , . bc 2 ca 2 Cộng các BĐT trên, vế theo vế, ta được đpcm.
anc
Theo (1c) ta có: 2(a2 b2 ) (a b)2
To
Bài 14. Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng: ab bc ca 1 1 1 2 2 2 2 2 2 a b c a b b c c a ab 11 1 Theo (6) ta có : . 2 2 2a b a b 1 1 1 ca 11 1 , . 2 2 2b c 2c a b c c a Cộng các BĐT trên, vế theo vế, ta được đpcm.
Tương tự:
bc 2
2
2
2
1 1 25 Bài 15. Cho a, b > 0 thoả mãn a b 1 . Chứng minh rằng: a b a b 2 a 2 b2 a b Từ (1d) ta có: 2 2
2
Trang 35
(*)
http://thaytoan.net
Chuyên đề: Chứng minh bất đẳng thức
Suy ra: 2
2
2
2
2
1 1 1 1 1 1 ab ab 1 a b 52 a b a b 1 3 a b 2 a b 2 a b 2 b a 2 Bài 16. Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:
1 1 1 a b
1 1 1 b c
1 1 1 c a
abc 2
1 1 4 1 1 (a b) . 1 1 4 a b ab a b 1 1 1 1 Tương tự: (b c ) , (c a) . 1 1 4 1 1 4 b c c a Cộng các BĐT trên, vế theo vế, ta được đpcm. a b c b c c a a b 15 Bài 17. Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng: bc ac ab a b c 2 a b Theo (2) ta có: 2 . b a bc ca ab b c c a a b M 222 6 a b c a a b b c c
ap3
.co
m
Từ (4) ta có:
a b c b c a N 1 1 1 3 b c c a a b b c c a a b 1 1 1 a b c 3 bc ca ab
Suy ra:
1 9 3 1 1 1 a b b c c a 3 3 bc ca ab 2 2 2
anc
M N 6
3 15 . Dấu "=" xảy ra a = b = c. 2 2
To
Bài 18. Cho 2 số dương a, b thoả a + b = 1 . Chứng minh rằng: 1 1 2 3 a) 6 b) 14 ab a2 b 2 ab a2 b2 a) Từ (3) ta có 4ab (a b)2 4ab 1
1 4 ab
(vì a, b > 0)
1 1 4 a b ab 1 1 1 1 1 1 4 Suy ra: 6 .4 2 2 2 2 ab a b 2ab 2 ab a b 2 (a b)2 Từ (4) ta có
Dấu “=”xảy ra a = b =
1 . 2
b) Tương tự như trên ta có
Trang 36
Chuyên đề: Chứng minh bất đẳng thức
http://thaytoan.net
1 2 3 4 3 1 1 1 4 3 .4 3. 2 12 14 ab a2 b2 2ab a 2 b2 2ab (a b)2 2ab a 2 b2 2
ac bd ca d b 4 ab bc cd d a
Bài 19. Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh rằng:
1 1 4 . a b ab 1 ac ca 1 4 Suy ra: ( a c) (a c ) ab cd abcd ab cd bd d b 4 Tương tự: (b d ) bc d a abcd Cộng các BĐT trên, vế theo vế, ta được đpcm.
.co
m
Sử dụng công thức (4) ta có:
Bài 20. Cho a + b = 2. Chứng minh rằng: a4 b 4 2 . Từ (1c) ta có:
2(a2 b2 ) (a b)2 4 a2 b2 2 .
2(a 4 b 4 ) (a2 b2 )2 22 4
Suy ra:
a4 b 4 2
ap3
và
(đpcm)
Bài 21. Cho a 1, b 1, a b 3 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A = 1 a2 + 1 b2
(Đề thi vào lớp 10 THPT Hải Dương)
Ta có : A= 1 a2 + 1 b2 0
anc
Xét A2 = 1 a2 1 b2 2 (1 a2 )(1 b 2 ) 2 (a2 b2 ) 1 a2 1 b2
4 2(a2 b2 4 (a b)2 1 A 1 1 A 1
3 2 3 3 Vậy maxA = 1 khi a b hoặc a b 2 2
To
A = 1 khi a = b 2 a 3 4a2 3 a
Bài 22. Giải hệ phương trình:
2 x2 y (a) 1 x 2 2 y 2 z (b) 2 1 y 2 z2 x (c) 2 1 z Từ hệ phương trình ta suy ra được: x, y, z 0.
Ta có: 1 x 2 2 x
2x 1 x2
1 y
2 x2 1 x2
Trang 37
x
http://thaytoan.net
Tương tự: z Như vậy:
Chuyên đề: Chứng minh bất đẳng thức
2 y2
y,
2 z2
x
z. 1 y2 1 z2 xzy x x yz.
