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19 «Ἀριθμῷ δὲ τὲ πάντ’ ἐπέοικεν» Ἀριστοτέλης

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% Khawarismi (ca. 780-850) " % < al Mamun. 176 Al-Kitab al muhtasar fi hisab al-jabr wa-l-muqabala. $. F. Rosen, The Algebra of Muhammed ben Musa. London, Oriental Translation Fund 1930. " ! , ! 12 " , L. Karpinski, Robert of Chester’s Latin translation of the Algebra of al-Khowarismi. Ann Arbor, University of Michigan Press 1930. 177 Al-jabr al-muqabala !>. Al-jabr , al-muqabala . 178 ! ! ! ! . 179 & %! * ! , Rubayat ! ’ ! ! E. Fitzgerald 1859. %! * ! Nishapur , ! . &

. (. / , %! * !. ' * '. #! – . 1979 . 97-118. * " (. / , %! * !, ! <+ > '? # . = ' 2009 . 29-53. 180 < " $ . *! . . 93-95.

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181

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182

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R. Rashed et B. Vahabzadeh, op. cit. . 378-380.

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. H. E. Heine, Handbuch der Kugelfunktionen. Berlin 1861; Berlin

1878 p. 264. 186 ; , 4 *.;.;=.;* ' 2001 . 368-369.

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'. P. Youshkevitch, op. cit. p. 85. $. '. P. Youshkevitch, op. cit. pp. 85-86. 189 , ; . $. $ VI, 12, ! ! " ! !. 190 « j ¡ » ' " # & &¿ 207b 10-11; « ^ | j ¦ X ». ib. 207 b. 16-17. 191 ! > . % " , ! ! ! * * , >" ! ! . & * ! 0 1 " (0,1) . ; ' « », " ! ! 19 " . " ! # ! ! > . O. Becker, Eudoxos – Studien I. Eine voreudoxische proportionenlehre und ihre 188

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. < > , , 194 $ . ' % Spuren bei Aristoteles und Euklid; II. Warum haben die Griechen die Existenz der 4. Proportionale angenommen? Quellen und Studien zur Geschichte der Mathematik, Astronomie und Physik Abt. B II. 1933 pp. 311-333, 369-87. III 1936 pp. 236-244, 370-410. « »

* !, " !+ . 192 < " !+ . < ! < , 6 $ , 5: « ^ , , ’ ³ ^ ^ !». ' " ! !+ ; . & , ; 6 $ 23 ( " " " ). 193 A. P. Youshkevitch, op. cit. p. 87. 194 . $. %! * !, / ! B. A. Rosenfeld, Istorico. Math. Issled. Fasc VI 1953 . 106 ( !).

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II. ...

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« z, , » idem. Idem p. 105. 197 Idem p. 102. 198 A. P. Youschkevitch, op. cit. p. 88. 199 1594 Tusi 4 ; " É" "

! 1657 !. $. Euclidis elementarum geometricum libri tredecim ex traditione doctissimi Nassireddini Tusini nunc primum arabice impressi. Roma 1594 Euclides Elementorum libri tredecim studio Nasseredimi. Roma 1657. 200 $. (. / , * # !. ' 1987 ;. < . 223-247. 196

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N. Bourbaki, Eléments d’ Histoire des Mathématiques. Paris. Hermann, 1974 p. 189. . *! , 4 ! 300 .(. ; . !

, ! . (888 .(.) ! %> (Bodleian Library) . Codex Bodleianus, d’ Orville X, 1 inf. 2, 30. ¯ ! (.) 8 " .(. ($ # ). 203 & . J. Murdoch, Transmission of the Elements,

Euclid Dictionary of Scientific Biography vol. 4 1971 pp. 437-456. 204 B.L. Billingsley, “Authority” in early editions of Euclid’s Elements. Fifteen Century Studies vol. 20 1993 pp. 1-14. 205 # >

. ! ! ! ! . .. Campanus de Novara ! !. & . A.G. Molland, Campanus and Eudoxus; or, trouble with texts and quantifiers. Physics 1983 vol. 25 pp. 213-255. 202

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II. ...

213 59

< " 14 " * Merton, %> 206 ! Th. Bradwardine, R. Swineshead, W. Heytesbury, J. Dubleton ( Calculatores) ! " .207 #! Bradwardine (1295-1349) $ & & 208 (1328) " "

" .209 N. Oresme (ca. 1323-1382) Lisieux, * ;¿ ! , " !210 $ & $ *211 !+ !> > . #! < $ & $&212 (ca. 1360) ! , " . « ! ! ! " ., ! ’ ! ! ».213 /! Oresme ! , ! « », «» . . 1n

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206

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E. Grant (ed.) A Source Book in Medieval Science. Cambridge M.A. Harvard University Press 1974 pp. 150-151. 215 + Oresme, < $ & $& ! > '. 216 E. Grant (ed.). idem.

