Universidade Federal do ABC - UFABC 2 Avaliação de Álgebra Linear Prof. Ducati - 03/mai/2017

Nome: Questão 1. Considere T : R2 → R2 uma transformação linear tal que T(, y) = ( + y,  + y). (a) (1 pt) Encontre os autovalores e autovetores de T. (b) (0,5 pt) T é diagonalizável? Explique. (c) (1 pt) T é um isomorfismo? Justifique. Questão 2. (2,5 pts) Seja β = {1, 1 − ,  + 2 } uma base de P2 , o espaço dos polinômios de grau menor ou igual a 2, munido do produto interno < p, q >= 0 b0 + 1 b1 + 2 b2 onde p() = 0 + 1  + 2 2 e q() = b0 + b1  + b2 2 . Utilize o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt para, a partir de β, exibir uma base ortonormal de P2 . Questão 3. Sejam A e B matrizes semelhantes, isto é, B = SAS−1 . (a) (1 pt) Mostre que os autovalores de A e B são iguais. (b) (1 pt) Qual a relação entre os autovetores de A e B? Explique. (c) (0,5 pt) É correto dizer que se B é diagonalizável então A também é? Justifique. Questão 4. (2,5 pts) Seja V o espaço das funções reais e contínuas definidas no intervalo [−1, 1]. O produto interno definido em V é dado por Z1 ƒ ()g()d .

< ƒ , g >= −1

Seja W = {ƒ ∈ V|ƒ (−) = −ƒ ()}, isto é, o subespaço das funções ímpares. Determine W ⊥ .