ENCUENTRO # 65 TEMA: Geometría del espacio. CONTENIDOS: 1. Cálculo de volumen y área de un prisma
Prismas Definición 1.
Es un poliedro limitado por tres o más caras laterales, que son paralelogramos y dos
caras basales que son polígonos congruentes y paralelos. Observaciones 1. Un prisma es recto si las aristas laterales son perpendiculares a la base, en caso contrario será oblicuo. 2. En un prisma recto las caras laterales son regiones rectangulares. 3. Un prisma recto es regular si sus bases son regiones limitadas por polígonos regulares. 4. En todo prisma el número de lados de la base es igual al número de caras laterales. 5. Un prisma se denomina según el polígono que limita su base, así los prisma serán triangulares, cuadrangulares,pentagonales, etc, según que sus bases sean regiones triangulares, cuadrangulares, pentagonales,etc. 6. Se llama altura (h) a la distancia entre los planos que contienen las bases. 7. Un prisma recto la medida de la altura es igual a la medida de las aristas laterales. 8. Un prisma recto cuyas bases son polígonos regulares se denomina prisma recto regular.
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Si:
n
:
es el número de lados de la base
C
:
Número de caras
V
:
Número de vértices
A
:
Número de aristas
Entonces
C = n +2 V = 2n A = 3n
Prisma recto
Superficie Lateral: S L = P b • h
h
Superficie Total: S T = S L + 2S b Volumen: V = S b • h
La altura es cualquiera de las aristas laterales. Paralelepípedo Un paralelepípedo es un prisma cuya base son paralelogramos.
Superficie lateral:S L = 2(a + b)h
Superficie total: S T = 2(a + b)h + 2ab
Volumen:V = abh
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Cubo Es un sólido que tiene todos sus lados iguales y perpendiculares entre sí, es decir, tiene 6 caras que forman cuadrados.
Superficie lateral:S L = 4a 2 Superficie total: S T = 6a 2
Volumen:V = a 3
Ejemplo 0.1. Las medidas de un ortoedro (paralelepípedo) son 3cm y 8cm y su altura es de 10cm. ¿Cuál es su volumen? A)200cm 3
B)160cm 3
C)240cm 3
D)220cm 3
E)110cm 3
D)4cm
p E) 3cm
Solución V = abh
V = (3cm)(8cm)(10cm) = 240cm 3
Ejemplo 0.2. Si el volumen de un cubo es de 64m 3 ¿Cuánto mide su arista? A)6cm
B)2cm
C)8cm
Solución V = a 3 → 64cm 3 = a 3 → a =
p 3 64
∴ a = 4cm
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Ejercicios propuesto 1. Dado un prisma recto regular pentagonal cuyo lado de la base mide 2cm y cuya arista lateral mide 14cm, determina la superficie lateral. A)100cm 2 B)140cm 2 C)280cm 2 D)110cm 2 E)120cm 2
2. Hallar el área total de un prisma recto regular cuya base es un hexágono de 3cm de lado y su altura es de 7cm. A)172.7cm 2
B)100.5cm 2
C)120.5cm 2
D)140.5cm 2
E)261cm 2
3. Calcule el volumen de un prisma hexagonal regular cuyas caras laterales son regiones cuadradas. El área lateral del prisma es 864m 2 A)2592m 3
B)2590m 3
C)3024m 3
p D)2592 3m 3
p E)2488 2m 3
4. Calcule el área lateral de un prisma regular cuadrangular, si su arista básica mide 2m y su arista lateral 8m. A)64m 2
B)32m 2
C)16m 2
D)32m 2
E)84m 2
5. Se tiene un prisma cuya altura es congruente con la arista básica. Calcule el número de lados de la base del prisma, si su área total y lateral están en la relación de 3 a 2. A)3
B)4
C)5
D)6
E)8
6. Desde un vértice de la base de un prisma regular cuadrangular, se trazan: la diagonal del sólido y la diagonal de la base, las cuales forman 45◦ . Si el área de la superficie lateral del sólido es p 16 2m 2 , calcule su volumen. A)1m 3
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B)2m 3
p C)2 πm 3
4
p D) 3m 3
p E)8 2m 3
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7. Calcule el área total de un paralelepípedo rectangular cuya diagonal mide 50 y sus dimensiones suman 82. A)4000
B)4224
C)4424
D)4624
E)4864
8. Una escultura consta de tres cubos grandes, posando uno encima de otro, como se aprecia en la figura. La superficie expuesta ha de pintarse una vez que se coloquen la escultura en su sitio permanente. El mayor de los cubos, de arista de 3 metros se colocará en el piso. los otros dos cubos tienen arista de 2 metros y 1 metro, respectivamente. si cada galón de pintura alcanza para pintar exactamente 1 metro cuadrado. ¿Cuántos galones de pintura se necesitan para pintar la escultura?(UNI-2006-A)
A)65 B)68 C)70 D)74 E)75
9. Para la subida a un escenario se construyen unas gradas de concreto con las dimensiones que se muestran en la figura. Los escalones están igualmente espaciados tanto horizontal como verticalmente. El volumen, en metros cúbicos, del material que se requiere para su construcción es:(UNI-2008-B) A)0.4 B)0.5 C)0.6
1 m.
D)0.75
1 m.
E)0.8
1 m.
p 10. Dado un cubo cuya diagonal mide 4 3cm. ¿cuánto mide su volumen en cm 3 ?(UNI-2008-C) A)8 B)27 C)36 D)48 E)64 11. En la figura se muestra un prisma triangular recto, cuyas aristas de la base miden 5, 12 y 13. Si Portal de Matemática
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el área de la superficie total es 360, ¿Cuál es el volumen del prisma?(UNI-2009-A) A)30 B)180 C)300 D)600 E)780 12. Se desea construir el logotipo de la UNI uniendo algunos paralelepípedos rectangulares, con las dimensiones (en pies) indicadas en la figura y la misma separación entre las piezas. El volumen total (en pies cúbicos) de la figura es:(UNI-2010-B) 3.4
1
1
A)16.4 B)9.28
1 3.2
C)8.64 D)8.2
2 1 0.5
3.4
E)7.7
2.2
13. En la figura, se muestra un cubo de lado 5cm, el área en cm 2 de la región sombreada es:(UNI2013-F)
A)25 p B)
2 5p
C)25 2 D)50 p E)5 2
14. La figura consta de diez cubos pegados. Usando la misma como base, la cantidad de cubitos que faltan para construir un cubo sólido es:(UNI-2014-C) A)18 B)27 C)55 D)54 E)34
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15. De acuerdo con las dimensiones especificadas en el celular de la figura. El volumen aproximado en cm 3 de la carcasa protectora con tapa (tipo prisma rectangular), es de:(UNI-2015-D) .
.
A)753.24 B)74.99
.
C)75.32 D)749.93 E)7532.39
16. De acuerdo con las dimensiones especificadas en la Tablet Samsung Note 10.1 de la figura. El volumen aproximado en cm 3 de la carcasa protectora con tapa (tipo prisma rectangular), es de:(UNI-2016-B)
A)419.72 .
B)41.97 C)139.91 D)1399.08 E)4197.24
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