ENCUENTRO # 29 TEMA: Inecuaciones. CONTENIDOS: 1. Inecuaciones fraccionarias 2. Inecuaciones con valor absoluto.
Ejercicio reto 1. Si a y b son raíces de x2 − x − 4 = 0, hallar E = √ A) 45
B) 12
C)1
D) 54
E)
√
3 2
q
1−
1 a
•
q
1 − 1b .
Desarrollo
Inecuaciones fraccionarias Las inecuaciones de las formas que presentamos a continuación o que se reducen a ellas mediante transformaciones equivalentes, se denominan inecuaciones fraccionarias en una variable real: Sea P (x) y Q(x) polinomios, Q(x) 6= 0 y grado de Q(x) ≥ 1 P (x) P (x) P (x) (x) < 0 Q(x) > 0 Q(x) ≤ 0 PQ(x) ≥0 Q(x) Pasos para resolver una inecuación fraccionaria 1. Comparar con cero la inecuación. 2. Efetuar las operaciones indicadas (suma y resta de fracciones) (No se elimina los denominadores). 3. Factorizar numerador y denominador 4. Hallar ceros del numerador y denominador. 5. Determinar el signo de la expresión. 6. Representación gráfica de los ceros y de la solución gráfica. 7. Conjunto solución. Portal de Matemática
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Ejemplo 1.1. x−4 ≤0 Determina el conjunto solución de: x+1 Solución Como la inecuación está igualada a cero y no hay operaciones pendientes, entonces se procede a factorizar numerador y denominador si es posible, en este caso ya están factorizados. x−4 ≤0 x+1 Se hallan los ceros del numerador y denominador ceros del numerador ceros del denominador x+1=0 x−4= 0 x = −1 x=4 se representan los ceros en una recta numérica y la solución gráfica.
Por tanto la solución de la inecuación es: S = {x ∈ R : −1 < x < 4} Ejemplo 1.2. x+1 Resuelve la inecuación x2 −5x+6 <0 Solución Como la inecuación está igualada a cero y no hay operaciones pendientes, entonces se procede a factorizar numerador y denominador si es posible. x+1 <0 x2 −5x+6 x+1 <0 (x−3)(x−2)
Se hallan los ceros del numerador y denominador ceros del numerador ceros del denominador x−3 =0 x−2= 0 x+1 =0 x=3 x=2 x = −1 Se representan los ceros en una recta numérica y la solución gráfica.
Por tanto la solución de la inecuación es: S = {x ∈ R : x < −1 ∨ 2 < x < 3}
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Ejemplo 1.3. Halla los valores para los cuales la siguiente desigualdad tiene sentido. a2 −6a+9 a2 −2a
≥0
Solución Como la inecuación está igualdad a cero y no hay operaciones pendientes, entonces se procede a factorizar numerador y denominador si es posible. a2 −6a+9 ≥0 a2 −2a (a−3)2 ≥0 a(a−2)
Se hallan los ceros del numerador y denominador ceros del numerador ceros del denominador (a − 3)2 = 0 a=0 a−2=0 a−3=0 a=2 a=3 Se representan los ceros en una recta numérica y la solución gráfica.
Por tanto la solución de la inecuación es: S = {a ∈ R : a < 0 ∨ a > 2} Ejemplo 1.4. x2 −2x+5 Halla los valores de la variable para los cuales la inecuación −x 2 −2x+8 ≤ 0, tiene sentido. Solución Como la inecuación está igualdad a cero y no hay operaciones pendientes. Hay que realizar un cambio de signo en el denominador porque la variable de mayor exponente es negativa. x2 −2x+5 −x2 −2x+8
≤ 0/ • (−1)
x2 −2x+5 x2 +2x−8
≥0 Posteriormente se procede a factorizar numerador y denominador si es posible. En este caso el numerador no tiene factorización por ninguno de los casos estudiados, por tanto se procede a aplicar la fórmula de segundo grado. Se halla el discriminante: a = 1, b = −2, c = 5 D = b − 4ac = (−2)2 − 4(1)(5) = 4 − 20 = −16 < 0 2
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Esto implica que la expresión del numerador no tiene raíces reales. x2 −2x+5 (x+4)(x−2)
≥0
Se hallan los ceros del numerador y denominador ceros del denominador ceros del numerador x+4 =0 x−2 =0 No tiene ceros reales x = −4 x=2 Se representan los ceros en una recta numérica y la solución gráfica.
