Pricing Options under Stochastic Volatility: An Empirical ...

Viewer
Transcript

Ý

£ ! "# " $ " ! % & ' $ $ (# (# )%* " (#

(# (# ) + (# % (# (# ( , (# % , ./// 0110 !2-!*)3-*% (#4 4 $

* & " !# 5

3

$ 5

3$ 6 $# %78 911 $ $ 5 8# # $$ + :8 3$ % ; < * * = .//>5

Ý ? $ @-.00 % @0. ./ *#5 % $ )

99A99 5 B.0-B0A-.1C9 ?6 B.0-B0B-.@@9 - D 5 5

! " # ! ! ! $ %&

$ % '() * % %

+ % % * , " -

(

!"# $ % !"#

& ' (!!)* + , $ - $ , , ,

&

. (!!)* % , $ /$ 0 ,

+ % 1 0

$ & (!!2* 3 Æ

(4555* 6 (!!7* 8 9 0 1 8

/ / (!!# 4555* (4555* 1 1 6

: Æ % 1 + + 0 ; <55 9 % %

4 = 8 1 > + :

+ 1

( *

0 1 1 ; <55 > 1

+ Æ 1 1 $ Æ + + + 1 + ; <55 (>>* ( 3 Æ

(!!7** > 1

+ Æ (>>* ?

% (!!2* 1 + + ; <55 9 % 1 >> + 9 1 %

9 ; <55 & 8 @ A (455* B (455* 6 9 9 & (4554* (4555* = 1 9 1 , & / / (!!#* (4555* 9 1 8 9 Æ

Æ 1 6 (!!7* 8 9 Æ + 0 Æ :

9 $ , 9

7 Æ % + , 1 Æ ' & / ? (4555* (4555* B (!!!* (455* + +

Æ :

,

% % +

Æ 8 1 ; <55 9 Æ 1 +

Æ $ 1 % >> $ Æ 0 1 % @

+ 1

@ + 1 1 ; <55 0 > 1

% >> 1 C ; <55 + 1

1

) 8 @ (3* (C * > 1

$ @ C + 1 + , D 1 9 ?

% (!!"* @ + C $ + C & $ % 6 & $ 1 >>

8 , C 0

= , C :

3 0 3 ,

= , %

,

9 % @

+ 4 + 1 @ 7 + + ) + >> 1 % < + % 2 #

< + "

8 , E

F ( G * G

(*

( * ,

F (

F (

* G

(4*

(7*

* G

, + >

, Æ F ( * % (* $ + + F 5 F 5 :

+

Æ (* @ % $ 1 (7* E 6 (!!7*

(* (7* % 1 (4* ?8'/6 . (!!*

1 $ 8 (* (4*

8 , 8 (8 $ * . (* (4* & > %

(!!5* +

$ E $#

$# $ + # +

F - G00H5

I 5

Æ $ # --

6 I $ G ! G.//@H

) G.//.H H $ Æ

E 5

2 (* (4* (* (7* 1 , + 1

H $ ,

$ , (>A* + , 1 @ & A (!""* >A

I

8 $ E 8JK (!!2*

(!!"* . (4555* / (!!#* 6 (!!<* B D (!!#* B (!!!* (!!#*

( * L

Æ ,

0 M, 8 , > / > / / (!!"* (455* B$ ' (!!)* B (!!"* D / (!!"* > B D (!!"* B (455* , 9 $ 9 0 % 3 Æ

(4555* &

(455* / C (!!!* B D (!!!* / (455* 6 , 1 + + >> ?

% (!!2* $ % 0 M, Æ (* (4* , % >> 3 Æ

(!!7* % >> $ 1

0 , ,

# , = $ >> Æ >A ,

+ 1 8 @ A (455* >> ; <55 , 6 0 1 8 + 8 1

= >> / ? (4555* / (!!! 4555* + (8 , / ? (4555* * (!!2 4555* , (* (7*

( * 9 6 @ $ ('* / / (!!#* $ 1 9 ,

% @ ' % , B (455* 9 1 D (455* / (455* B (455* , , Æ , + - - # -- $ $ $$ * " G.//B .//CH

# ' G011.H

& G.///H & 8 %J G.//BH # % G.///H " ' G.//CH G011.H

G.//1H 8

! G.//AH # % G.//CH5

3

K # # &# ! G.//>H5

" % 9 A (455* % %

/ ? (4555* 1 6 >> $ , % 1 9 ; <55 +

1 $ ; <55 (455* $ 9 0 (4555* ?>> ; <55 @ 9 , (4555* >/>/ ; <55 6 1 9 B (4555* , C+N , ; 55 0 (/C* , 6 (!!7* 6 /C , $ 1 B (!!!* 1 >> $ % 8 $ , / 0 B (4554* ? A ' (455*

# # $ 55 G.//>H

G.//1H 8 G.//>H $ G.//>H5 ! + $

# $ $ $ L 55 # G0111H 8 G.//>H "+ G.//0H " 6 "$ G.//@H 8 G0111H %- M G011.H5

!

