Open and Closed Sets Real-Valued Functions

Open and Closed Sets

§2.3 开集和闭集

刘晓军

实变函数

Open and Closed Sets Real-Valued Functions

开集(Open Sets)

定义2.7 开集 O ⊂ R为开集，若∀x ∈ O，存在r > 0，使 得(x − r, x + r) ⊂ O.

刘晓军

实变函数

Open and Closed Sets Real-Valued Functions

例2.5

1

(a, b)是开集

刘晓军

实变函数

Open and Closed Sets Real-Valued Functions

例2.5

1

2

(a, b)是开集 (0, 1]不是开集

刘晓军

实变函数

Open and Closed Sets Real-Valued Functions

例2.5

1

2

3

(a, b)是开集 (0, 1]不是开集 K是可数集，则K不是开集

刘晓军

实变函数

Open and Closed Sets Real-Valued Functions

例2.5

1

2

3

4

(a, b)是开集 (0, 1]不是开集 K是可数集，则K不是开集 无理数集Qc 不是开集

刘晓军

实变函数

Open and Closed Sets Real-Valued Functions

开集的性质 Theorem (2.2) 1

R和∅是开集

刘晓军

实变函数

Open and Closed Sets Real-Valued Functions

开集的性质 Theorem (2.2) 1

2

R和∅是开集 若A和B是开集，则A ∩ B是开集（有限个开集 的交也是开集）

刘晓军

实变函数

Open and Closed Sets Real-Valued Functions

开集的性质 Theorem (2.2) 1

2

3

R和∅是开集 若A和B是开集，则A ∩ B是开集（有限个开集 的交也是开集） S 若{Ol }l∈I 是一族开集，则 l∈I Ol 也是开集

刘晓军

实变函数

Open and Closed Sets Real-Valued Functions

开集的性质 Theorem (2.2) 1

2

3

R和∅是开集 若A和B是开集，则A ∩ B是开集（有限个开集 的交也是开集） S 若{Ol }l∈I 是一族开集，则 l∈I Ol 也是开集

注

刘晓军

实变函数

Open and Closed Sets Real-Valued Functions

开集的性质 Theorem (2.2) 1

2

3

R和∅是开集 若A和B是开集，则A ∩ B是开集（有限个开集 的交也是开集） S 若{Ol }l∈I 是一族开集，则 l∈I Ol 也是开集

注 一般拓扑空间开集也需满足上述条件

刘晓军

实变函数

Open and Closed Sets Real-Valued Functions

开集的性质 Theorem (2.2) 1

2

3

R和∅是开集 若A和B是开集，则A ∩ B是开集（有限个开集 的交也是开集） S 若{Ol }l∈I 是一族开集，则 l∈I Ol 也是开集

注 一般拓扑空间开集也需满足上述条件 无限多个开集的交不一定是开集： ∞ \ n=1 刘晓军

! 1 1 − , = {0} n n 实变函数

Open and Closed Sets Real-Valued Functions

命题2.13 每个开集O都可分解为可数多个开区间 的不交并，并且这种分解是唯一的. ax x

bx

Iy

}

}

Ix

ay O

y

bx

证明思路. 1

若x ∈ O，则找到包含x的最长开区间Ix ，使得Ix ⊂ O

 刘晓军

实变函数

Open and Closed Sets Real-Valued Functions

命题2.13 每个开集O都可分解为可数多个开区间 的不交并，并且这种分解是唯一的. ax x

bx

Iy

}

}

Ix

ay O

y

bx

证明思路. 1

若x ∈ O，则找到包含x的最长开区间Ix ，使得Ix ⊂ O

2

证明若x , y ∈ O，则开区间Ix ，Iy 要么相等，要么不相交

 刘晓军

实变函数

Open and Closed Sets Real-Valued Functions

命题2.13 每个开集O都可分解为可数多个开区间 的不交并，并且这种分解是唯一的. ax x

bx

Iy

}

}

Ix

ay O

y

bx

证明思路. 1

若x ∈ O，则找到包含x的最长开区间Ix ，使得Ix ⊂ O

2

证明若x , y ∈ O，则开区间Ix ，Iy 要么相等，要么不相交

3

每个开区间A至少包含一个有理点rA ，因此开区间的个数是 可数多  刘晓军

实变函数