Por tanto la solución de la inecuación es: S = {x ∈ R : x < −4 ∨ x > 2} Ejemplo 1.5. Determina el conjunto solución: 3x+1 9−x2
≥ −1
Solución 3x+1 +1≥0 9−x2 3x+1+(9−x2 ) 9−x2
≥0
3x+1+9−x2 9−x2
≥0
−x2 +3x+10 9−x2
≥ 0/ • (−1)
x2 −3x−10 9−x2
≤ 0/ • (−1)
x2 −3x−10 x2 −9
≥0
(x−5)(x+2) (x−3)(x+3)
≥0 Se hallan los ceros del numerador y denominador ceros del numerador ceros del denominador x−5 =0 x+2= 0 x−3 =0 x+3 =0 x=5 x = −2 x=3 x = −3
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Se representan los ceros en una recta numérica y la solución gráfica.
Por tanto la solución de la inecuación es: S = {x ∈ R : x < −3 ∨ −2 < x ≤ 2 ∨ x ≥ 5}
Ejercicios Propuestos Determina el conjunto solución 1.
x−4 3x−2
>0
10.
x2 −6x+9 x−7
2.
3x−6 x
≥0
11.
3x2 −x−10 −x2 +6x−8
3.
3 x−5
12.
10−11x−6x2 −7x−6x2 −2
4.
3−x 2x+8
≥0
13.
x2 −10 x+2
5.
4+2x 3−5x
≤0
14.
4x2 +7x−68 2x2 +3x−35
6.
2x+3 x2 −x−12
15.
1 x−6
7.
3x2 +10x−8 x−2
16.
3x−1 3x−2
8.
2x−6 x2 +5x
17.
2(3−x) 5x2 −19x−4
≥2−
9.
5x−12 x2 −3x+5
18.
x2 x2 +4x−32
1 x+8
>0
<0 ≥0
≤0 ≤0
+
>0 ≥0 >0
≤1 ≤2
39−x2 x2 −36
−
≥ −1
2x−3 9x2 −12x+4
−
>1 10x+3 5x+1
x ≤ − x2 +4x−32
Inecuaciones con valor absoluto El conjunto solución de una desigualdad que involucra valor absoluto, está dado por las siguientes propiedades: 3 |a| > b se expresa Sea a, b ∈ R y b > 0 como:−a > b o a > 1. |a| < b se expresa b o bien a < −b o como:−b < a < b o a > b. bien a > −b y a < b. 4 |a| ≥ b se expresa 2. |a| ≤ b se expresa como:−a ≥ b o a ≥ como:−b ≤ a ≤ b o b o bien a ≤ −b o bien a ≥ −b y a ≤ b. a ≥ b. Portal de Matemática
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Otra propiedad que se puede utilizar en estas inecuaciones con valor absoluto es realizar la siguiente sustitución: √ |x| = x2 Ejemplo 2.1. Determina el conjunto solución de |x + 1| < 7 Solución Variante # 1 La desigualdad |x + 1| < 7, tiene la forma de la propiedad 1, entonces: −7 < x + 1 < 7 −7 − 1 < x < 7 − 1 −8 < x < 6
s = x ∈ (−8, 6) o bien s = {x ∈ R : −8 < x < 6} O bien:
−7 < x + 1 −7 − 1 < x −8 < x
x+1<7 x<7−1 x<6
Nota: Si el signo de la desigualdad original es (<) o (≤) entonces la solución de la inecuación es la intersección de los gráficos. ∴ La solución es la intersección entre los gráficos.