2 x2
x 0 x x3 x 2 0 . x 1 1 x Vậy hệ phương trình có nghiệm: (0; 0; 0) hoặc (1; 1; 1). 2
m
Do đó (a)
VẤN ĐỀ VII: BẤT ĐẲNG THỨC VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG
anc
ap3
.co
I. CƠ SỞ LÝ THUYẾT. 1. Độ dài véctơ. Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, véctơ u ( x; y ) có độ dài là: u x 2 y2 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, véctơ u ( x; y; z) có độ dài là: u x 2 y 2 z2 2. Các phép toán véctơ biểu thị qua tọa độ. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, hai véctơ u ( x1; y1 ); v ( x2 ; y2 ) . Khi đó ta có u v ( x1 x2 ; y1 y2 ); u v ( x1 x2 ; y1 y2 ); ku (kx1; ky1 ) (k ) u.v u . v cos(u, v); u.v x1.x2 y1.y2 Chú ý: Trong không gian các phép toán giữa các véctơ tương tự như trong mặt phẳng. 3. Bất đẳng thức véctơ. Cho hai véctơ a , b (trong mặt phẳng hoặc không gian). Khi đó ta có: ab a + b (1). Dấu “=” xảy ra a, b cùng hướng. n
Tổng quát:
ab a + b a . b a.b a . b
n
ai ai i 1
(n nguyên dương).
i 1
To
(2). Dấu “=” xảy ra a, b ngược hướng. (3). Dấu "=" thứ nhất xảy ra a, b ngược hướng. Dấu "=" thứ hai xảy ra a, b cùng hướng. II. ỨNG DỤNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC VÉCTƠ. 1. Ứng dụng để giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình. 1.1. Phương pháp: Ta biến đổi phương trình đã cho sau đó xét các véctơ có tọa độ thích hợp rồi áp dụng một trong ba BĐT véctơ trên và xét trường hợp dấu bằng xảy ra để đưa ra nghiệm của phương trình đã cho. 1.2. Ví dụ.
Ví dụ 1: Giải phương trình sau: Điều kiện: 1 x 3
x x 1 3 x 2 x2 1 0
Khi đó ta có (1.1) x x 1 3 x 2 x 2 1
Trang 38
(1.1)
Chuyên đề: Chứng minh bất đẳng thức
http://thaytoan.net
Xét hai véctơ u ( x;1); v ( x 1; 3 x ) Ta có u.v x x 1 3 x ; u . v 2 x 2 1 Mà theo BĐT (3 ) ta có u.v u . v x x 1 3 x 2 x 2 1 Vì u , v 0 nên dấu “=” xảy ra u , v cùng hướng
m
0 x 3 x 1 0 x 3 x 1 x x 1 0 2 1 3 x x (3 x ) x 1 x 1 2 x 1 2 x 1 2 Ví dụ 2: Giải phương trình sau: x 2 2 x 5 x 2 2 x 10 29 Phương trình đã cho xác định với mọi x.
(1.2)
ap3
.co
Ta có (1.2) ( x 1)2 4 ( x 1)2 9 29 Xét hai véctơ u ( x 1;2); v ( x 1;3) . Khi đó u v (2;5); u x 2 2 x 5; v x 2 2 x 10; u v 29 Mà theo BĐT (1) ta có u v u v x 2 2 x 5 x 2 2 x 10 29 x 1 2 1 Vì u , v 0 nên dấu “=” xảy ra u , v cùng hướng x x 1 3 5 1 Vậy phương trình (1.2) có một nghiệm duy nhất x . 5
(1.3)
anc
Ví dụ 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: x 2 4 x m Điều kiện: 2 x 4 . Xét hai véctơ u x 2; 4 x ; v (1;1) . Ta có u 2; v 2; u .v x 2 4 x Mà theo BĐT (3) ta có u.v u . v x 2 4 x 2 . Suy ra phương trình (1.3) có nghiệm 0 m 2 .
To
x y z 3 Ví dụ 4: Giải hệ phương trình sau x 2 y 2 z2 3 (1.4) 3 3 3 x y z 3 Ta xét hai véctơ u ( x; y; z); v (1;1;1) Khi đó ta có u x 2 y 2 z2 3; v 3; u.v x y z 3
x y z Từ trên ta thấy u.v u . v u , v cùng hướng 0 x y z 0 1 1 1 Kết hợp với hệ đã cho ta có nghiệm duy nhất của hệ (1.4) là x = y = z = 1. Ví dụ 5: Giải bất phương trình sau:
x 1 x 3 2( x 3)2 2 x 2
Điều kiện: x 1 . Xét hai véctơ u ( x 3; x 1); v (1;1)
Trang 39
(1.5)
http://thaytoan.net
Chuyên đề: Chứng minh bất đẳng thức
m
Khi đó ta có u ( x 3)2 x 1; v 2; u.v x 1 x 3 Từ trên và bất phương trình (1.5) ta thấy u.v u . v (*) Mà theo BĐT (3) ta có u.v u . v (**) Từ (*) và (**) suy ra u.v u . v u , v cùng hướng 2 x 3 x 1 x 7 x 10 0 x 5 (Vì u , v 0 ). x 3 Vậy x = 5 là nghiệm duy nhất của bất phương trình (1.5).