Open and Closed Sets Real-Valued Functions

命题2.13 每个开集O都可分解为可数多个开区间 的不交并，并且这种分解是唯一的. ax x

bx

Iy

}

}

Ix

ay O

y

bx

证明思路. 1

若x ∈ O，则找到包含x的最长开区间Ix ，使得Ix ⊂ O

2

证明若x , y ∈ O，则开区间Ix ，Iy 要么相等，要么不相交

3

4

每个开区间A至少包含一个有理点rA ，因此开区间的个数是 可数多 唯一性：请大家自证  刘晓军

实变函数

Open and Closed Sets Real-Valued Functions

闭集(Closed sets)

定义2.8 极限点,闭包(Limit point, closure) x是E ⊂ R的极限点：∀  > 0，∃ y ∈ E，使 得|y − x| < 

刘晓军

实变函数

Open and Closed Sets Real-Valued Functions

闭集(Closed sets)

定义2.8 极限点,闭包(Limit point, closure) x是E ⊂ R的极限点：∀  > 0，∃ y ∈ E，使 得|y − x| <  E的闭包: E={x ∈ R : x是E的极限点}.

刘晓军

实变函数

Open and Closed Sets Real-Valued Functions

极限点的例子

E⊂E

刘晓军

实变函数

Open and Closed Sets Real-Valued Functions

极限点的例子

E⊂E E = [0, 1) ∪ {3}则E = [0, 1] ∪ {3}

刘晓军

实变函数

Open and Closed Sets Real-Valued Functions

例2.6

1

R = R，∅ = ∅

刘晓军

实变函数

Open and Closed Sets Real-Valued Functions

例2.6

1

2

R = R，∅ = ∅ (a, b) = [a, b].

刘晓军

实变函数

Open and Closed Sets Real-Valued Functions

例2.6

1

2

3

R = R，∅ = ∅ (a, b) = [a, b]. N=N

刘晓军

实变函数

Open and Closed Sets Real-Valued Functions

例2.6

1

2

3

4

R = R，∅ = ∅ (a, b) = [a, b]. N=N Q = R，Qc = R

刘晓军

实变函数

Open and Closed Sets Real-Valued Functions

例2.6

1

2

3

4

5

R = R，∅ = ∅ (a, b) = [a, b]. N=N Q = R，Qc = R A是R中的有限点集，则A = A

刘晓军

实变函数

Open and Closed Sets Real-Valued Functions

闭集（Closed Set）

定义2.9 闭集 F是R中闭集，若F = F .

刘晓军

实变函数

Open and Closed Sets Real-Valued Functions

例2.7

1

R和∅ 都是闭集

刘晓军

实变函数

Open and Closed Sets Real-Valued Functions

例2.7

1

2

R和∅ 都是闭集 [a, b],[a, ∞), (−∞, b] 是闭集

刘晓军

实变函数

Open and Closed Sets Real-Valued Functions

例2.7

1

2

3

R和∅ 都是闭集 [a, b],[a, ∞), (−∞, b] 是闭集 N是闭集

刘晓军

实变函数

Open and Closed Sets Real-Valued Functions

例2.7

1

2

3

4

R和∅ 都是闭集 [a, b],[a, ∞), (−∞, b] 是闭集 N是闭集 Q和Qc 都不是闭集

刘晓军

实变函数

Open and Closed Sets Real-Valued Functions

例2.7

1

2

3

4

5

R和∅ 都是闭集 [a, b],[a, ∞), (−∞, b] 是闭集 N是闭集 Q和Qc 都不是闭集 R的有限子集是闭集

刘晓军

实变函数

Open and Closed Sets Real-Valued Functions

例2.7

1

2

3

4

5

6

R和∅ 都是闭集 [a, b],[a, ∞), (−∞, b] 是闭集 N是闭集 Q和Qc 都不是闭集 R的有限子集是闭集 存在既不是开集也不是闭集的集合

刘晓军

实变函数

Open and Closed Sets Real-Valued Functions

开集与闭集的关系

Proposition (2.14)