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II. ...

215 61

Luca Pacioli

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5 $ .

N. Tartaglia

217

; J. di Barbari (# ! )

+ ! ! Guidobaldo, , Urbino. & . R. E. Taylor, No Royal Road: Luca Pacioli and his Times. University of North Carolina Press. 1942. + 1508 . ! (14451535) Luca Pacioli $ .

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S. Drake, id. p. 61. S. Drake, Galileo at Work. Chicago. University of Chicago Press 1978 pp. 422-436. & & . '. Frova and M. Marenzana, transl. By J. McManus, Thus Spoke Galileo Oxford Univ. Press 2006. 226 $. P. Palucieri, A new look at Galileo’s search for mathematical proofs Archive for History of Exact Sciences Vol. 60 (3) 2006 pp. 285-317. 227 O V. Viviani (1622-1703) o " 1674, 5 $ < ; , ! & . $. Quinto libro degli elementi d’ Euclide… colla dottrina del Gallileo. Firenze Condotta 1674. 228 S. Drake, Euclid Book V from Eudoxus to Dedekind. p. 61. 225

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F. Viète

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¯ Bombelli ! 1557-1560 " 1579 . R. Bombelli, L’Algebra. Bologna G. Rossi 1579. .

V V Y$> . # 1929 " . $. R. Bombelli, L’Algebra Libri IV et. V. ed. E. Bortoletti Bologna. $. E. Giusti, Algebra and Geometry in Bombelli and Viète. Bolletino di Storia delle Scienze Matematiche vol. 12 1992 pp. 303-328. 230 " " ". 231 N. Bourbaki, op. cit. idem. 232 $. B. L. van der Waerden, A History of Algebra from al-Kwarizmi to Emmy Noether. New York. Springer 1985. * " R. Franci & L. Toti Rigatelli, Towards a History of Algebra from Leonardo of Pisa to Luca Pacioli. Janus Vol. 72 1985 pp. 17-82 R. Franci & L. Toti Rigatelli, Fourteenth century Italian algebra, in Cynthia Hay ed. Mathematics from Manuscript to Print: 1300-1600 Oxford. Clarendon Press 1988. pp. 11-25. 233 F. Ritter, François Viète. Paris 1905. G. Gambier, Le mathématicien François Viète. La Rochelle 1901.

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F. Ritter, François Viète, inventeur de l’ algèbre moderne (1540-1603). Essai sur sa vie et son oeuvre. La revue occidentale philosophique, sociale et politique. 2e série Vol. X 1895 pp. 239-241. B. G. Cifoletti, From Valla to Viète: The Rhetorical Reform of Logic and its Use in Early Modern Algebra. Early Science and Medicine Vol. 11 (4). 2006 pp. 390-423. 235 Isagoge in Artem Analyticem. De aequationum recognitione et emendatione libri duo, De numerosa potestatum purarem atque adjectarum ad exegesin resolutione tractatus. Tours (1591) B. Frans van Schooten Leyden 1646 " ! T. R. Witmer, The Analytic Art. Kent Ohio: Kent State University Press 1983. 236 F. Viète, Isagoge in Artem Analyticem, p. 17. 237 % ! , " ’ + ! ! >" ,

! " ! . 238 P. Pesic, François Viète, father of modern Cryptanalysis Two New Manuscripts. Cryptologia 1997 Vol. 21 pp. 24-25. & Viète . (. / , François Viète, ! & ' '? # . = ' 2009 . 137-167.

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$. D. Macbeth, Viète, Descartes and the emergence of modern mathematics. Graduate Faculty Philosophy Journal Vol. 25 (2) 2004 pp. 87-117. 240 & . D. J. Struik, The Land of Stevin and Huygens. A Sketch of Science and Technology, in the Dutch Republic during the Golden Century. Dordrecht Reidel 1981. 241 1547 ! Ferrari Tartaglia " ! . % Tartaglia

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.. 6 >! 6+0=6. ' ,

" ! ! « »246. ! ; , ! " ! ! > Stevin, «» . " « »247. ! " “Son principe ou commencement”, S. Stevin, op. cit. part I p. 2r. 243 ; > ! () + ! : « . + 8 " , ! 242

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8 , " 8 ». (idem pp. 191-192). Op. cit. p. 4. 245 “le o est le vrai et naturel commencement” idem. p. 4r. 246 ! ! ! ! (. ). 247 “que le nombre n’ est point quantité discontinue” S. Stevin, op. cit. p. 4v. 244

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II. ...

