ENCUENTRO # 28 TEMA: Inecuaciones. CONTENIDOS: 1. Inecuación cuadrática o de segundo grado.

Ejercicio reto 1. El conjunto solución de ||4 − x| + 1| ≥ 1 es: A)φ B)R C)[−4, 4] D)[−2, 2]

E)[0, 4]

Desarrollo

Inecuaciones cuadráticas con una variable Método por intervalos Se factoriza la expresión cuadrática, después se buscan valores que hagan cero a cada factor, entonces los valores se indican en la recta numérica y se forman los intervalos a analizar. Ejemplo 1.1. Resuelve la siguiente inecuación: x2 − 5x − 6 > 0 Solución Se factoriza la expresión cuadrática. (x − 6)(x + 1) > 0 El conjunto solución son los valores que hacen el producto positivo. Se buscan los valores que hacen cero a cada factor. x−6 = 0 x+1 = 0 x = 6 x = −1 Los valores son 6 y −1, se localizan en la recta numérica y se forman los intervalos.

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De cada intervalo se toma un valor cualquiera, el cual se sustituye en los factores para determinar los signos de éstos. Posteriormente, se multiplican los signos para tomar como solución el intervalo o los intervalos que cumplen con la desigualdad dada. Para el intervalo(−∞; −1) Se toma el valor de x = −4 y se sustituye en cada factor: (−4 − 6)(−4 + 1) = (−10)(−3) = 30 El producto es positivo (−)(−) = + Para el intervalo (−1; 6) Se toma el valor de x = 0 y se sustituye en cada factor: (0 − 6)(0 + 1) = (−6)(1) = −6 El producto es negativo (−)(+) = − Para el intervalo (6; ∞) Se toma el valor de x = 7 y se sustituye en cada factor: (7 − 6)(7 + 1) = (1)(8) = 8 El producto es positivo (+)(+) = + El intervalo solución es la unión de los intervalos donde el producto es positivo, es decir, (−∞; −1) ∪ (6; ∞) Otra forma de resolver una desigualdad cuadrática mediante intervalos, es construir una tabla que indique los signos resultantes de cada factor y el signo resulta del producto de dichos factores. Ejemplo 1.2. Resuelve la desigualdad: x2 − 25 ≥ 0 Solución Se factoriza la expresión cuadrática. x2 − 25 ≥ 0 (x − 5)(x + 5) ≥ 0 Se buscan los valores que hacen cero a cada factor. x+5 = 0 x = −5

x−5 = 0 x = 5

Los valores que hacen cero al producto son x = −5 y x = 5, entonces los intervalos que se forman son: Portal de Matemática

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Tabla de signos Intervalos Signo de x − 5 Signo de x + 5 Signo del producto (x − 5)(x + 5)

(−∞; −5] para x = −6 −6 − 5 = −11 −6 + 5 = −1 (−)(−) = +

[−5; 5] para x=0 0 − 5 = −5 0 + 5 = +5 (−)(+) = −

[5; ∞) para x=6 6 − 5 = +1 6 + 5 = +11 (+)(+) = +

El conjunto solución son los valores que hacen el producto positivo o cero. Por tanto, el conjunto solución es (−∞; −5] ∪ [5; ∞)

Ejercicios propuestos Resuelve las siguientes inecuaciones: 1. x2 − 4x > 0 2. x2 − 7x − 8 ≥ 0 3. x2 + 10x + 16 < 0 4. 2x2 + 11x − 6 ≤ 0 5. x2 + 25 > 10x 6. 4x2 ≤ 28x − 49 7. 3x ≥ 2x2 + 5 8. −5x2 + x ≤ 2 9. x(x + 3) > 5x + 3 10. (x + 4)2 ≥ 2x(5x − 1) − 7(x − 2) 11. (3x − 2)(x + 4) − (3x − 4)2 > 14x 12. (3x + 4)(3x − 4) + 5x > (2x − 1)2 − 3(x − 5) 13. (x + 6)(x − 3) − 7(x + 1)(x − 1) ≤ −4(x − 12 )2 14. (2x − 4)(x2 − 2x − 4) − 2x2 (x − 3) < −x2 15. (3x − 1)(2x2 + x − 2) − (2x + 1)(4x2 − 2x + 1) ≤ 9 − 2x3 Portal de Matemática

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Ejercicio de entrenamiento 1. Luego de resolver: −x2 − 2x + 35 > 0, se puede afirmar que: A)1 < x < 3

B)−2 < x < 3

C)−5 < x < 5

D)−7 < x < 5 E)−5 < x < 7

2. Al resolver: x2 i+ 4x + 2 ≥ 0, podemos indicar como respuesta un intervalo: √ A) −∞; −2 2 h  √ B) −2 − 2; +∞ h √ i √ C) −2 + 2; 2 − 2 h √ √ i D) −2 − 2; −2 + 2  h √ E) −2 + 2; +∞ 3. Determine el conjunto solución de la inecuación. (2x − 2)(9 − 3x) ≤ (3x + 6)(2x − 6) 

i



i



i

A) −∞; − 31 ∪ [3; +∞)

B) −∞; − 12 ∪ [3; +∞)

C) −∞; − 31 ∪ [2; +∞) 

i



i

D) −∞; 21 ∪ [3; +∞) E) −∞; 12 ∪ [2; +∞)

4. Dada la inecuación 2n(2 − n) ≤ 4 − 5(2 − 3n) el conjunto solución es:  i 1 A) −∞; − 2 ∪ [6; +∞) B)(−∞; −6] ∪ h

i





C) −6∞; 12

D) −6∞; 21

E)(−∞; −6) ∪

h

1 ; +∞ 2





1 ; +∞ 2



5. El conjunto solución de la desigualdad a(a + 1) ≤ − 14 , es:(UNI 2006,2007) 

A) 0; 12

i



B) −∞; − 14

i

n

C) − 21

o



D) −∞; − 21

i

E)φ

6. El conjunto solución de la inecuación x3 − 5x2 + 4x < 0, es: (UNI 2006,2007) A)(−∞; 0] ∪ [1; 4] B)(−∞; 0) ∪ (1; 4) C)[0; 1] ∪ [4; +∞) Portal de Matemática

D)(0; 1) ∪ (4; ∞) E)(−∞; 0) ∪ (4; +∞) 4

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7. Para que la ecuación 4x2 − 8kx + 9 = 0 no tenga raíces reales, debe cumplirse que k: (UNI 2006,2007) h

A)k ∈ − 32 ; 23

i









i

B)k ∈ −∞; − 23 ∪

C)k ∈ −∞; − 32 ∪

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D)k ∈ − 23 ; 32



h

3 ;∞ h2  3 ; ∞ 2

E)k ∈ 0; 32

5



i

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