Espa es Ve toriels de Dimensions Finies Partie II Appli ation de la méthode du pivot de Gauss Cours et Exer i es ave Solutions M. Mouçouf
28 dé embre 2013
Table des matières
1 Résolution des systèmes d'équations linéaires : méthode du pivot de Gauss 1
2 Espa es ve toriels de dimensions nies : Appli ation de la méthode du pivot de Gauss 2.1 Matri e à lignes é helonnées et Matri e à olonnes é helonnées . . . 2.1.1
3 3
Cara térisation d'une matri e à lignes é helonnées et elle à
olonnes é helonnées 5
2.2 Famille de ve teurs é helonnée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2.3 Cal uls pratiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
2.4 Exer i es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.5 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 i
Chapitre 1 Résolution des systèmes d'équations linéaires : méthode du pivot de Gauss
1
Université Chouaib Doukkali
Fa ulté Des S ien es El Jadida
M. Mouçouf
2
28 dé embre 2013
Chapitre 2 Espa es ve toriels de dimensions nies : Appli ation de la méthode du pivot de Gauss Dans tous e hapitre, K désigne R ou C.
2.1
Matri e à lignes é helonnées et Matri e à olonnes é helonnées
Soit A une matri e quel onque. On appelle matri e transposée de A, noté At , la matri e dont la ième ligne égale à la ième olonne de A. Par exemple si
A
2
1 1
7
1
3
4
0
5
8
1
3
alors
At
2
7 4
1
1
0
1
3
5
8
0
5
Il y a quatre types de matri es à lignes é helonnées, qui sont 3
Université Chouaib Doukkali
I
0 . . . 0 α1 . . . . . . 0 . . . . . . 0 α2 . . . . . . 0 ........................... 0 . . . . . . . . . . 0 αr . . . 0 ........................... 0 .................................. 0 ........................... 0
III
M. Mouçouf
II
0 ........................... 0 .................................. 0 ........................... 0 0 . . . . . . . . . . 0 αr . . . 0 ........................... 0 . . . . . . 0 α2 . . . . . . 0 . . . 0 α1 . . . . . .
0 ........................... 0 .................................. 0 ........................... 0 . . . αr 0 . . . . . . . . . . 0 ........................... 0 . . . . . . α2 0 . . . . . . 0 . . . . . . α1 0 . . . 0
IV
Dé nition 1. Dans le as d'une matri e à lignes é helonnées, on appelle olonne pivot toute olonne ontenant un pivot. En revan he, dans le as d'une matri e à olonnes é helonnées, on dé nit les lignes pivots omme étant elles
ontenant les pivots. Exemples 1. Exemples de matri es à lignes é helonnées : 1) la matri e nulle est à la fois é helonnée en olonnes et en lignes. 2)
I
III
2 1 1 1 1 0 0 3 1 1 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 3 1 1 2 1 1 1 1
Fa ulté Des S ien es El Jadida
,
II
0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 1 1 3 0 0 1 1 1 1 2
,
IV
4
. . . . . . α1 0 . . . 0 . . . . . . α2 0 . . . . . . 0 ........................... 0 . . . αr 0 . . . . . . . . . . 0 0 ........................... 0 .................................. 0 ........................... 0
et il y a aussi quatre types de matri es à olonnes é helonnées. Si on prend le transposé de ha une des quatres matri es à lignes é helonnées, on trouve les quatres types à olonnes é helonnées. En eet, une matri e est à lignes é helonnées si et seulement si sa matri e transposée est à olonnes é helonnées.
1 1 1 1 2 1 1 3 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0
28 dé embre 2013
Université Chouaib Doukkali
M. Mouçouf
Exemples de matri es à olonnes é helonnées :
I
III
1 1 4 0 1 1 0 0 1 3 0 0 1 0 0 0 2 0 0 0
2 0 0 0 1 0 0 0 1 3 0 0 1 1 0 0 1 1 4 0
,
II
0 0 0 2 0 0 0 1 0 0 3 1 0 0 1 1 0 4 1 1
,
IV
0 4 1 1 0 0 1 1 0 0 3 1 0 0 0 1 0 0 0 2
Les pivots de es huit matri es sont 2, 3 et 4. Dans le as de la première matri e à lignes é helonnées, Les olonnes pivots sont C1 , C3 et C5 . Dans le as de la première matri e à olonnes é helonnées, Les lignes pivots sont L1 , L3 et L5 . 2.1.1
Cara térisation d'une matri e à lignes é helonnées et
elle à olonnes é helonnées
Les huits types de matri es é helonnées ( 'est-dire à lignes é helonnées ou à
olonnes é helonnées) ont la forme de l'un des es aliers suivants :
0
0 0
Fa ulté Des S ien es El Jadida
0 0
0
5
28 dé embre 2013
Université Chouaib Doukkali
M. Mouçouf
0
0
0
0
0
0
1) L'es alier ommen e par un pivot et se termine par un pivot. 2) L'es alier ommen e par une ligne horizontale (une mar he) et se termine par une ligne verti ale, ou il ommen e par une ligne verti ale et se termine par une ligne horizontale (une mar he). 3) Dans le as d'une matri e à lignes é helonnées, la hauteur des mar hes de l'es alier est toujours d'une unité tandis que la largeur des mar hes peut varier. En revan he, Dans le as d'une matri e à olonnes é helonnées, 'est la largeur des mar hes qui est toujours d'une unité tandis que la hauteur des mar hes peut varier.
Remarque 2. Une matri e peut être à lignes et à olonnes é helonnées. Par exemple : - La matri e nulle. - La matri e a . - La matri e
4 1
0 2
est à linges é helonnées de type I et à olonnes é helonnées de type IV .
Astu e. Dans le but de re onnaître les huit types de matri es é helonnées, l'auteur propose l'astu e suivante : On prend une feuille transparente et on onstruit une matri e à lignes é helonnées de type I (standard). Si on fait tourner la feuille d'un angle de 180X, on obtient une matri e à lignes é helonnées de type II . ET si on onsidère le verso de la feuille, on obtient une matri e à lignes é helonnées de type III , puis on fait tourner la feuille d'un angle de 180X pour obtenir une matri e à lignes é helonnées de type IV .