S = x ∈ (−8, 6) o bien S = {x ∈ R : −8 < x < 6}
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Variante # 2 q Sustituimos el valor absoluto por la propiedad |x + 1| = (x + 1)2 , entonces: q
(x + 1)2 < 7
q
Resolver la ecuación con radicales. ( (x + 1)2 )2 < (7)2 (x + 1)2 < 49 x2 + 2x + 1 < 49 x2 + 2x + 1 − 49 < 0 x2 + 2x − 48 < 0 (x + 8)(x − 6) < 0 x1 = −8 x2 = 6 Nota: En este caso se debe elegir un valor numérico en cada intervalo para sustituirlo en la desigualdad y verificar que esta se cumple para dicho valor. Si cumple la desigualdad entonces ese intervalo es parte de la solución. (−∞, −8) (−8; 6) (6, ∞) x = −9 x=0 x=7 | − 9 + 1| < 7 |0 + 1| < 7 |7 + 1| < 7 | − 8| < 7 |1| < 7 |8| < 7 8<7 1<7 8<7 no cumple si cumple no cumple
Por consiguiente, el conjunto solución es el intervalo S = x ∈ R(−8; 6) Ejemplo 2.2. Encuentra para que valores se cumple: |2x − 1| ≥ 7 Solución Variante # 1 La desigualdad |2x − 1| ≥ 7, tiene la forma de la propiedad 4, entonces: −(2x − 1) ≥ 7 2x − 1 ≥ 7 −2x + 1 ≥ 7 2x ≥ 7 + 1 −2x ≥ 7 − 1 2x ≥ 8 6 x ≥ 28 x ≤ −2 x ≤ −3 x≥4 Nota: Si el signo de la desigualdad original es (>) o (≥) entonces la solución de la Portal de Matemática
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inecuación es la unión de los gráficos.
S = x ∈ (−∞; −3] ∪ [4; +∞) o bien S = {x ∈ R|x ≤ −4 ∨ x ≥ 3} Variante # 2 q Sustituimos el valor absoluto por la propiedad |2x − 1| = (2x − 1)2 , entonces: q
(2x − 1)2 ≥ 7
q
( (2x − 1)2 )2 ≥ (7)2 (2x − 1)2 ≥ 49 4x2 − 4x + 1 ≥ 49 4x2 − 4x + 1 − 49 ≥ 0 4x2 − 4x − 48 ≥ 0 ÷(4) x2 − x − 12 ≥ 0 (x − 4)(x + 3) ≥ 0 x1 = 4 x2 = −3 (−∞, −3) (−3; 4) (4, ∞) x = −4 x=0 x=5 |2(−4) − 1| ≥ 7 |2(0) − 1| ≥ 7 |2(5) − 1| ≥ 7 | − 9| ≥ 7 |1| ≥ 7 |9| ≥ 7 9≥7 1≥7 9≥7 si cumple no cumple si cumple
Por consiguiente, el conjunto solución es el intervalo: S = x ∈ (−∞; −3] ∪ [4; +∞) o bien S = {x ∈ R|x ≤ −4 ∨ x ≥ 3}
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Ejemplo 2.3. Determina la solución de la siguiente inecuación: |x − 2| ≥ 3x + 1 Solución q ( (x − 2)2 )2 ≥ (3x + 1)2 (x − 2)2 ≥ (3x + 1)2 x2 − 4x + 4 ≥ 9x2 + 6x + 1 x2 − 4x + 4 − 9x2 − 6x − 1 ≥ 0 −8x2 − 10x + 3 ≥ 0 •(−1) 2 8x + 10x − 3 ≤ 0 (4x − 1)(2x + 3) ≤ 0 x2 = − 23 x1 = 14 (−∞, − 32 ] [− 23 ; 41 ] [ 14 , ∞) x = −2 x=0 x=1 | − 2 − 2| ≥ 3(−2) + 1 |0 − 2| ≥ 3(0) + 1 |1 − 2| ≥ 3(1) + 1 | − 4| ≥ −6 + 1 | − 2| ≥ 1 | − 1| ≥ 3 + 1 4 ≥ −5 2≥1 1≥4 si cumple si cumple no cumple