1.3. Bài tập tự luyện.
Bài 2. Giải phương trình sau: Bài 3. Giải bất phương trình sau:
x 2 2 x 2 4 x 2 12 x 25 9 x 2 12 x 29
.co
Bài 1. Giải phương trình sau:
cos x 2 cos2 x cos x 2 cos2 x 3 x 1 2 x 3 50 3 x 12
anc
ap3
Bài 4. Giải bất phương trình sau: 5 4 x 5 4 x 4 Bài 5. Giải hệ phương trình sau: ( x y ) 1 x y 3 x y 2 ( x y )2 1 x y 2 x y 2 1 Bài 6. Chứng minh rằng hệ phương trình sau vô nghiệm: x 4 y 4 z4 1 2 2 2 x y 2 z 7 Bài 7. Giải hệ phương trình sau: x y z 3 2 2 2 x y z 3 x 2009 y 2009 z2009 3
To
Bài 8. Giải hệ phương trình sau: 2009 1 x1 1 x2 ... 1 x2008 2008 2008 2007 1 x 1 x ... 1 x 1 2 2008 2008 2008
2. Ứng dụng trong bài toán chứng minh bất đẳng thức. 2.1. Phương pháp: Ta biến đổi BĐT đã cho sau đó xét các véctơ có tọa độ thích hợp rồi áp dụng một trong ba BĐT véctơ trên và xét trường hợp dấu bằng xảy ra để chứng minh BĐT đã cho. 2.2. Ví dụ. Ví dụ 1: Chứng minh rằng x, y ta có: 4 cos2 x cos2 y sin2 ( x y ) 4sin2 x sin2 y sin2 ( x y ) 2
Trang 40
(2.1)
Chuyên đề: Chứng minh bất đẳng thức
http://thaytoan.net
Xét hai véctơ u (2 cos x cos y;sin( x y)); v (2 sin x sin y;sin( x y )) Khi đó ta có u 4 cos2 x cos2 y sin2 ( x y ); v 4 sin2 x sin2 y sin2 ( x y ) u v (2 cos( x y );2sin( x y )); u v 2 Mà theo BĐT (1) ta có : u v u v 4 cos2 x cos2 y sin2 ( x y ) 4 sin2 x sin2 y sin2 ( x y ) 2 Vậy BĐT (2.1) được chứng minh. ta có:
m
Ví dụ 2: Chứng minh rằng x, y, z
x 2 xy y2 x 2 xz z2 y 2 yz z2
(2.2)
2
.co
Ta có (2.2)
2
2 2 1 3 1 3 y x z z y 2 yz z2 x y 2 2 2 2
1 3 1 3 Xét hai véctơ u x y; y ; v x z; z 2 2 2 2 Khi đó ta có u x 2 xy y 2 ; v x 2 xz z2
ap3
1 3 3 1 u v y z; y z ; u v y 2 yz z2 2 2 2 2 Mà theo BĐT (1) ta có: u v u v x 2 xy y 2 x 2 xz z2 y 2 yz z2 Vậy BĐT (2.2) được chứng minh.
Ví dụ 3: Cho các số thực dương a, b, c thoả mãn ab bc ca abc . Chứng minh rằng:
Ta có:
anc
a 2 2b 2 b2 2c 2 c 2 2 a2 3 ab bc ca
a 2 2b 2 b 2 2c2 c 2 2a 2 3 ab bc ca
1 b
2
2 a
2
1 c
2
2 b
2
1 a
2
1 2 1 2 1 2 Xét ba véctơ u ; ; v ; ; w ; b a c b a c
To
a2 2 b2 b 2 2c 2 c 2 2a 2 Khi đó ta có u ; v ; w ab bc ca 2 1 1 1 2 2 1 1 1 2 uv w ; ; u v w 3 3 a b c a b c a b c 1 1 1 (Vì ab bc ca abc 1 ) a b c Mà theo BĐT (1) ta có:
a 2 2b 2 b 2 2c 2 c 2 2 a2 u v w uvw 3 ab bc ca Vì u , v , w 0 nên dấu “=” xảy ra u , v , w cùng hướng a b c Trang 41
2 c2
3
http://thaytoan.net
Chuyên đề: Chứng minh bất đẳng thức
Mà ab bc ca abc suy ra a b c 3 . Vậy BĐT (2.3) được chứng minh và dấu “=” xảy ra a b c 3 . 2.3. Bài tập tự luyện. *
Bài 1. Chứng minh rằng x, y, z
ta có:
(a c)2 (b d )2 a2 b2 c2 d 2 Bài 3. Chứng minh rằng x, y ta có: 2
2
1 2
(1 x )(1 y ) Bài 4. Chứng minh rằng a, b, c, x, y, z
ta có:
a) ax by cz a2 b2 c2 . x 2 y 2 z2 b)
.co
( x y)(1 xy )
m
x 2 xy y2 x 2 xz z2 y2 yz z2 3( x y z) Bài 2. Chứng minh rằng a, b, c, d ta có:
a 2 b2 c2 x 2 y2 z2 (a x )2 (b y )2 (c z)2
x2
1
y2
1
ap3
c) a 2 a 1 a2 3a 1 2 Bài 5. Chứng minh rằng x, y, z 0, x y z 1 ta có:
z2
1
82 (Đề thi ĐH năm 2003) y2 z2 x2 Bài 6. Cho ba số thực x , y, z đôi một khác nhau. Chứng minh rằng: xy
yz
z x
1 x 2 1 y2 1 y 2 1 z2 1 z2 1 x 2 Bài 7. Chứng minh rằng với mọi số thực a, b ta luôn có:
a 2 b2 2a 2b 37 a2 b2 6a 6b 18 5
anc
a)
b) a 2 4 a2 2a b 2 1 b2 6b 10 5 Bài 8. Chứng minh rằng a, b, c ta có:
a 2 2a 5 a2 2ab b2 1 b2 2bc c2 1
c 2 2cd d 2 1 d 2 10d 26 6 2 Bài 9. Chứng minh rằng a, b, c , abc 1 ta có:
bc
ca
ab
3 2
To
(Đề thi ĐH NNI_2000) a ba c b cb a c ac b Bài 10. Cho x, y, u, v : u 2 v2 x 2 y 2 1 . Chứng minh rằng: 2
2
2
2
2
2
u( x y ) v( x y) 2 Bài 11. Chứng minh rằng x, y ta có: a)
cos4 x cos4 y sin2 x sin2 y 2
b) sin x 2 sin2 x sin x 2 sin2 x 3 Bài 12. Chứng minh rằng a, b c 0 ta có: Bài 13. Chứng minh rằng a, b, c ta có:
