TRƯỜNG THPT NGUYỄN SỸ SÁCH

ĐỀ THI THỬ KỲ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016

TỔ TOÁN - TIN http://dinhcuong.name.vn/

MÔN: TOÁN – Lần 2 Thời gian làm bài: 180 phút -----------------------------------------------

Câu 1. (1,5 điểm). Cho hàm số: y  x 4  4x 2  3 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị ( C) tại điểm có hoành độ x0 biết f '' (x 0 ) = -4 Câu 2 (1,0 điểm). Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = Câu 3. (1,0 điểm). Giải phương trình : a) 16 x - 16.4 x + 15 = 0

x -1 trên đoạn éë2; 4 ùû . 2x - 1

b) cos 2 x + (1 + 2 cos x )(sin x - cos x ) = 0 6

Câu 4. (1,0 điểm). Tính tích phân J =

òx

x 2 + 3dx

1

( )

Câu 5 (1,0 điểm). Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho mặt phẳng P : x - y - 2z - 1 = 0 và hai

(

) (

)

( )

điểm A 2; 0; 0 , B 3; -1;2 . Viết phương trình mặt cầu S A, B và điểm gốc toạ độ O .

( )

tâm I thuộc mặt phẳng P

và đi qua các điểm

Câu 6. (0,5 điểm) Trong kì thi học sinh giỏi cấp tỉnh của trường THPT Nguyễn Sỹ Sách có 10 học sinh đạt giải trong đó có 4 học sinh nam và 6 học sinh nữ. Nhà trường muốn chọn một nhóm 5 học sinh trong 10 học sinh trên để khen thưởng . Tính xác suất để chọn được một nhóm gồm 5 học sinh mà có cả nam và nữ, biết số học sinh nam ít hơn số học sinh nữ. Câu 7. (1,0 điểm) Cho lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’, đáy ABCD là hình chữ nhật có AB = a, AD = a√3. Biết góc giữa đường thẳng A’C và mặt phẳng (ABCD) bằng 600. Tính thể tích khối lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ và khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau B’C và C’D theo a. Câu 8. (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trọng tâm G (1;1) , đường cao từ đỉnh A có phương trình 2 x - y + 1 = 0 và các đỉnh B, C thuộc đường thẳng D : x + 2 y - 1 = 0 . Tìm tọa độ các đỉnh A,B,C biết diện tích tam giác ABC bằng 6. Câu 9. (1,0 điểm) Giải bất phương trình sau trên tập ¡ :

Câu 10 (1,0 điểm).

(4 x 2 - x - 7) x + 2 > 10 + 4 x - 8 x 2

Cho x, y , z là các số thực dương thỏa mãn y + z = x ( y 2 + z 2 ) .

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =

1

(1 + x )

2

+

1

(1 + y )

2

+

1

(1 + z )

2

+

4 (1 + x )(1 + y )(1 + z )

----------HẾT---------CHÚ Ý: Đợt thi tiếp theo được tổ chức vào tuần cuối cùng của tháng 3 năm 2016

ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM http://dinhcuong.name.vn/

Câu Câu 1 (1,5 điểm)

Nội dung

Điểm

a) (1,0 điểm) – Tập xác định: D  ¡

0,25

– Giới hạn tại vô cực: lim y  ;

lim y  

x 

x 

– Đạo hàm: y   4x 3  8x

0,25

– Bảng biến thiên

0,25

x  0 y   0  4x 3  8x  0  4x (x 2  2)  0   x   2

 2

x – y

+

0

2

0 –

0

+

0

1 y

–

+ –

1 –3

– 0,25

– Giao điểm với trục hoành: x 2  1  cho y  0  x 4  4x 2  3  0   2 x  3 – Giao điểm với trục tung: cho x  0  y  3 – Đồ thị hàm số:

y - 3

-1 - 2

1 O

-3

+) x0=-1=> y0=0 , f ' (x 0 ) = -4 => tt :

2

x

y= 2m

0,25

éx = 1 ta có f (x 0 ) = -4 Û ê 0 êëx 0 = -1 ''

+) x0=1=> y0=0 , f ' (x 0 ) = 4 => tt :

3

1

2m

b)

x  1   x   3

0,25

y = 4x-4 y= -4x-4

~1~

2

Ta có y ' =

()

Có y 2 =

1

(2x - 1)

2

> 0, "x Î éë2; 4 ùû

1 3 ;y 4 = 3 7

éë2;4 ùû

3 1 khi x = 4 và min y = khi x = 2 é ù 2;4 7 3 ë û

a) + Đặt t = 4x; ĐK: t > 0. + Đưa về PT: t2 - 16t + 15 = 0. Giải được t = 1; t =15 (thỏa đk t > 0).

