ENCUENTRO # 40 TEMA: Inecuaciones logarítmicas CONTENIDOS: 1. Monotonía de la logaritmación. 2. Inecuaciones logaritmicas.
Ejercicio reto √
√ 1+x− 1−x 1. El dominio de f (x) = es: x A)[−1, 1] − {0} B)(−1, 1) − {0} C)(−1, 1) x
D)[−1, 1]
2. Examen UNI 2015 Si x = 3, entonces el valor de √ √ √ A)2 3 B) 3 C)3 2 D)2 E)6
E)R − {0}
q
xxx+1 − x2x es de:
Monotonía de la logaritmación • Si a > 1 y b > c entonces loga b > loga c • Si 0 < a < 1 y b > c entonces loga b < logb c Ejemplo 1.1. Para a = 3 y 27 > 9 entonces log3 27 = 3 > 2 = log3 9 Para a = 0.2 y 0.04 > 0.008 entonces log0.2 (0.04) = 2 < 3 = log0.2 (0.008)
Ejercicios propuestos Compara los siguientes logaritmos: a) log5 40 y log5 15 b) log7 10 y log7 10.5 c) log0.3 25 y log0.3 17 √ d) log2 3 25 y log8 36 Portal de Matemática
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e) log5 2 + log5 (2) + log5 (10) con 4 log5 3 f) log0.3 (18) − log0.3 (0.2) con log0.3 (4) + log0.3 6 √ g) log4 17 con log16 17 h) log2 49 y log2 14 i) log0.2 9 y log0.2 15 j) log7 50 − log7 10 y log7 5 k) log6 49 + log6 14 y 3 log6 5
Inecuaciones logaritmicas Definición 1. Una desigualdad donde la variable aparece en le argumento de un laboratorio recibe el nombre de inecuación logaritmica Ejemplo 1.2. log3 (x + 5) > 0
log5 (x2 + x) − log5 (x + 2) < log5 x
Pasos para resolver una inecuación logaritmicas • Aplicar todas las propiedades de los logaritmos hasta obtener dos expresiones logarítmicas comparadas. • Aplicar la monotonía de la logaritmación. • resolver la inecuación obtenida. • Solución gráfica. • Conjunto solución. Ejemplo 1.3. Resuelve las siguientes inecuaciones. 1. log8 (x − 3) < 0 2. log3 (x2 + 6x + 8) ≥ 1
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3. log7
x2 + 6x + 9 4x2 − 9
!
≥0
Solución
0 log8 1 1 3+1 4
u u
u
< < < < <
u
log8 (x − 3) log8 (x − 3) x−3 x x
Al desarrollar la solución gráfica hay que tener en cuenta la restricción del argumento del logaritmo. x−3>0 x>3
−∞
3
4
S = {x ∈ R : 3 < x < 4}
2
log3 (x + 6x + 8) ≥ 1 log3 (x2 + 6x + 8) ≥ log3 3 x2 + 6x + 8 ≥ 3 x2 + 6x + 8 − 3 ≥ 0 x2 + 6x + 5 ≥ 0 (x + 5)(x + 1) ≥ 0 x1 = −5 x2 = −1
argumento
u
u
u
−∞
−5
−1
u
u
u
u
Restricción del x2 + 6x + 8 > 0 (x + 4)(x + 2) > 0 x = −4 x = −2
u
−∞
+∞
−4
−2
+∞
+∞
−∞
u
u
u
u
La solución es la intersección de los gráficos.
−5
−4
−2
+∞
−1
S = {x ∈ R : x ≤ −5 o x ≥ −1}
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ceros del denominador 2x − 3 = 0 2x + 3 = 0 x3 = 32 x4 = − 23 −
u
+ −∞
−1.7
−
+
3.7
3 2
− 32
+ +∞
La solución de esta inecuación se obtienes a partir de la intersección del gráfico anterior con las restricciones del argumento el logaritmo. Restriciones del argumento x2 +6x+9 >0 4x2 −9 (x+3)2 (2x−3)(2x+3)
u
u
>0 Cero del numerador x + 3 = 0 → x = −3 cero doble Ceros del denominador 2x − 3 = 0 2x + 3 = 0 x3 = 32 x4 = − 23 +
+ −3
− 32
+ u
−
u
log7
u
x2 + 6x + 9 ≥0 4x2 − 9 ! x2 + 6x + 9 ≥ log7 1 log7 4x2 − 9 x2 + 6x + 9 ≥1 4x2 − 9 2 x + 6x + 9 −1≥0 4x2 − 9 2 x + 6x + 9 − (4x2 − 9) ≥0 4x2 − 9 x2 + 6x + 9 − 4x2 + 9 ≥0 4x2 − 9 ! −3x2 + 6x + 18 ≥ 0 ÷ (−3) 4x2 − 9 x2 − 2x − 6 ≤0 (2x − 3)(2x + 3) Para hallar los ceros del numerador aplicamos la fórmula general de segundo grado a = 1 b = −2 √ c = −6 −b ± b2 − 4ac x1,2 = √ √ 2a 2±2 7 2 ± 28 = x1,2 = 2√ 2 √ ✁2(1± 7) x1,2 = =1± 7 √ ✁2 x1 = 1 + 7 ≈ 3.7 √ x2 = 1 − 7 ≈ −1.7 !
3 2
Solución gráfica
u
u
u
u
−∞
−3
−1.7 − 3 2
3 2
3.7
+∞ S0{x ∈ R : −1.7 ≤ x < − 32 o
3.7}
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Ejercicios propuestos Halla el conjunto solución de las siguientes inecuaciones: a) log1.5 (x − 8) > log1.5 3
f) log3 (x2 − 1) < 1
b) log2 (4 − x) < log2 3
g) log0.5 x < 3
c) log 1 x < log 1 5x − 2
h) log4 (2x + 1) − log4 3 > log4 x
d) log(y 2 − 2y + 1) < 2
i) log2 (x2 − x − 6) > 0
e) log2 (x − 5) + log2 (x − 4) < 1
j) log 1 (x2 + 4x + 5) ≥ −4
3
3
2
Ejercicios de entrenamiento 1. La solución de log1/2 (x − 1) > 2, es:
A) 1, 10 9
9 B) −1, 10
C)(0, 1)
9 10 , 10 9
D)(1, 3)
E)
√ D) 1, 2
E) −1,
2. La solución de log2 x > log2 (2 − x2 ), es: A)(1, 2)
B)(1, 3)
C) 1,
√ 3
√ 2
3. La solución de log(x2 + 6x + 10) > 0, es:
A)(−∞, −3) B)(3, +∞)
C)(−∞, +∞) D){−3}
4. La solución de log0.8
x2 −6x+8 x2 +2
E)(−∞, +∞)− {−3}
> 0, es:
A)x > 1 B)x > 4 C)x < 2 ∨ x > 4
D)x ≥ 4 E)1 < x < 4
5. El menor valor entero para el cual tienes sentido la desigualdad log2 (x2 + 3x) ≥ 2, es: Portal de Matemática
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A)−4
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B)−3
C)0
D)1
6
E)−1
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