ENCUENTRO # 11 TEMA:Operaciones con polinomios CONTENIDOS: 1. División de polinomios. DESARROLLO
Ejercicio Reto √ n n−1 es: 1. El resultado de q 4 q B) 14 n 14 B)4 n 14 A) 14
D)−4
E) 41
q n
1 4
2. Si para preparar un compuesto químico se usa, por cada 125 mililitros de ácido puro, 450 mililitros de agua destilada, entonces el porcentaje de agua destilada que se usa en la preparación de este compuesto corresponde a: A) 29.76% B) 21.74% C) 78.26% D) 68.13% E) 27.77%
División de polinomios A continuación se muestra la regla de los signos de esta operación: (+) ÷ (+) = + (+) ÷ (−) = − (−) ÷ (+) = − (−) ÷ (−) = + Propiedad de las potencias para división En la división de potencias de bases iguales se mantiene la base y se restan los exponentes. ar = ar−s as
Monomio entre monomio Cuando se dividen monomios, primero se realiza la división de los coeficientes y después se aplica la propiedad de la división de potencias de bases iguales. Si la división de los coeficientes no es exacta, entonces se deja especificada (o sea en fracción); si las bases no son iguales, entonces se deja expresado el cociente.
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Ejemplo 1.1. 5 b4 c6 Realiza la siguiente operación: −16a 8a2 b3 c Solución: Se dividen los coeficientes y las potencias para obtener: ✚2 5−2 4−3 6−1 −16a5 b4 c6 16 ✚ = −2a3 bc5 =− 1 a b c 2 3 8✁ 8a b c
Ejemplo 1.2. 7 y6 c ? ¿Cuál es el resultado de −10x −6x2 y 2 c Solución: La división de los coeficientes no es exacta, por tanto, se deja expresada como fracción, la cual se simplifica y se efectúa la división de las potencias. 10 7−2 6−2 1−1 5 5 4 0 5 5 4 −10x7 y 6c = x y c = xy c = xy −6x2 y 2 c 6 3 3 Ejemplo 1.3. Realiza −xyz −xyz Solución: Se aplica la ley de los signos para la división y se dividen las bases. −xyz = x1−1 y 1−1 z 1−1 = x0 y 0z 0 = (1)(1)(1) = 1 −xyz Ejemplo 1.4. ¿Cuál es el resultado de 8x3a−1 y 5a−4 ÷ 2x2a−3 y 3a−1 ? Solución: Se dividen los coeficientes y se restan los exponentes para obtener como resultado: 8x3a−1 y 5a−4 = 4x(3a−1)−(2a−3) y (5a−4)−(3a−1) = 4x3a−1−2a+3 y 5a−4−3a+1 = 4xa+2 y 2a−3 2x2a−3 y 3a−1
Ejercicios propuestos Realiza las siguientes divisiones de monomios: 1.
9a6 b10 3a2 b5
5.
36a10 b8 −12a2 b7
2.
42x9 y 2 −7x5 y 2
6.
−25a12 b9 18x4 y 7
3.
−26a5 b6 −13b3
7.
12x3 y 2 z 4 18xy 2 z 3
4.
32p5 q 6 −8p3 q 2
8.
12x10a−4 y 5b−2 −6x3a−2 y 2b+1
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9.
48a2x−3 b3x−2 cx −16ax+1 b2x−5 c3
10.
−20x5m−2 y 9n z 2n −6x3 y 5 z 2
11.
− 78 a2 b5 c8
÷
− 52 ab5 c6
12. − 35 a3 b ÷ − 45 a2 b
÷ − 16 z 3
13.
2 xy 5 z 3 3
14.
3 m−2 n−5 a b 2
15.