Fa ulté Des S ien es El Jadida
6
28 dé embre 2013
Université Chouaib Doukkali
M. Mouçouf
Par ontre, si on fait tourner la feuille de 90X, on obtient une matri e à olonnes é helonnées de type I . Pour obtenir les trois autres matri es à olonnes é helonnées, il su t alors de répeter les étapes i-dessus.
Dé nition 3. On appelle rang d'une matri e la dimension du sous-espa e ve toriel engendré par les lignes de ette matri e. Théorème 4. Le rang d'une matri e est égal aussi à la dimension du sous-espa e ve toriel engendré par les olonnes de ette matri e. Théorème 5. Les olonnes non nulles d'une matri e é helonnée en olonnes forment une famille libre, et les lignes non nulles d'une matri e é helonnée en lignes forment aussi une famille libre. Comme onséquen e de e théorème on a le résultat suivant :
Corollaire 6. Le rang d'une matri e é helonnées est égal au nombre des pivots de
ette matri e. 2.2
Famille de ve teurs é helonnée
Soit E un espa e ve toriel de dimension n et B v1 , . . . , vn une base de E . Si A u1 , ..., up est une famille de ve teurs de E , on note par LA et C A les matri es
u1 u2 up
u2
up
u1
et
LA
C A
où la ième ligne de LA est onstituée des oordonnées de ui dans la base B , et la ième olonne de C A est onstituée des oordonnées de ui dans la base B . Fa ulté Des S ien es El Jadida
7
28 dé embre 2013
Université Chouaib Doukkali
M. Mouçouf
Dé nition 7. Une famille A de ve teurs d'un espa e ve toriel de dimension nie est dite é helonnée si au moins l'une des matri e asso iée L A ou C A est é helonnée.
On a alors le résultat suivant
Théorème 8. Soit A une famille é helonnée. Alors A est une famille libre si et seulement si A ne ontient pas le ve teur nul. Exemple 1. la famille 1, 2, 3, 2, 0 , 4, 1, 0, 0, 0
est libre.
Théorème 9. Soit A une famille de ve teurs d'un espa e ve toriel de dimension nie. 1) Si la matri e L A est obtenue à partir de L A par un nombre ni d'opérations élémentaires de lignes, on obtient une famille de ve teurs A telle sev A sev A .
`
e
`
e
2) Si la matri e C A est obtenue à partir de C A par un nombre ni d'opérations élémentaires de olonnes, on obtient une famille de ve teurs A telle sev A sev A . 3) Dans les deux as pré édents on a : (i) rg A rg A . (ii) Si A est é helonnée, alors A 0 est une base (é helonnée) du sev A .
`
e
`
e
`
e
Remarque 10. La propriété ii veut dire que : - si on a é helonné L A par des opérations de lignes, alors les lignes non nulles de ette matri e é helonnée onstituent une base du sev A . - si on a é helonné C A par des opérations de olonnes, alors les olonnes non nulles de ette matri e é helonnée onstituent une base du sev A .
`
e
`
2.3
e
Cal uls pratiques
Dans tous e qui suit, A désigne une famille de ve teurs d'un espa e ve toriel E de dimension n. Remarquer que les résultats obtenus quand on é helonne LA Fa ulté Des S ien es El Jadida
8
28 dé embre 2013
Université Chouaib Doukkali
M. Mouçouf
en utilisant les opérations de lignes sont tout à fait analogues à elles obtenus lorsqu'on é helonne C A en utilisant les opérations de olnnes. De e fait, dans tout e qui suit on n'utilisera que la matri e LA.
Cal uler le rang de la famille A. Il su t d'é helonner la matri e LA. Il est à noter qu'on peut utiliser dans e as des opérations de lignes et de olonnes mais sans les mélanger dans une même étape.
Déterminer la dimension du sous-espa e ve toriel de E engendré par A. Il su t d'utiliser le fait que dimsev`Ae rgA.
Voir si la famille A est libre. On utilise la propriété : A est libre si et seulement si rgA ardA.
Voir si A est une famille génératri e de E . On utilise la propriété : A engendre E si et seulement si rgA dimE .
Voir si A est une base de E . On utilise la propriété : A est une base de E si et seulement si rgA ardA dimE .
Trouver une base é helonnée du sous-espa e ve toriel de E engendré par A. - On é helonne LA et e i en utilisant seulement des opérations sur les lignes. Les lignes non nulles de la matri e ainsi trouver onstituent une base du sev`Ae. - On peut aussi é helonner C A et e i en utilisant seulement des opérations sur les olonnes. Les olonnes non nulles de la matri e ainsi trouver onstituent une base du sev`Ae.
Compléter une famille libre de Rn par des ve teurs de la base anonique pour obtenir une base de Rn . Fa ulté Des S ien es El Jadida
9
28 dé embre 2013
Université Chouaib Doukkali
M. Mouçouf
On transforme la matri e LA, où A est une famille libre, en une matri e à lignes é helonnées, par des opérations sur les lignes. Pour ompléter A en une base de l'espa e Rn , Il nous su t de régulariser les mar hes de ette es alier en inter alant ou en adjoignant des ve teurs de la base anonique entre les ve teurs de ette famille é helonnée de telle sorte que le rang de la famille obtenue est égal à n. Les ve teurs de la base anonique qu'on a ajouté onstituent alors une famille libre qui répondent à la question.
Astu e. 1. On transforme la matri e L A , où A est une famille libre, en une matri e à lignes é helonnées, par des opérations sur les lignes. Puis on onsidère l'ensemble I des indi es des olonnes non pivots de e dernier matri es. Alors la famille ei ve teur de la base anonque i > I
~
omplète A en une base de Rn (les permutations des olonnes doivent-être prises en ompte). C'est-à-dire, les ve teurs de la base anonique dont les indi es i orrespondent aux positions des olonnes non pivots omplètent A en une base de Rn (les permutations des olonnes doivent-être prises en ompte). 2. On peut aussi é helonner C A pour avoir une matri e à olonnes é helonnées, la seule diéren e 'est que dans e as on onsidère les lignes non pivots au lieu des olonnes non pivots.
Compléter une famille libre de E par des éléments d'une base donnée pour obtenir une base de l'espa e ve toriel E. Il su t d'utiliser le résultat pré édent et le fait que si B u1 , . . . , un est une base quel onque de E , alors u1B 1, 0, . . . , 0, . . . , unB 0, . . . , 0, 1.
Trouver un supplémentaire d'un sev. Si on a une base B de F , alors il su t de ompleter B par une famille de ve teurs B pour obtenir une base de E . Dans e as, on a sev`B e est un supplémentaire de F dans E .