! + + (* (4* (* (7* 1 ; <55 + ) + $ ,

(.* ; <55 > , . >> , )4

% >> , , ?

A (!!#* ,

>>

Æ % .

O , . ( * P ( *Q

( & * F G ( * P ( *Q (*

(1, 55* (* ,

F

F G G

F G

( * F ( * F

Þ

G

Æ

G ( G G G * P G (( *

4

! (* F

Þ Ü

( * F (4

!

(**

4 * Q

4

! F

" , ( ½ Å * " " 8 8 A (!!#* ( * ( 0 * F 55 , ?8'/6 $ 8 8'>8 , 0 1 ?

A (!!#* >

5

, % ?8'/6 1 . (!!* 8'/6 % , ( & * >> H . , , , ?8'/6 + + 6 +

, ( # 5*& 1

?8'/6 Æ

> ; <55 R7R!<7 4R7R!!2 5#2 3 % 8 3 :

%

9 $ 8 : ; <55 , 0 8 1 ,& A >D (!!5* $ 1 :

M %

0 1 I 8 @ A (455* : 1 8 8' >8(* 0 6 + >8(* ; <55 % . = + 0 , >

?

' % (!!4* 1 , G H K # # $

+ # 5 + $ 2 )M(5

/ ? (4555* / (4555* (455* H . (+/* 6 O (6O* (8 * % 8'>8(55*?8'/6>(*D@("*D,(5* 1 8 @ A (455* % 4 A9 , ( * 1 1

1

+ + >> (* (4* (* (7* 1 A ($ * ; <55 $ F ( *& ($ * $

; <55 % >> $ 1

$S F % ($ S* % ($ S* % ($ S* , > / $ , , S ' ( ($ * ($ *& S* % ($ S* F (& * '

, ?

% (!!2* , + $ ($ * ($ * #<555 5 G <555

% 1 <555 0 :

$ (& * F #< 555 5 % (* (4* % 7 , ( F * :

L 55 8 G.//0H5 + + $ .91111

¢ .1 N .1111 $ 5

4 F 5 % $ , % 5<##" 1 , >

1 & $ 2!" 7<7 % $ 8 8 3 : H (!!"* 1 1 0 5<# 1 % 7 / / (!!#* ; <55

9 8 @ A (455* & , ; <55

: 1 8 ( * (* (4* , F 5!"< ( * % 1 &

. (!!)*

., + (* (7* F 5 % % 7 $ 1 (* (4* % $ $ 75#) F 5 % ( = ( * , ; <55

1 (* (4* (* (7* 1 . 1 E 8 @ A (455* 9 E + $ # L 55 # G0111H

& G.//CH

G.//CH " ' G.//CH # % G.//CH5

$ + $ $ $ $ #

$ K - 5

1 19.A

F @ /@.0 F 1 ./C. F 1 9/C@5

F

7 $ @ $ 6 9 1 , & / / (!!#* (4555* % (* (4* (* (7* ,

+ , 9 Æ : 9 $ , 9 Æ

" + + +

1 (* (4*

$ (* (7* % , 6 #

3 (* (4* / , ) E

F ( * * P5 ) Q * ) 8 ( * - 0 , + ( * * 8 +S $ ( /, +

' (!"<** E

( * * F

F

' '*

,( * *

()*

' ' ' G G 4 G 4 ' ' '' ' ' G ( * G -( * ' 4 '

G

(<*

% # 5 G.///H G0111H 8 G011.H 8 G011.H5 * # # $ E # # E 6 O

$ 5 % 55 # 5 G0111H G.///H G011.H5

) -( * ,( * *

( 5 * F ( *

+( * * ( * * % (2*

()* @ 8 $ (!!2* -( F 5* F 5

6 > %

(!!5* -( * F -

% ()* (2* $ & @ (455* +

()* ,( * * F 5 ( * F , 5 (#*

% 9 ()* (#* .

( * & - * E

P 5 % Q

% ( * - & % % + , $ + 1 $ , ) + >> $ + 1 Æ - +

+ - % % 1

& 0 @ ' , *PQ-% G.//BH $ $$ $ ##5 * $ - $ E $ $ E 5

<

!