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! ! . * , ! ", !+ . /! !> 258 !+ . % John Wallis259 (1616-1703) , , ! , " Stevin, Descartes, " William Oughtred, = # & * & ' *, $ $ $ $ , $ #260. 255

Géométrie livre 1, Oeuvres Vol. 6. pp. 369-371. " Descartes " « » " " ", " ’

, ! . $. F. de $aune, Remarques dans l’ édition F. Schooten, (éd latine) de la Géométrie de R. Descartes, Leyden. 1659 p. 107. 257 $. A. Mouchot, La Réforme Cartésienne. Paris. 1877. 258 $. *! VII. 259 & . J. F. Scott, The Mathematical Work of John Wallis. London 1938. New York. Chelsea 1981. J. F. Scott,. The Reverend John Wallis F.R.S. Notes and Records of the Royal Society of London 15 (1960) pp. 57-67. * " J. A. Stedall, Of our own nation: John Wallis’s account of mathematical learning in medieval England. Historia Math. Vol. 28 2001 pp. 73-122. 260 Arithmeticae in numeris et speciebus institutio quae tum logisticae, tum analyticae, atque adeo totius mathematicae, quasi clavis est. London 1631. 256

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II. ...

71 225

< # ...261 ! + (principium numeri) ! (unitatum multitud), " " ! ,262 ! !: « !

, (una, numerus est)263. Stevin, o Wallis , ! 264. #! " « & ' »265. «% ; , + ( ), !, ! ! »266. «%

! (Unitatis fragmenta)267 > ! 268^ ! > (indicium) " > ,269 5 $ 270 ; " . * ! ( ) 261

Mathesis Universalis sive, Arithmeticum opus integrum, tum Philologicae, tum Mathematicae traditum, Arithmeticam tum Numerosam, tum Speciosam sive symbolicam complectens, sive calculum Geometricum; tum etiam Rationum proportionumve traditionem; Logarithmorum item Doctrinam; aliaque, quae Capitem Syllabus indicabit. Londini 1657. 262 Ch. IV pp. 24-27. 263 idem 264 J. Klein, op. cit. p. 214. 265 “…quoniam Geometria sit Arithmeticae” Mathesis Universalis... p. 56. 266 “(Euclides) de veris tantum numeris et proprie dictis (integros intellige) verba facit, qui ex Unitatibus componunter, adeoque unitatem semper habet pro indivisibili” J. Wallis, op. cit. Ch. XIX p. 93. 267 Idem p. Ch. XII p. 60. 268 “esse quide Uni et Nulli quasi intermedios. Sed addo, quo jam transitur ¦ ...» Ch. IV p. 27. 269 ' $, ' !+ antecedens $ consequens idem. Ch. XXV p. 134. 270 ' , De Algebra Tractatus; Historicus et Practicus 1685 (. ! 1685) >! !

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Isaac Barrow

% Isaac Barrow (1630-1677), # 275,

+ ! > « », ;>, ! Descartes. , + , + " 271

Idem p. 183. ; , 4 , $ V, 3-5. 273 J. Klein, idem p. 221. 274 $. K! VIII. = ' & / . 275 Lectiones Mathematicae. London 1683 > Cambridge ! 1664-1665, 1665-1666. 272

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II. ...

73 227

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I. Newton

% , I. Newton, 277... : « , ! ! , ! " !»278. ! ! , "

! , + 5 $ 4 &. !

. % N. Bourbaki 279 Martin Ohm (1792-1872) " ! ! ! . #! 280 4 ; , ! 4 & * (9 ). < " , !

276

. Bourbaki, op. cit. p. 191. Arithmetica Universalis, sive compositione et resolutione arithmetica liber. Cambridge 1707. ( ! London 1720). ! ! 16731683 1685. 278 I. Newton, op. cit., new ed. Leyden 1732 p. 4. 279 N. Bourbaki, Eléments de Mathématiques XXII. Les Structures fondamentales de l’analyse Livre 1. Théorie des ensembles Ch. 4 Structures. Paris Hermann 1970 p. 1. 280 $. M. Ohm., op. cit p. V. 277

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228 74

! ,281 o Ohm +282 !! "

(unbennante Zahl),

! # !. ) " !

# " , "

! 283, ! Kästner.

W. R. Hamilton

# " ! !+ William Rowan Hamilton (1805-1865) , ;& & * & & $> * *, /

* #$> & 284, " I. Kant,285 ! 281

Versuch eines vollständing Konsequenten Systems der Mathematik. Erster Theil Arithmetik und Algebra enthaltend erst. Aufl. 1822, 2e Auf. Berlin 1828. 282 M. Ohm., op. cit. p. VII. 283 P. Dugac, Fondements de l’Analyse op. cit. p. 361. $. H. N. Jahnke, Motive und Probleme der Arithmetisierung der Mathematik in der ersten Hafte des 19 Jahrhunderts – Cauchys Analysis in der Sicht des Mathematikers Martin Ohm. Archive for History of Exact Science Vol. 37 1987 pp. 101-182. 284 Theory of Conjugate Functions or Algebraic couples; with a preliminary and elementary Essay on Algebra as the Science of Pure Time. Transactions of the Royal Irish Academy (Dublin, P. Dixon Hardy 1837 XVII pp. 293-423. ' , ' , ! " 1833 1835. 285 Kritik der reinen Vernuft, KÙnigsberg 1781. O ! ! ! ! !> ! ! ! , ! “appréhension” (appréhension=" !> , ). & . . L. Brunschivcg op. cit. Ch. XII La philosophie mathématique de Kant pp. 253-281 D. Doriako, Kants Philosophie der Mathematik – Grundlagen – Voraussetzungen- Probleme

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II. ...

