Université Abdelmalek Essaâdi Faculté des Sciences de Tétouan Départements de Maths & Info

SMIA/4 vendredi 15 mai 2015

Intégration numérique

Exercices de préparation Exercice 1 R1 1. Tracer sommairement le graphe de la fonction f (x) = xArctg x et montrer que 0 f (x) dx = π4 − 21 2. Donner la formule composite de f , relative à la méthode des trapèzes, pour une sudivision comportant 3 points. Z ∞ 1 Arctg x dx existe et trouver sa valeur exacte. 3. Montrer que x3 1 4. Déduire de ce qui précède une valeur approchée de cette intégrale. (On pourra prendre Arctg 21 = 0. 46365) Exercice 2 R2 1. Calculer la valeur approchée de 1 x1 dx, à l’aide de la méthode de Simpson, pour une subdivision ayant trois points. 2. Vérifier que la valeur trouvée est acceptable pour la méthode utilisée. 3. Comparer la formule composite de f (x) = x1 avec celle de g(x) = sin x1 . R2 4. En déduire une estimation de l’erreur effective commise dans le calcul approché de 1 g(x) dx. 5. A-t-on à coup sûr une précision égale à 10−5 ? Expliquer. (On rappelle que

2 πx

≤ sin x ≤ x pour x ∈ [0, π2 ])

Exercice 3 R2 1. Calculer à l’aide de la méthode des trapèzes la formule de quadrature de l’intégrale I1 = 1 log xdx 2. Utiliser la même méthode pour le calcul de la formule R 2composite de I1 relative à N = 2. 3. En déduire une valeur approchée de l’intégrale I2 = 1 x3 log xdx (On prendra log 2 = 0. 69315.) Exercice 4 Z 2 1 On considère l’intégrale suivante, I = − x dx 1

1. Evaluer la formule de quadrature de cette intégrale par la méthode des trapèzes. 2. Donner l’allure du graphe de la fonction y = − x1 . a) Pourquoi la valeur numérique, obtenue à la question 1, est-elle inférieure à − ln 2 ? b) Est-ce vrai quelque soit h ? Expliquer. 3. Si on souhaite évaluer I avec la méthode de Simpson, quelle valeur de h faut-il choisir pour avoir une erreur inférieure à 10−4 ? Exercice 5 √ 1. Tracer le graphe de f (x) = x x2 − 1 Z 2 p √ x x2 − 1 dx est égale à 3 2. Montrer que la valeur exacte de I = 1

3. Donner la valeur approchée de I, à l’aide de la méthode des trapèzes, pour une subdivision comportant trois nœuds. 4. En déduire la valeur de l’erreur effective commise tout en précisant sa nature. 5. Montrer qu’il est impossible de déterminer une estimation à cette erreur.

Exercice 6 R1 1. Donner l’allure du graphe de la fonction f (x) = Arctg(1 − x) et trouver la valeur exacte de 0 Arctg(1 − x) dx. 2. Ecrire la formule de quadrature ainsi que la formule composite de f , relative à la méthode des trapèzes, pour une sudivision ayant un pas égal à 12 . 3. A-t-on dans ce cas une précision égale à 10−3 ? Justifier votre réponse. 1 ), pour tout x ∈ R. 4. Montrer que Arctg x + Arctg(1 − x) = Arctg( x2 −x+1 R1 1 5. Vérifier que 0 Arctg( x2 −x+1 ) dx est bien définie et trouver sa valeur exacte. R1 1 6. Déduire de ce qui précède une valeur approchée de 0 Arctg( x2 −x+1 ) dx.

Exercice 7 Rx Soit F (x) = 0 t2 e−t dt. Combien faut-il de subdivisions de [0,1] pour evaluer F (1) à 10−3 près en utilisant i) la méthode des trapèzes ii) la méthode de Simpson

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