" #$

. $ % , > 0 1 , = 8 ' (!!)*

1 3 : H (!!"* 1 , % 1 % 1 1 % 3 (!!"* 1 1 $ ( B$ B (4555* ' (!!2** % +

T(* * ( * & $ - * F G

("*

T(* * * ( * & $ - * F P5 ) Q @ . + * ?

+

% $ &

% ("* @

T

(* * .

( * & $ - * . F 5

(!*

G0111H 6$ K - # $-I $ $ $ 5

2 :

+ , / = , (/=* , = 0 6 0 , . P T(* * Q , . P ( * & $ - * Q % + , & > (!#7* % (!*

T

(* * .

.

( * & $ - * F 5

+ F / / $ 1

T

(* / * .

.

( * & $ - / * F 5

(5*

+ @ T(* / * P5 ) Q 6 (5* T(* /Ò *Ò 0 F & 0 F & * /Ò / 1, 8 , : ; <55 < T(* * F

T(* / * F / % + /

, / / F +

T(* * F ( * & $ / * G

(*

F 1 ("* : (* + >> -E

T

(* * .

. ( * & $ - / *

F 5

(4*

% , (4* . P T(* * Q , $

T(* Ò *Ò 0 F &

# * Ò /Ò / 1, % ; <55

% , . P ( * & $ - / *Q + , % $ >> $S : F 1, * + 1

-

0 $ ()* (#* L 1 0 8 , + - = , . P ( * & $ - / *Q : + Ò Ò (* (4* % + $ /Ò /Ò F Ò Ò Ò /Ò :

+ , $ S - / *

( Ò * & $ L , Ò (4*

S - / * , (& * ( Ò * & $ Ò

+ (4* , &

T(* Ò *

Ò

(& *

S - / * F 5

( Ò * & $ Ò

(7*

0 / * + S >> :

S >> 0 $ ()* (#* $S F (S S S S S *

% $ & ' (

% >> - 8 1 / $ 6 % + - @ ' ? 0 F & * F ) 1 F 2

" - S F

( Ò S Ò *

S - * & $

Ò

T(* * Ò

()*

S - * S % (Ò SÒ * & $ - ()* (#*

% 1 8 , % S +

% = D 1 (* (4* ( 8 , 8*& 9 ( ?

% (!!"* / ? (4555* / (4555* B (!!!** % E

$ SÒ - @ ' +

C 8 ,

# $

% $ - % ?>> >> %

@ & 8 , / L 3 Æ

(!!7* ?

% (!!2*

$$

+ G.//BH G.//CH5 %; $ # +

$

%%! + # $ E 5 *

$ # $$ %%! #

5

% C5

% )+ G./>AH $ $ -$

& G.//9H $$ 5

!

& (& * & ($S -S *

S & ( $ $ * S & (5 3 * & (- -*

(<*

3 -

S S* & P ( * & $

( * & $ -*Q & (5 U3 U*

(2*

U 4 ( * & $ -*! U ($ -*

E

8 , /

¾

% " ! + + - 1

; <55 , (N* + (* (4* $ 1 (* (7* +

0 1 8 C : + % + C D 1 9 ?

% (!!"* :

3 ( * 0 1

)

#$ $ * % $ &

+ + >> - <) % / * (4* +

$ & + / $ H

45 , > B 3 % + * $ 4 ) # 7 H +

; <55 % 1, 2V& 4V =

$ ()* % % ) , (4#* .

1 ( Æ - #!2* 1 9 % 9

- F 5

)

#$ $ * % $ &

' (

+ + - @ ' << + ; <55 , > !!#& 3 75 !!2 > ) !!# /= : 1, <V 8 : + D 1 +

+ - F 5

' % < + @ ' Æ - % $ 1 - F 5 (% <* % 1 , @ % 1 > %

(!!5* B (!!!* 6 - & >> # (% 2* S * S

($S , (4"*

$ % C5.

K 5 )# $ $

$# $ + # 5

4 % 1 ' + % 1 0 Æ >> 8 @ A (455* % @ ' % %

' 6 , A 0

, W (% <* % + 0 0 8 D 1 + 9 $ ?

% (!!"* ( / ? (4555* / (4555* B (!!!** + % 7 1 . ( & * $ % . ) % #<555 1 + 8'>8(55*?8'/6>(*D@()*D,(5* % ; <55 ( ?

% (!!"* 47 <*E

!( & *

. ( & * F

F

5 (5 & * 5 (5

(#*

. (5 & ** (5 & * 5

("*

; <55

+ : + ' - F 5 % + @ ' - % % < 9 D 1 %

6 + C << 8 % < C $ '

% M

44 W5

- $ @ (% <* % 0 H - $ @ 1 - 1, % 0 0 - % C $ > @ - 1 , - 3 % ,

% + > 1

+ ' >> ( F 5* 1 ( F 5* % % <& % . - (!!"* % 1 1 )4E

Æ 1

)!