Remarque. B est une base de sev B . `
Fa ulté Des S ien es El Jadida
e
10
28 dé embre 2013
Université Chouaib Doukkali
M. Mouçouf
Extraire une base d'une famille génératri e. Supposons qu'on a transformé la matri e LA en une matri e à lignes é helonnées LA par des opérations sur les lignes. Considérons les ve teurs non nuls de A ( 'est-à-dire les lignes non nulles de LA ), on sait que es ve teurs onstituent une base du sev`Ae qui n'est pas for ément ontenue dans A. Pour avoir une base du sev`Ae extraite de A ( 'est-à-dire ontenue dans A) il su t de her her les lignes d'origine dans la matri e initiale LA de haque ligne non nulle de LA . La famille obtenue onstitue une base du sev`Ae extraite de A. Pour Trouver l'origine de haque ligne de LA , on applique les deux régles suivantes : k L i t L j L i A A : l'origine de la ligne Lm de A est la ligne Lm de A. Ce résultat est dû au fait que ette opération ne hange pas les positions des lignes. Li Lj S A : l'origine de la ligne Li de A est la ligne Lj de A, elui de la ligne Lj de A est la ligne Li de A et elui de la ligne Lm de A , m >~ i, j , est la ligne Lm de A.
Remarques 11. 1. On peut aussi her her l'origine des lignes nulles de L A et les enlever de L A . On trouve évidemment le même résultat. 2. On peut onsidérer seulement les permutations utilisées dans l'é helonnement de L A . Car Les autres types d'opérations ne hangent pas les positons des lignes d'origines.
Une omparison entre les deux méthodes i-dessus et la méthode utilisé dans la partie I pour la omplétion et l'extra tion Dans la partie I, Les oordonnées des ve teurs de A sont é rits en olonnes,
'est-dire on a onsidéré la matri e C A, et les opérations sont sur les lignes, alors que dans les deux méthode i-dessus les oordonnées des ve teurs de A sont é rits en lignes, 'est-à-dire on a onsidéré la matri e LA, et on a utilisé aussi des opérations sur les lignes. Remarquer alors qu'on a les résultats suivants Dans la première méthode (Partie I, page 18), on utilise les olonnes pivots pour trouver une base extraite de A et on uilise les lines nulles pour trouver des ve teurs Fa ulté Des S ien es El Jadida
11
28 dé embre 2013
Université Chouaib Doukkali
M. Mouçouf
qui omplètent A en une base de l'espa e. Par ontre, dans les deux méthodes idessus on a utilisé les olonnes non pivots pour trouver des ve teurs qui omplètent A en une base de l'espa e et on a uilisé les lines nulles pour trouver une base extraite de A.
Notez bien que dans la première version de la partie I, j'ai utiliser la méthode de ette partie pour ompléter une famille libre, e qui est faut bien sûr. Voir la version du 22 dé embre 2013 (la page 18 et la question 6 de l'exer i e 8) que j'ai orrigé. (Voir aussi un ommentaire que j'ai fait sur mon blog Trouver des relations de dépendan e linéaire entre des ve teurs linéairement dépendants. Pour trouver une seule relations de dépendan e linéaire dans une famille liée A, on é helonne LA en utilisant seulement des opérations de lignes. On s'arrête lorsque l'on obtient une ligne nulle, par e que de ette ligne on peut déduire une relation de dépendan e entre les ve teurs de A. Don pour trouver une famille maximale de relations de dépendan es qui sont linéairement indépendant entre les ve teurs de A on doit é helonné A, le nombre de es relations est égal au nombre de lignes nulles trouvées.
É rire un ve teur omme ombinaison linéaire d'autres ve teurs. Pour le faire, il su t de trouver une relation de dépendan e entre es ve teurs.
Condition né essaire et su sante pour qu'un ve teur soit un élément d'un espa e ve toriel. Équations artésiennes d'un espa e ve toriel. Pour déterminer des équations artésiennes du F suivante v>F
rg
A 8 v
sev`Ae, on utilise la propriété
rg A voir question 24, partie I
Don si A est libre, on utilise v>F
rg
Fa ulté Des S ien es El Jadida
A 8 v
12
ardA 28 dé embre 2013
Université Chouaib Doukkali
M. Mouçouf
Trouver les oordonnées d'un ve teur dans une base. Il su t d'utiliser les équivalen es suivantes : Soit B u1 , . . . , up une base d'un espa e ve toriel F et v un ve teur quel onque. Alors v > F rg u1 , . . . , up , v p Par suite, on a le résultat suivant v > F dans u1 , . . . , up , v il y a une seule relation de dépendan e De ette relation de dépendan e on en déduit les oordonnées du ve teur v dans la base B et e i en exprimant le ve teur v omme ombinaison liénaire des ve teurs de B .
Déterminer une base de la somme de sous espa es ve toriels Soient F et G deux sous esap es ve toriels de E , A une famille génératri e de F et C une base de G. Pour déterminer une base de la somme de F et G il su t d'é helonner A 8 C (ou A, C ) et d'enlever les ve teurs nuls de la famille é helonnée obtenue.
Déterminer une base de l'interse tion de sous espa es ve toriels Nous avons vu qu'à partir d'une famille génératri e de F et d'une famille génératri e de G on peut trouver une base de leur somme, et e i en é helonnant la réunion ou la juxtaposition de es deux familles ( 'est-à-dire, (A, C ) par des opérations sur les lignes.
Pour trouver une base de l'interse tion il est né essaire de onsidérer une base A de F et une base C de G et non pas des familles génératri es quel onques de F et de G, et il est né essaire aussi de onsidérer la juxtaposition, A, C , de es deux bases et non pas la réunion.
Considérons maintenant le as général où E est un espa e ve toriel de dimension nie, F et G sont deux sous espa e ve toriels de E de bases A et C . Soit LD une matri e qui est obtenue par é helonnement de LA, C par des opérations sur les lignes, et onsidérons une ligne nulle de la matri e LD. Cette ligne donne alors est une relation de dépendan e dans A, C qui est né essairement un méFa ulté Des S ien es El Jadida
13
28 dé embre 2013
Université Chouaib Doukkali
M. Mouçouf
lange entre des ve teurs de A et des ve teurs de C puisque es deux dernières familles sont libres. Dans ette relation, si on fait passer les ve teurs de A au se ond membre de l'égalité, on obtient un ve teur qui est à la fois dans F et dans G. En on lusion, de haque ligne nulle de LD on peut en tirer un ve teur de F 9 G.