Trang 42
c(a c) c(b c) ab
Chuyên đề: Chứng minh bất đẳng thức
http://thaytoan.net
a) a2 b2 c2 abc(a b c)
b) a2 b2 c2 ab bc ca
x 2 xy y 2 3 thoả mãn 2 ta có: 2 y yz z 16 Bài 15. Cho 2 n ; a1 , a2 ,..., an , b1 , b2 ,..., bn . Chứng minh rằng: Bài 14. Chứng minh rằng x, y, z
i 1
2
ai2
bi2
n n ai bi i1 i1
x 1 x 4 x 4 1 x 2 4 8
Bài 16*. Chứng minh rằng x 0;1 ta có: Bài 17*. Chứng minh rằng a, b, c ab
2
ta có:
bc
ca
2009 c 2 . 2009 a2
.co
2009 a2 . 2009 b2 2009 b2 . 2009 c 2 Bài 18*. Cho n số thực a1 , a2 ,..., an . Chứng minh rằng:
m
n
xy yz zx 8
(1 a1 )2 1 (a1 a2 )2 1 ... (an 1 an )2 1 (n 2 an )2 1 (n 1) 2
ap3
3. Ứng dụng trong bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số. 3.1. Phương pháp: Phương pháp chủ yếu là ta xét các véctơ có tọa độ thích hợp rồi sử dụng một trong ba BĐT véctơ trên để tìm giá trị lớn nhất, giái trị nhỏ nhất của hàm số đã cho. 3.2. Ví dụ. Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số sau đây:
f (x) x2 x 1 x 2 x 1 TXĐ:
2
To
anc
2 2 1 3 1 3 Ta có f ( x ) x x 2 2 2 2 1 3 1 3 Xét hai véctơ u x ; ; v x ; 2 2 2 2 Khi đó ta có u x 2 x 1; v x 2 x 1; u v 1; 3 ; u v 2 Mà theo BĐT (1) ta có u v u v f ( x ) 2 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = 0. Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) đã cho là 2 đạt được tại x = 0.
Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:
f ( x ) cos2 x 2 cos x 5 cos2 x 4 cos x 8
TXĐ: Xét hai véctơ u (1 cos x;2); v (2 cos x;2) Khi đó: u cos2 x 2 cos x 5; v cos2 x 4 cos x 8; u v (3;4); u v 5 Mà theo BĐT (1) ta có u v u v f ( x ) 5 Dấu “=” xảy x
2 k 2 (k 3
) hoặc x
Trang 43
2 l2 (l ) 3
http://thaytoan.net
Chuyên đề: Chứng minh bất đẳng thức
Vậy min f(x) = 5 đạt được tại x
2 k 2 (k 3
) hoặc x
2 l2 (l ) . 3
Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất trên khoảng 2000 ;2002 của hàm số
f ( x ) cos2 x 6 cos x 10 cos2 x 2 cos x 2
m
TXĐ: Xét hai véctơ u (3 cos x;1); v (cos x 1;1) Khi đó ta có u cos2 x 6 cos x 10; v cos2 x 2 cos x 2; u v 20 Mà theo BĐT (1) ta có u v u v f ( x ) 20 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x k 2 (k )
.co
Xét trên đoạn 2000 ;2002 ta có k = 1000; 1001 tương ứng với x 2000 ;2002 Vậy trên đoạn 2000 ;2002 thì minf(x) = 20 đạt được tại x 2000 hoặc x 2002 . 3.3.Bài tập tự luyện.
Bài 1. Cho hàm số f ( x ) A sin x B cos x ( A2 B2 0) a) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên.
ap3
cos3 x a cos3 x 1 1 1 3a2 , x , a 2 cos3 x 3 Bài 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: b) Dùng câu a), chứng minh rằng
A f ( x , y ) x 2 y 2 2 x 12 y 37 x 2 y 2 6 x 6 y 18 Bài 3. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số sau: f (x)
( x 6)2 100 ( x 1)2 4
Bài 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số sau:
anc
y x 2 2 px 2 p2 x 2 2 qx 2 q2 ( p q) Bài 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số sau: y a2 x 2 a2 (c x )2
To
VẤN ĐỀ VIII: SỬ DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Trong phần này ta sử dụng đạo hàm thông qua việc xét tính đơn điệu của hàm số hoặc dùng định lý Lagrage để chứng minh bất đẳng thức, đặc biệt là bất đẳng thức có một biến số. LOẠI 1. SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Ví dụ 1. Chứng minh rằng:
ex 1 x
với x 0
Xét hàm số f ( x ) e x x 1 liên tục và khả vi với mọi x 0 Ta có:
f ( x ) e x 1 , f (0) 0
+ Nếu x 0 thì f ( x ) e x 1 0 f ( x ) đồng biến
Trang 44
Chuyên đề: Chứng minh bất đẳng thức
http://thaytoan.net
f ( x ) f (0) e x x 1 0 e x 1 x
(1)
+ Nếu x 0 thì f ( x ) e x 1 0 f ( x ) nghịch biến f ( x ) f (0) e x x 1 0 e x 1 x
ex 1 x
Ví dụ 2. Chứng minh rằng: YCBT
với x 0 .