+

+ + (* (4* 1 (* (7* 6 (!!7* 8 9 1 :

47 E

F ( F (

* G S -( * * G

(!*

S

(45*

S S > S S * F : ( -( * F - H 1 8 , 3

: + - @ ' 6 #4 8 >> $S ()* + + , C @ ' - % 554#" L G - % - (455* 1 0 +

1 % ' % < 8 6 1

)

#"$

> ' +

; <55 , , B !!#& > 7 !!2 B 7 !!# % $ ()* S 6 $S S #4 + D 1 % % # +

., + 9 (#*("* % % #

9 > C % ' , 4 + % # + '

4) % 6 & ' C

(% #* + 1 1

1

)

,$

C : + 0 + + 1, ("* @ $ + , 8 !!# % C ()*

: 4 8

M : , > 4 !!# ( * 4V

(47V * % : 4 % & 6

, 1 % ,

., + 1

+ C + C F G

C

G

D 1 9 % 3 75 !!2 > 4 !!# % % " =

4< % 1 0 9

)-

$

+

$ 0 ( *

( * & $ -* F

Ê·Ê·

( * ( * & $ -*

(4*

( * & $ -* 3 % 3 @ %

( * & $ -* F

Ê·

( * & $ -*

3 0 ( * & $ -* + + > / : + $

F ( F ( T

* G T * G T

(44*

(47*

T T > T - % + 3 1 % 3 + - F 5 + C , >> $ + 3 6 : 7 > 4 !!# 3 G.//BH G.//CH E

$ $ 5

% 55 *PQ-% " G.//>H *PQ-% 5 G011.H " G./C>H5

- # -% & G 55 G0111HH -# $5

42 , 8 !!# 8 1

3 , , % !"# @ & ' (!!)* + 0 3 6 % 1 ., + 3 @ E - $ 3 - F 577< - F 554#" $ % : 7 0 1 - F 5 % 1 #4 % 0 - Æ 0 3 1 6

+ - 3 0 - % + 3 D 1 9 : )

@ - 3 %

1 % @ - % 1 $ 3 % : < 3 , 8 !!# 0 3 0 , 8 % & % :

% , @ , 9 + 55 G.//CH G0111H % G.//>H5

4#

& ' + $ @ 1

+ 0 Æ + ; <55 + 1 3 : + 1

( * 0 1 1 ; <55 1 ; <55 6 >> 1

, 1 $ , 8 (455* 9 $ @ ; <55 / (!!!* (4555* B (455* (455* M % ' D 1 9 ?

% (!!"* % C 8

, 9 $ C ; <55 & Æ

1 8 3 1 1 9 :

, 3

@ % , 9

4"

$

. /

"

. - % % -

Ø Ø

/

0 1

/

'

0

)0 1 0

2 ,

%

3 4 '5667) 8 & 9

/

1 0 1

/

0 1 '5

:' ); 1

0) 1

' 0) ' ) :' );

0

2'5)

* . <

/

0 1 = '

0 0 1 5>?) 1 '5 0) '5 = ) <

=

0 1 >

=

/

0 1 > 1 >

/

5 1 '5

/

/ 5 /

0) '5 = ) = '5 0) 1 '5 = ) '5 0)

* '

< ) @++ ' < < <)

3 * 8 A 56BC + 566?3 8

0

#$ 1 2 3

$ " 8 'D) ++ D !

Ò / 5

' )

'D)

" 8

! E ! $ '5C) 9

'5 Ò 3 Ò ) / Ò '5Ò Ò 3 5 )

4!

'5Ò Ò 3 5 ) 'D) ! 8

* 'D) 8 $ $F G% '5667) 9

/

51

/

51

% ! ' ) ' ) / /

¾ ¾ / ¾ ¾

¾ ¾ 1 ¾ ¾

' ) 9 : 5;

!

: 5; : ; 8

'D) * : 5; /

/ 5

/

/ 5

0! 0" : ; /

/

0 - "

! " # C%

5 > $ 5 > % 5 > &

'>D)

H !%2 * C% 89

Æ

1

' '! ")

9 Æ

/

Æ

/

Æ

/

Æ

/

1

Æ 1 Æ

>

> 1

' '! ")

1

' '! ")

Æ 1 Æ

Æ 1 Æ

>

> 1

' '! ")

1

' '! ")

Æ 1 Æ

Æ 1 Æ

>

> /

1 '>)

'! " # 5) 0 '! 1 5 " #) '! 5 " #) '! " #)

>0!