闭集 ⇐⇒ 余集是开集，反之亦然.

刘晓军

实变函数

Open and Closed Sets Real-Valued Functions

相对开、闭集

定义2.10 D的相对开集 G ⊂ D称为是D中的相对开集，若存在开集O，使 得G = O ∩ D。F ⊂ D称为是D中的相对闭集， 若D\F为D中相对开集。

刘晓军

实变函数

Open and Closed Sets Real-Valued Functions

相对开、闭集

定义2.10 D的相对开集 G ⊂ D称为是D中的相对开集，若存在开集O，使 得G = O ∩ D。F ⊂ D称为是D中的相对闭集， 若D\F为D中相对开集。 等价定义2.10 若∀x ∈ G，存在r > 0，使得(x − r, x + r) ∩ D ⊂ G

刘晓军

实变函数

Open and Closed Sets Real-Valued Functions

例2.8

1

D = [0, 2]，则[0, 1)是D中的开集

刘晓军

实变函数

Open and Closed Sets Real-Valued Functions

例2.8

1

2

D = [0, 2]，则[0, 1)是D中的开集 [0, 1]不是D中的开集

刘晓军

实变函数

Open and Closed Sets Real-Valued Functions

例2.8

1

2

3

D = [0, 2]，则[0, 1)是D中的开集 [0, 1]不是D中的开集 D = N，则任何A ⊂ N都是N中的开集

刘晓军

实变函数

Open and Closed Sets Real-Valued Functions

Real-Valued Functions

§2.4 实值函数

刘晓军

实变函数

Open and Closed Sets Real-Valued Functions

实值函数的代数运算

设f , g : Ω → R，α ∈ R (f + g)(x) = f (x) + g(x) (αf )(x) = αf (x) (f · g)(x) = f (x)g(x)

刘晓军

实变函数

Open and Closed Sets Real-Valued Functions

连续函数(Continuous Functions) 定义2.11 连续函数 设D ⊂ R，f : D → R，x0 ∈ D。若对于每 个 > 0，存在δ > 0，使得当x ∈ D， 且|x − x0 | < δ时 |f (x) − f (x0 )| < . 则称f 在x0 处连续。若f 在D中每点处均连续, 称f 在D上连续.

刘晓军

实变函数

Open and Closed Sets Real-Valued Functions

连续函数(Continuous Functions) 定义2.11 连续函数 设D ⊂ R，f : D → R，x0 ∈ D。若对于每 个 > 0，存在δ > 0，使得当x ∈ D， 且|x − x0 | < δ时 |f (x) − f (x0 )| < . 则称f 在x0 处连续。若f 在D中每点处均连续, 称f 在D上连续. 定义 C(D) = {D上所有连续函数}，简记C = C(R) 刘晓军

实变函数

Open and Closed Sets Real-Valued Functions

例2.9 1

D = (0, ∞), f (x) = 1/x是连续函数

刘晓军

实变函数

Open and Closed Sets Real-Valued Functions

例2.9 1

2

D = (0, ∞), f (x) = 1/x是连续函数 D = R, f (0) = 0, f (x) = sin(1/x) 当x , 0是连续 的。0点是间断点。 x 7→ sin(1/x) 1 0.5

0.5 1

刘晓军

实变函数

Open and Closed Sets Real-Valued Functions

例2.9 1

D = R，取整函数f (x) = [x]，在除整数点以 外f 连续 x 7→ [x]

