x e x  ex cosh x  2 x e  ex sinh x  2

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

cosh x

sinh x

cosh x  1

sinh x lim sinh x  

x

lim cosh x  

x

cosh x

lim cosh x  lim sinh x  

x

x 2

cosh x  sinh 2 x  1

 e x  ex cosh 2 x  sinh 2 x    2 

2

  e x  e x     2  

2

x x    4e e  1  4  sinh( x  y)  sinh x cosh y  cosh x sinh y

e x  ex e y  e y e x  ex e y  e y  2 2 2 2 x y ( x  y ) 2e  2e   sinh( x  y ) 4 sinh( x  y)  sinh x cosh y  cosh x sinh y

sinh x cosh y  cosh x sinh y 

cosh( x  y)  cosh x cosh y  sinh x sinh y

sinh 2x  2sinh x cosh x cosh 2x  cosh 2 x  sinh 2 x  1  2sinh 2 x  2 cosh 2 x  1 cosh 2x  1 cosh 2x  1 cosh 2 x  sinh 2 x  2 2 cosh x 1  sinh x tanh x 1 csc hx  sinh x

sinh x cosh x 1 sec hx  cosh x tanh x 

coth x 

 1  tanh x  1 1  tanh 2 x  1  cosh x 

sinh 2x 

0  sec hx  1 sinh 2 x 2

cosh x 1 1  tanh 2 x 2 tanh x

1  tanh 2 x



cosh 2 x  sinh 2 x 2

cosh x



1 2

 sec h 2 x

cosh x sinh x  cosh 2x 

tanh x 1  tanh 2 x 1  tanh 2 x 1  tanh 2 x

coth 2 x  1  csc h 2 x d d  e x  e  x  e x  e  x sinh x     cosh x  dx dx  2 2  d cosh x  sinh x dx d d  sinh x  cosh 2 x  sinh 2 x tanh x    1  tanh 2 x  sec h 2 x  2 dx dx  cosh x  cosh x d coth x  coth 2 x  1  csc h 2 x dx d sec hx   sec hx tanh x dx d csc hx   csc hx coth x dx

sinh x cosh x

tanh x 

-

-

-

-

tanh x

csc hx 

1 cosh x

-

-

-

-

sec hx

-

-

-

-

-

-

coth x -

-

csc hx -

-

sinh x sinh 1 x

-

-

-

-

-





sin sinh 1 x  sinh 1 (sinh x)  x sinh 1 x  ln  x  1  x 2   

y  sinh 1 x x  sinh y 

e y  e y 2

e y  e y cosh y  1  sinh y  1  x  2 2

2

 

ln  x  1  x 2   ln sinh y  cosh y   ln e y  y  sinh 1 x  





 

 

  x 1 x 1 cosh2sinh x   1  2x 2

cosh sinh 1 x  1  x 2

tanh sinh 1 x 

sinh 2sinh 1 x  2x 1  x 2 1 sec h sinh 1 x  1  x2

2

d 1 sinh 1 x  dx 1  x2 x  sinh y

dx  cosh y  1  x 2 dy



dy 1  dx 1  x2

y  sinh 1 x

(1,1)

tanh x



tanh 1 x



tanh tanh 1 x  tanh 1 (tan x)  x

tanh 1 x  ln

1 x 1 x

y  tanh 1 x x  tanh y 

e y  e y e y  ey

x -

ln -

 

1  x 1  1  tanh y  1   ln e 2 y  y  tanh 1 x  ln  1  x 2  1  tanh y  2





coth tanh 1 x 

1 x

  11  xx 2x tanh2 tanh x  1 x

cosh 2 tanh 1 x  -

  sinh 2 tanh 1 x  

sec h tanh 1 x  1  x 2

2 2

2x 1  x2

1

-

2

x  tanh y

dx  sec h 2 y  1  tanh 2 y  1  x 2 dy



dy 1  dx 1  x 2

d tanh 1 x dx y  tanh 1 x