En regroupant les ve teurs trouvés, on obtient une base de F G. 9
Conséquen e : 1) Les lingnes non nulles de LD onstituent une base de la somme F G. 2) Le nombre de lignes nulles de LD est égal à dimF 9 G. 3) Le nombre de lignes de LD est égal à ardB ardC et don égal à dimF dimG. Ces trois résultats montre bien qu'on la formule suivante (Formule de Grassmann) : dimF G dimF dimG dimF 9 G
Remarque 12. Pour bien omprendre la diéren e entre l'utilisation de deux bases au lieu de deux famille génératri es quel onques, la diéren e entre l'utilisation de la juxtaposition au lieu de laréunion, on onsidère l'exemple simple suivant : Soit E un espa e ve toriel, B u, v, w une base de E , F sev u, v et G sev u . Il est lair que F G G. Si on é helonne la réunion u, v u u, v par des opérations de lignes, on obtient une base é helonnée de F sans avoir au une information sur F G, tandis que si on é helonne la juxtaposition u, v , u u, v, u par des opérations de lignes, on obtient une ligne nulle, e qui fait la diéren e, ar à partir de ette ligne on peut déterminer l'interse tion. Considérons maintenant la famille u, 2u qui engendre G sans être une base de
e dernier (elle évidemment liée). Si on é helonne u, v, u, 2u par des opérations de lignes, on obtient deux lignes nulles, alors qu'on réalité on a besoin d'une seule pour trouver F G.
`
e
`
9
9
8
e
9
Fa ulté Des S ien es El Jadida
14
28 dé embre 2013
Université Chouaib Doukkali 2.4
M. Mouçouf
Exer i es
Questions de Cours 1. Le sous-espa e ve toriel engendré par un système de ve teurs de rang r est de dimension r ? 2. A, C est libre sev`A, C e sev`Ae ` sev`C e sev`Ae 9 sev`C e 0. 3. Soit A une famille é helonnée de ve teurs d'un espa e ve toriel qui ne ontient pas le ve teur nul. Montrer que A est libre. 4. Soient A et C deux familles de ve teurs d'un espa e ve toriel telles que LC est obtenue à partir de LA par un nombre ni d'opérations élémentaires de lignes. Montrer que sev`Ae sev`C e. 5. Soit A une famille de ve teurs d'un espa e ve toriel et posons F sev`Ae. Supposons qu'on a é helonné LA par des opérations élémentaires de lignes pour obtenir la famille C . Montrer que si on enlève les ve teur nul( 'est-à-dire, les lignes nulles de LC ) de C est une base de F .
Exer i e 1. On onsidère les sous-ensembles suivants par des onditions sur les
omposantes d'un ve teur u x1 , x2 , x3 , x4 de R4 . Indiquer eux qui sont des sous-espa es ve toriels et pré iser alors leur dimension.
E1 E4 E7
uS x2
uS x2 E 0, E3
0, E2
uS x3 x4
uS x22 x43
0, E8
x2 x3
uS x2
uS x21 x22 x43 x64
uS x32 x43
E9
uS x1 > Q, E6
0, E5
uS x1
x21 0
0.
Exer i e 2. Montrer que l'ensemble F x, y, z > C3 x 2y z R-espa e ve toriel. Est- e que F, , . est un C espa e ve toriel ?
~
0
est un
Exer i e 3. Dans R3 on onsidère la famille A de ve teurs v1 1, 2, 1 , v2 2, 4, 2 , v3 3, 1, 2 et v4 1, 1, 1 . 1. Montrer que A est une famille génératri e de R3 qui n'est pas libre. 2. En déduire que la famille D qui est onstituée des ve teurs u1 1, 2, 3, 1 , u2 2, 4, 1, 1 et u3 1, 2, 2, 1 , est une famille libre de R4 .
Fa ulté Des S ien es El Jadida
15
28 dé embre 2013
Université Chouaib Doukkali
M. Mouçouf
3. En déduire aussi : -Une base de R3 extraite de A. -Une famille de ve teurs qui omplète D en une base de R4 .
Exer i e 4. 1. Déterminer tous les ve teurs x, y, z de R3 tels que le système suivant soit libre :
1, 0, 0, 0, 1, 1, x, y, z
2. En déduire une (ou des) équations artésiennes du sev 1, 0, 0 , 0, 1, 1 . `
e
Exer i e 5. Dans R3 , on onsidère les ve teurs u 1, 1, 1 et v 0, 1, a où a > R. Donner une ondition né essaire et su sante sur a pour que w 1, 1, 2 appartienne au sev u, v . omparer alors sev u, v et sev u, w .
`
e
`
e
`
e
Exer i e 6. Montrer que les ve teurs suivants de R3 sont linéairement dépendants et pré iser leurs relations de dépendan e : 1, 2, 3 a) u 1, 2, 1 , v 1, 0, 1 , w b) u 1, 2, 5 , v 2, 3, 4 , w 7, 0, 7
Exer i e 7. On onsidère les ve teurs de R3 , u Montrer que sev u, v 2α, α β, 2β α, β > R `
e
~
1, 1, 1
et v
1, 0, 1.
Exer i e 8. Soient E un K espa e ve toriel de demension 5, B u1 , u2 , u3 , u4 , u5 une base de E et A la famille de ve teurs v1 2, 4, 2, 1, 1 B , v2 1, 2, 1, 2, 0 B et v3 3, 1, 2, 1, 0 B . Montrer que A est une famille libre de E .
Exer i e 9. Extraire une base du sous-espa e ve toriel de R5 engendré par la famille A 1, 1, 2, 3, 1 , 2, 1, 0, 2, 1 , 4, 3, 4, 8, 1 , 1, 2, 0, 1, 3 , et ompléter la famille trouver en une base de R5 .
Exer i e 10. Soit α > R. On onsidère les ve teurs de R4 suivants : u
α, 1 α, α 1, α 7, v
1, 0, 1, 2, w
0, 1, 3, 1
Donner une ondition né essaire et su sante pour que u > sev v, w A. Fa ulté Des S ien es El Jadida
16
28 dé embre 2013
Université Chouaib Doukkali
M. Mouçouf
Exer i e 11. On onsidère la famille S u1 1, 2, 3 , u2 1, m, 4 , u3 1, 2, m 3 . Pour quelles valeurs de m, tout ve eur de la forme a, a, b appartient-il au sev A ?
