Cours de Mécanique Quantique SPM/S4 Chapitre 1: Insuffisance de la physique classiqueDébut de la théorie quantique A/ Corpuscules de lumière B/ Ondes de matière C/ Frontière classique/quantique A. Kaddouri

À la fin du 19ème siècle, des résultats expérimentaux ont posé de sérieux problèmes

Les chercheurs ont été amenés à émettre des hypothèses révolutionnaires Nous allons donner quelques exemples d'échecs de la physique classique, puis des solutions historiquement proposées.

A/ Corpuscules lumineux : 3 exemples 1er exemple: Le rayonnement du corps noir Définition: Toute enceinte isotherme, imperméable au rayonnement et parcourue par une onde électromagnétique isotrope et homogène est appelée: corps noir. Historiquement, le rayonnement du corps noir est l'une des premières expériences qui a permis de dégager le concept de quanta, et par conséquent la naissance de la mécanique quantique. L'expérience relative au corps noir consiste à porter à une température T une enceinte vide isolée thermiquement. Émission de radiations qui ne dépendent que de la température T. Pour T fixe, la densité d’énergie monochromatique de ces radiations, notée U(l,T), présente l’allure suivante:

Allure expérimentale de U ( λ,T) :

Expérimentalement, on a:  U est nulle aussi bien pour les faibles longueurs d’onde que pour les grandes longueurs d’onde.  U présente un maximum pour une longueur d’onde lmax dépendant simplement de T. Deux Lois empiriques :

- Loi de Stefan :  U(l,T) dl= aT

4

4

ou  U(n,T) dn = aT - Loi de déplacement de Wien : lmax .T = Constante

Théorie classique = loi de Rayleigh & Jeans le champ électromagnétique est équivalent à un ensemble de vibrations harmoniques.

Uclassique (ν ,T)  8π kT  2 c3

Soit : Uclassique (l ,T)  8kT l

-4

k étant la constante de Boltzmann (k=1,38.10-38 J/K) Accord satisfaisant avec l’expérience pour les grandes l (infrarouge et visible) MAIS Désaccord complet avec l’expérience pour les courtes l (càd pour les grandes n)

Catastrophe ultraviolette. Solution : Max Planck (1900) Hypothèse: L’échange d’énergie calorifique ==> lumineuse entre la matière et la lumière se fait de façon DISCONTINUE : l’énergie lumineuse est émise par paquets ou quanta.

Un quantum possède l’énergie E=hn avec h la nouvelle constante, dite : constante de Planck. Sa valeur actuelle est h = 6,626196x10-34 J.s

A retenir: h ≈ 10-34 J.s

L’expression de Planck :

UQ (,T) = 83h c  

ν3 hυ e kT

-1

ou UQ (l ,T)= 8hc l5

1

hc e lkT

-1

Description parfaite des résultats expérimentaux. En plus, la densité d’énergie totale U est finie, en bon accord avec loi de Stefan.

Etude asymptotique de U:  Grandes longueurs d’onde (ou Basses fréquences) :

l grandes

hc  ekTl  1 + hc + ..... kTl  UQ = 8kTl -4 = Uclas.

Donc, pour les grandes l , il y a accord entre UQuantique , Uclassique et U expérimentale

 Faibles longueurs d’onde (ou grandes fréquences) :

hc l petite (l  0)  e kTl >> 1 

1 hν e kT - 1

hc - hc  e kTl  U Q  8πhc e kTl l5

On pose: x=1/λ et α = hc/kT  UQ  8πhc x5e- αx  0 quand x   càd quand λ  0

Ce qui lève la catastrophe UV  Loi de déplacement de Wien en annulant la dérivée de U par rapport à l :

l max T = constante

 L’énergie totale du rayonnement à l’intérieur de la cavité est obtenue en sommant la densité d’énergie U sur toutes les longueurs d’onde : (loi de Stefan). 4