'! 1 5 " #)

>'! " #) 1 '! 5 " #) 0!

'! 1 5 " 1 5 #)

'! 1 5 " 5 #) '! 5 " 1 5 #) 1 '! 5 " 5 #) D0! 0"

' '! ") ' '! ") Æ 8 & * Æ Æ

*

# / 5 & 5 '! " # 1 5) ! / 5 $ " / 5 % '! " #) ! / 5 $ " / 5 % H

0! 0" 0 3 $ * '>)3

'56??)

75

" " $

$ ' '

) () + + I++

++ 2 '56BD) % 4 '566) % < @++

) ' ) /

J < & K ! 4 '

'5D)

)

) ' ) / ) ' )

* ' Ò < Ò

3

+ )

'Ò <Ò 3 + )

*

L'

+ ) Ò

++

) ' ) / ) ' ) ! : ; M )' ) ! ) ' ) ) ' )9 ) ' ) )' ) ) ' )

'5>)

N

N

N

N

N

)' ) ) O) - ' " ) 9

"

'

'

) ' ) '

' '

'

'

) ' ) ' < < ) 9 * 8 '

'

'

) ' )

, ) ' ) / ) ' ) )' ) " , 8 & $ ,

" , 3 % " , , ,/ ,

, " @++ , , 8 5

7 , , ) 8 & J , Æ 4

'56B>)

P I * '5667) (Æ '566C)

'< < '

) ' - ) )

¼ - / '51 ) ',' ) ,N, ',' ) '51 )

/

& 3 I * '5667) I " + K '566C) H " "

-

- / '5 1 ) ', ' ) , N , ', ' ) ¼

, @++ 4 '56B>) 8 ' N -

* "

- / '5 1 ) '' N ' ) < I * '5667) @++ "

++ D * - -

H

, / '

N

- / '5 1 ) ', ' ) , : ' 1 N N ' ;'' N ' )

- / '5 1 ) ', ' ) , N , ', ' )

'>7)

¼

N

' ) ' N N ' '' N ' ) ' ' '' N ' ) ' N N 1 N ;

:' '' N

* Æ

'

N 3 '>7)

''

' ) ' N : ' 1 N N ' ; '' N ' ) N ' )

-

/

'5 1 ) '' N

-

/

'5 1 )

"

- -

/ /

, /

9

51

', ' ) , : ' 1 N N ' ;'' N ' )

, N , ', ' )

', ' )

¼

'>?)

, / 5 '>?) -

/

-

/

' : ' N 51

'

' ; ''

1 N N

N ' )

'>B)

74 - 9

: '

' 3 ); / '

< <) 3

L L) ' 3

'<< ) ' )

L < L < '

' 3 ) ' ) < < ) 5 H '

L L) ' ' 3

'

' 3 )

Q

* ! 9 < < ) ' 3 ); ' Q - Q) : ' 3

¾ 1

+ "

I !%, '56)%'>) 4 '566C) % @ 9

' 3 + ) / . 1 +.

. '/ 3 '+ ))

/

5 >

1

5

K

0 '/ 3 R) "R

1R

' 3 R)1 '' 3 R) 1 " R/ 5 ' 3 R) / R" 1 ' ( R" 1 ) > 5 5 ( R" 1 ' ' 3 R) / 5 ( R" 1 / ( R" / '( R" ) '> 2 R" R ) 2 / 5> 2 / 5> / 1 ( / 1 / / '

0 '/ 3 R)

/

"

)

1 !%

!

77

() * % E 3 ; <55 , 5R54R!<7 4R7R!!2 (.F5#2 * 8

1 , > 3 D

5575 5"74) 457<7 2525!

8 ' E

"

#

$

%

&

'

54)5

55745

555")

555<2

55444

557

8 3 :

% E X7 F G Æ G /7 G

8 3 :

$ X7 G

() &**

() &**

4"< 7) 7!2

4!2< 7) 7!2

7)

% 4E . 3 ; <55 , 5R54R!<7 4R7R!!2 1 >8(* (.F5#2 * ,

E

( & * F G (

*

P ( *Q P ( *Q (*

( *

F 55

(*

F

F G

F G

( * F ( * F

Þ

G ( G G G * P G (( *

4

! (* F

Þ Ü

( * F (4

!

(**

! F

)

+

+

55<)2 557< 7<<42 5)72# 5!""5 5)5# 57557 55)"! 54)"5 5554 547 55## 55<5) 555"# 55<5!