229 75

: ! ! !

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! . ! Hamilton ! > « »287. 288 ! # «"» ! < " ! ', $ # '=$, '<$ '>$289. " Hamilton + +" " ('$) (CD) ! . ' $ + ', D + C, $ ', D + C, $ ', D C ...

$ ', D C».290,291

(Kantsforschung 11). Meiner Verlag 1999. $. (. / , Kant Hamilton. " $ ' ' " 2005 . 226-233. 286 T. L. Hankins, Sir William Rowan Hamilton. Baltimore John Hopkins University Press 1981 p. 343. 287 W. Hamilton, op. cit. p. 293. 288 V. Katz, op. cit. p. 682. 289 ' *. * > (1924), , , , … , , ! , , . C. Carathéodory, Zur Axiomatik der speziellen Relativitätstheorie. Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften. Physikalish – mathematische Klass 1924 pp. 12-27. $. Ch. Phili, Constantin Carathéodory: His Life and Work, in Advances in Convex Analysis and Global Optimization. Honring the Memory of C. Carathéodory (1873-1950). N. Hadjisavvas and P.M. Pardalos (Eds) Kluwer Academic Publishers 2001 pp. xiii-xxiv. 290 W. R. Hamilton, Mathematical Papers. Cambridge. Cambridge University Press 1967 vol. 3. p. 10. 291 % Hamilton + ! $-'.

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230 76

K. ^ &

« ! ... '" , ! ... > , + ! »292. ! Hamilton ! Dedekind. #! .;. Hawkes ’ ! 293

« Hamilton ! ! . ' " . > " " ! ! ". ' ' $ !

" " ! ' ! $, ' $ ! ! , ! > ' $. '! ( + ) ! . = !, E + ^D i ` ^Ei ` , ij . ! D i EEj " " + . & Hamiltn ! ! , ! »294. 292

W. R. Hamilton, Mathematical Papers. p. 40. Note on Hamilton’s determination of irrational numbers, Bull. of Am. Math. Soc. Lancaster, Pa. and New York, N. Y. Macmillam 1901, Vol. VII pp. 306-307. 294 J. Manheim, op. cit. pp. 79-80. 293

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II. ...

231 77

A. G. Kästner

= ! , & A. G. Kästner (1719-1800) ! ! , >! ". < = / / , & 295... " « + »296, " +

+ " «

(data quavis quantitate minus)».297 " !> . ' !> Kästner + " ! ", ! . « ! : ", (Anfang) " ! , /$ (Ende), ... ! !, ! ... ' ( ! ' ! , , ' (, ' 295

Anfangsgründe der Arithmetik, Geometrie, ebenen und sphärischen Trigonometrie und Perspektiv Göttingen 1e Aufl. 1758; 5e Aufl. 1792. 296 Idem p. 3v. 297 Idem p. 133.

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232 78

( , > + ».298 ' Kästner, , ! ", "299 Bolzano.

=. Bolzano

* " Bolzano300

! ! , " 301 ! . # 1962 K. Rychlik !+ " "!302 298

Idem. $. D. D. Spalt, Bolzanos Lehre von den messbaren Zahlen, Archives for the History of Exact Sciences Vol. 42 no 1 1991 pp. 15-70 H. P. Becker, Bolzanos messbare Zahlen Rechnen mit dem unendlichen 1990 pp. 167-177. 300 $. B. van Rootselaar, Bolzano Bernard in Dictionary of Scientific Biography t. II New York 1970 pp. 273-279 P. Funk und J. Berg, Bernard Bolzano, ein Denker und Erzieher im österreichischen Vormärz. Sitzungsberichte _ster. Akademie der Wissenschaften Phil. – Hist. Klasse 252 Bd 5 Abh. Wien 1967. $. J. Sebestik, Bolzano, Encyclopaedia Universalis 2e éd. t.4 Paris 1989 pp. 328-330. & Bolzano . (. / , Bernard Bolzano, # , '? # . = ' 2009 . 447-485. 301 & . ! D. Kurepa, Around Bolzano’s approach to real numbers. Czechosl. Math. Journal Vol 32 1982 pp. 655-666. 302 K. Rychlik, Theorie der reellen Zahlen im Bolzanos handschriftlichen Nachlasse. Prag 1962. p. 180 " K. Rychlik, La théorie des nombres réels dans un ouvrage posthume manuscript de Bernard Bolzano. Revue d’ Histoire des Sciences Vol. 14 1961 pp. 313-327. $. B. van Rootselaar, Bolzano’s theory of real numbers. Archives for History of Exact Sciences Vol. 299

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II. ...