 UQ (l ,T) dl = aT

Voir TD, Exercice 1 de la Série 1

2ème exemple: L’effet Photoélectrique L’effet photoélectrique : émission d’électrons lorsqu’on irradie sous vide un métal avec un rayonnement lumineux. (Expérience réalisée en 1887 par Hertz). Montage expérimental: Le montage expérimental consiste en un tube où règne le vide, dans lequel un métal formant la cathode C (au potentiel VC) est soumis à un radiation lumineuse de fréquence n. L’anode A (VA=0) est un anneau pour collecter les électrons émis. Enceinte sous vide Radiation lumineuse

Anode

Cathode mA

G

Résultats expérimentaux:

 Existence d’un seuil en fréquence: On n’observe du courant que si la fréquence n de la lumière est supérieure à une certaine fréquence ns caractéristique de la nature du métal et indépendamment du flux lumineux  Absence d’un seuil en flux lumineux: Apparition d’un courant même pour des valeurs très faibles du flux lumineux.  Existence d’un seuil en tension (contre-tension ou potentiel d’arrêt) au-delà duquel le courant des photoélectrons s’annule. Il ne dépend que de la fréquence n et de la nature de la cathode.

La physique classique est incapable d’interpréter ces observations

La théorie classique n’explique pas l’existence d’un seuil en fréquence : - Si  < s , pas de courant donc pas d’extraction d’électrons. - Si  > s, L’effet photoélectrique est INSTANTANE.

La physique classique impose que l’énergie des photoélectrons doit être proportionnelle au flux de la lumière incidente donc elle prévoit un seuil en flux lumineux incident et non en fréquence!!! Donc : Désaccord avec l’expérience

Solution: Einstein (1905) Einstein suggéra une formulation correcte du phénomène en utilisant l’hypothèse de Planck : Radiation lumineuse est composée de Quanta d’énergie, appelés Photons Chaque photon (quantum) possède l’énergie E = h , telle que :

h  Ws + Ecinétique

max h  Ws + Ecinétique

où Ws est le travail d’extraction du métal. On pose : Ws = hs Ce qui démontre l’existence de la fréquence seuil de l’effet photoélectrique; en bon accord avec l’expérience

h > Ws = hs   > s

► La mesure du courant photoélectrique I en fonction de la différence de potentiel UAC= VA – VC présente l’allure :

II IS

-V

-V00

Uac

UAC

Si UAC= -V0  I=0 : les électrons ayant même une énergie cinétique maximale ne parviennent pas à l’anode. L’application du théorème de l’énergie cinétique donne :

E = WF.élec ===> Ef - Ei = q (Vi - Vf ) Sachant que i=C et f=A, on aura : 1 mv2 - 1 mv 2 = -e(V - V ) = e(V - V ) = eU A 2 C C A A C AC 2

Or lorsque UAC= -V0, I=0, les électrons de vitesse vC = vmax ont une vitesse vA= 0 soit:

1 m v2 = e V max 0 2

La mesure de la tension d’arrêt V0 permet de connaitre l’énergie cinétique maximale des électrons émis par la cathode.

Conclusion:

1 mv 2 max = eV0 2

on peut écrire :

W V0 = he ν - es

Variation linéaire de V0 avec la fréquence n

Droite dont la pente permet une détermination expérimentale de la constante universelle h L’effet photoélectrique est donc l’une des méthodes utilisées pour la mesure de la constante h Relation très utile :

0 hc E  hν   E.l= hc Numériquement : E(eV) . l(A) = 12400 l Exemple : Ws  hνs  hc  l max  hc  12400 l max Ws Ws 0 12400 - Cellule de Na : Ws  1,5 eV  l max  = 8266 A Oui avec le visible 1,5

0 12400 - Cellule de Zinc : Ws  3, 4 eV  l max  = 3647 A Non avec le visible 3, 4

Le photon Particule : (E,p) Energie : E = hn (=hc/l); Impulsion : p = E/c = hn/c = h/l (car ln=c) associée à l’onde électromagnétique (n,l) Sachant que: n=w/2p et k=2p/l et en posant: h/2p=ћ

