Городец

Гомотопии отображений

4 июня 2016

Все отображения ниже предполагаются непрерывными, все пространства метрические, все события вымышлены и все совпадения случайны. Вся ответственность за случившееся в дальнейшем целиком лежит на вас.

Обозначения: R — множество вещественных чисел, R2 — плоскость, S 1 — окружность. Задача 1. Докажите, что следующие определения непрерывности отображения f : R → R2 эквивалентны: а) для любого a ∈ R и ε > 0 найдётся δ > 0, такое что если |x − a| < δ, то d(f (x), f (a))< ε; б) для любой последовательности x1 , x2 , x3 . . . ∈ R, такой что lim xn = a, предел f (xn ) равен f (a); в) если обозначить координаты f (x) через f1 (x) и f2 (x), то f1 и f2 — непрерывные функции; г) для любого открытого множества U ⊂ R2 его прообраз f −1 (U ) ⊂ R открыт. Определение 1. Декартовым произведением множеств A и B называется множество всевозможных пар {(a, b)|a ∈ A, b ∈ B}. Обозначение: A × B. Задача 2. Убедитесь, что а) плоскость R2 равна произведению R × R; б) квадрат равен произведению отрезка на отрезок; в) цилиндр равен произведению круга на отрезок; г) тор (поверхность бублика) равен произведению окружности на окружность.   Задача 3. Если A и B — метрические пространства, то функция D (a1 , b1 ), (a2 , b2 ) := dA (a1 , a2 )+dB (b1 , b2 ) корректно определяет метрику на A × B. Определение 2. Пусть X и Y — метрических пространства, и заданы отображения f0 , f1 : X → Y . Говорят, что f0 гомотопно f1 , если существует семейство отображений ft : X → Y с параметром t ∈ [0; 1], такое что • при любом фиксированном t отображение ft : X → Y непрерывно; • при любом фиксированном x отображение ft (x) : [0; 1] → Y непрерывно (как функция от t). Задача 4*. Докажите, что это равносильно существованию непрерывного отображения F : [0; 1]×X → Y , такого что F |t=0 = f0 и F |t=1 = f1 . (Замечание: метрика на [0; 1]×X вводится, например, как в задаче 3.) Задача 5. Обозначим через D◦ диск радиуса 2, из которого вырезали диск радиуса 1, и пусть f0 , f1 : S 1 → D◦ — отображения, переводящие окружность во внутреннюю и внешнюю границы, соответственно. Постройте гомотопию ft , соединяющую f0 с f1 . Задача 6. Докажите, что гомотопность является отношением эквивалентности, то есть что а) f ∼ f , б) если f ∼ g, то g ∼ f , и в) если f ∼ g и g ∼ h, то f ∼ h. Задача 7. Покажите, что все отображения S 1 → R2 гомотопны друг другу. Задача 8. Покажите, что все отображения R → D◦ гомотопны друг другу. Вопрос: Как описать классы эквивалентности отображений S 1 → S 1 (с точностью до гомотопии)? Задача 9. Чтобы ответить на предыдущий вопрос, докажем, что для любого отображения f : S 1 → S 1 существует его поднятие f˜ : R → R, такое что следующая диаграмма коммутативна: f˜

R −−−→   p f

R   p

S 1 −−−→ S 1 Здесь отображение p : R → S 1 переводит число x в точку на окружности, имеющую градусную меру x. Коммутативность диаграммы означает попросту, что p ◦ f˜ = f ◦ p. Для построения f˜ покажите, что а) если на образ интервала (−ε; ε) при отображении f ◦ p не покрывает всей окружности, то на этом интервале f˜ построить можно; б) для каждой точки x ∈ R существует ε > 0 такое что образ интервала (x − ε; x + ε) при отображении f ◦ p не покрывает всей окружности; в) из любого покрытия окружности интервалами можно выбрать конечное подпокрытие; г) завершите построение f˜.