x2 2
đúng với mọi x 0
m
Từ (1), (2) e x 1 x
(2)
x2 x 1 e x 0 , x 0 2
.co
x2 Xét f ( x ) x 1 e x . Ta có f ( x ) x 1 e x , f ( x ) 1 e x 0 , x 0 2 Do đó f ( x ) nghịch biến trong (0; ) f ( x ) f (0) 0 với x (0; ) f ( x ) nghịch biến trong (0; ) f ( x ) f (0) 0 , x 0
x2 x2 x 1 e x 0 , x 0 hay e x 1 x với x 0 . 2 2
ap3
x3 sin x x 6 sin x x (a) 3 BĐT với x 0 x x 6 sin x (b) a) Ta chứng minh sin x x với x 0 Xét hàm số f ( x ) sin x x . f (0) 0 x
Ví dụ 3. Chứng minh rằng:
với x 0
anc
Ta có: f ( x ) cos x 1 0 , x (0; ) f ( x ) nghịch biến trong (0; ) . f ( x ) f (0) với x 0 sin x x 0 với x 0
x3 sin x với x 0 6 x3 x2 Xét hàm số f ( x ) sin x x . Ta có f ( x ) cos x 1 g( x ) 6 2 g ( x ) sin x x 0 với x > 0 g( x ) đồng biến g( x ) g(0) 0 với x 0
To
b) Ta chứng minh x
hay f ( x ) 0 với x 0 f ( x ) đồng biến f ( x ) f (0) 0 với x 0
x3 x3 0 hay x < sin x với x 0 6 6 x3 Từ a) và b) x sin x x với x 0 6 sin x x
2sin x 2tan x 2 x 1
Ví dụ 4. Chứng minh rằng
sin x
Áp dụng BĐT Cô–si: 2
2
tan x
sin x
2. 2
Trang 45
.2
với 0 x tan x
=
2
sin x tan x 2 2.2
sin x tan x 1 2 2
http://thaytoan.net
Chuyên đề: Chứng minh bất đẳng thức sin x
2 sin x tan x 1 2 2
2
tan x
sin x tan x 1 2 2
sin x tan x 1 x 1 2 với 0 x sin x tan x 2 x 2 Xét hàm số f ( x ) = sin x tan x 2 x với 0 x , f (0) 0 2 Co si 1 1 1 2 Ta có: f ( x ) cos x 2 cos x 2 2. cos2 x . .2 0 2 2 cos x cos x cos2 x (vì cos x cos2 x với 0 x ) 2 f ( x ) 0 f ( x ) đồng biến f ( x ) f (0) với 0 x 2 sin x tan x 2 x 0 sin x tan x 2 x với 0 x đpcm. 2 2 x 1
2
tan x
3 x 1 22
với 0 x
ap3
2
Ví dụ 5. Chứng minh rằng
2.sin x
.co
m
YCBT
2
1 3x Xét hàm số f ( x ) sin x tan x với 0 x 2 2 2 1 3 cos x cos x 1 3 Ta có f ( x ) cos x 2 2 2.cos2 x 2 2.cos2 x 2 Co si
cos x cos x 1 3 . . 0 2 2 2 cos x 2
anc
3.3
f ( x ) 0 , x 0; f ( x ) đồng biến trong 0; 2 2 1 3x f ( x ) f (0) sin x tan x 0 , x 0; 2 2 2
Mà 2
To
1 3x sin x tan x , x 0; . Đẳng thức xảy ra x 0 2 2 2 2.sin x
2
tan x
2. 2
2 sin x
.2
tan x
1 sin x tan x 2 2.2
3x 2.2 2
3x 1 2sin x tan x 2 2 2 2
, x 0; . 2 x 0 Đẳng thức xảy ra x 0. 2sin x tan x
Do đó
2
2.sin x
2
tan x
3 x 1 22
với x 0; 2
Trang 46
Chuyên đề: Chứng minh bất đẳng thức
3 1 . Chứng minh rằng 2. 3 4 2 1
3 59 f x2 4 18 3 2 2( x 3 1) Ta có f ( x ) 2 0 với x 0; 3 3 x x 4 3 3 3 f ( x ) giảm trên 0; f ( x ) f , x 0; 4 4 4 Xét hàm số
f x 2x
3 trên 0; , 4