3 2 1 -3

-2

-1

0

1

-1 -2 -3

刘晓军

实变函数

2

3

Open and Closed Sets Real-Valued Functions

例2.9 1

D = R，取整函数f (x) = [x]，在除整数点以 外f 连续 x 7→ [x]

3 2 1 -3

-2

-1

0

1

2

-1 -2 -3 2

任何定义在N上的函数是连续的 刘晓军

实变函数

3

Open and Closed Sets Real-Valued Functions

连续函数代数

Theorem (2.4)

C(D)构成一个代数，即若f , g ∈ C(D)，α ∈ R，则 f + g ∈ C(D) αf ∈ C(D) f · g ∈ C(D) 1

2

3

刘晓军

实变函数

Open and Closed Sets Real-Valued Functions

连续函数的重要性质 Theorem (2.5)

设f : D → R，f 连续 ⇐⇒ 对R中开集O，f −1 (O) ⊂ D是相对开集 （连续 ⇐⇒ 开集的原象是开集） 证明.



刘晓军

实变函数

Open and Closed Sets Real-Valued Functions

连续函数的重要性质 Theorem (2.5)

设f : D → R，f 连续 ⇐⇒ 对R中开集O，f −1 (O) ⊂ D是相对开集 （连续 ⇐⇒ 开集的原象是开集） 证明. “⇒”若x0 ∈ f −1 (O)，则y = f (x0 ) ∈ O ∴ (y − , y + ) ⊂ O



刘晓军

实变函数

Open and Closed Sets Real-Valued Functions

连续函数的重要性质 Theorem (2.5)

设f : D → R，f 连续 ⇐⇒ 对R中开集O，f −1 (O) ⊂ D是相对开集 （连续 ⇐⇒ 开集的原象是开集） 证明. “⇒”若x0 ∈ f −1 (O)，则y = f (x0 ) ∈ O ∴ (y − , y + ) ⊂ O 对，存在δ，使得x ∈ D且|x − x0 | < δ时，|f (x) − f (x0 )| <  , ∴ (x0 − δ, x0 + δ) ∩ D ⊂ f −1 (O)



刘晓军

实变函数

Open and Closed Sets Real-Valued Functions

连续函数的重要性质 Theorem (2.5)

设f : D → R，f 连续 ⇐⇒ 对R中开集O，f −1 (O) ⊂ D是相对开集 （连续 ⇐⇒ 开集的原象是开集） 证明. “⇒”若x0 ∈ f −1 (O)，则y = f (x0 ) ∈ O ∴ (y − , y + ) ⊂ O 对，存在δ，使得x ∈ D且|x − x0 | < δ时，|f (x) − f (x0 )| <  , ∴ (x0 − δ, x0 + δ) ∩ D ⊂ f −1 (O) “⇐”∀ > 0，f −1 ((y − , y + ))是D中相对开集，所以存 在δ，使得(x0 − δ, x0 + δ) ∩ D ⊂ f −1 ((y − , y + )) 

刘晓军

实变函数

Open and Closed Sets Real-Valued Functions

推论2.1

Corollary (2.1)

f : R → R是连续的 ⇐⇒ 对于开 集O，f −1 (O)是(R中)开集.

刘晓军

实变函数

Open and Closed Sets Real-Valued Functions

单调函数(Monotone Function)

定义2.12 单调函数 设f 在区间I上定义 单调非减：当x < y ∈ I时，f (x) ≤ f (y) 单调非增：当x < y ∈ I时，f (x) ≥ f (y) 单调：单调非减或单调非增 1

2

3

刘晓军

实变函数

Open and Closed Sets Real-Valued Functions

逐点收敛(Pointwise Convergence)

定义2.13 逐点收敛 {fn }是Ω上一列实值函数，若对x ∈ Ω lim fn (x) = f (x)

n→∞

则称fn 在Ω上逐点收敛至f .