E = ћw et p=ћk ћ≈10-34 J.s La lumière possède donc le double aspect : ondulatoire-corpusculaire (E, p) (,l) ou (w,k)

On retient :

Le carré de l’amplitude de l’onde caractérise la probabilité de présence du photon en chaque point

3ème exemple: Effet Compton (1922) Phénomène de diffusion d’un photon par un électron (au repos) dans un cristal.  Ee ; v) 

h0 ; p0 ) Source rayons X

e

 

h; p ) Observation expérimentale: Outils : Détecteur d’e- & détecteur de radiation ( l ) Rayons X incidents sont monochromatiques  l0 (0.712 Å) soit: E=17,5 keV Rayonnement diffusé composé de deux raies :  Une avec la fréquence incidente 0,  L’autre avec la fréquence  < 0 (fonction de )!!!  La différence varie comme sin2 (/2) Optique et Électromagnétisme classique : Incapable d’expliquer ce phénomène!! (car lumière diffusée à la même fréquence que la lumière incidente) Explication de Compton : Le rayonnement incident n’a pas un comportement ONDULATOIRE! Mais: PAQUET DE PHOTONS qui entre en collision avec les électrons libre du diffuseur.

Problème de Choc Photon -Electron  Expression de l? - Lois de conservation: l’énergie & quantité de mouvement - L’électron est une particule relativiste On montre que: Le photon diffusé aura une longueur d’onde différente du photon incident, soit: 

θ0

h 1- cosθ  λ = λ0 + mc   0

avec

h  λCompton  0,0243 A mc



λ  λ0

θ 



λ = λ0 + λC

θ



λ = λ0 + 2λC

2

et donc, il subit une variation de longueur d’onde.



Δλ=λ -λ 0 = h 1-cosθ ) mc ou encore Δλ  2h sin 2 θ = 2λ Csin 2 θ mc 2 2

)

)

Dl indépendante de l’énergie du photon incident Dl ne dépend que de l’angle q de diffusion du photon Voir Ex. complémentaires

Conclusion  Les théories classiques des ondes électromagnétiques exclut toute notion corpusculaire de la lumière. Mais, ces théories expliquent convenablement les phénomènes ondulatoires tels que la diffraction ou les interférences (voir cours d’Optique).  Des expériences telles que celles que nous venons de présenter ne s’expliquent pas par l’aspect ondulatoire de la lumière. On est amené à inventer un corpuscule lumineux :

le photon = Particule sans masse, d’énergie hn et d’impulsion hn/c.  La lumière manifeste donc des propriétés spécifiques d'une nature ondulatoire et également des propriétés de nature corpusculaire. Cette dualité onde - corpuscule de la lumière permet d'expliquer l'ensemble des faits expérimentaux observés sur les champs électromagnétiques. Les effet quantiques sont proportionnels à h, Physique classique : h→ 0

Complément: Modèle de Bohr de l'atome d'hydrogène Lois classiques : difficulté à interpréter le spectre de rayonnement émis par des atomes. Observation expérimentale : L’atome de l’hydrogène  spectre DISCONTINU

 Séries de raies Balmer (visible); Lyman (UV); Paschen (IR); Brackett (IR) La position de la raie obéit à la loi empirique de Ritz-Rydberg (1887) :  1 1 1  = RH  2 - 2  λnp n   p

avec n  p

n et p sont deux entiers naturels, RH =1.0967758 10-3 Å-1 : Constante de Rydberg. Interprétation : (Modèle de Bohr, 1913) Niels Bohr : l'atome d'hydrogène est formé d'un électron en rotation autour du noyau fixe. L'électron est donc soumis -e à la force électrique:

f= -

2

1 e u 4πε0 r 2

+e

r



Principe fondamental de la dynamique (loi classique): 2 2 2 2 2 v f = mγ = mγ N = - m u  1 e 2 = m v  1 e = mv 2  Ec = 1 mv 2 = 1 e r 4πε0 r r 4πε0 r 2 8πε0 r

Énergie Ep est telle que : f  -E p Soit une énergie totale :