233 79

1976, Bolzano (Gesamtausgabe), o Jan Berg, ! ;& & * *303,304 (Reine Zahlenlehre), ;& *305 (Grössenlehre). ' 18301835 Bolzano ! , ! ! " " ". " " ! ! " ". < " ! ;& & * * " ", " !> . " : «% + , ! , , ! ! ! ,

" ;»306 % ! + , ! , ! , " ! ! ! .307 ; Kant,308 , " ^ ^ `,309 ! « »310. 2 no 2 1964 pp. 168-198. 303 . '7-'10 Grössenlehre 1833-1845 hrsg. Jan Berg. Prag 1976. 304 $. B. Bolzano, Reine Zahlenlehre. Stuttgart – Bad Cannstatt Friedrich Fromann Verlag 1976. 305 $. D. Laugwitz, Bemerkungen zur Bolzanos Grössenlehre, Archives for the History of Exact Sciences Vol. 2 no 5 1965 pp. 398-409. 306 B. Bolzano, Reine Zahlenlehre. Stuttgart. Bad Cannstatt Friedrich Fromann Verlag 1976. p. 15. 307 Idem p. 20. 308 $. M. Meyer, Science et métaphysique chez Kant. Paris. P.U.F. 1988 Kant’s Philosophy of Mathematics ed. C. Posy collection Synthese Library, Studies in Epistemology, Logic, Methodology and Philosophy of Science. Kluwer 1992. 309 . I. Kant, Kritik der reinen Vernuft. Königsberg 1781. 310 B. Bolzano, op. cit. p. 23.

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234 80

< Bolzano >!+ 311 !>. # , . #!, " Kaestner, !+ , + ! > . # ! > (zwischen), . « $ > ! " ' C $ !».312 #! " ! " : > " " ! , ": « ' C + ", ! ! > ... " " > ' !».313 < !+

>! " , ’ ! 314 Bolzano # !. « ' " ! (wirkliche Zahl), ! , ,

', ! ' , ’ !

>! (ins Unendliche wachsen oder zunehmen)… ' , + ! " ! ! , , , ! ! , > , ! " (ins Unendliche abnehmen)”.315 311

Idem pp. 47-54. Idem. p. 32. 313 Idem p. 35. 314 $. J. Berg, Zur logischen und mathematischen Ontologie. Rechnen mit dem Unendlichen 1990 pp. 146-149. 315 Idem p. 94. 312

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II. ...

235 81

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1 1 1 1 ... (in infin.) 2 4 8 16

§ 1 ·§ 1 ·§ 1 ·§ 1· ¨1 ¸ ¨1 ¸ ¨1 ¸ ¨1 ¸ ... (in inf.) © 2 ¹ © 4 ¹ © 8 ¹ © 16 ¹

319

318

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320

! Bolzano ! , " ! !> , « » " . !! " !

! + ". ' ! ! !, !> ! + . % ! 316 317 318 319 320

Idem p. 100. Reine Zahlenlehre VII. p. 103. Idem. p. 78. Idem. Idem.

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236 82

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" ! ", ! !,321 " ’

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), ! ».322 ' " + ! Bolzano: «% + (naherungsweise bestimmen oder messen)

S, ! , ! q p, , " ! >": !

S

p P q 1

p 1 P2 q

P1 P2 + ! ! " + ».323 1 ' >", S ! ! . «... q + S .

321

% Bolzano ! ! « !, " ! » idem pp. 94-95. 322 J. Sebestik, Logique et Mathématique chez Bernard Bolzano. Vrin Paris 1992 p. 361. 323 B. Bolzano, op. cit. p. 104.

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II. ...

237 83

«# S " ! q ! p , " ! >" p 1 p P1 P2 S q q !+ (messbarer oderermesslicher Ausdruck)»324. «» S sn , n ` Sn

p P q 1,n

p 1 P2,n q

" (P1,n ) (P2,n ) + ’ >". > ! 325 ! , , , " ! " . '

+ " !+ , . % ! > " , > ! . «% Bolzano ! " ! (

) ! ! > ».326 % ! , ", " > " ! , " , ! ,

" ". 324

Idem. pp. 104-105. S sn , n ` p p+1 sn = +p1,n = -p 2,n , (P1,n ) (P2,n ) + ’ >". q q

325

326

H. Gericke, Geschichte des Zahlbergriffs. Manheim 1970 p. 102.

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84 238

J. Bertrand

' " ! Joseph Bertrand327 (1822-1900). < 328 + " ! . « r>0 " ! q " q 2 =r , + r ! !> .