.co
3 3 f f , 0; 4 4 3 1 59 1 2 3 Hay 2. 3 , 0; 2 2 18 4
m
Ví dụ 6. Cho 0
http://thaytoan.net
với 0 a 3 b a 1 thì : (a 1) (a 1)3 2.b a.(a3 2.b) 3 b 2.a3 b 2.(a 1)3 b
Ví dụ 7. Chứng minh rằng
f (x)
Ta có f 3 b 3 b
ap3
Xét hàm số
x ( x 3 2.b) 2.x 3 b
và
với 0 a x a 1
2.( x 3 b)2 f ( x ) 0 (2.x 3 b)2
anc
f ( x ) đồng biến f (a) f 3 b f (a 1) với 0 a x a 1 (a 1) (a 1)3 2.b a.(a3 2.b) 3 b (đpcm). 2.a3 b 2.(a 1)3 b
. Chứng minh rằng a.sin a b.sin b 2.(cos b cos a) 2 YCBT a.sin a 2 cos a > b.sin b 2.cos b Xét hàm số f ( x ) = x.sin x 2.cos x với 0 x 2 Ta có: f ( x ) sin x x.cos x 2.sin x , f (0) 0
To
Ví dụ 8. Cho 0 a b
f ( x ) cos x cos x x.sin x 2.cos x x.sin x
f ( x ) 0 (vì 0 x thì sin x 0 ). Do đó f ( x ) f (0) 0 khi 0 x 2 2 f ( x ) giảm trên khoảng 0; f (a) f (b) với 0 a b 2 2 a.sin a 2 cos a b.sin b 2.cos b hay a.sin a b.sin b 2.(cos b cos a) Ví dụ 9. Chứng minh rằng: 4.tan 50.tan 90 3.tan 60.tan100 tan x Xét hàm số f ( x ) với 0 x x 4 Trang 47
http://thaytoan.net
Chuyên đề: Chứng minh bất đẳng thức
2.x sin 2 x Ta có f ( x ) 0 2.x 2 cos2 2 x
( vì ta đã có
hàm số f ( x ) đồng biến trên 0; 2 5 Với 5 < 6 thì f (5) f (6) f 180
sin tan
nếu 0
) 2
6 f , 180
5 6 tan 180 180 6.tan 50 5.tan 60 5 6 180 180
tức là
(2)
Chứng minh tương tự ta cũng có 10.tan 90 9.tan100
(3)
m
tan
Nhân (2) và (3), vế theo vế, ta được 4.tan 50.tan 90 3.tan 60.tan100
BĐT
.co
Ví dụ 10. Cho x y z 0 . Chứng minh:
(đpcm).
x 2 .y y 2 .z z2 .x x 2 y 2 z2 z x y
x 3 .y 2 z2 .y 3 x 2 .z3 x 2 y 2 z2 x.y.z
ap3
x 3 .y 2 z2 .y 3 x 2 .z3 x 3 z2 z 3 x 2 x z x 2 z 2 2 2 2 xz( x y z ) . . 1 y y 3 y 2 y 3 y 2 y y y 2 y 2 x z Đặt u , v . Ta có u 1 v 0 . y y Nên BĐT có dạng u3 v2 u2 .v3 u.v(u 2 v2 1)
u3 (1 v) u2 .v3 u.v(1 v2 ) v 2 0
(1)
anc
+ Nếu v 1 thì (1) có dạng u2 2.u 1 0 , tức là (2) đúng
+ Nếu 0 v 1 . Xét hàm số f (u) u3 (1 v) u2 .v3 u.v(1 v 2 ) v 2
với u 1
Ta có f (u) 3.u2 (1 v) 2.u.v3 v(1 v 2 )
f (u) 6.u(1 v) 2.v 3 0 (do 0 v 1 và u 1 ) f (u) đồng biến khi u 1 nên với mọi u 1 ta có f (u) f (1) Mà f (1) v3 4.v 3 (v 1)(v 2 v 3) 0 nên
f (u) 0 f (u) đồng biến khi u 1
u3 (1 v) u2 v2 u2 v 3 uv(1 v 2 ) v 2 0 với
Vậy: 2
Hay
Ví dụ 11.
To
Tức là u 1 ta có f (u) f (1) v2 2v 1 (v 1)2 0 2
u 1 v 0
2
x .y y .z z .x x 2 y2 z2 với x y z 0 z x y
Chứng minh
a) Chứng minh x
x2 x ln 1 x x với mọi x 0 2
x2 ln(1 x ) , x 0 2
Trang 48
(đpcm).