2 e 1 Ep = - 4πε0 r

2 e 1 ET = 8π 0 r

Les deux hypothèses de Bohr : (Stabilité de l’atome)  1ère hypothèse: Seules les orbites dont le moment cinétique  est un multiple de h sont

avec n  N* On obtient: la quantification des rayons soit: r = rn = r1n2 avec permises

σ = mvr = nh

Et par suite la quantification de l’énergie:

0 h 2 ε0 r1 = = 0,529 A 2 me πe

E E = En = - 21 avec n

E1 =

m e e4 8h 2 ε 02

= 13,58 eV

 2ème Hypothèse: Si l'électron passe d’un niveau supérieurs En vers un niveau inférieur Ep, ===> Émission de photon de fréquence : telle que: hn p = En-Ep Soit :  1 E E 1  hνnp = - 21 + 21 = E1  2 - 2  n p p n 

Sachant que ν = c / λ



 = RH  1  p2 ln  p 

1

 1 -  n 2 

E avec R H = 1 = 109737 cm-1 , dite constante de Rydberg hc 0 -0,38 -0,85

Série de Brackett(1922) (Infrarouge lointain)

-1,51

n=4 n=3

Série de Paschen(1908) (infrarouge)

n=2

-3,4 Série de Balmer(1885) (visible)

n=1

-13,58 Série de Lyman (1906) (ultraviolet)

Important: Voir Ex. complémentaire (cas d’un hydrogénoïde)

B/ Ondes de matière Expérience de Thomson (1924) : On fait agir un faisceau d’électrons sur une feuille métallique. Faisceau

Faisceau d’électronss d’électrons

On observe une figure de diffraction analogue à celle que l'on observe avec les rayons X

B/ Ondes de matière Hypothèse de Louis de Broglie (1923) :

La dualité onde-corpuscule est vraie aussi pour la matière A toute particule matérielle de quantité de mouvement p=mv est associée une onde de longueur d'onde l telle que:

h λ mV

appelée longueur d’onde de L. De Broglie

Cette hypothèse a été confirmée par d'autres expériences utilisant des particules matérielles: Rupp ------------------------ Diffraction des protons. Olson ----------------------- Diffraction des atomes. Stern ----------------------- diffraction des molécules.

On retient :

La matière possède le double aspect corpusculaire & ondulatoire (aspect corpusculaire)

(E, p)

(aspect ondulatoire)

(,l) ou (w,k)

L’aspect ondulatoire des particules matérielles ne se manifeste que lorsque la longueur d'onde de L. de Broglie est du même ordre de grandeur que la longueur caractéristique de la matière à l’échelle atomique Pour des objets macroscopiques la longueur d'onde associée est toujours infime. l'aspect ondulatoire de son mouvement est indécelable

Ordre de grandeur :

 Bus: m= 2 tonnes, v~40km/h (≈10m/s)  l ≈ 3,3.10-28 Å  Neutron thermique: EC=0,05 eV, m=1,675.10-27 kg  l ≈ 1,3 Å  Électron non relativiste de masse m, accéléré par une d.d.p. V, la longueur d’onde de Louis de De Broglie associée est : -9 1,23.10 h λ=  m V 2meV

0 12, 3 soit: λ = A V

 l =1,23Å pour électron accéléré par 100V

Remarques importantes : Il existe deux différences fondamentales entre les ondes lumineuses et les ondes de matière: i) - Ondes lumineuses: l et n sont liées: ln = c. - Onde de matière: Pas de relation évidente entre l et n; mais relation de dispersion: n=f(l) ou w=f(k). Exemple: Particule libre, on a: ln=h/2ml (≠ c) ii) L'amplitude de l'onde lumineuse est reliée au module du champ électrique. Pour les ondes de matière, l'amplitude est un nombre complexe à priori sans signification physique.

