A 61-a OLIMPIADĂ REPUBLICANĂ D E M ATEM ATICĂ Chişinău, 4 martie - 7 martie 2017
Clasa a IX-a, prima zi 9.1 Aflaţi cel mai mare număr de elemente care pot fi alese din mulţimea {l; 2;...; 2017} astfel că diferenţă oricăror două dintre ele să fie diferită de 17. 9.2 Fie x şi y numere reale ce satisfac relaţia 9x2 + 4 y 2 - 1 = 0 . Aflaţi cea mai mare valoare numerică a expresiei E (x , y ) = 9x2 + 6xy + 4 y 2 + 3x + 2 y . 9.3 Fie ABCD trapez dreptunghic cu AB 11 CD şi m (Z B ) = 15°. Punctul H aparţine dreptei BC astfel, că A H 1 BC şi CD = B H . Aflaţi aria trapezului ABCD, dacă AD + A H = 8. 9.4 Fie m , n e N* şi egalitatea 1 1 A A _ A A A A _ A + + 1 •+ -----+2 + 3 4 + 5 + 6 + 7 8 + " ‘ + 1609 ' 1610 ' 1611 fracţie ireductibilă. Demonstraţi, că 2017 divide m .
m , m 1 = — , unde — este -+ ■ n n 1612 ' 1613
Timp de lucru - 4 ore astronomice. Fiecare problemă se apreciază cu 7 puncte. MULT SUCCES!
A 61-a OLIMPIADĂ DE MATEMATICĂ A REPUBLICII MOLDOVA Chişinău, 03 - 06 martie 2017 Clasa a LY"-a, ziua a doua 9.5 Numerele reale diferite a şi b sunt astfel, încât ecuaţia (x 2 + 20ax + 1 0 b )(x 2 + 20hx + 10a) = 0 n-are soluţii. Demonstraţi, că numărul 20(b - a) nu este întreg. x2 y 2 z2 9.6 Dacă x, y , z , t > 0, demonstraţi c ă ----- 1-------- 1----- > 4(x —t ). y z t 9.7 în triunghiul ascuţitunghic ABC, mediana AM este mai mare decât latura triunghiul ABC poate fi tăiat în trei părţi din care se poate forma un romb.
AB. Demonstraţi, că
9.8 Pe o masă se află 2017 monede. Doi jucători fac mişcări pe rând. La o mişcare primul poate să ia de pe masă orice număr impar de monede de la 1 la 99, al doilea - orice număr par de monede de la 2 la 100. Pierde cel care nu mai poate face mişcarea. Cine câştigă într-un joc corect? Timp alocat - 4 ore astronomice Fiecare problemă rezolvată corect se apreciază cu 7 puncte.
MULT SUCCES!
61-ая М АТЕМ АТИЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА РЕСП УБЛИ КИ МОЛДОВА Кишинэу, 4 марта - 7 марта 201 7
IX класс, первый день 9.1 Найдите наибольшее число элементов, которые могут быть выбраны из множества {1; 2;...; 2017} таким образом, чтобы разность любых двух из них отличалась от 17. 9.2 Пусть х и у действительные числа, удовлетворяющие условия 9х2 + 4у 2 - 1 = 0. Найдите наибольшее числовое значение выражения Е ( х ,у ) = 9х2 + 6ху + 4 у 2 + 3х + 2 у . 9.3 Дана прямоугольная трапеция А В С Б с АВ\ \ С Е и т ( Х В ) ~ 75°. Точка Я принадлежит прямой ВС так, что А Н X ВС и СО = В Н . Найдите площадь трапеции АВСО, если АО + А Н = 8.
9.4 Пусть т , п е N* и 1 1 3 1 1 _1 3 + 1+ —■+ --------1— |-----ь 2 3 4 5 6 7 8 несократимая дробь. Докажите что 2017 делит т .
