FaceBook.com/123Grade4
คณิ ต เพิม่ เติม / ม. 3 เล่ม 2
บทที่ 2 ระบบสมการ
48
แบบฝึ กหัด 2.1 1. จงแก้ระบบสมการต่อไปนี้ 1.) จงแก้ระบบสมการ
x2 + y 2
=
25
3x − 4 y
=
0
=
4y 3
…… (1) …… (2)
วิธีทาํ จากสมการที่ (2) จะได้เป็ น x
…… (3)
แทนค่า x จากสมการที่ (3) ในสมการที่ (1) จะได้เป็ น 2 ⎛ 4y ⎞ 2 ⎜ ⎟ +y ⎝ 3 ⎠ 16 y 2 + y2 9 16 y 2 + 9 y 2
9
25
=
25
=
25
25y 2 =
225
y2
=
9
y2 − 9 =
0
( y + 3)( y − 3) =
0
∴
แทนค่า
=
y y = −3
=
−3 , 3
…… (4)
ในสมการที่ (3) จะได้เป็ น x
=
−4
4(3) 3
4
ได้คาํ ตอบ เป็ น คู่อนั ดับ (−4, −3) แทนค่า
y = 3
ในสมการที่ (3) จะได้เป็ น x
∴
=
ได้คาํ ตอบอีกคู่อนั ดับ เป็ น คู่อนั ดับ (4,3) คําตอบของระบบสมการนี้ คือ (−4, −3) และ
=
(4,3)
ตอบ
FaceBook.com/123Grade4
4(−3) = 3
FaceBook.com/123Grade4
คณิ ต เพิม่ เติม / ม. 3 เล่ม 2
บทที่ 2 ระบบสมการ
49
2.) จงแก้ระบบสมการ
2x − y
=
2
…… (1)
x2 + 2 y 2
=
12
…… (2)
=
y+2 2
…… (3)
วิธีทาํ จากสมการที่ (1) จะได้เป็ น x
แทนค่า x จากสมการที่ (3) ในสมการที่ (2) จะได้เป็ น x2 + 2 y 2
=
12
=
12
=
12
=
48
9 y 2 + 4 y − 44
=
0
(9 y + 22)( y − 2)
=
0
y
=
−
2 ⎛ y+2⎞ 2 ⎜ ⎟ + 2y ⎝ 2 ⎠ y2 + 4 y + 4 + 2 y2 4 y2 + 4 y + 4 + 8 y2
∴
แทนค่า
y = −
22 9
22 , 2 9
…… (4)
ในสมการที่ (3) จะได้เป็ น x
−
=
22 +2 9 2
=
−
4 18
ได้คาํ ตอบ เป็ น คู่อนั ดับ ⎛⎜ −
4 22 ⎞ ,− ⎟ 9 ⎠ ⎝ 18
แทนค่า
y = 2
ในสมการที่ (3) จะได้เป็ น =
2+2 2
=
2
ได้คาํ ตอบอีกคู่อนั ดับ เป็ น คู่อนั ดับ (2, 2) 22 ⎞ ⎛ 4 ∴ คําตอบของระบบสมการนี้ คือ ⎜ − , − ⎟ 9 ⎠ ⎝ 18
และ
(2, 2)
ตอบ
FaceBook.com/123Grade4
x
FaceBook.com/123Grade4
คณิ ต เพิม่ เติม / ม. 3 เล่ม 2
บทที่ 2 ระบบสมการ
50
3.) จงแก้ระบบสมการ
x2 − y 2
=
16
3x − 5 y
=
0
=
5y 3
…… (1) …… (2)
วิธีทาํ จากสมการที่ (2) จะได้เป็ น
x
…… (3)
แทนค่า x จากสมการที่ (3) ในสมการที่ (1) จะได้เป็ น x2 − y 2
=
16
=
16
=
16
=
16
16 y 2
=
144
y2
=
9
y2 − 9
=
0
( y + 3)( y − 3) =
0
2 ⎛ 5y ⎞ 2 ⎜ ⎟ −y ⎝ 3 ⎠ 25 y 2 − y2 9 25 y 2 − 9 y 2 9
∴
แทนค่า
y y = −3
=
…… (4)
−3 , 3
ในสมการที่ (3) จะได้เป็ น x
=
5(−3) = 3
−5
=
5(3) 3
5
ได้คาํ ตอบ เป็ น คู่อนั ดับ ( − 5, −3) y = 3
ในสมการที่ (3) จะได้เป็ น x
ได้คาํ ตอบอีกคู่อนั ดับ เป็ น คู่อนั ดับ (5,3) ∴ คําตอบของระบบสมการนี้ คือ ( − 5, −3) และ
=
(5,3)
ตอบ
FaceBook.com/123Grade4
แทนค่า
FaceBook.com/123Grade4
คณิ ต เพิม่ เติม / ม. 3 เล่ม 2
บทที่ 2 ระบบสมการ
51
4.) จงแก้ระบบสมการ
x2 − y 2
=