`
Exer i e 12. 1) Montrer que la famille A v1 1, 1, 1 , v2 2, 1, 1 , v3 une base de R3 . 2) Quelles sont les oordonnées de a, b, c dans la ette base ?
1, 3, 1
e
est
Exer i e 13. Montrer que les ve teurs suivant forment une base de R3 et exprimer le ve teur x 2, 2, 3 dans ette base. a) v1 1, 0, 1 , v2 1, 1, 0 , v3 1, 1, 1 ; b) v1 1, 1, 1 , v2 1, 2, 3 , v3 1, 3, 6 ;
) v1 1, 1, 2 , v2 3, 1, 1 , v3 3, 5, 4 ; d) v1 0, 1, 3 , v2 1, 1, 0 , v3 4, 5, 6 ;
Exer i e 14. On onsidère la famille de ve teurs de R4 suivante A w1 , w2 , w3 , w4 , w5 où w1 1, 1, 1, 3 , w2 1, 2, 1, 2 , w3 3, 4, 1, 8 , w4 3, 5, 1, 7 et w5 1, 1, 2, 2 . 1. Déterminer une base du sev A . 2. Déterminer une base du sev A extraite de A. 3. Trouver une relation de dépendan e entre les ve teurs de A.
`
e
`
e
Exer i e 15. On onsidère la famille A de ve teurs de R4 de l'exer i e 14 et on
onsidère aussi la famille C de ve teurs de R4 suivante C u1 , u2 , u3 où u1 2, 1, 4, 7 , u2 2, 2, 0, 2 , u3 3, 2, 2, 3 , u4 3, 3, 2, 2 . Posons F sev A et G sev C . 1. Trouver une base de F G et une base de F G. 2. En déduire F G R4 . 3. que A-t-on F G R4 ?
`
`
e
e
9
`
Exer i e 16. A partir du système libre e1 , ..., ep d'un sous-espa e ve toriel de Rn , on onstruit les ve teurs :
εi
Fa ulté Des S ien es El Jadida
e1 ... ep
17
28 dé embre 2013
Université Chouaib Doukkali
M. Mouçouf
pour i 1, 2, ..., p. Montrer que ε1, ..., εp est aussi une famille libre.
Exer i e 17. Soit u1, u2 , u3 , u4 une famille libre d'une espa e ve toriel E , et posons F sev u1 , u2 , u3 , u4 . 1. Dire pourquoi sev u1 , u3 est un supplémentaire de sev u2 , u4 dans F . 2. Trouver un supplémentaire K x sev u1 , u3 de sev u2 , u4 dans F .
`
e
`
e
`
`
Fa ulté Des S ien es El Jadida
e
18
`
e
e
28 dé embre 2013
Université Chouaib Doukkali 2.5
M. Mouçouf
Solutions
1. Oui évidemment, ar si rgA r alors dim sev`Ae rgA r. 2. Supposons que A u1 , . . . , up et C v1 , . . . , vq sont deux familles libre d'un espa e ve toriel E et soit u > sev`Ae 9 sev`C e. Alors u α1 u1 αp up β1 v1 βq vq , don α1 u1 αp up β1 v1 βq vq 0, alors α1 αp β1 βq 0,
'est-à-dire, u 0. Par suite, sev`Ae 9 sev`C e 0. Ré iproquement, supposons que sev`Ae 9 sev`C e 0 et que α1 u1 αp up β1 v1 βq vq 0. Alors α1 u1 αp up β1 v1 βq vq > sev`Ae 9 sev`C e. Alors α1 u1 αp up 0 et β1 v1 βq vq 0, don α1 αp β1 βq 0. Par suite, A, C est une famille libre. Dans e as on évidemment sev`Ae ` sev`C e sev`Ae sev`C e sev`A, C e sev`A 8 C e. 3. Soit A une famille é helonnée ne ontenant pas le ve teur nul. Alors le système homogène AS0 est é helonné et tel que son rang égal le nombre des in onnues. Alors e système admet une seule solution, et par suite A est libre. 4. Les ve teurs de C sont obtenus par ombinaisons linéaires des ve teurs de A. Don C b sev`Ae, et par suite, sev`C e b sev`Ae. Pour l'autre in lusion, on utilise le fait que les opérations élémentaires sont réversibles, 'est-à-dire, on peut obtenir LA à partir de LC par un nombre ni d'opérations élémentaires de lignes. Ce qui donne sev`Ae b sev`C e. D'où l'égalité.
Remarque 13. - L'inverse de l'opération Li Lj est l'opération elle même. - L'inverse de l'opération kLi Li est l'opération k1 Li Li . - L'inverse de l'opération Li Lj Li est l'opération Li Lj Li .
5. Se déduit fa ilement de la question 3 et 4
Exer i e 1. E1 est un sous espa e ve toriel de R4 puisqu'il est l'ensemble des solutions d'un système d'équations linéaire homogène. On a x2 est une in onnue prin ipale et x1 , x3 et x4 sont les in onnues se ondaires, don dim E1 3. E2 n'est pas un sous espa e ve toriel de R4 ar 0, 1, 0, 0 > E2 , mais 0, 0, 1, 0
Fa ulté Des S ien es El Jadida
19
28 dé embre 2013
Université Chouaib Doukkali
M. Mouçouf
0, 0, 1, 0 >~ E2 .
