ENCUENTRO # 52 TEMA: Ecuaciones trigonométricas. CONTENIDOS: 1. Signo de las funciones trigonométricas por cuadrantes. 2. Fórmulas de reducción. 3. Ecuaciones trigonométricas sencillas.
Ejercicio reto sen29◦ cos62◦ + cos 61◦ sen28◦ B)2 C)0 D)−1
1. Reducir B = A)1
E)−2
Ecuaciones trigonométricas Signo de las funciones trigonométricas por cuadrantes Si un triángulo rectángulo se ubica en el plano cartesiano, de manera que uno de sus catetos coincida con el eje horizontal, las funciones trigonométricas tendrán un signo dependiendo del cuadrante en el cual se encuentre dicho triángulo.
r=
Funciones trigonométricas del primer cuadrante 0◦ < α < 90◦ + =+ senα = yr → senα = + x + cos α = r → cos α = + = + =+ tan α = xy → tan α = + + + x cot α = y → cot α = + = + + =+ sec α = xr → sec α = + r + csc α = y → csc α = + = +
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Funciones trigonométricas del primer cuadrante 90◦ < α < 180◦ senα = yr → senα = + =+ + − −x cos α = r → cos α = + = − y → tan α = + =− tan α = −x − − −x cot α = y → cot α = + = − r sec α = −x → sec α = + =− − + r csc α = y → csc α = + = +
r=
r=
Funciones trigonométricas del tercer cuadrante 180◦ < α < 270◦ → senα = − =− senα = −y r + − −x cos α = r → cos α = + = − −y → tan α = − =+ tan α = −x − − −x cot α = −y → cot α = − = + r sec α = −x → sec α = + =− − + r csc α = −y → csc α = − = −
Funciones trigonométricas del cuarto cuadrante 270◦ < α < 360◦ senα = −y → senα = − =− r + x + cos α = r → cos α = + = + − → tan α = + =− tan α = −y x + x cot α = −y → cot α = − = − + =+ sec α = xr → sec α = + r + csc α = − → csc α = − = −
r=
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Resumen sen cos tan cot sec csc
Primer cuadrante Segundo cuadrante Tercer cuadrante Cuadrate cuadrante + + − − + − − + + − + − + − + − + − − + + + − −
Funciones trigonométricas de ángulos negativos Los ángulos negativos giran en sentido horario y las funciones trigonométricas de ángulos negativos, se expresan en términos de funciones trigonométricas de ángulos positivos. En el △AOB rectángulo en B ubicado en el primer cuadrante AB AO tan θ = BO sec θ = BO senθ = AB AO cos θ =
BO AO
cot θ =
BO AB
csc θ =
AO AB
En el △AOB rectángulo en B ubicado en el cuarto cuadrante AB sen(−θ) = − AB tan(−θ) = − BO AO cos(−θ) =
BO AO
cot(−θ) = − BO AB
sec(−θ) =
AO BO
csc(−θ) = − AO AB
Resumen Por consiguiente: sen(−θ) = −senθ tan(−θ) = − tan θ sec(−θ) = sec θ cos(−θ) = cos θ cot(−θ) = − cot θ csc(−θ) = − csc θ
Fórmulas de reducción Los valores de las funciones trigonométricas de los ángulos mayores 90◦ no siempre se pueden determinar a simple vista. Ejemplo 2.1. entre otros Calcula sen120◦ , tan 5π 4