+_L_ + _ L + _J___ 3_ 1609
1610
1611
1 _т
1 6 1 2 + 1613 ~ п ’
т где — п
Время работы - 4 астрономических часа. Каждая задача оценивается 7 очками. ЖЕЛАЕМ УСПЕХОВ! I
*
61-ая МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА РЕСПУБЛИКИ МОЛДОВА Кишинэу, 03 —06 марта 2017 IX класс, второй день 9.5 Различные действительные числа а и Ь таковы, что уравнение (х 2 + 20ах + 10Ь)(х2 + 20Ьх + 10а) = 0 не имеет корней. Докажите, что число 20(Ь —а) не является целым. 9.6 Докажите, что при всех положительных х ,у ,г , £ выполняется неравенство х2 у2 z2 — + — + — > 4(х - £). у z t 9.7 В остроугольном треугольнике АВС медиана АМ длиннее стороны АВ. Докажите, что треугольник АВС можно разрезать на три части, из которых складывается ромб. 9.8 На столе лежат 2017 монет. Двое играют в следующую игру. Ходят по очереди. За ход первый может взять со стола любое нечетное число монет от 1 до 99, второй - любое четное число монет от 2 до 100. Проигрывает тот, кто не сможет сделать ход. Кто выигрывает при правильной игре? Время выполнения - 4 астрономических часа Правильное решение каждой задачи оценивается в 7 баллов. ЖЕЛАЕМ УСПЕХОВ!
ж
A 61-a OLIMPIADĂ D E M ATEMATICĂ A REPUBLICII MOLDOVA Chişinău, 3 - 6 martie 201 7
Clasa a VUI-a, prima zi
8.1. Demonstraţi că dacă x, y 6 R şi x 2 + y 1 —2 x + 12y + 33 —0 , atunci x > y . 8.2. Dacă a ,b ,c ,d sunt numere reale pozitive astfel încât ab = 2 şi c d = 2 7 , aflaţi valoarea minimă a expresiei E = {a + !)(£> + 2 )(c + 3 )(d + 4 ). 8.3. în triunghiul A B C cu m (< A ) = 90° construim bisectoarea CD a unghiului A C B ,D e (A B ) şi
B E I CD, E e C D . Ştiind că C D = 2 • D E , aflaţi măsurile unghiurilor ascuţite ale triunghiului A B C . 8.4. Determinaţi toate funcţiile f , g : R —> R , ştiind că
/ ( x + 4) + 2g(2x + 7) =
şi / ( ^ ——) + g(x + 2) = x + 6. Timp alocat - 4 ore astronomice
Fiecare problemă rezolvată corect se apreciază cu 7 puncte.
M ULT SUCCES!
A 61-a OLIMPIADĂ D E MATEMATICĂ A REPUBLICII MOLDOVA Chişinău, 3 - 6 martie 2017 Clasa a VTII-a, a doua zi
3
3
8.5. Determinaţi numerele x ,y G E pentru care 3x = 2_y H— şi 3 y = 2x3 — . T x 8.6. Fie mulţimea A = [-2, 3 ] \Z şi {xl,x 2,x 3,x 4,x s,x 6} c z A o submulţime oarecare a sa. a) Demonstraţi că - 1 2 < [x, ]+ [x 2] + [x3] + [x4] + [x5] + [x6] < 12. b) Arătaţi că există i ^
j, i,j e (1, 2, 3, 4, 5, 6} astfel încât [| x,. - xy |] = 0. Am notat | a \ modulul lui
a şi [a] partea întreagă a lui a . 8.7. în triunghiul oarecare A B C , D e (B C ) şi E e (A B) astfel încât B C = 3 • CD şi A B = 2 • A E . Dacă P este mijlocul lui [C E ], arătaţi că punctele A, P, D sunt coliniare. 8.8. Fie numerele fixate a, b, c > 0 şi numerele nenule x, y , z astfel încât ax+ b y + c z —0 . Să se arate că expresia___ /
E ( x ,y ,z ) -
b c (y - z ) ^ + ca(z - x)^ + a b(x - y ) ^ ax
9
9 + by
9
+cz
nu depinde de x, y , z . Timp alocat - 4 ore astronomice Fiecare problemă rezolvată corect se apreciază cu 7 puncte.