557!) 5577 )4 5524) 5554" 5575) 5542! 55)!< 557) 554)4 55!< 552 5555 5555 555!#

4 * Q

4 F 55

7<

% 7E >> 5R54R!<7 4R7R!!2 ,

E

F ( G * G

E F ( * G $ E F ( * G ( * F

)

E

$ E

F5

F5

F5

F5

55!55 (55"4* 5))2 (55<<* 555#2 (5557#* 555#) (5557)* 55<4) (55<*

554<4 (55#* 55)! (554<<* 5572 (55575* 5525 (55575* 5452 (555!7* 5<##" (55)77* 7<7 P!Q (55554)*

55!7 (55#4* 5)") (55<47* 5554# (5554* 5552" (5557* 5575" (5552<*

55454 (5542* 554<2 (554"4* 555" (5552* 55<2 (55574* 55#"4 (555#)* 5
8 P Q (,*

2!" P5Q ( 5 *

24 P5Q ( 5 *

72 % )E >> - % 7 4 ) #

; <55 , !"2 !!2

-

+

572<7

(55)
% 8 (( *E 4)!4

(

5555*

%
; <55 , , > !!# >> 6! @ $ 6" 6 C ; <55 (D 1 9 * (C * $ @ , (-*

(.+/*

@ (.+/0*

-

1, ! 6!

1, ! 6" / , 2! 3 4 ! - F 5 / , 2! 3 4 / , 2! 5 ! - F 5 / , 2! 5 / , 2! 6 / ! - F 5 / , 2! 6 / / , 2! F 5! 3 4 / , 2! F 5! 5 / , 2! F 5! 6 / / 7 2! 6 / ! - F 5 / 7 2! 6 /

57)5 !)5 755 !7<5 7#<)5 5!"5 72<5 7275 )")5 <#75 )<55 7#)5 72#5

.+/

.+/0

W4 W5< W42 W57 W472 W52 W5
5"V
7#

% 2E - @ $ 3

; <55 , , > !!# 3 75 !!2 > ) !!# C ; <55 (D 1 *

57#4

+ (5)"*

% #E = 3

; <55 , , B !!# >> 6! @ $ 6" 6 C ; <55 (D 1 9 * ( C * $ @ , (-*

(.+/*

@ (.+/0*

-

1, ! 6!

1, ! 6" / , 2! 3 4 / , 2! 5 / , 2! .,1 6 / / , 2! ,. 6 / / 7 2! .,1 6 / / 7 2! ,. 6 /

<<25 45<5 4)#)5 4)<<5 <!!5 7525 2<#5 7#)5

.+/

.+/0

W< W77 W!) W!7 W5"2 W5<) W5!4 W52)

<<
7"

% "E A 9 C E D 1 (9 * 9

(: ; * 1 + C F G

) '

C G

<=!1=15 .>1%!? 34 : ; 552) (55<* 5<524 (5)#* 545

55"4! (55"7* 57<5# (5<<<* 55!

7!

E ; <55 ,

4E ; <55

: E ; <55 E 5R54R!<7 4R7R!!2

)5

0.2

0.2

0.18

0.18

4/4/97

0.16

0.16

0.14

0.14

0.12

0.12

−100

−50

0

50

Implied volatilities

0.2

−100

3/27/97

−50

0

50

0

50

0

50

0.2

0.18

0.18

3/21/97

0.16

0.16

0.14

0.14

0.12

0.12

−100

−50

0

50

0.2

−100

3/7/97

−50

0.2 2/28/97

0.18

0.18

0.16

0.16

0.14

0.14

0.12

0.12

−100

−50

0

50

S−K

−100

2/21/97

−50 S−K

: 4E ( * ( * 3 $

4<4 A C

- F 577< +

, 8 !!#

)

0.012

State−price density

0.01

− − Stoch. vol. (log−var model) . . . Stoch. vol. (square−root model) __ Black and Scholes

λ=0

0.008 0.006 0.004 0.002 0 0.6

0.7

0.8

0.9

1 ST / St

1.1

1.2

1.3

1.4

1.2

1.3

1.4

0.012

State−price density

0.01

− − Stoch. vol. (log−var model) . . . Stoch. vol. (square−root model) __ Black and Scholes