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Para ello se necesita establecer una relación entre los valores de las funciones trigonométricas de los ángulos mayores de 90◦ y los del primer cuadrante. a través de las fórmulas de reducción Segundo cuadrante α: ángulos del primer cuadrante. x: ángulos del segundo cuadrante. Fórmula de reducción del segundo cuadrante Sistema sexagesimal: IIc : x = 180◦ − α Sistema Circular: IIc : x = π − α Sistema sexagesimal Sistema circular sen(180◦ − α) = senα sen(π − α) = senα ◦ cos(180 − α) = − cos α cos(π − α) = − cos α tan(180◦ − α) = − tan α tan(π − α) = − tan α cot(180◦ − α) = − cot α cot(π − α) = − cot α sec(180◦ − α) = − sec α sec(π − α) = − sec α csc(180◦ − α) = csc α csc(π − α) = csc α Tercer cuadrante α: ángulos del primer cuadrante. x: ángulos del tercer cuadrante. Fórmula de reducción del tercer cuadrante Sistema sexagesimal: IIIc : x = 180◦ + α Sistema Circular: IIIc : x = π + α Sistema sexagesimal Sistema circular ◦ sen(180 + α) = −senα sen(π + α) = −senα cos(180◦ + α) = − cos α cos(π + α) = − cos α tan(180◦ + α) = tan α tan(π + α) = tan α ◦ cot(180 + α) = cot α cot(π + α) = cot α ◦ sec(180 + α) = − sec α sec(π + α) = − sec α csc(180◦ + α) = − csc α csc(π + α) = − csc α
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Cuarto cuadrante α: ángulos del primer cuadrante. x: ángulos del cuarto cuadrante. Fórmula de reducción del cuarto cuadrante Sistema sexagesimal: IVc : x = 360◦ − α Sistema Circular: IVc : x = 2π − α Sistema sexagesimal Sistema circular ◦ sen(360 − α) = −senα sen(2π − α) = −senα cos(360◦ − α) = cos α cos(2π − α) = cos α ◦ tan(360 − α) = − tan α tan(2π − α) = − tan α cot(360◦ − α) = − cot α cot(2π − α) = − cot α sec(360◦ − α) = sec α sec(2π − α) = sec α ◦ csc(360 − α) = − csc α csc(2π − α) = − csc α
Ecuaciones trigonométricas Definición 1. Una ecuación trigonométrica es una igualdad donde la incógnita es el argumento de funciones trigonométricas. Al resolver una ecuación trigonométrica se debe encontrar el o los valores de los ángulos que satisfacen dicha ecuación. Ejemplo 3.1. Resuelve la siguiente ecuación para 0 ≤ x ≤ 2π 2senx − 1 = 0 2senx − 1 = 0 → despejar la función trigonométrica senx = 21 → determinar en que cuadrante estará la solución según el signo de la función senx = + → Ic , IIc Ic : senx = 21 → determinar el valor del ángulo en el primer cuadrante a través de la función inversa Solución −1 1 =x Ic : sen 2 ◦ Ic : x = 30 = π6 IIc : x = π − α → αes el ángulo del pimer cuadrante IIc : x = π− f racπ6 = 5π 6 Solución:S = { π6 , 5π } 6 Portal de Matemática
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Ejemplo 3.2. Halla la solución de 2sen2 x − 1 = 0 en el intervalo [0◦ , 360◦]. Solución 2sen2 x − 1 = 0 → despejemos la función 1 → despejemos la potencia cuadrática sen2 = q2 1 senx = ± 2 → se racionaliza √ senx = ± 22 → determinar en que cuadrante estará ubicada la solución según el signo de la función senx = + → Ic , IIc senx = − → IIIc , IV √c Ic : senx = 22 → determinar el valore del ángulos del primer cuadrante a travéz de la función inversa √ 2 −1 Ic : sen =x 2 Ic : x = 45◦ IIc : x = 180◦ − α → α es el ángulo del primer cuadrante IIc : x = 180◦ − 45◦ = 135◦ IIIc : x = 180◦ + α → α es el ángulo del primer cuadrante IIIc : x = 180◦ + 45◦ = 225◦ IVc : x = 360◦ − α → α es el ángulo del primer cuadrante IIIc : x = 360◦ − 45◦ = 315◦ Solución: S = {45◦, 135◦ , 225◦, 315◦ }