Chuyên đề: Chứng minh bất đẳng thức
http://thaytoan.net
x2 1 x2 , x 0 , f ( x ) = 1 x 0, x 0 2 1 x 1 x đồng biến với mọi x 0
Xét f ( x ) = ln(1 x ) x f (x)
x2 x2 0, x 0 x ln(1 x ) với mọi x 0 2 2 b) Chứng minh ln(1 x ) x, x 0 Đặt g g( x ) x ln(1 x ) với x 0 , g(0) 0 1 x 0 , khi x 0 g ( x ) 1 1 x 1 x g( x ) 0 , x 0 x ln 1 x 0, khi x 0 ln 1 x x , với x 0 x2 ln(1 x ) x , với mọi x 0 2 x2 x 2
Ví dụ 12. Chứng minh rằng
2
Do x 0 nên x
x 2
1
a) Chứng minh
x 1
x x 1
1
x 2
x với x 0
x 1
1 1 1 x 1 1 , x 0 x 1 1 1 x x 1 2
x 2
1
x 1 1
1 x 1
x 1
1
x 0
,
anc
1
x 1
x 0
1,
Vì x 0 nên x 1 1 b) Chứng minh
x
.co
x
ap3
Từ a), b)
m
ln(1 x ) x
x 1 , x 0 , 2
g 0 0 x 1 1 1 0 , với x 0 g(x) đồng biến với x 0 Ta có: g ( x ) 1 3 2 ( x 1) 1 x x 1 g( x ) g(0) 0 với x 0 , x 0 1 0 , x 0 1 2 x 1 2 x 1
To
Đặt g( x )
Vậy 1
x 2
1
x 1
1
x
x2 2
x
4
Ví dụ 13. Chứng minh rằng: (sin x )2 x 2 1 YCBT (sin x )2 x 2 1
x , x 0
x 1
4
2
với 0 x
Xét hàm số f ( x ) = (sin x )2 x 2 với 0 x
Trang 49
với 0 x
2
2
. 2
2
http://thaytoan.net
Chuyên đề: Chứng minh bất đẳng thức
Ta có f ( x ) 2(sin x )3 .cos x 2.x 3 0 , 0 x 2 1 cos x sin x sin x 2.x 3 2.(sin x )3 .cos x x x0 3 3 x 3 sin3 x cos x cos x
1 3
x0
Đặt g( x ) = sin x.(cos x )
1 3
2
4
1 x g ( x ) (cos x ) 3 (cos x ) 3 .sin2 x 1 , g (0) 0 3
m
sin x. cos x
2
với 0 x
.co
4 g ( x ) (cos x ) 3 .sin 2 x với 0 x g ( x ) g (0) = 0 9 2 g ( x ) đồng biến trên 0; g ( x ) g (0) g( x ) đồng biến trên 2
0; 2
g( x ) g(0) 0 f ( x ) đồng biến trên 0; 2
Do đó sin x
2
x 2 1
2
1
4
4
với x 0; 2
2
sin x
Hay
2
2
x 2 1
4
x 0; 2
ap3
f (x) f = 1 2 2
2
Ví dụ 14. Cho 3 số a, b, c > 0 thoả mãn a2 b2 c2 1 . Chứng minh rằng: a 2
b c
2
b
2
c a
2
c
2
a b
2
3. 3 2
(*)
anc
Từ giả thiết b2 c 2 1 a2 , c 2 a2 1 b2 và a2 b2 1 c 2 Thay vào (*) ta được: a b c a b c 2 2 2 2 2 2 2 2 b c c a a b 1 a 1 b 1 c2 3. 3 a2 b2 c2 2 a(1 a 2 ) b(1 b2 ) c(1 c2 ) Xét hàm số f ( x ) x(1 x ) x 3 x , x (0;1) . f ( x ) 3.x 2 1
To
1 1 f ( x ) 0 , x 0; ;1 và f ( x ) 0 , x 3 3 1 1 3. 3 2 0 f (x) f f (x) 2 3 3. 3
Do đó 0 a(1 a 2 )
b(1 b2 ) a 2
b c
2
3 3
b2
Tương tự Do đó
2
b 2
c a
2
1 a(1 a2 )
c 2
a b
2
c(1 c2 )
3 3 2
Trang 50
a2
c2
3. 3 2 .b , 2
3 3 2
a(1 a 2 ) 3 3 2 .c 2
(đpcm).
3 3 2 .a 2
2
Chuyên đề: Chứng minh bất đẳng thức
http://thaytoan.net n
Ví dụ 15. Cho e x1 x2 ..... xn y1 y2 y3 ...... ym và n
m
xi yy . i 1
i 1
i
m
xi yi
Chứng minh:
i 1
y 1
ln x 1 ln x với x 0 . Ta có f ( x ) 0 khi x e x x2 Nên f ( x ) là hàm số nghịch biến. Từ giả thiết ta có:
m
Xét hàm số f ( x )
ln x n ln y1 ln y2 ln yn ln x1 ln x2 ............ ............... x1 x2 xn y1 y2 yn ln y1 y1
ln y1 y1 …………………. ln y1 ln xn x n . y1
.co
ln x1 x1.
Từ đó ta có
n
ln xi
Hay
i 1
ln y1 n ln y1 m . xi . y y1 i 1 y1 i 1 i
ln y2 y2. .
Mặt khác
ln y1 y1
ln y1 y1 ……………… ln y1 ln yn yn . y1 m
anc
ln y3 y3 .
ln yi i 1
n
Từ (1) và (2)
ap3
ln x2 x2.