λ<0

0.008 0.006 0.004 0.002 0 0.6

0.7

0.8

0.9

1 ST / St

1.1

: 7E > 4 !!# , 8 !!# $ + $ 3 C % 1 $ @ ( * (*E - F 577< ( * - F 554#" ($ *

)4

0.012

State−price density

0.01

− − SV log−var λ = 0 . . . SV log−var λ=−0.1372 __ Black and Scholes

KF estimate of variance

0.008 0.006 0.004 0.002 0 0.6

0.7

0.8

0.9

1 ST / St

1.1

1.2

1.3

1.4

0.012

State−price density

0.01

− − SV log−var λ = 0 . . . SV log−var λ=−0.1512 __ Black and Scholes

RPJ estimate of variance

0.008 0.006 0.004 0.002 0 0.6

0.7

0.8

0.9

1 ST / St

1.1

1.2

1.3

: )E > 4 !!# , 8 !!# % $ 5 1 + 3

D 1 ( * 9 (*

1.4

)7

4/4/97

0.02 0.01

State−price density

0

0.01

0.9

1

1.1

3/21/97

0.02 0.01 0

0

0.9

1

1.1

3/07/97

0.02 0.01

0.9

1

1.1

2/28/97

0.02 0.01 0

3/27/97

0.02

0

0.9

1

1.1

2/21/97

0.02 0.01

0.9

1 ST/St

1.1

0

0.9

1 ST/St

1.1

:
))

!

9

S2 K ( T

7D >?%7

9 S2 @ % ( - $ T

C > D66%D?

9

S( J + ! H

+ P $ UT 5> 7?%55

!!9

S2 + ( @8T $

" # $% & ' 9 H%* @8 K + T

S$ @

" # & ' !9 S@ H%* #

?? > CDC%

+ * K T C??

$( # ) ) * ) !9 + T

S@ $ J

> >C%>D6

$( # ) ) * ) 9

S 4 M %* JT

6D 5%> >??%C5B

$( # + ,- S( %4 I 2 + ! #% K! T

$ . " +'/ 9

SJ - @ A% T V ! P H W P

$ 0 ) $ 0 - 9

S@ @ ( + T V ! H - W P

$ 1 9 + ! T

S* H B?9 V @" U

D7 C 56%5DD

$ 1 )9

* @ J

SA #9 @" K ( + ! JT 6 5 76%5?

$ 1 )9

S* J + T 5D9 S + - T 7?%755 I + H K K $ 9 2 %4

$ 1 9 S% B? H - - JT

6D 5%> 5B5%>CB

$% 9

S@ @ - T ( 2 P%

$ 2 " 3 4 1 $ + 59 S$KH4 + T

D >66%CCB K - @ ( +- $ 9

2 %4

$ 2 " 6 *' 9

S@ # ( P H + #T

)<

$ 1 3 %7 !9

S %H H

5 7>5%75

J T

$' 8 & &8(9 9 S* 9 4 J + ! T

5D > D6%>?

) 9 ( :9

S* H #T

7 C 76%7B5

) 8 . 4 #/ . )2 & 0 9 S@ ( V H + HT V ! P 2 H

)8( # . ; 8 9

S I++ @ H%* T V ! 4 P

)2 . 9

S # - - # * %# K! K # T V ! H P

)2 . 3 # 4 #/ # "'8 9

S$ 2 H # + A9 * @T V ! P P 2 H (! P

)2 . 3 # 4 #/ # "'8 9

S$ + ! (T V ! P P 2 H (! P

)2 . 4 #/ 9 S$ * P $ A @ J, K! 2 + J #T 7 C D?%DB

) $ + 07 S* K X K & #T

5>%5

) << 0 , &87 SV # J #% UT V ! +I P

) / " # 0 6 4 # & ' & 8 ( !9 S % * K (T 5 C >%??

)2 & 1 " '9/ @ J K

7 6BC%56

)= & ) & 4 > & 3 ?9 @8 + $ T

1 3 3 , ' 9 T

S$ I

C C7C%CBD

SJ !9 $ * % %

CD >55%>C6

1/ " 4 ) . 9 9 S! + ! # H ! " JT

> >7?%>B?

1'<< 1 & 0 , & 9 S* $ J $Æ A (T

7B 7 5CDC%5C?7

1'<< 1 , & :9 + $ T

S + @ + !

75 6>6%6>

1' $ & 3 4 / 9 * T

S # -9 @%

C 7 >6%>57

)2

4 @ ) 7 + - 9 J 2% (T

SM! (

4( $ S( ! # AU K @ J T V ! P H

4( $ 9

S+H+H $ ( + $ - T

56 5??%565

4( $ . & + # 0 9 # K T

S* A

# 3 1 6 # "'8 !9 S@ # + ( T

B5 56%56>

# 3 ) 6 ' # "'8 9

SP ( K ( H% # ( @" - # T B5 D 75?%7C5

# 3 & 3 !9 @Æ + H%8 T

S@ ( @8

BD 5>%5D>

# 3 1 +/8( !9 @T

S %2 +" M!