0,25

+ Giải mỗi pt, tìm được x = 0, x = log415. + Kết luận pt có 2 nghiệm: x = 1 và x = log415. * Ghi chú: - HS có thể không cần đặt ẩn phụ, nếu giải đúng vẫn đạt điểm tối đa.

0,25

b)

ésin x - cos x = 0 pt Û (sin x - cos x)(sin x - cos x - 1) = 0 Û ê ësin x - cos x = 1

p é êsin( x - 4 ) = 0 Ûê p 2 ê êësin( x - 4 ) = 2

4

0,25 0,25

()

max y =

Vậy 3

0,25 0,25

Hàm số liên tục trên đoạn éë2; 4 ùû

p é ê x = 4 + kp ê p Û ê x = + k 2p ê 2 ê x = p + k 2p ê ëê

0,25

(k ΢ )

0,25

6

J=

òx

x 2 + 3dx

1

Đặt u=

x =1Þ u = 2 , 3

Ta có J= ò u 2 du = 2

5

(

0,25 0,25

x 2 + 3 suy ra x dx = u du

)

x = 6 Þu =3 u3 3

3

= 2

0,5

19 3

( )

(1)

Giả sử I x, y, z . Ta có I Î P Þ x - y - 2z - 1 = 0

ìïx - y + 2z = 5 Do A, B,O Î S Þ IA = IB = IO . Suy ra í ïîx = 1

(2 )

( )

ìx - y - 2z - 1 = 0 ìx = 1 ï ï Từ (1) và (2) ta có hệ íx - y + 2z = 5 Û íy = -2 Þ I 1; -2;1 ïx = 1 ïz = 1 î î

(

~2~

0,25

)

0,25

Bán kính mặt cầu (S) là R = IA = 6

(

0,5

) ( 2

Vậy phương trình mặt cầu (S) là: x - 1 + y + 2 6

) + ( z - 1) 2

2

=6 0,25

( )

Không gian mẫu n W = C 105 = 252 Gọi A là biến cố 5 học sinh được chọn có cả nam và nữ đồng thời số học sinh nam ít hơn học sinh nữ. Trường hợp 1: Chọn 1 học sinh nam và 4 học sinh nữ nên ta có C 41.C 64 Trường hợp 2: Chọn 2 học sinh nam và 3 học sinh nữ nên ta có C 42 .C 63

0,25

( )

( )

Suy ra n A = C 41 .C 64 + C 42 .C 63 = 180 .

Vậy xác suất cần tìm là P A =

7

5 7 D'

A'

Do ABCD.A ' B 'C ' D ' A ' A ^ ABCD .

(

là

)

lăng

trụ

Suy ra góc giữa A ' C và mặt phẳng · A 'CA = 600

đứng

(ABCD )

nên

B'

0,25

C'

là A

H D

M 600

B

C

0,25 Có AC = AB 2 + BC 2 = 2a Þ A ' A = AC . tan 60 0 = 2a 3

ABCD là hình chữ nhật có AB = a, AD = a 3 Þ S ABCD = AB.AD = a 2 3 Vậy thể tích khối lăng trụ ABCD.A ' B 'C ' D ' là V = A ' A.S ABCD = 6a 3 Do C’D//AB’ nên C’D//(AB’C)

(

)

(

0,25

(

Suy ra d C ' D, B ' C = d C ' D, A B ' C

) ) = d (C ', ( A B 'C ) ) = d ( B, ( A B 'C ) )

Do BC’ giao với mp(AB’C) tại trung điểm của BC’ (vì BCC’B’ là hình chữ nhật)

(

) ( ) ( ) Kẻ BH ^ B ' M Þ BH ^ (AB ' C ) hay d ( B, ( A B ' C ) ) = BH

Kẻ BM ^ AC Þ AC ^ BB ' M Þ AB 'C ^ BB ' M theo giao tuyến B’M

Có

1 1 1 1 1 1 17 2a 51 = + = + + = Þ BH = 2 2 2 2 2 2 2 17 BH B 'B BM B 'B BC AB 12a

(

)