S = x ∈ R −∞; 14
i
Ejercicios Propuestos 1. |x| ≥ 7
8. |6 − 43 x| > 9
2. |x| < 7
9. | 45 (x − 10)| ≤ 10
3. |x − 5| > 5
10. | 43 x − 12 | ≤
4. |5x − 3| ≤ 12
11. |x − 1| < 2x
5. |8 − 2x| > 2
12. |2x + 3| ≥ x + 3
6. |7x − 1| < 0
13. |2 − 2x| ≤ x − 4
7. |2x − 1| ≤ 19
x+1 |<1 14. | x−2
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|>2 15. | x+4 x
17. |3x − 4| > |x + 4|
16. |x| ≤ |x − 1|
Ejercicios propuestos 1. Determine el conjunto solución de A)(a + b; a)
B)(a; a + b)
2. El conjunto solución de
A) −4; 12 B)(2; +∞) C)(−∞; −2) 1 D) −4; 2 ∪ (2; ∞) E)
1 ;2 2
a x−b < ;b<0
C)(−a; −b−a) D)(−b−a; −a) E)(b; a)
x−2 x < , es: x+4 x−2
3x2 − x − 18 ≤3 3. El mayor número entero para el cual se satisface la inecuación 2 x −x−6 es: A)−3
B)0
C)−2
D)3
E)2
x+b x+a > , con −a > −b > 0, entonces uno de los x−a x−b intervalos solución es:
4. Dada la inecuación
A)(0; +∞)
B)(a; b)
C)(a; 0)
5. El conjunto solución de la desigualdad A)[−10; −1] ∪ [2; 8] B)[−10; −1) ∪ [2, 8) C)[−10; −1] ∪ (2, 8) D)(−10; −1) ∪ [2, 8] E)R
D)(−∞; b)
E)(b; 0)
x2 + 8x − 20 ≤ 0, es:(UNI 2005) x2 − 7x − 8
6. El conjunto solución de la inecuación |3 − 2x| > 7, es: (UNI 2006,2007) A)S = (2; 5) B)S = (−∞; −7) ∪ (7; ∞) C)S = (−∞; −2) ∪ (5; ∞) Portal de Matemática
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D)S = (−7; 7) E)S = (−∞; −2) ∪ (2, ∞) 2 7. El conjunto solución de la desigualdad |x + | ≤ 2 es: (UNI 2005) 3 h i A) − 83 ; 38 h
B) − 43 ; 38 h
C) − 83 ; 34 h
D) 34 ; 38 h
i
i
i
E) − 83 ; − 43
i
8. El conjunto solución de la desigualdad |x + 4| ≤ |2x − 6|, es:(UNI 2005) i 2 A) −∞; 3 ∪ [10; +∞)
i
B) −∞; − 23 ∪ [10; +∞)
i
C) −∞; 32 ∪ [3; +∞)
i
D) −∞; 23 ∪ [10; +∞)
E)
3 ; 10 2
i
1 9. El conjunto solución de la desigualdad |2x + | < 1 corresponde a: (UNI 2012) 9 A)(−5; 4) 5 4 B) − ; 4 9 C)(7; 11) 2 5 D) − ; 9 9 E)(−3; 1) 10. El conjunto solución de la desigualdad |x− 5| ≤ 2x + 2, es: (UNI 2015) 1 7 D) ; +∞ E)R A)[1; +∞) B)[−7; +∞) C) − ; +∞ 3 3 2 11. El conjunto solución de la desigualdad | − 2x| ≤ 2 es: (UNI 2016) 3 8 4 8 4 4 8 2 4 2 4 A)− ≤ x ≤ B)− < x < C)− ≤ x ≤ D)− ≤ x ≤ E) ≤ x ≤ 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
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