C7C%C6

# 3 0 4 3 # "'8 9 S! # T

566%>D>

# 3 # "'8 9

SV + +UT

# 3 # "'8 !9

S@ H%* +

5> 7?%7B5

! K K T

! " 5 5C?%57B

# 3 # "'8 9 SK , J V $ K (T 6C 5%>D

#8 3 . 9 4 3' S@ J, K!% 2 ( X + #T V ! P% Y +

Y

#/ 4 ) 62/ 4 3' 9 S #T

5D9 S + - T 556%565 I + H K K $ 9 2 %4

# 3 3 & 1 3'( :9 SJ K X @" # # 2 @" K !T DB 5??6%5B5

#' '= ) .< 4 3' :9 ## B B%55B

S T

#' 1 S* K! # H

JT

57 D D6B%?

6 0 9 SM

I & + + @% T

5>6%57

6 0 & 8 ( ?9

SX! - 9 I + H%* + ! T 7C ?7?%BD

)#

62/ ) + - 9 S@ $ #% + $ K T D D>6%DCD

6 & ) ?9

5D

S$ @ $ * ( % T 7C 7B5%?5?

6 :9

S$ H - J # $ X H

JT 7 > C>?%CDC

6 . 3 . 0' $ 4 A 9 $ + V # AT 5D 5 C5%DC

S$ H%*

6' & !9 S* J $ #% T

ZM > >B5%C

&8B' 4 3 &9 9 @

T

SX $ H H +

6D 5%> 5D%5B

&8B' 4 + # 0 0 4 3 59 # + T

SX $ C?5%CB6

5> D

& # & & , !9 S$ 2 $ @ ( $ %* K + T 5C 75%7D

& # & & , 9

S@Æ @ H * # + # @ H -T

& # 0 2 ' 9

# K T C5

S " J + C C >?C%

#

& . 9 S$ 2% $ A K T V ! H P

& . 3 ,' + # 0 9

S ( A + 9 4 P @8 + ! AUT V ! P H

& ) 9

S$ X $ $ + ! ( T V ! * V P

& ) 9 S* ( #9 @ P J + ! T V ! K P

& ) 9

S$ 2 - $ " J K T V ! K P

,- + 9 S( @8 J # K!U @ @ T V !% P +

, + - ) 7 9 H $KH4 + T

, 0 4 4 0 9 @8T %#

S #9 M!

7 C75%C6C

S2 (

)"

''= ) # 1 - :9

S- !%K # 9 * P # T 7 > >6C%C>7

' . 6 6 * !9 S * @Æ + +

- ! $ # + T V ! * H P 4 . H + P

9 S+" M! @ I & < V ( (T

D >C5%>D?

) .8, / 9 S$ @ $ 2 * % T

D 5B5%>55

. + 9 S$ @ $ # + T V ! P Y + Y

. . "'7' 9 S - H

J #T

D >C6%>7

. 3 ) !:9 S* K J T

! $ D 5D5%5BC

+ ( ; :9 SJ # 4 A # $ K T

+ 9

DB 5676%56BD

S4 H

X K # # + U @ @ 4 " J + ! T >> B6%75

$

+ 1 $ 9 SH 4 ! $ K 9 2 $ T 6 > CD?%C?

+9/ 59

S$ + + 8 @ T

% 5D >5%>7

+9/ , !9

S$ ( 4 ! $

H H + "T ?C%?B

0 & S* A%K! J9 * % T

@

0 4 3' + "'% 9 # J T C7?

S K

5B CB%

0 6 + "'% !9 S@8 # + T !

7 > >5%>C7

0 . 9 S@ I # + J T V ! P P %H

0 . 9

S- - # J T V ! P P %H

3' 4 9 S@ + J @

T V ! P% Y *

3'7 . 59 S X * T

D6 ??5%B5B

)!

) 0 9 SK! K ! + ! 9 M J (T V ! PHM$ P $ &

, & 9

S@ $Æ $ + P @ H -T 5> 5 555%5D5

3 6 !9

S$ 2 + * ( + ! K K!T > 56?C%>>

2 ' 0 !9

SH $ * @Æ + + T V ! P $

0 & 19 69 :9 + HT J" -

SJ 9

+

American-style options, stochastic volatility, and ...

Empirical Evaluation of Volatility Estimation

An Intertemporal CAPM with Stochastic Volatility - Scholars at Harvard

Complete Models with Stochastic Volatility

Gamma Expansion of the Heston Stochastic Volatility ...

Stochastic Volatility in Underlyings and Downside Risk ...

optimal taxation with volatility a theoretical and empirical ...

Group Travel Award Pricing Options

optimal taxation with volatility a theoretical and empirical ...

Comparison results for stochastic volatility models via ...

A Stochastic Volatility Swap Market Model Sami Attaoui