Interprétation probabiliste De la même manière que pour le photon, le carré du module de l'amplitude de l'onde de L. de Broglie donne la probabilité de présence d'une particule. Il est donc naturel d'envisager une relation de proportionnalité entre l'intensité de l'onde et la densité d'électrons, n. Si l'on désigne par  l'amplitude de l'onde, 2 son intensité est donnée par II ,

Soit: II2 =  . n  Si d P est la probabilité de trouver un électron à l'instant t dans l'élément de volume d3r, on a : 3

dP 3

=

nombre d'électrons arrivant dans le volume d3r  n d3r N nombre d'électrons arrivant dans tout l'espace

 En posant IYI2 =A II2 avec A=1/N (= cte) , on obtient alors :

d3P = IYI2 d3r IYI2 est une densité de probabilité de présence de la particule. On voit donc que seul IYI2 (et non Y) qui a une réalité physique

 Cette interprétation impose une condition évidente sur la fonction  Y(r,t) : la probabilité de trouver la particule dans tout l'espace est égale à 1;

IYI2 d3r = 1

quelque soit t C'est la condition de normalisation soit :

La condition de normalisation exprime donc que la particule est nécessairement localisée dans une région finie de l'espace, en dehors de laquelle la densité de probabilité de présence doit être nulle

L’onde associée à une particule sera donc d'étendue limitée spatialement et on pourra à chaque instant définir IYI2 comme une fonction de la position dans l'espace; soit: IYI2 = f(x,yz)

RECAPITULATIF

ONDE

MATIERE

RAYONNEMENT

PARTICULE

C/ PHYSIQUE CLASSIQUE OU PHYSIQUE QUANTIQUE Rappel du critère relativiste: Vitesse v << c traitement classique Vitesse v ≈ c traitement relativiste =============== Par analogie, on définit le critère quantique :

Action A >> h Action A ≈ h

traitement classique traitement quantique

Noter qu'il n'est pas possible qu'un phénomène physique possède une action inférieure à h. h ≈ 10-34 J.s Exemples:……..

Une autre formulation du critère: On a : A = p.a Sachant que: p = h/l Donc:

l << a l≈a

traitement classique traitement quantique

Ainsi, pour observer les ondes de matière et recourir donc à un traitement quantique, les expériences d’interférence ou de diffraction doivent être réalisées avec des fentes de dimensions comparables à lde De Broglie

CONCLUSION du Chapitre Les expériences réalisées depuis la fin du XIXème siècle posaient de sérieux problèmes Solutions: Lumière: traitement corpusculaire Matière : traitement ondulatoire Pour traiter les ondes de matière, on doit renoncer à la mécanique classique qu'il faut remplacer par la mécanique quantique Cette théorie s’applique chaque fois que: Action ~ h ou encore lBroglie ~ a

Cette théorie conduit à : i) décrire l'état d'une particule par une fonction d'onde: Y(r, t) Cette notion de fonction d'onde remplace la notion classique de trajectoire. ii) Interpréter Y(r, t) 2 comme une densité de probabilité de présence de la particule à l'instant t. 2 Y(r, t) d 3 r représente la probabilité de trouver la particule à l'instant t dans le volume infinitésimal d3r entourant le point r

 La fonction Ψ(r, t) doit être continue et admettre une dérivée première également continue.

doit être une fonction bornée dans tout l'espace de façon à ce que l'intégrale:

IYr ,t)I d r = 1 2

3

ou de façon générale, cette Intégrale converge.  on dit que Ψ(r, t) est une fonction de carré sommable.

A retenir : Le caractère probabiliste de cette théorie impose la condition de normalisation ou plus généralement la convergence de l'intégrale I : 2 3  I   IY( r , t ) I d r

 Y( r , t ) est alors dite une fonction de carré sommable.

Objet du Chapitre 2 :

 Expression de Y( r , t ) ?

Equation de son évolution ?

Le chapitre 1 du polycopié et sa version exposée + exercices complémentaires de la série 1 sont déposés: à la plateforme de l’Université avec le mot de passe: MQ/KADDOURI Le polycopié contenant l’ensemble des chapitres est disponible au département Bon, bon et bon courage