3 m+1 n+2 m b 4
÷ 43 am−5 bn−7 ÷ 32 a2−3m b4−m
Polinomio entre monomio Se divide cada término del polinomio entre el monomio, como se muestra en los siguientes ejemplos. Ejemplo 1.5. 4 3 +x2 Efectúa 2x −5x −x2 Solución: Se divide cada término del polinomio entre el monomio. 2x4 5x3 x2 2x4 − 5x3 + x2 = − 2 + 2 = −2x4−2 +5x3−2 −x2−2 = −2x2 +5x−x0 = −2x2 +5x−1 2 2 −x −x −x −x 6 5
4 6 2 +6x3 y 9
y z Ejemplo 1.6. Determina el cociente de: 16x y z−12x −4x2 y Solución: Al aplicar los pasos del ejemplo anterior se obtiene: 16x6 y 5 z −4x4 y
−
12x4 y 6 z 2 −4x2 y
+
6x3 y 9 −4x2 y
= −4x6−2 y 5−1 z + 3x4−2 y 6−1z 2 − 32 x3−2 y 9−1 = −4x4 y 4z + 3x2 y 5 z 2 − 23 xy 8
Ejemplo 1.7. 2m+1 +8x3m−2 −12xm+3 ? ¿Cuál es el cociente de 4x 6xm−2 Solución: El monomio divide a cada uno de los términos que conforman el polinomio. 4x2m+1 +8x3m−2 −12xm+3 6xm−2
Polinomio entre otro polinomio A continuación se enlistan los pasos a seguir para realizar esta operación: Ejemplo 1.8. 2 −5x+2 Efectúa la siguiente operación: 3x 3x−2 Solución: Se colocan los polinomios como en la división con números reales, y se ordenan según convenga respecto a los exponentes:
Se toma el primer término del dividendo, se divide entre el primer término del divisor 2 y el resultado se coloca en la parte de arriba: 3x 3x
Se multiplica el resultado de la división por cada uno de los términos del divisor; a cada resultado se le cambia el signo y se acomoda debajo del dividendo con su término semejante: (x)(3x) = 3x2 ;(x)(−2) = −2x Portal de Matemática
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Se reducen los términos semejantes y se baja el siguiente término del dividendo, a la expresión resultante se le llama primer residuo.
Se repite el primer paso, es decir, se divide el primer término del primer residuo que resultó de la reducción anterior entre el primer término del divisor y se escribe el resultado arriba: −3x = −1 3x
Se realiza la suma y si el residuo es cero como en el ejemplo, la división terminó; en caso contrario, se siguen los pasos anteriores hasta obtener cero como residuo o algún polinomio de grado menor al del divisor.
Por tanto, el resultado del cociente es: x − 1 Ejemplo 1.9. 2 2 +8ab Efectúa la siguiente operación: 5a −21b a+3b Solución: Al emplear los pasos del ejemplo anterior:
Por consiguiente el cociente es: 5a − 7b En una división de polinomios, si al dividendo le falta uno de sus términos, se deja indicado el espacio que ocupa dicho término o se escribe con coeficiente 0. Ejemplo 1.10. 4 −a2 −1 ¿Cuál es el resultado de −2a+a ? a+a2 +1 Solución: Se ordena tanto el dividendo como el divisor en orden decreciente con respecto a los exponentes y, en el caso del dividendo, se deja el espacio correspondiente al término de exponente 3:
Se realiza la división como en los ejemplos anteriores:
a4 = a2 −→ (a2 )(a2 + a + 1) = a4 + a3 + a2 a2 −a3 = −a −→ (−a)(a2 + a + 1) = −a3 − a2 − a a2 2 −a = −1 −→ (−1)(a2 + a + 1) = −a2 − a − 1 a2
Ejercicios propuestos 1.
x2 +3x+2 x+1
11.
4x4 −4x3 −13x2 +43x+30 3x2 −5x−6
2.
x2 +4x+3 x+3
12.
4a4 +26a3 −79a2 −20a+42 a2 +8a−6
3.
x2 +5xy+6y 2 x+2y
13.
12x4 −36x3 −29x2 +38x+24 2x2 −5x−6
4.
x2 +7x+12 x+4
14.
28x4 −17x3 +18x+23x2 −24 4x2 −3x+6
5.
x2 +3x−18 x−3
15.
10a4 −41a3 b+9a2 b2 +38ab3 +14b4 2a−7b
6.
m6 −m3 −20 m3 −5
16. (5a2 −
7.
18m4 −21m2 n2 −15n4 6m2 +3n2
17.
8.
15m3 −34m2 +9m+10 3m−5
18. (xa+3 + xa ) ÷ (x + 1)
9.
12x3 +13x2 −59x+30 4x−5
19.
am −aby−1 −am−1 b+by a−b
4x4 +x2 y 2 −5xy 3 −6y 4 2x2 −xy−2y 2
20.
ma+2 −2ma +ma−2 m2 +2m+1
10.
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13 ab 18
− 31 b2 ) ÷ (3a − 43 b)
5 3 3 2 17 a + 2 a − 18 a− 34 8 5 2 2 a − 3 a−2 2
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21.
m2x+3 +4m2x+2 +m2x+1 −4m2x mx +mx+1
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22.
7
m2x+5 +2m2x−4 −3m2x−3 −4m2x+2 +2m2x+1 mx+3 −2mx+1
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Si para preparar un compuesto quÃmico se usa, por cada 125 mililitros de ácido. puro, 450 mililitros de agua destilada, entonces el porcentaje de agua destilada.