méthode : E3 est un sous espa e ve toriel de R4 puisqu'il est l'ensemble des solutions du système d'équations linéaire homogène x1 x2 x3 0. Le nombre d'in onnues se ondaires de e système est 3, don E3 est de dimension 3. 2ème méthode : E3 x ar 0, 0, 0, 0 > E3 . Soient α > R, u1 x1 , x2 , x3 , x4 , u2 x1 , x2 , x3 , x4 > E3 . On a αu1 u2 αx1 x1 , αx2 x2 , αx3 x3 , αx4 x4 . Comme αx1 x1 α x2 x3 x2 x3 αx2 x2 αx3 x3 , alors αu1 u2 > E3 . Ce qui fait que E3 est un sev de R4 . E4 n'est pas un sous espa e ve toriel de R4 , ar 1, 1, 2, 0 , 3, 2, 0, 1 > E4 mais 1, 1, 2, 0 3, 2, 0, 1 4, 3, 2, 1 > E4 . E5 n'est pas un sous espa e ve toriel de R4 , ar 1, 1, 2, 0 > E5 mais 2 1, 1, 2, 0 2, 2, 2 2, 0 > E5 . E6 n'est pas un sous espa e ve toriel de R4 , ar 1, 1, 2, 0 > E6 mais 2 1, 1, 2, 0 2, 2, 4, 0 > E6 . x1 , x2 , x3 , x4 > E7 x22 x43 0 x2 x3 0. Don E7 est l'ensemble des solutions du système homogène x2 0 et x3 0. Ce qui fait que E7 est un sev de R4 . x1 , x2 , x3 , x4 > E8 x21 x22 x43 x64 0 x1 x2 x3 x4 0. Don E8 0, 0, 0, 0 qui est évidemment un sev de R4 . On a 0, 1, 1, 0 > E9 , mais 0, 1, 1, 0 0, 1, 1, 0 > E9 . Don E9 n'est pas un sev de R4 . 1ère
g
~
º
º
º
º
~
~
~
Remarque. E5 est un Q espa e ve toriel. Exer i e 2. Pour ela on va montrer que F est un R-sev de C3 . On a F x ar 0, 0, 0 > F puisue 0 20 0 0. Soient α > R, u1 x, y, z , u2 x , y , z > F . On a αu1 u2 αx x , αy y , αz z . Or αx x 2 αy y αz z αx x 2 αy y αz z αx x 2αy 2y αz z αx 2αy αz x 2y z α x 2y z x 2y z 0 0 0. Don αu1 u2 > F . Par suite F est un R-sev de C3 . D'où F est un R-espa e ve toriel. g
Fa ulté Des S ien es El Jadida
20
28 dé embre 2013
Université Chouaib Doukkali
M. Mouçouf
On a 2 2i, 1 i, 4 > F mais i 2 2i, 1 i, 4 2i 2, i 1, 4i > F , puisque 2i 2 i 1 4i 3 3i x 0. Don F n'est pas stable par la loi externe. Par suite, F, , . n'est pas un C-espa e ve toriel.
~
Remarque. les sous-ensembles autres que eux de Rn n'entre pas dans le programme. Exer i e 3. 1. On a :
LA
1
2
1
0
0
0
2
1 1
1
0
2
3 1
5
1
2 4
5
0 0
1 2
1
L2 L3 L L4 4 L1 L2 2 L1 L3 3 L1
L2
5 L3
L3
1 0
1
2
0
0
0
5
5
1
0
0
0
2
5
5
0
0
0
0
1
5 0
1
L L L L 2
4
3
2
.
3 dim R3 , Alors A est une famille génératri e de R3 . On a Don rg A rg A x ard A , alors A n'est pas une famille libre. 2. On remarque que C D L A , alors rg D rg A 3. Don rg D
ard D , d'où D est une famille libre de R4 . 3. On onsidère la matri e é helonée i-dessus, et on her he l'origine de la ligne nulle qui est évidemment la ligne 2, (la permutation ir ulaire L2 L4 L3 L2 montre bien que la ligne 4 de la dernière matri e provient de la ligne 2 de L A ). Si on enlève le ve teur v2 de la famille A, obtient que v1 , v3 , v4 est une base de R4 extraite de A. Les ve teurs de D sont en olonnes et les opérations utilisées sont des opérations de lignes. Don On peut uitliser la méthode de la pratie I (voir page 18). Ce qui fait qu'on peut ompléter D par e2 0, 1, 0, 0 pour obtenir une base de R4 . En
on lusion, le sev sev 0, 1, 0, 0 est un supplémentaire du sev D dans R4 .
`
e
`
e
Remarque. Le rang de D est égal à 3, don on doit ompléter D par un seul ve teur. Or la ligne 2 de la deuxième matri e est nulle, et don on peut ompléter Fa ulté Des S ien es El Jadida
21
28 dé embre 2013
Université Chouaib Doukkali D
par e2
0, 1, 0, 0
M. Mouçouf
pour obtenir une base de R4 .
Exer i e 4. 1. La famille A 1, 0, 0 , 0, 1, 1 , x, y, z est libre si et seulement si rg 1, 0, 0 , 0, 1, 1 , x, y, z B 2. On al ul alors le rang de la matri e L A
1 0 0
0 1 1
L3 x L1
L3
1 0 0
0 1 1
L3 y L2
0 x y z y z Don 1, 0, 0, 0, 1, 1, x, y, z est liée
L3
1 0
0
0 1
1
.
0 0 zy seulement si z y 0,
si et
'est à dire
y.
z
2. Il est lair que la famille 1, 0, 0 , 0, 1, 1 est libre. don x, y, z > sev 1, 0, 0 , 0, 1, 1 si et seulement si 1, 0, 0 , 0, 1, 1 , x, y, z est liée, 'est-à-dire, z y 0. Don z y 0 est une équation artésienne du sev 1, 0, 0 , 0, 1, 1 .
`
`
e
Exer i e 5. Le système u, v est é helonné pour tout a > R. Don w > sev u, v si et seulement si rg u, v, w 2. On a
1
0
1
e
`
1 1
1 a
L1
L3
L3
1 2 w > sev`u, v e
1
1 1
0
1 a
0
2 1
L3 2 L2
L3
1
1
1
0
1
a
0
0 1 2a
Don si et seulement si a . On a u, w > sev u, v don sev u, w b sev u, v . On a aussi rg u, w 2, don dim sev u, w dim sev u, v , alors sev u, w sev u, v . `
1 2
e
`
`
e
On a
1 2
1
1
3
1 0 1 2
e
`
Exer i e 6.
.
L3 L2
L1 L1
e
e
L3 L2
`
`
1
0
0
2
2 4
1
2
4
e
`
L3
e
L3 2 L2
rg u, 0, 2, 1
1
0
0
2
1
2
2
0
0
. Don
ette famille est liée. La ligne d'origine de la ligne nulle est w. L'image de w w u w u 2 v u 0, don w 2v u 0.