21
x+ y
=
7
…… (1) …… (2)
วิธีทาํ ที่ 1 x จากสมการที่ (2) จะได้เป็ น = 7− y แทนค่า x จากสมการที่ (3) ในสมการที่ (1) จะได้เป็ น (7 − y )2 − y 2 = 49 − 14 y + y 2 − y 2
∴
แทนค่า
y = 2
21
=
21
=
21
14 y
=
28
y
=
2
=
7−2
49 − 14 y
…… (3)
…… (4)
ในสมการที่ (3) จะได้เป็ น x
=
5
ได้คาํ ตอบ เป็ น คู่อนั ดับ ( 5, 2 ) ∴ คําตอบของระบบสมการนี้ มีเพียง ( 5, 2 )
ตอบ
วิธีทาํ ที่ 2 จากสมการที่ (1) จะได้เป็ น
x2 − y 2 =
21
21 ( x + y )( x − y ) = แทนค่า ( x + y ) จากสมการที่ (2) ในสมการที่ (3) จะได้เป็ น
( 7 )( x − y )
=
x− y
แทนค่า
x = 5
21 21 = 3 7
2x =
10
x =
5
…… (4)
ในสมการที่ (4) จะได้เป็ น 5− y
= 3
y
= 2
ได้คาํ ตอบ เป็ น คู่อนั ดับ ( 5, 2 ) ∴ คําตอบของระบบสมการนี้ มีเพียง
( 5, 2 )
ตอบ
FaceBook.com/123Grade4
สมการที่ (2) + (4) จะได้ ;
=
…… (3)
FaceBook.com/123Grade4
คณิ ต เพิม่ เติม / ม. 3 เล่ม 2
บทที่ 2 ระบบสมการ
52
5.) จงแก้ระบบสมการ
x2 − y
=
0
2x − y
=
1
=
y +1 2
…… (1) …… (2)
วิธีทาํ จากสมการที่ (2) จะได้เป็ น
x
…… (3)
แทนค่า x จากสมการที่ (3) ในสมการที่ (1) จะได้เป็ น x2 − y
=
0
2 ⎛ y +1 ⎞ ⎜ ⎟ −y ⎝ 2 ⎠
=
0
=
0
=
0
y2 − 2 y + 1
=
0
( y − 1) ( y − 1)
=
0
( y − 1)2
=
0
=
1
=
1+1 2
y2 + 2 y + 1 −y 4 y2 − 2 y + 1 4
∴
แทนค่า
y y = 1
…… (4)
ในสมการที่ (3) จะได้เป็ น x
=
1
ได้คาํ ตอบ เป็ น คู่อนั ดับ (1,1) ∴ คําตอบของระบบสมการนี้ คือ ( 1,1 ) …… (1) …… (2)
x − y2 = 0 x+ y = 2
วิธีทาํ จากสมการที่ (2) จะได้เป็ น y = 2− x แทนค่า y จากสมการที่ (3) ในสมการที่ (1) จะได้เป็ น x − (2 − x)
2
=
0
=
0
x − 4 + 4 x − x2
=
0
−4 + 5x − x 2
=
0
x2 − 5x + 4
=
0
(
x − 4 − 4 x + x2
)
…… (3)
FaceBook.com/123Grade4
6.) จงแก้ระบบสมการ
ตอบ
FaceBook.com/123Grade4
คณิ ต เพิม่ เติม / ม. 3 เล่ม 2 ( x − 1)( x − 4) ∴
แทนค่า
บทที่ 2 ระบบสมการ
53
x
=
0
=
1 , 4
=
2 −1
=
1
=
2−4
=
−2
…… (4)
x = 1 ในสมการที่ (3) จะได้เป็ น
y
ได้คาํ ตอบ เป็ น คู่อนั ดับ (1,1) แทนค่า
x = 4
ในสมการที่ (3) จะได้เป็ น y
ได้คาํ ตอบอีกคู่อนั ดับ เป็ น คู่อนั ดับ (4, −2) ∴ คําตอบของระบบสมการนี้ คือ (1,1) และ 7.) จงแก้ระบบสมการ
ตอบ
(4, −2)
x − 2y
=
−2
xy + 3x
=
10
…… (1) …… (2)
วิธีทาํ จากสมการที่ (1) จะได้เป็ น x 2y − 2 = แทนค่า x จากสมการที่ (3) ในสมการที่ (2) จะได้เป็ น (2 y − 2) y + 3(2 y − 2) =
10
(2 y 2 − 2 y ) + (6 y − 6) =
10
แทนค่า
0
y2 + 2 y − 8
=
0
( y + 4)( y − 2) =
0
y y = −4
=
…… (4)
−4 , 2
ในสมการที่ (3) จะได้เป็ น x