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! "

r , !

" r . '! " ! ! , ! ! . , > r ».329 % Bertrand > ;> Dedekind, > r , + " !>. 327

& . M. Zerner, Le règne de J. Bertrand (1874-1900) dans H. Gispert, La France Mathématique. Société Française d’ Histoire des Sciences et des Techniques. Société Mathématique de France, Paris 1991, pp. 299-322. 328 Traité d’ Arithmétique. Paris. Hachette 1849. 329 J. Bertrand, op. cit. p. 45.

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II. ...

239 85

* " ! , !+, !+ ! > , " ! " .

9. % " " ! 19 " 330: Méray, Weierstrass, Dedekind, Cantor = ! ! " ", > ". 1, 2, 3 ... " !> , , . ’ + " ". . & ! - " >. ; ! . # , " " (), > . " - , " !> 8-9, " " !3 . 4 ] " _ ] . < _ !> , " ! > < > , ! > : x
& . J. Boniface, Les constructions des nombres réels dans le mouvement d’ arithmétisation de l’ analyse. Paris. Ellipses. 2002.

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240 86

%!+ ( ) ! ! (, ). # > " ", . < ! .

Ch. Méray

O Charles Méray (1835-1911) " 331

! " 1869. $ ! ! Lagrange332, ;& & $ * 4 & ... (1797), + !+ , ! ! Taylor333. < ! 334 + ! " "

.335 = ! ! ! : i) ! > ! 331

Remarques sur la nature des quantités définies par la condition de servir de limites à des variables données. Revue des Sociétés Savantes Sci. math. Phys. Nat. 2, t. 4. 1869 pp. 280-289. 332 $. *! VI. 333 Remarques nouvelles sur les points fondamentaux du calcul infinitésimal et sur la théorie du développement des fonctions en séries. Revue des Sociétés Savantes Sci. math. Phys. Mat. 2. t.3 1868. pp. 133-138. 334 Op. cit. 1869. 335 + Cauchy #$ 1821: « !+ (indéfiniment) , " ,

!+ !» p. 4.

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II. ...

87 241

( ! ) supremum (

infimum) ii) ! ( Cauchy) ( ), : «# ! >" " ! ! ! " ».336,337 % Méray >! ! , " !

" ! ! 338,339. ' + " , !+ . # !+ > >$ (variable progressive), , + ! v1 ,v 2 ,v 3 ,...v n .... ' ! !> m ! , v m p - v m H n N p ! , >$340 , . #! + " " ". u, v, u1 ,u 2 ,u 3 ,...u m ,... v1 ,v 2 ,v 3 ,...v n ,... , u m -u n o 0 m, n >! . ' v vn , n `, vn _ v _ 336

Méray, op. cit. p. 283. $. P. Dugac, Fondements de l’ analyse. op. cit., pp. 368-369 Histoire de l’ Analyse. Paris Vuibert 2002 pp. 146-149. 338 & . P. Dugac, Charles Méray (1835-1911) et la notion de limite. Revue d’ Hist. des Sciences. t. 23 1970 pp. 333-350. 339 $. J. Manheim, op. cit. pp. 80-82. 340 # 1869, , , Nouveau précis d’ Analyse Infinitésimale. Paris 1872, ! > . 337

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242 88

Cauchy341. ' Cauchy ! ! . '! ! v m p - v m H , (simulacrum), ! (simulacrum), , « » (fictive) , ! ! ! »342. Méray «

! , + *343, !+ !. # ! , ! ( " ! )».344 (indéfinie) " D D D D n 1 2 1 1 + 2 22 1 1 1 + + 2 2 2 23 ................. 1 1 1 1 + 2 + 3 +...+ n 2 2 2 2 1.

341 342 343 344

Ch. Méray, op. cit. pp. 284-285. L. Brunschvicg, op. cit. p. 357. # . C. Méray, op. cit. p. 31.

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II. ...

243 89

' , 1 1 1

1 1 2

1 1 1 1 2 1 2 3 ...................... 1 1 1 1 ... 1 1 2 1 2 3 1 2 3...n , " « !» (fictivement), " ! , ! " !+ .345 O #éray ! ! « !» (limites fictives) " " _ . ' « » (nombres fictifs) ! , u v, . U

" ( ) " () « » V ! u m -v n >0 <0. <’ « » !> ". % « " "» ! , , DDD ! D ! « D + ’ " + ! ! »346. 345 346

L. Brunchvicg, op. cit. p. 358. C. #éray, op. cit. 1869 p. 288.

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244 90

# « " "», ! ! . # , + #éray347 !348 ! " " ! , , " , ! Lagrange349.

K. Weierstrass

! ! !> & , Kronecker Weierstrass '! , Felix Klein, + « ! ! »350. % 347

", H. Poincaré, + ! #éray: «< , ! ’ !

