Name______________________________________________________________________________Date_____________Period_________________A#_C-­‐13_   Exponential  Growth:  The  Duckweed  Task       Duckweed  (or  lemna  minor)  is  a  type  of  plant  that  multiplies  fast.  The  number  doubles   every  day.  A  pond  that  has  this  plant  can  get  completely  covered  in  a  short  time.  The   surface  then  looks  like  green  grass.  We  will  look  at  the  area  (in  m2)  covered  by  the   plant  instead  of  thinking  about  numbers  of  individual  plants.     Beginning  with  1  m2  of  plants  on  one  day  (starting  time  t  =  0),  after  1  day        (t  =  1)   there  are  2  m2  of  it.  The  formula  that  describes  this  growth  process  is         A(t)  =  1  ⋅  2t     2 1.  t    is  the  time  measured  in  days,  A  is  the  area  covered  in  m2,  and  1   area (in m ) 2 is  the  initial  value  of  the  area  (in  m ).  What  does  the  2  represent  in   the  formula?       2.  The  graph  at  right  shows  this  process  for  the  first  four  days.  To   the  nearest  tenth  of  a  day,  at  what  moment  will  there  be  3  m2  of   duckweed  in  the  pond?         6  m2  ?     12  m2  ?     3.  Now  without  the  help  of  the  graph:  At  what  moment  would  you   predict  there  would  be  24  m2  of  duckweed?       4.  The  same  question  for  5  m2,  10  m2    and  20  m2   time (in days)       In  this  activity  we  will  focus  on  the  inverse  relationship  between  time  and  area.  That  is,  instead  of  looking  at  the  function  A(t)   above,  we  will  look  at  its  inverse,  t(A).  It  seems  strange,  because  time  is  usually  the  independent  variable.  But  there  are   applications  where  an  amount  of  a  substance  can  be  measured  and  that  amount  indicates  how  old  an  object  is.  For  example,   that  is  how  the  age  of  objects  can  be  calculated  using  the  carbon  dating  method.     The  relationship  between  time  t  and  covered  area  A  can  be  described  with  tables.     5.  Complete  the  empty  cells  in  the  following  tables  using  the  information  from  questions  2–4:     A  (m2)   1   2   4   8   16   32   t  (days)   0   1               A  (m2)   3   6   12   24       t  (days)   1.6               A  (m2)   2.5   5   10   20       t  (days)     2.3             A  (m2)     0.25   0.5   1       t  (days)         0         6.  What  is  the  pattern  you  used  in  the  above  tables  to  find  values  that  were  not  given  in  the  graph?          

Below  is  a  more  detailed  table  with  values  accurate  to  two  decimal  places:     A   1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11   12   13   t   0   1   1.58   2   2.32   2.58   2.81   3   3.17   3.32   3.46   3.58   3.70   A   14   15   16   17   18   19   20   21   22   23   24   25   26   t   3.81   3.91   4   4.09   4.17   4.25   4.32   4.39   4.46   4.52   4.58   4.64   4.70     7.  You  can  find  several  patterns  in  the  table  above.  Some  of  these  were  already  explored  in  the  tables  you  completed  in   question  5,  such  as:     a. If  the  area  is  doubled,  time  increases  by  1  day.  Find  an  example  of  this  in  the  table  above  and  describe  it  below.       b. When  A  is  an  integer  power  of  2  (like  1,  2,  4,  8,  16,  ...)  you  can  find  exact  numbers  for  t.  Find  an  example  of  this   in  the  table  above  and  describe  it  below.         8.  Since  we  are  looking  at  t  as  a  function  of  A,  you  can  think  of  t(3)  as  “the  time  it  takes  to  grow  from  1  m2  (the  starting  value)   to  3  m2  .”  Using  this  notation,  you  can  find  other  values  in  the  table,  like:     a. t(3)  +  t(2)  =  t(6)  (Find  these  values  in  the  table  and  verify  that  this  is  correct.)           b. t(5)  +  t(5)  =  t(25)  (Find  these  values  in  the  table  and  verify  that  this  is  correct.)           9.  The  values  in  the  table  are  rounded  to  two  decimal  places.  So,  sometimes  when  you  add  two  values,  the  outcome  may  be   slightly  different  from  what  you  may  expect.       a.) Look  for  more  examples  of  patterns  in  the  table  like  those  described  in  #8.         b.) Try  to  explain  the  patterns  that  you  notice.           10.  What  will  be   t ( A) + t (B )  for  any  areas  A  and  B?             11.  We  can  also  find  a  pattern  when  we  subtract  two  values:   a.) Why  should  this  be  true:   t (6) − 1 = t (3) ?  (Hint  for  what  value  of  A  does  t(A)=1?)       b.) Find  the  results  for:         t (14) − t (7)   t (30) − t (5) ;         c.)What  will  be   t ( A) − t (B )  for  any  positive  values  of  A  and  B?