Exer i e 7. 1ère méthode On a w 2α, α β, 2β α 2, 1, 0 β 0, 1, 2 . Don 2, 1, 0 et 0, 1, 2 est une famille génératri e du sous espa e ve toriel 2α, α β, 2β α, β > R . de
Fa ulté Des S ien es El Jadida
22
~
28 dé embre 2013
e
Université Chouaib Doukkali
M. Mouçouf
plus α 2, 1, 0 β 0, 1, 2 0, 0, 0 entraîne que 2α, α β, 2β 0, 0, 0 , par suite α β 0. Don 2, 1, 0 , 0, 1, 2 est une famille libre. En on lusion, 2, 1, 0 , 0, 1, 2 est une base du sous espa e ve toriel 2α, α β, 2β α, β > R . On a rg 2, 1, 0 , 0, 1, 2 , u 2 don u > sev 2, 1, 0 , 0, 1, 2 . De la même façon, on a rg 2, 1, 0 , 0, 1, 2 , v 2 don v > sev 2, 1, 0 , 0, 1, 2 (fa ile à véri er), don sev u, v b sev 2, 1, 0 , 0, 1, 2 . On a aussi rg u, v 2 (fa ile à véri er). Don sev u, v sev 2, 1, 0 , 0, 1, 2 . 2ème méthode On a sev u, v λu µv λ, µ > R λ µ, λ, λ µ λ, µ > R . posons α λ2µ et β λ2µ , alors α β λ. Don sev u, v 2α, α β, 2β α, β > R .
`
e
`
e
`
e
`
e
~
`
e
LA
1
0
0
2 4
1 2
3 1
2
2 1
1 2
0
2 1
0
1
2
0
0
5
5
1
3
0
1
0
5
L3
L2
En on lusion, on a rg A
3
1 2
L2
L1
1
0
0
2 4
~
3 1 2
1 2
1
1
0
2
0
5
0
1
5
5
0
0
ard A . Don
2 1
0
2 1
3 A
~
~
e
Exer i e 8. On a :
e
`
`
e
`
L2 2 L1
L2
3 L L L 3
1
3
.
est libre.
Exer i e 9. 1) On a 1 1 2 3
2 1 0 2 4 3 4 8
1
1 2 0 1
1 0 0
1 1
2 4
0
L3 L4 L L2 2 2 L1 L3 4 L1 L4 L1
3
1
4
3
0
0
0
0
0
8 11
L3
L4
1
1
0
0
1
1
0
3
1
1
0 0
2
1 0
3
4
4
2
1
4
3
4
3
4
2
2
3
1
4
10
8 11
L3 L4
4
L3 L2 L4 3 L2
3
.
0 0 0 0 0 Maintenant on enlève de la famille A la ligne d'origine de la ligne nulle, 'est à dire,
10
1 3
1
on enlève de la famille A le ve teur 4, 3, 4, 8, 1 , don C u 1, 1, 2, 3, 1 , v 2, 1, 0, 2, 1 , w 1, 2, 0, 1, 3 est une base du sev A extraite de A. Les olonnes non pivots de la matri e é helonnée sont C4 et C5 , don on peut
Fa ulté Des S ien es El Jadida
`
23
e
28 dé embre 2013
Université Chouaib Doukkali
M. Mouçouf
ompléter C en une base de R5 par les ve teurs e4 et e5 de la base anonique de R5 .
Exer i e 10. On a v et w sont linéairement indépendents, don u > sev v, w A si et seulement si rg u, v, w 2. On a
1
0
2
1
α 1α α1 α7
0
1 3
1
1 0
L3
On a 2 m 1
L3 m 2L2
1
α 2 4α 8
1
2
3
1
0 1 α 2α 1 3α 7
.
et seulement si α 2 0 et 4α 8 0 si et seulement si
L2 L3
m3 b
4
0
1
L2 2 L1 L3 3 L1
a
2
0
3
a
1
1
Exer i e 11. 1
2
0 0 u > sev v, w A si
1
L3
1
0 1
Don α 2.
L3 α 1 L2
L3 α L1
1
1
1
a
0 m2
0
0
m b 3a
1
1 1
1
a
L3 0 1
m
b 3a
a
L2
L3
1
1
0
1
m b 3a
0 m2
0
mm 2 a3m 7 bm 2.
0 0
Par suite le système est toujours ompatible si et seulement si m m 2 x 0 ou m m 2 a 3m 7 b m 2 0. 1er as : m 0 On a a 3m 7 b m 2 7a 2b, et ette valeur n'est pas toujours nulle. 2ème as : m 2 On a a 3m 7 b m 2 a qui n'est pas toujours nulle. En on lusion, le système est toujours ompatible si et seulement si m m 2 x 0. Par suite, tout ve teur de la forme a, a, b appartient au sev A si et seulement si m > 0, 2 .
~
`
e
Exer i e 12. 1) Il su t de al uler le rang de A. On a Fa ulté Des S ien es El Jadida
24
a
1
28 dé embre 2013
a
Université Chouaib Doukkali 1
1
2
1
1
3
1
0
L2 2 L1 L3 L1
1
L2 L3
1 0
1
M. Mouçouf
0
1
1
0
3
0
2
0
1
3L3 2L2
3 0
Il est lair que rg A 3 et don
ard A A est une base de R3 . 2) On onsidère le tableu omplet du système A a, b, c
1 1
1 a
2
1
b
3
1
L3 L2 L3
2
1 1
0
3
0
0
0
12 0.
S
. Ce qui veut dire que
: 1 2
L3 L1 L3
b
3
1
a
2
ba
0 3
0 0 4 b c. 4a b 7c 2a b c b c Ce système est de Cramer et sa solution est , , . 12 6 4 4a b 7c 2a b c b c Don les oordonnées de a, b, c dans la base A sont , , . 12 6 4 1
1
c
a
1
1
3
dim R3
1
L3 0
0
2 rgA
1
0
0
bc
4
Remarque. On a montré que le système A a, b, c est de Cramer pour tout a, b, c > R3 , e qui répond par une deuxième méthode à la première question.
S
Exer i e 13. On a rg v1 , v2 , v3
On a x x1 v1 x2 v2 x3 v3 , don
3 dim R3 , don v1 , v2 , v3 x1 x2 x3 2
¢ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¤
suite, les oordonnées du ve teur
x2 x3
don x1 2, x2
2
x1 x3 3 2, 2, 3 dans la
est une base de R3 .
1. Par
1, x3
base v1 , v2 , v3 sont 2, 1, 1 .