, , ! . ... Méray. " ! , ! , ... . Méray… Weierstrass ... " " , ", ! ». P. Dugac, Sur les fondements de l’analyse mathématique de Cauchy à Baire. Paris Université Pierre et Marie Curie Paris 1978 p. 139. 348 . 349 « " Lagrange ! " ». Ch. #éray, Nouveau précis d’analyse infinitésimale, Paris 1897 p. 115. 350 F. Klein, Ueber Arithmetisierung der Mathematik. Nachr. K{n. Gesellschaft Wissensch. G{ttingen Gesch. Mitt. 1895 pp. 82-91. . ! Vassilieff et L. Laugel Nouv. Ann. Math. (3) Vol. 16 1897 pp. 114-128.

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II. ...

91 245

Karl Weierstrass (1815-1897), > " . #! 13 " (1842-1855), o Weierstrass ! 1856 $ , . ! ! . 1859 ! " , !

! ! . "

", >! 1863, !, " , , .., " A. Hurwitz, ! >! 1878, # ", P. Dugac351. & " ! " " ;. Kossak352 1872, " , " ! & " >! 1865-1866, " Weierstrass 353 " ! . 354 " "355 + 351

P. Dugac, Eléments d’ 'nalyse de Karl Weierstrass. Arch. for Hist. of Exact Sc. T.10. 1973 pp. 41-176. $. (Thèse d’ Etat) Sur les fondements de l’ analyse de Cauchy à Baire. Paris 1978. *. Weierstrass, Einleitung in die Theorie der analytischen Funktionen. Vorlesung Berlin 1878 in einer Mitschrift von Adolf Hurwitz (ed. W. Scharlau und P. Ullrich) DMV Vieweg Braunschweiig 1988. 352 E. Kossak, Die Elemente der Arithmetik. Programm Friedr. Werder Gymn. Berlin 1872. 353 $. %. Biermann, Theorie der analytischen Functionen. Leipzig 1887. V. Dautscher, Vorlesungen ueber die weierstrassche Theorie der Irrationalen Zahlen. Leipzig und Berlin, Teubner 1908. $.

G. Mittag - Leffler, Die Zahl: Einleitung zur Theorie der analytischen Functionen. The Tohoku Mathematical Journal Sendai. The Tohoku Imperial University Vol XVII 1920 pp. 157-209. 354 + Dautscher, P. Dugac, Fondements d’Analyse op. cit. pp. 364-366, " J. Manheim, The Genesis of Point Set Topology, Pergamon Press 1964 pp. 83-85. 355 + Weierstrass « , ,

! ! » ;. Kossak, op. cit. p. 16.

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246 92

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" . , ! ! ! ,

356

P. Dugac, Fondements de l’ analyse p. 365. « ¿ !+ ¿ ¿¿» idem. 358 P. Dugac, idem. 357

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II. ...

247 93

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, ! " ! " , , c... .»359 # " ! ! . 359

Idem.

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94 248

% ! Weierstrass « ! + .

, ! , ! " _ , ! , ! 360»361. # " ;> ", « " " " " ! " ( !> ! > ) \ . < ! ; 19 " .... Richard Dedekind (1831-1916),

19 " , ! ;>-Dedekind " "»362.

R. Dedekind

% R. Dedekind, « " »,363 ! . < = Göttingen -

360

& Weierstrass, ! « > , ! ». G. Mittag – Leffler, Une page de la vie de Weierstrass, Communication au Deuxième Congrès International des Mathématiciens Paris. 1900 p. 150. 361 P. Dugac, Fondements de l’ analyse p. 366. 362 <. =. – =.$.* , & > $ # # * . ' 1997. . 84. 363 “Die Zahlen sind frei Schöphungen des menschlichen Geistes” R. Dedekind, Was sind und was sollen die Zahlen. 1888, Werke Bd 3 p. 335.

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II. ...

95 249

Dirichlet Riemann364, " 21

+ Gauss. 1858 + # " = , (Eidgenössische Technische Hochschule) !+ >! 1858-1859 ! ! " ". ' , 1862 ! ! ! = Brunswick, " ! 365. * !, 1872, 4/ # 366, # !. ' Dedekind " : « = <

" !367 !> ! . <+ " " !+

> ! " ",

! ! , ! 368, . ' " " , " > ! !, ! ! ! . '!

, ... > , 364

& . P. Dugac, Richard Dedekind et les fondements de l’ analyse, préface de J. Dieudonné, Vrin Paris 1976. 365 $. P. Dugac, op. cit. Appendice IV. 366 Stetigkeit und irrationale Zahlen erste Aufl. Vieweg, Braunschweig 1872 . ! O. Zariski, Stock Roma 1926 " W. W. Beman, Dover. New York 1963. 367 Dedekind Weierstrass !> , ! . * ! , " " ". 368 =. = " #éray ! .