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Ejemplo 3.3. Determina el conjunto solución de la siguiente ecuación para [0, 2π] 2 cos2 x − 3 cos x + 1 = 0 Solución 2 cos2 x − 3 cos x + 1 = 0 → factorizar la expresión (2 cos x − 1)(cos x − 1) = 0 → determinar las raíces de cada factor cos x = −1 → ubicar la solución según el signo de la función cos x = 12 en el caso de la primera raíz cos x = + → Ic , IVc cos x = 21 → determinar el valor del ángulo en el primer cuadrante a través de la función inversa −1 1 =x Ic : cos 2 Ic : x = π3 IVc : x = 2π − α → αes el ángulo del primer cuadrante IVc : x = 2π − π3 = 5π 3 cos x = −1 → aplicamos función inversa cos−1 (−1) = x x=π 5π π Solución:S = { 3 , π, 3 } Ejemplo 3.4. Resuelve la ecuación para 0 ≤ x ≤ 2π π sen x + 4
Solución
π 4
=1
= 1 → Determinamos la ubicación de la solución según el signo de la función y que cumpla con la restricción π sen x + 4 = + → Ic ; IIc sen x +
sen−1 (1) = x +
π 4
→ determinar el valor del ángulo en el primer cuadrante a través de la función inversa
π 2 π 2
= x + π4 x = − π4 = π4 Determine el valor del ángulo en el segundo cuadrante ¿Por qué el valor ese valor no es una solución? Solución: S = { π4 }
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Ejercicios propuestos Determina la solución de las siguientes ecuaciones en el intervalo: (0◦ ≤ x ≤ 360◦ ) 1. senx = sen 2. 2 cos
π 4
π 2
6. tan5 x − 9 tan x = 0
−x
11. cos x = cos2 x √ 12. tan2 x − 3 tan x = 0
7. sen2 x = 21 √ 8. 2cos2 x + 2 = 3
−x = 1
3. 4cos2 x = 3 − 4 cos x
13. 4 cos2 x + 4 cos x = 3 14. 3 tan2 x = 1 + 2 tan x
9. 4cos2 x − 3 = 0
4. 2sen2 x + senx = 0
10. 4sen2 x − 1 = 0
5. senx − cosx = 0
15.
3 cos x
− 2 = cos x
Ejercicios de entrenamiento 1. Si senθ es negativo y tan θ es positivo, entonces θ se encuentra en el:UNI-2010-D A)II ó IV cuadrante B)I ó II cuandrante C)IV cuadrante D)III cuadrante E)II cuadrante 2. Si sen−1 (cos θ) = π6 , entonces el valor de θ en radianes es igual a:UNI-2006-B B) π6
A) π2 3. Si senθ = A)
y
π 2
√ 3 2
4. Si senθ = A)
1 2
√ 3 2
≤x≤
C) π4 3π , 2
B)− 13 1 2
y
π 2
≤x≤ B)− 13
D) π3
entonces sen2θ es igual a:UNI-2011-C C) 21
3π , 2
E)− π6
D)−
√ 3 2
E)1
entonces cos 2θ es igual a:UNI-2011-D C) 21
D)−
√ 3 2
E)1
5. Si 0◦ ≤ x ≤ 90◦ , el valor de x tal que cos(2x + 30◦ ) = sen50◦ es:UNI-2012-A A)0◦
B)5◦
C)10◦
D)15◦
E)30◦
6. Si 0◦ ≤ x ≤ 90◦ , el valor de x tal que tan(2x + 30◦ ) = cot 30◦ es:UNI-2012-D
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A)45◦
B)60◦
C)15◦
7. Si 0◦ ≤ x ≤ 90◦ , el valor de x tal que sen A)90◦
B)30◦
D)25◦
C)15◦
x 3
E)30◦
+ 10◦ = cos 70◦ es:UNI-2013-F D)60◦
E)45◦
8. El conjunto solución de 3 + 3 cos x = 2 − 2 cos2 en en el intervalo [0, 2π] es:(UNI2010-A) } A){ 2π 3
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B){ 2π , π} 3
2π C){ 4π } 3 3
9
D){ 2π , π, 4π } 3 3
E){π, 4π } 3
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