MULT SUCCES!
61-ая М АТЕМ АТИЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА РЕСПУБЛИКИ МОЛДОВА Кишинэу, 3 - 6 марта 201 7
VIII класс, первый день
8.1. Докажите, что если х , у е R и х 2 + у 2 - 2 х + 1 2 у + 33 = 0 , то х > у . 8.2. Для действительных положительных чисел а,Ь,с,с1 таких что аЬ = 2 и сс1 — 2 7 , найдите минималное значение выражения Е = (а + 1)(Д + 2 ){с + 3)(с/ + 4 ). 8.3. В треугольнике А В С с т (< А ) = 90° строим бисектрису
СО угла А С В , Ое(ДО) и
В Е _1_ СО , Е е С О . Известно что С£) = 2 • Е Е . Найдите величины острых углов треугольника ДОС.
8.4. Определите все функции f , g .‘ R —> R , если известно что / ( х + 4 ) + 2
х+3
2
и
+ о О + 2) = х + 6 .
Время выполнения - 4астрономических часа Правильное решение каждой задачи оценивается в 7 баллов. Ж ЕЛ АЕМ УСПЕХОВ!
A 61-a OLIMPIADĂ DE MATEMATICĂ A REPUBLICII MOLDOVA Chişinău, 3 —6 martie 2017 Clasa a VUI-a, a doua zi
8.5. Determinaţi numerele
3
3
x,y &R pentru care 3x = 2y H— şi 3y = 2x — . y x
8.6. Fie mulţimea A = [—2, 3] \ Z şi {x1,x 2,x 3,x 4,x 5,x 6} CI A o submulţime oarecare a sa. a) Demonstraţi că —12 < [Xj ] + [x2] + [x3] + [x4] + [x5] + [x6] < 12. b) Arătaţi că există i ^
j, i,j e {1, 2, 3, 4, 5, 6} astfel încât [| x ;. —x j |] = 0. Am notat | a \ modulul lui a şi [a] partea întreagă a lui a .
8.7. în triunghiul oarecare A B C , D e (B C ) şi E e (A B) astfel încât B C = 3 • C D şi A B = 2 • A E . Dacă P este mijlocul lui [CE] , arătaţi că punctele A, P, D sunt coliniare. 8.8. Fie numerele fixate că expresia___
a, b, c > 0 şi numerele nenule x, y, z astfel încât ax+ by+cz—0 . Să se arate
E (x, y, z) =
bc(y - z)2 + ca(z - x)2 + ab(x - _y)2 ax
9
9 + by
+cz
9
nu depinde de x, y , z . Timp alocat - 4 ore astronomice Fiecare problemă rezolvată corect se apreciază cu 7puncte.
MULT SUCCES!
A 61-a OLIMPIADĂ DE MATEMATICĂ A REPUBLICII MOLDOVA Chişinău, 3-7 martie 2017 Clasa a VH -a, prima zi 7.1. Rezolvaţi în N ecuaţia x + __-__= _ z 7.2.
16
Determinaţi cel mai mare număr posibil de unghiuri, formate în jurul unui punct, ale căror măsuri în grade se exprimă prin numere naturale impare diferite.
7.3. Demonstraţi că
l-(l + 2)
7.4.
___ 3 (l + 2)-(l + 2 + 3)
4___________ _______________ 2017 _ 2 (l + 2 + 3)-(l + 2 + 3 + 4) (l + 2 + 3 + ... + 2016Xl + 2 + 3 + ... + 2017) 20172
Arătaţi că există numerele naturale x şi y, pentru care x 2 + y 3 = 20172017.
Timp de lucra: 4 ore Fiecare problemă rezolvată corect se apreciază cu 7 puncte.
MULT SUCCES!