Exer i e 14. Il su t d'é helonner L A par des opérations de lignes. On a
1
1
1
2
3 3
1
1 1
1
1
0 1
2
3 1
0 0
0
0
0 0
0
0
0 0
3
7 1.Posons alors v1
L2 L3 L L4 4 3 L1 L5 L1 L5 L2 L1 L3 3 L1
1 2
7
2
8
2
1
5
1
3
4
1
L L 5
3
1
1
0
1
0
1
0 0
2
1 1
0 0
0 0 1, 1, 1, 3, v2
Fa ulté Des S ien es El Jadida
1
2
1
0 1 0 0
3
2
1
3
7
0
0
3
2
2
1 1
4
2
1
5
L2
L3
4
2
4
5
2
5
.
0 0 0, 1, 2, 1, v3
25
L3
2 L L LL 2 L L
0, 0, 3, 7. Alors v1 , v2 , v3
28 dé embre 2013
Université Chouaib Doukkali
M. Mouçouf
est une base du sev S . 2. Si on suit le hemin inverse du hemin que nous avons emprunté pour é helonner la matri e L A , on trouve que l'origine de v1 est w1 , elui de v2 est w2 et
elui de v3 est w5 . Don w1 , w2 , w5 est une base du sev S , extraite de S . 3. La ligne nulle de la troisième matri e i-dessus à pour origine la troisième ligne de la matri e initiale L A , 'est-à-dire, w3 de A, or l'image de e ve teur dans le
hemin que nous avons emprunté est : w3 w3 3w1 w3 3w1 w2 w1 w3 w2 2w1 , don w3 w2 2w1 0 est une relation de dépendan e dans A. `
e
`
e
Remarques. 1. La réponse à la question 2) est aussi une autre manière de répondre à la question 1.
2. L'origine des deux dernières lignes nulles sont les linges 3 est 4. Don si on enlève les ve teurs v3 et v4 de A, on trouve le même résultat que dans la question (2.). 3. Pour her her toutes les relations de dépendan es dans A, on droit onsidérer toutes les lignes nulles dans la matri e é helonnée obtenue, il y en a deux. La deuxième relation est w4 3w1 2 w2 w1 w4 w1 2w2 0.
Exer i e 15. Cher hons une base de G. On a : 2 1
LC
2 1
0
2
3 2
2
3
4
0 1
0 0
7
2 2 3 3
4
7
2
1
4
10
2
2
2L4 3 L1 L4 L2 L1 L2 2L3 3 L1 L3
L L L 3
4
4
2 1
4
0 1
8
16
4
0 1
0 0
7
0 1 0 3
4
2 1
2 4
7 1
10
5
15 25
L3
L2
L3
3 L L L 4
2
4
.
0 0 0 4 10 0 0 0 Don B f1 2, 1, 4, 7, f2 0, 1, 2, 1, f3
est une base de
0, 0, 4, 10
G.
D'après l'exer i e 14, on a B v1 , v2 , v3 où v1 0, 0, 3, 7 est une base de F .
1, 1, 1, 3, v2
0, 1, 2, 1, v3
Fa ulté Des S ien es El Jadida
26
28 dé embre 2013
Université Chouaib Doukkali
M. Mouçouf
On é helonne maintenant la juxtaposition des deux bases, 'est-dire B , B , et e i en utilisant des opérations sur les lignes :
1 1
0 1
1 2
1
0 0
3
7
2 1
4
7
0 1
2
0 0
3
1
4 10
L4 2 L1
L4
L L 6
4
3L 4 L L 4
Ǒ
3
4
1
3
0
1
0
0
3
7
1
2
1
0
2
1
2
1
1
0
0
4 10
1 1
1
3
1
0
1
0 1
2
1
0 0
3
7
0 0
0
2
0 0
0
0
L4 L5
L2 L2
L4 L5
1 1 0 1
1 2
3
1
0 0
3
7
0 0
0
0
0 0
0
0
0 0
4 10
.
0 0 0 0 1, 1, 1, 3, 0, 1, 2, 1, 0, 0, 3, 70, 0, 0, 2
Don les ve teurs de F G. On a deux relations de dépendan es : f1 2v1 v2 0 et f2 v2 0 et don f2 v2 . Alors f1 , f2 est une base de F 2. On a dim F G 4 dim R4 . Don F G R4 ( ar F 3. F G x O , on n'a pas F G R4 .
onstituent une base
9
9
don f1 2v1 v2 et G. G est un sev de R4 ).
`
Exer i e 16. Posons F sev e1 , . . . , ep . La famille B e1 , . . . , ep est libre, don
'est une base de F . On a évidemment, εi e1 ... ei 1, . . . , 1, 0, . . . , 0 B . Don les oordonnées des ve teurs εi dans la base B onstituent une famille é helonnée dont le rang égal au
ardinal. Il en est de même pour la famille ε1 , ..., εp qui est alors une famille libre. `
e
Exer i e 17. 1. On a u1 , u2 , u3 , u4 une famille libre de E , don 'est une base de F . Alors la juxtaposition u1 , u3 , u2 , u4 est une base de F . Don sev u1 , u3 sev u2 , u4 F . CQFD. 2. On onsidère, par exemple, la famille u1 u2 , u2 , u3 , u4 et posons B u1 , u2 , u3 , u4 .
`
Fa ulté Des S ien es El Jadida
27
e`
`
e
28 dé embre 2013
Université Chouaib Doukkali
M. Mouçouf
Alors on a u1 u2 1, 1, 0, 0 B , u2 0, 1, 0, 0 B , u3 0, 0, 1, 0 B , u4 0, 0, 0, 1 B . Il est lair alors que rg u1 u2 , u2 , u3 , u4 card u1 u2 , u2 , u3 , u4 4 dim F . Don u1 u2 , u2 , u3 , u4 est une base de F , et par suite, sev u1 u2 , u3 sev u2, u4 F . Or u1 > sev u1 u2, u3 , ar sinon, u1 α u1 u2 βu3 et don α 1 u1 αu2 βu3 0 par suite α 1 0 et α 0 e qui impossible. D'où sev u1 u2 , u3 x sev u1 , u3 .
`
e
`
`
e`
`
`
e
e
e
Remarque. On peut aussi utiliser la dé nition pour montrer que la famille u1 u2 , u2 , u3 , u4 est libre.
Fa ulté Des S ien es El Jadida
28
28 dé embre 2013