Vậy d C ' D, B 'C =

2a 51 17 ~3~

0,25

8

Gọi H là chân đường cao vẽ từ A

0,25

1 ì ïï x = - 5 ìx + 2 y -1 = 0 æ 1 3ö Ûí Þ H ç- ; ÷ í è 5 5ø î2 x - y + 1 = 0 ï y=3 ïî 5 Gọi d là đường thẳng qua G và song song BC, d : x + 2 y + m = 0, m ¹ -1 G Î d Û m = -3 Þ d : x + 2 y - 3 = 0 1 ì x= ï 2 3 0 x + y = ì ï æ1 7ö 5 Ûí ÞIç ; ÷ I = d Ç AH , í è5 5ø î 2x - y +1 = 0 ïy = 7 ïî 5 uuur uuur ì x =1 Þ A (1;3 ) HA = 3HI Û í îy = 3 S ABC =

0,25

0,25

1 2S 60 BC. AH Þ BC = = =2 5 2 AH 6 5

Gọi M là trung điểm BC, M(x;y) uuur uuuur ì x =1 MA = 3MG Û í Þ M (1; 0 ) îy = 0 B Î BC Û B (1 - 2b; b ) => MB = 5 Û 5b 2 = 5 Û b = ±1

0,25

b = 1: B ( -1;1) Þ C ( 3; -1) b = -1: B (3; -1) Þ C ( -1;1) kl : A (1;3 ) , B ( -1;1) , C ( 3; -1) hay A (1;3 ) , B ( 3; -1) , C ( -1;1) 9

Điều kiện: x ³ -2 , bất phương trình đã cho tương đương: (4 x 2 - x - 7) x + 2 + 2(4 x 2 - x - 7) > 2 [ ( x + 2) - 4] (4 x 2 - x - 7)( x + 2 + 2) > 2( x + 2 - 2)( x + 2 + 2)

~4~

0,25

0,25

Û 4 x 2 - x - 7 > 2 x + 2 - 4 Û 4 x 2 > ( x + 2) + 2 x + 2 + 1 Û (2 x)2 > ( x + 2 + 1)2 Û ( x + 2 + 1 - 2 x)( x + 2 + 1 + 2 x) < 0 ìï x + 2 > 2 x - 1 ìï x + 2 < 2 x - 1 hoặc Û í Ûí ïî x + 2 < -2 x - 1 îï x + 2 > -2 x - 1

0,25

5 + 41 Û -2 £ x < -1 hoặc Û x > 8 æ 5 + 41 ö Vậy tập nghiệm T = [-2; -1) È çç ; +¥ ÷÷ è 8 ø 10

0,25

Ta có

( y + z)

2

£ 2 ( y2 + z 2 ) Þ x ( y + z ) £ 2x ( y 2 + z 2 ) Û x ( y + z ) £ 2 ( y + z ) Þ y + z £ 2

2

2 x 0,25

Theo BĐT Côsi 1 4

(1 + y )(1 + z ) £ ( 2 + y + z ) Û

1

x2

³

(1 + y )(1 + z ) (1 + x )

Lại có theo BĐT Côsi Û Þ

1 2

+

2

+

(1 + y ) 1

(1 + y )

1 2

³

2

³

(1 + z ) 1

(1 + z )

Từ (2) và (4) Þ P ³

Xét hàm số f ( x) =

(1 + x ) 1æ 2ö Û (1 + y )(1 + z ) £ ç 2 + ÷ Û (1 + y )(1 + z ) £ 4è xø x2 2

2

(1) Û 2 1

(1 + y )

2

4 4x2 ³ (2) (1 + x) (1 + y )(1 + z ) (1 + x )2

+

1

(1 + z )

2

(1 + y )(1 + z ) 2x2

(1 + x ) 1

(1 + x )

2

+

2

(1 + x )

2 x3 + 6 x 2 + x + 1

(1 + x )

2

1

³2

1

(1 + y ) (1 + z ) 2

2

(3) . Từ (1) và (2)

0,25

(4) 2x2

3

2

2

+

4x2

(1 + x )

3

Û P³

0,25

2 x3 + 6 x 2 + x + 1

(1 + x )

trên ( 0; +¥ ) . Ta có f ¢( x) =

3

10 x - 2

(1 + x )

4

=0Þ x =

1 5

91 1 æ 1 ö 91 Lập BBT P ³ f ( x) ³ f ç ÷ = . Vậy GTNN của . P = Û x = ; y = z = 5. 108 5 è 5 ø 108

Lưu ý khi chấm : Nếu thí sinh làm cách khác mà đúng thì cho điểm theo thang điểm tương ứng. Xem thêm các đề thi thử khác tại website: http://dinhcuong.name.vn/

~5~

0,25