A 61-a OLIMPIADĂ D E M ATEM ATICĂ A REPU BLICII MOLDOVA Chişinău, 3-7 martie 2017 Clasa a VII -a , ziua a doua 7.5. într-un tabel dreptunghiular sunt scrise primele numere naturale nenule, în ordine crescătoare, pe rânduri egale de la stânga la dreapta, câte unul în fiecare celulă. Ştiind că pe rândul din mijloc se află numărul 100, iar în dreptul acestui număr, pe ultimul rând, se află numărul 193, aflaţi câte numere sunt scrise în tabel. 7.6. Fie triunghiul ABC cu m(4-BAC) = 90°, m(4-ACB) = 15°. Pe latura BC se ia punctul D, iar pe latura AC - punctul E, astfel încât m(4-BAD) = m(4-EBC) = 30°. Demonstraţi că AB = DE. 7.7. Două numere naturale le vom numi ’’p ătrate răsturnate’’ dacă sunt unul răsturnatul celuilalt, iar pătratele lor la fel sunt unul răsturnatul celuilalt. De exemplu numerele 13 şi 31 sunt ’’pătrate răsturnate Demonstraţi că numerele 1 000 ... 00 3 şi 3 000 ... 00 1 sunt ’’p ătrate răsturnate 2 0 1 7 -o r i
7.8.
Determinaţi
numerele
naturale
nenule
2 0 1 7 -o ri
a, b, c
ştiind
că
2016 _ 2017 _ 2018 a + b a +c b +c
2(b - a )2 + 4(c - b )2 + 3(c - a ) 2 = 288. Timp de lucru: 4 ore Fiecare problemă rezolvată corect se apreciază cu 7 puncte.
MUL T SUCCES.
>
61-ая МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА РЕСПУБЛИКИ МОЛДОВА Кишинэу, 3-7 марта 2017
УП класс, первый день 7.1.
Решите на множестве N уравнение х +
1 1 У+г
37 16'
7.2.
Определите наибольшее число углов построенные вокруг данной которых выражены различными натуральными нечетными числами.
7.3.
Докажите, что
точки, градусные меры
2___________ 3__________________ 4___________ ___________________ 2017_______________ 2 1•(И -2) (1 + 2)-(1 + 2 + 3) (1 + 2 + 3)■ (1 + 2 + 3 + 4) (1 + 2 + 3+ ...+ 201бХ1 + 2 + 3 + ... +2017) < 20172
7.4.
Покажите что существуют натуральные числа х н у , для которых х 2 + у 3 = 20172017,
Время выполнения: 4 часа Правильное решение каждой задачи оценивается в 7 баллов. ЖЕЛАЕМ УСПЕХОВ!
61-ая МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА РЕСПУБЛИКИ МОЛДОВА Кишинэу, 3-7 марта 2017 УП класс, второй день 7.5. Прямоугольная таблица содержит первые натуральные ненулевые числа, в порядке возрастания, в равных строках, слева направо, по одному в каждой ячейке. Если известно, что число 100 находится в средней по порядку строке, а точно под ним, в последней строке, находится число 193 определите сколько чисел содержит таблица.
7.6. Задан треугольник АВС с т(4-ЯЛС) = 90°, т(4-ЛСВ) — 15°. На стороне ВС взята точка О, а на стороне АС - точка Е, так что т(4-ВАО) —т(б-ЕВС) = 30°. Докажите, что АВ = ОЕ 7.7.
Назовем два натуральных числа «.перевернутыми квадратами'», если один из них является «перевернутым» другого, а также их квадраты являются взаимно «перевернутыми». Например, числа 13 и 31 являются «перевернутыми квадратами». Докажите, что числа 1 000 ... 00 3 и 2017 нулей
3 000 ... 0 0 1 являются «перевернутыми квадратами». 2017 нулей
, 2016 2017 2018 7.8. Найдите натуральные ненулевые числа а, о, с, если известно, что ^ ~ - ~д д д ~ 2 (Ь —а )2 + 4(с — Ь)2 + 3(с — а )2 = 288.
Время выполнения: 4 часа Правильное решение каждой задачи оценивается в 7 баллов.
Ж ЕЛ АЕМ УСПЕХОВ!
и
