Test Klasse 12/13

1.

=

Exponentialfunktionen (e-Funktionen) Kurvendiskussion - Geradengleichungen Flächeninhalte - Extremalprobleme

∙

a) Bestimme die Nullstellen der Funktion . b) Bestimme alle Extrema und Wendepunkte von . c) Untersuche das Verhalten im Unendlichen der Funktion . mindestens im Intervall −1 ≤

d) Skizziere den Graphen von

≤ 3.

2. Ermittle die Wendetangente und die Wendenormale der Funktion beiden Funktionen.

=−

3. Weise nach, dass

+1

sowie die Nullstellen dieser

eine Stammfunktion von

ist.

a) Gesucht ist der Flächeninhalt derjenigen Fläche, die vom Graphen von , der x-Achse und der Geraden = 1/2 begrenzt wird. b) Die Gerade

=

∙

und die Funktion

schließen eine Fläche vollständig ein. Berechne den

Inhalt dieser Fläche.

4. Auf dem Graphen von liegt der Punkt | mit > 0. Der Koordinatenursprung und der Punkt sind sich diagonal gegenüberliegende Eckpunkte eines achsenparallelen Rechtecks. Zu berechnen ist der größtmögliche Flächeninhalt dieses Rechtecks.

5. Zu berechnen ist das Maximum des Abstandes der Graphen von positives .

http://Supremum.de

und ℎ

=−

+1 ∙

für

Test Klasse 12/13

Exponentialfunktionen (e-Funktionen) Kurvendiskussion - Geradengleichungen Flächeninhalte - Extremalprobleme Lösungen

1.

=

∙

a) Bestimme die Nullstellen der Funktion . b) Bestimme alle Extrema und Wendepunkte von . c) Untersuche das Verhalten im Unendlichen der Funktion . d) Skizziere den Graphen von a) ∙

mindestens im Intervall −1 ≤ b)

=0

=0

′

=0

# − $∙

=0 !

≤ 3.

=0

# − $=0

=!

='

&

((

1 =− ∙ ' -

*+ '|, ' ′

= # − $∙

′′

= # − 1$ ∙

′′′

=# − $∙

′′

= # ' | ∙ .

=0

3

=-

′′′ 2 = ∙ 3+ - | , c)

d) 1

→ ;2

lim

1

→; 2

∙

= −∞

∙

$ ≈ ' | !, '12

# − 1$ = 0

zu finden mit CAS oder händisch mit Produkt- und Kettenregel

lim

'

Max.

=0

# − 1$ ∙

%

<0

=0

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≠0

= - | .

Wendepkt. -

≈ - | !, '56

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Exponentialfunktionen (e-Funktionen) Kurvendiskussion - Geradengleichungen Flächeninhalte - Extremalprobleme

2. Ermittle die Wendetangente und die Wendenormale der Funktion beiden Funktionen. =

= >= + ?= (

@A =

=−



=−

B

CA = 2

=

=

B

2 =−



.B− -

?

F



+ -.

=!

− − !

B B

∙

+2

∙

= −2

=2

=2 =4



+ CA

CD =

-

[ oder mit CAS tangentLine( f(x) , x , 2 ) ] =

= >? + ??

@D = − = 2 E

∙ 2 + CA

∙

sowie die Nullstellen dieser

+ CD

−4

= -.- ∙

?

+ .

-

− 2.-

[ oder mit CAS normalLine( f(x) , x , 2 ) ]

? =0

∙ 2 + CD

=!

2

2

∙

+

H

−

∙ = !

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=4

B

' -

=-− ∙.

−4

−

2

=0

≈ ', II

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Exponentialfunktionen (e-Funktionen) Kurvendiskussion - Geradengleichungen Flächeninhalte - Extremalprobleme =−

3. Weise nach, dass

+1

eine Stammfunktion von

ist.

a) Gesucht ist der Flächeninhalt derjenigen Fläche, die vom Graphen von , der x-Achse und der Geraden = 1/2 begrenzt wird. =

b) Die Gerade

∙

und die Funktion

schließen eine Fläche vollständig ein. Berechne den

Inhalt dieser Fläche. ( 1 1 ( +1 K ∙ + J− +1 K∙ 2 2 1 1 + J− =− ∙ +1 K∙ − 2 2 1 1 1 + L− M ∙ − =− ∙ + L− M ∙ ∙ − 2 2 2 1 1 1 =− ∙ + ∙ ∙ + ∙ 2 2 2 1 = ∙ ∙ = 2

(

a) N = OP =

= J−

b)

/

1/2 −

%

= −H ∙

R

+

≈ !, !26 S&

=

Q

0

∙

∙

=

∙

∙

∙

−

∙

∙

∙

∙

=0 −

N = OP

−

=0 =0

=0

≈ !, 'T- S&

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=0

−

=2 Q

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Exponentialfunktionen (e-Funktionen) Kurvendiskussion - Geradengleichungen Flächeninhalte - Extremalprobleme

mit > 0. Der Koordinatenursprung und der 4. Auf dem Graphen von liegt der Punkt | Punkt sind sich diagonal gegenüberliegende Eckpunkte eines achsenparallelen Rechtecks. Zu berechnen ist der größtmögliche Flächeninhalt dieses Rechtecks. Hauptbedingung: N = Nebenbedingung:

∙U =

∙

= 1/2 ∙

Zielfunktion:

N

= 1/2 ∙

Ableitungen:

N′

=# −

N′′

=#

V

# −

V

∙ ∙

V

N′

$∙

−

V

V

Länge: W = - X& Breite: , - = . AMax:

V

$∙

=0

V

=

∙ #1 − $ = 0

= 0 (kommt als Rechtecklänge nicht in Frage) W- = -

V

− 2 + 1$ ∙

V

=0

V

N(( 2 = −

-

<0

≈ !, '565 X&

Y - = - ∙ , - = -.

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-

Max.

≈ !, -Z' S&

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Exponentialfunktionen (e-Funktionen) Kurvendiskussion - Geradengleichungen Flächeninhalte - Extremalprobleme

5. Zu berechnen ist das Maximum des Abstandes der Graphen von positives . Hauptbedingung: Q = |

= 1/2 ∙

Nebenbedingung: ℎ

Zielfunktion: Ableitungen:

−

=−

Q′

+1 ∙

>0

Q

∙

|

%

=#

+ 1$ ∙

Q′

=# −

Q′′

=#

%

%

%

$∙

# −

%

$=0

=

> 0 ergibt sich für '

5

ein maximaler Abstand von \ # $ = ∙ . 5 -

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<0

Max.

' 5

Q( ′ #%$ = − ∙

Unter der Bedingung

+1 ∙

=0

%

− 2$ ∙

=−

=0

# −

&

$∙

und ℎ

'/5

R [

= '/5

≈ ', !Z6 X&.

für