刘晓军

实变函数

Open and Closed Sets Real-Valued Functions

例2.11 lim (1 + x/n)n = ex

20

ex

n→∞

15

-1

10

n=7 n=6 n=5 n=4 n=3 n=2

5

n=1

0

1 刘晓军

实变函数

2

3

Open and Closed Sets Real-Valued Functions

例2.11 ( n

lim x =

1

n→∞

1 0

x=1 x 6= 1

n=1

0.5

n=2

0

0

n=3 n=4 f 0.5 刘晓军

实变函数

1

Open and Closed Sets Real-Valued Functions

在逐点极限下封闭(Closure under pointwise limit) 定义2.14 在逐点极限下封闭 设F 是实值函数集合。设{fn } ⊂ F ，若 lim fn = f

=⇒

则称F 在逐点极限下封闭。

刘晓军

实变函数

f ∈F

Open and Closed Sets Real-Valued Functions

在逐点极限下封闭(Closure under pointwise limit) 定义2.14 在逐点极限下封闭 设F 是实值函数集合。设{fn } ⊂ F ，若 lim fn = f

=⇒

则称F 在逐点极限下封闭。 注

刘晓军

实变函数

f ∈F

Open and Closed Sets Real-Valued Functions

在逐点极限下封闭(Closure under pointwise limit) 定义2.14 在逐点极限下封闭 设F 是实值函数集合。设{fn } ⊂ F ，若 lim fn = f

=⇒

则称F 在逐点极限下封闭。 注 C(D)对逐点极限不封闭

刘晓军

实变函数

f ∈F

Open and Closed Sets Real-Valued Functions

在逐点极限下封闭(Closure under pointwise limit) 定义2.14 在逐点极限下封闭 设F 是实值函数集合。设{fn } ⊂ F ，若 lim fn = f

=⇒

f ∈F

则称F 在逐点极限下封闭。 注 C(D)对逐点极限不封闭 ˆ Borel可测函数集合C(D)对逐点极限封闭

刘晓军

实变函数

Open and Closed Sets Real-Valued Functions

在逐点极限下封闭(Closure under pointwise limit) 定义2.14 在逐点极限下封闭 设F 是实值函数集合。设{fn } ⊂ F ，若 lim fn = f

=⇒

f ∈F

则称F 在逐点极限下封闭。 注 C(D)对逐点极限不封闭 ˆ Borel可测函数集合C(D)对逐点极限封闭 C(D)对一致收敛封闭

刘晓军

实变函数

Open and Closed Sets Real-Valued Functions

一致收敛(Uniform Convergence)

定义2.15 一致收敛 令{fn }∞ n=1 ⊂ C(Ω).若对∀ > 0，存在N ∈ N，使 得n ≥ N时 |fn (x) − f (x)| < 

对任意 x ∈ Ω成立,

则称fn 一致收敛至f .

刘晓军

实变函数

Open and Closed Sets Real-Valued Functions

C(D)在一致收敛下封闭

Proposition (2.15)

若{fn }∞ n=1 ⊂ C(D) 且fn → f 是一致收敛，则 f ∈ C(D)

刘晓军

实变函数

Open and Closed Sets Real-Valued Functions

函数单调序列

定义2.16 {fn }n 是函数序列，若 单调非减：对于每个x ∈ Ω，fn (x)单调非减 单调非增：对于每个x ∈ Ω，fn (x)单调非增 单调：上述两种中一种 1

2

3

刘晓军

实变函数

Open and Closed Sets Real-Valued Functions

作业

P61：命题2.14，P64：2.47 b) e)，2.51

选作：2.52

刘晓军

实变函数

Open and Closed Sets Real-Valued Functions

作业

P61：命题2.14，P64：2.47 b) e)，2.51

选作：2.52 P66：定理2.5，P71：2.54，2.56，2.60 选作：2.63

刘晓军

实变函数