=
2(−4) − 2
=
−10
=
2(2) − 2
=
2
ได้คาํ ตอบ เป็ น คู่อนั ดับ ( − 10, −4 ) แทนค่า
y = 2
ในสมการที่ (3) จะได้เป็ น x
ได้คาํ ตอบอีกคู่อนั ดับ เป็ น คู่อนั ดับ (2, 2) ∴ คําตอบของระบบสมการนี้ คือ ( − 10, −4 ) และ
(2, 2)
ตอบ
FaceBook.com/123Grade4
∴
2 y 2 + 4 y − 16 =
…… (3)
FaceBook.com/123Grade4
คณิ ต เพิม่ เติม / ม. 3 เล่ม 2
บทที่ 2 ระบบสมการ
54
8.) จงแก้ระบบสมการ
xy − 3x 2
=
− 30
x + 4y
=
1
วิธีทาํ x จากสมการที่ (2) จะได้เป็ น = 1− 4 y แทนค่า x จากสมการที่ (3) ในสมการที่ (1) จะได้เป็ น (1 − 4 y ) y − 3(1 − 4 y ) 2 = ( y − 4 y 2 ) − 3(1 − 8 y + 16 y 2 )
แทนค่า
− 30
( y − 4 y 2 ) − (3 − 24 y + 48 y 2 ) =
− 30
y − 4 y 2 − 3 + 24 y − 48 y 2
=
− 30
52 y 2 − 25 y − 27
=
0
(52 y + 27)( y − 1)
=
0
y
=
−
y = −
27 52
…… (3)
− 30
=
∴
…… (1) …… (2)
27 , 1 52
…… (4)
ในสมการที่ (3) จะได้เป็ น x
=
⎛ 27 ⎞ 1− 4⎜ − ⎟ ⎝ 52 ⎠
=
1+
=
1 − 4(1)
=
−3
27 = 13
40 13
ได้คาํ ตอบ เป็ น คู่อนั ดับ ⎛⎜ 40 , − 27 ⎞⎟ ⎝ 13
แทนค่า
52 ⎠
y = 1 ในสมการที่ (3) จะได้เป็ น x
ได้คาํ ตอบอีกคู่อนั ดับ เป็ น คู่อนั ดับ (−3,1)
9.) จงแก้ระบบสมการ
และ
ตอบ
(−3,1)
x+ y
=
1
xy
=
− 12
วิธีทาํ 1− y จากสมการที่ (1) จะได้เป็ น x = แทนค่า x จากสมการที่ (3) ในสมการที่ (2) จะได้เป็ น (1− y ) y
=
− 12
y − y2
=
− 12
y 2 − y −12
=
0
…… (1) …… (2) …… (3)
FaceBook.com/123Grade4
⎛ 40 27 ⎞ ∴ คําตอบของระบบสมการนี้ คือ ⎜ , − ⎟ ⎝ 13 52 ⎠
FaceBook.com/123Grade4
คณิ ต เพิม่ เติม / ม. 3 เล่ม 2 ( y + 3)( y − 4) = ∴
แทนค่า
บทที่ 2 ระบบสมการ
55
y y = −3
=
0
−3 , 4
…… (4)
ในสมการที่ (3) จะได้เป็ น x
=
1 − (−3) = 4
=
1 − (4) =
ได้คาํ ตอบ เป็ น คู่อนั ดับ ( 4, −3) แทนค่า
y = 4
ในสมการที่ (3) จะได้เป็ น x
ได้คาํ ตอบอีกคู่อนั ดับ เป็ น คู่อนั ดับ (−3, 4) ∴ คําตอบของระบบสมการนี้ คือ ( 4, −3) และ 10.) จงแก้ระบบสมการ
y
=
y−x =
−3
2 x2 + 2 x + 1
−1
วิธีทาํ x −1 y = จากสมการที่ (2) จะได้เป็ น แทนค่า y จากสมการที่ (3) ในสมการที่ (1) จะได้เป็ น x −1
2 x2 + x + 2 x
=
2 x2 + 2 x + 1
=
0
=
−1 ± 12 − 4(2)(2) 2(2)
=
−1 ± −15 4
ax 2 + bx + c x
…… (3) ในรากที่สองเป็ นค่าลบ
−15
เป็ นจํานวนจินตภาพ
ซึ่งไม่ใช่จาํ นวนจริ ง ตอบ
จึงไม่มีคาํ ตอบของระบบสมการนี้เลย
คําตอบของสมการกําลังสอง (เมื่อ a , b , c เป็ นตัวคงที่ และ
…… (1) …… (2)
a = 0
และ x เป็ นตัวแปรเพียงตัวแปรเดียว)
=
0
=
−b ± b 2 − 4ac 2a
FaceBook.com/123Grade4
∴
ตอบ
(−3, 4)
