Dinámica No Lineal en Sistemas Ópticos Carlos L. Pando Lambruschini Instituto de Física , BUAP, Puebla, México 16 de Abril 2015 Facultad de Ciencias e Ing. PUCP, Lima, Perú

Esquema de la presentación. (1) Introducción (origen de DNLSE). (2) Modelos (Mecánico, Fibras Ópticas, BEC). (3) ILM (Breathers,R.E.)en cadenas infinitas de osciladores. (4) Breathers en anillos finitos de osciladores. (5) Dinámica QP y Caótica. (6) Conclusiones.

Ecuación Discreta No Lineal de Schroedinger (DNLSE)

Dynamics for Delta=-0.005, QP

• Dynamics Sample 1, -0.00625

* Onda de Bloch en un Potencial Periódico 1D (electrón en un cristal: estado extendido) A(x,t)=B(x) EXP[i(K x - E t)]

en la Eq. Schroedinger.

•¿Qué ocurre si el medio deja de ser (perfectamente) periódico? ..es decir, …aparece algún defecto….

¿Qué ocurre si el medio deja de ser periódico? e.g.….aparecen defectos….. * Landau, 1933, “soluciones localizadas”

Defectos de 2 tipos: 1) Impurezas: si son aleatorias (fijas) en “x”, hay soluciones Exp. Localizadas: estados ligados)

• El otro tipo de defecto: 2) Nolinealidad: existen soluciones localizadas Exp., como la DST para el polarón (Holstein,1959):

¿Pueden existir “soluciones estacionarias localizadas” del tipo

A(x,t)=B(x) EXP[i G t] en DNLSE en medios no lineales y discretos?

Afirmativo! ……”no relajan”…. Y se llaman ILM (Intrinsec Localized Modes), Breathers, DS discrete solitons) * Localizadas en el espacio, Periódicas en el tiempo, y (“muy”) estables.

Osciladores No Lineales Acoplados

….. con algunos cambios de variable ésta es la DNLSE.

Propagación de un Pulso en Fibras No Lineales (Kerr) Acopladas.

Red (cadena) 1D de guías de onda (fibras no lineales de polímeros).

Ecuación de Propagación de un Pulso en Fibras No Lineales (Kerr) Acopladas.

….. con algunos cambios de variable ésta es la DNLSE. La coordenada espacial “z” está en lugar del tiempo!

BEC (Bose-Einstein Condensates)

A temperatura T=0, la dinámica de BEC gobernada por la ecuación de Gross-Pitaevskii.

La ecuación de Gross-Pitaevskii en approx. “mean field” describe BEC:

….. con algunos cambios de variables ésta es la DNLSE. Tight-binding approx. de la GPE.

The Discrete Nonlinear Schroedinger Equation (DNLSE)

Hamiltonian

• Angular Momentum

• Nm : action ; m: angle

DNLSE describes many physical systems: • Arrays of optical fibers (1-d, 2-d). • Small molecules. • BEC trapped in a multiwell periodic potential (1-d, 2-d) Breathers : spatially localized, time periodic (quasiperiodic) and stable solutions of DNLSE, but in infinite lattices.

Anstaz para la solución estacionaria (equilibrio relativo) de DNLSE

Se obtiene un mapeo cúbico conservativo (CM), parametrizado por Lambda:

Homoclínica: la solución p=(0,0) es un pto silla y para cierto parámetro Lambda crítico:

Intersección Homoclínica: la solución p=(0,0) es un pto silla y para una vecindad del parámetro Lambda crítico:

Breathers: Homoclínicas del CM

Órbitas Homoclínicas del CM determinan los Breathers del DNLSE en la cadena infinita.

Órbitas Periódicas del CM determinan los Soluciones Estacionarias (quasibreathers) del DNLSE en un anillo de osciladores..….

Órbitas Periódicas del CM determinan los Soluciones Estacionarias (quasi-breathers, R.E.) del DNLSE en un anillo de osciladores…

Siete (7) Osciladores en un anillo (quasi-breather):

• Dynamics of Sample 2, -0.00625

Dynamics for delta=-0.007, global chaos.

• Conclusiones.

(1) La DNLSE es un modelo genérico (NL+Discreto) (2) Los Breathers para cadenas (finitas o infinitas pueden ser obtenidas con un método geométrico. (3) Perturbaciones (impurezas): QP, CH local, CH Global. Muchas Gracias por su atención!