ln y1 m . y y1 i 1 i m
ln xi ln yi
hay
i 1
To
i 1
(1)
(2) n
m
xi yi i 1
y 1
LOẠI 2: DÙNG ĐỊNH LÝ LAGRANGE 1. Định lý lagrange Nếu hàm số y f ( x ) liên tục trên đoạn a; b
và khả vi trên (a; b) thì tồn tại một số
f (b) f (a) c (a; b) sao cho f (c) . ba 2. Các ví dụ ba b ba Ví dụ 1. Chứng minh rằng: ln với 0 < a < b b a a
Trang 51
http://thaytoan.net
Chuyên đề: Chứng minh bất đẳng thức
1 1 f ( x ) , f (c) x c Hàm số f x ln x thoả mãn định lý Larange trên a; b
Xét hàm số : f ( x ) ln x
ba b ba ln . b a a
m
f (b) f (a) 1 ln b ln a c (a; b) : f (c) ba c ba 1 1 1 1 ln b ln a 1 Do 0 < a < c < b nên b c a b ba a
Ví dụ 2. Chứng minh rằng với mọi x, y R ta có: sin x sin y x y
Xét hàm số f (t) sin t , f (t ) cos t f (c) cos c Hàm số f (t) sin t định lý Lagrange trên [x; y] c ( x; y) ta có:
.co
f ( y) f ( x) sin y sin x sin x sin y f (c ) cos c cos c 1 yx yx xy sin x sin y x y , x; y R
Ví dụ 3. Chứng minh rằng:
ba 2
tan b tan a
ba 2
f ( x )
1
1
f (c )
cos2 a
ba cos2 c
anc
cos2 c f (b) f (a) tan b tan a c (a; b) sao cho f (c) ba ba 1 tan b tan a ba tan b tan a . ba cos2 c cos2 c Do a < c < b và y cos x nghịch biến trên 0; nên 2 ba
cos2 x
,
2
ap3
cos a cos b Xét hàm số f ( x ) tan x liên tục và khả vi trên a; b
với 0 a b
ba
cos2 b
ba
cos2 a
tan b tan a
Ví dụ 4. Cho x 1 và 1 . Chứng minh rằng:
cos2 b
với 0 a b
x a 1 ( x 1)
f ( x ) f (1) Theo định lý Lagrange thì tồn tại c (1; x ) thoả mãn f (c) x 1 x 1 .c 1 x 1 ( x 1) .c 1 x a 1 ( x 1) x 1 Ví dụ 5.
Chứng minh rằng:
. 2
1 t x . Ta có f (t ) .t 1
To
Xét hàm số f (t ) t với
ba
ln( x 1) x
mọi x 0 .
1 f (t) ln t với t 1;1 x . f (t ) . ln t f (1 x ) f (1) Theo định lý Lagrange sẽ tồn tại c (1;1 x ) : f (c ) (1 x ) 1
Xét hàm số
Trang 52
(vì x, 1 )
Chuyên đề: Chứng minh bất đẳng thức
1 ln(1 x ) c x
http://thaytoan.net
ln(1 x )
x x 1 hay c 1
ln( x 1) x
mọi x 0
Trường hợp gặp bài toán chưa thể vận dụng định lý Lagrange được ngay thì việc chọn hàm số thoả mãn các điều kiện của định lý Lagrange rất quan trọng. 1 x
x
m
1 1 Ví dụ 6. Cho x 0 . Chứng minh rằng: (1) 1 1 1 x 1 x Đây là dạng bài toán chưa thể vận dụng đính lý Lagrănge được ngay. 1 1 Ta có: (1) (1 x ) ln 1 với x 0 x ln 1 1 x x
.co
1 Xét hàm số f ( x ) x ln 1 = x ln( x 1) ln x x 1 f ( x ) ln( x 1) ln x (2) 1 x Xét hàm số G G (t ) ln(t ) trên x; x 1 . Theo định lý Lagrange thì tồn tại c ( x; x 1)
G ( x 1) G( x ) 1 ln( x 1) ln x ( x 1) x c 1 1 1 Vì c x 1 nên ln( x 1) ln x c x 1 x 1 f ( x ) đồng biến trên x; x 1 1 1 f ( x 1) f ( x ) (1 x ) ln 1 x ln 1 1 x x hay
1 1 1 x
với x 0 .
x n 1 x <
Ví dụ 7. Cho n . Chứng minh rằng: Ta có: (*) x 2 n (1 x )
f ( x ) 0
x
anc
1 x
1 1 1 x
ap3
sao cho G (c)
1 2 ne
với mọi x (0;1)
1 1 x 2 n 2n(1 x ) với mọi x (0;1) 2ne e
To
Co si 2nx (2n 2nx ) x 2 n 2n(1 x ) x.x ... x (2 n 2 nx ) 2n 1 2n
2n 2n 1
Từ (1) và (2), ta sẽ chứng minh:
2 n 1
2 n 1
1 e
ln(2n 1) ln(2n)
f (2n 1) f (2n) 1 ln(2n 1) ln(2n) . c (2n;2n 1) : f (c) 2n 1 2n c 1 1 1 Do 2n c 2 n 1 nên ln(2n 1) ln(2n) c 2n 1 2n 1 Trang 53
(1).
2 n 1
2n 2n 1
1 2n 1 Xét hàm số f ( x ) ln x thoả định lý Lagrange trên 2n;2 n 1 . (2 n 1) ln(2n 1) ln(2n) 1
(*)
(2)
http://thaytoan.net
Vậy
Chuyên đề: Chứng minh bất đẳng thức
x n 1 x <
1 2 ne
với mọi x (0;1) và n .
Ví dụ 8. Cho 0 a b, n 1 . Chứng minh rằng:
nan 1 (b a) b n a n nb n1 (b a)
(1)
f (b) f (a) bn an f (c) ncn1 ba ba
m
Xét hàm số: f ( x ) x n , x a; b . f ( x ) nx n1 Theo định lý Lagrange thì tồn tại c (a; b) thoả mãn: bn a n n.cn 1 (b a)
Nên ta có (1) nan 1 (b a) b n a n nb n1 (b a)
.co
n.an 1 (b a) n.cn 1 (b a) n.b n1 (b a)
(2)
To
anc
ap3
an 1 c n1 b n1 (vì n(b a) 0 ) Bất đẳng thức (2) đúng vì 0 a c b, n 1 Vậy (1) đã được chứng minh.
Trang 54
