— Dedu¸c˜ ao Natural para a L´ ogica Cl´ assica Proposicional — Disciplina: L´ ogica Aplicada ` a Computa¸c˜ao Nome:

Matr´ıcula:

1. Considere a linguagem da L´ ogica Cl´assica acrescida do conectivo o com precedˆencia gramatical o inferior a todos os demais conectivos bin´arios, e considere o sistema de dedu¸c˜ao natural Np , definido pela adi¸c˜ ao das trˆes regras seguintes ao sistema Np : [m]

D1 α o β β

o E1

D1 α o β ⊥

D2 α

α D1 ⊥

o E2

Dadas f´ ormulas P , Q, R, S e T arbitr´arias, demonstre em Np P → Q, Q o R ∧ S ` P

o

α o β

D2 β

o I, m

a seguinte inferˆencia:

o T ∨R

Dica. Talvez seja u ´til demonstrar antes o seguinte lema auxiliar: ¬(α o β), β ` α. 2. Seja Γ ∪ ∆ ∪ {α, β} um conjunto arbitr´ario de f´ormulas. Demonstre em Np as seguintes asser¸c˜ oes tipicamente cl´ assicas: (a) Se Γ, γ → α ` β, ent˜ ao Γ, γ → β ` β. (b) Se Γ, α ` β e ∆, γ → β ` β, ent˜ao Γ, ∆, γ → α ` β. Sugest˜ ao de estrat´ egia, e de resultados auxiliares. Demonstre e fa¸ca uso das formas de contraposi¸c˜ ao subjacentes ` a asser¸c˜ ao δ → ε ≈ ¬ε → ¬δ. Recorde-se ainda das inferˆencias cl´assicas ¬(µ → ν) ` µ e ¬µ ∧ ν ` ¬(ν → µ). Finalmente, use a l´ogica cl´assica para verificar tamb´em que Σ ` ϕ sempre que Σ, ¬ϕ ` ϕ. [Extra] Dado um conjunto de f´ ormulas Σ ∪ {δ, ε}, dizemos que δ e ε s˜ao equivalentes dado o contexto Σ se pudermos afirmar que Σ, δ ` ε e tamb´em que Σ, ε ` δ. Denotamos tal equivalˆencia contextual Σ

por δ ≈ ε. Σ

Tome agora o contexto Σ = {ϕ1 → ϕ2 } e demonstre (ϕ3 → ϕ2 ) → ϕ2 ≈ (ϕ3 → ϕ1 ) → ϕ2 em Np . Reflita. H´ a alguma rela¸c˜ ao entre a presente tarefa e a tarefa imediatamente anterior?