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250 96

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! > , ! > " ! ... = ( " !) > »369,370. % Dedekind, ! , + >" ! >" ". = ! Dedekind . « , . ' !

. ; ", , , ... " "

" > !, ! ! , " , ! . < ; * > ! ! ’ " ’

! ! " . 369

R. Dedekind, Continuity and Irrational Numbers, . Wooster Beman, in Dedekind, Essays on the Theory of Numbers, La Sale III Open Court 1948 pp. 1-2. 370 O Dedekind ! « ' " . # ! " ! , " ! ! ! ! , ! ! + !». R. Dedekind op. cit. p. 11. " Dedekind ! > " " . $. .. o Pasch. $. M. Pasch, Ueber die EinfÚhrung der irrationalen Zahlen. Math. Ann. Bd. 40. 1892. pp. 149-152.

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II. ...

251 97

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" . ' !. < ! ! ! " ! ! ! ! . $ , ! . ' !, " ! " ! ! ! ! , ! !

!>, ».371 ;" Dedekind ' . % < " # : « ! 372

! + ».373 % ! , . ! + ! ! . 371

R. Dedekind, op. cit. p. 9. = ! () ' #. = ! ! ! , " >, . «= q ³! @ { q> | q ^ " @ { q ! ", @ À Ä [ Ä q ». # 1022 4-6. 373 « ’ [ , ¡ @ X ³ » " ! 227 11-12. $. (. / , ' Dedekind. " $ ' ' " 2007 . 274-279. 372

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252 98

/!, Dedekind , ! ! 17 " . ) ’ . * Dedekind : « , + "

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" ! . &’ " ! . &’

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, + ! . " > ,

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! ! »374. < " ! $ % & * *, &

" "375 _ , " 376 ! : 374

R. Dedekind, op. cit. pp. 11-12. ! “wohlgeordnet” op. cit. p. 5. 376 + Dedekind ! " 1871 Ueber die Komposition der binären quadratische Formen, [ ! Dirichlet ;& *] Supplement X von Dirichlets Lejeune P.G. Vorlesungen über Zahlentheorie 2e Auflage Vieweg Braunschweig 1871 p. 224”. ' " " " !+ " ! , !, , ! +

». < !>. 375

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II. ...

253 99

1)

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2)

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3)

D _ , ! ! ( ) Α'1 Α '21 " * D Α $1 D11£α D A22 a2 ! a . % Þα Þα £α a2 Α '1 '2 ( !)377. '

". * ή " α1ÎΑ1 Þα1<α και " α2ÎΑ2 Þα2³α

! " " > , " + ! '1 '2 " D $ D $ ! . " " , !+ .378 ' ! + !> : *. ' c , ! ! c1 D $ E %D E t c . ! ! c 2 . + ! c1 c 2 + ( c1 , c 2 ) c C c C . ( c1 , c 2 ) ! (A1 ,A 2 ) (B1 ,B2 ) .379 377

% Dedekind " !

. 378 < " > ( Dedekind) " >: L R ’ " ' ! [ A " ! > L ! R. + ' " ' L R ! i) L R z L R A, L R ii) x L y R x y . ;. & , ' & #$ . '

2001 . 23. 379 '! + ! !>.

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100 254

< 4 ! , !+ 3 & & *380, Dedekind

, ! ! ", Méray Cantor Weierstrass. O Dedekind ! " " ! " ! . * ’ (. 3). > " " , ! !, 381 (Schnitt) ! , (A1 ,A 2 ) ( '1 '2 z ).

R. Lipschitz

Dedekind ;> + " R. Lipschitz382 (1832-1903). < 8 1876 380

$. P. Dugac, Fondements de l’ analyse p. 367. ' 1918 ! " Dedekind ;!

! = . = ' ". ` ( 1926, 1929) « ». & . Ch. Phili, The arithmetization of P. Zervos’ book Infinitesimal calculus at the twenties’ in Greece IX Oesterreiches Symposion zur Geschichte der Mathematik. Oesterreichsche Gesellschaft für Geschichte der Mathematik. Miesenbach 2006 pp. 228-239. 382 = , F. Newmann P. G. Dirichlet, ! ! # " , ",

Bessel, Fourier, >", . / #$ (Grundlagen der Analysis. Bonn 1877-1880) + # ". 381

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II. ...

101 255

! Dedekind «> + !

! »383 5 384 5 $ 4 & ( > !

) > 6 ».385 , ! , 2 3 Dedekind (10.6.1876) ! Lipschitz, !+ ! 386,387 Lipschitz «

... (Gebiet) " "»388 ( ) « " ! ! " !».389 #! !+ ;> 10 $ 4 &, !+ > . = " " " ! « (Abschluss) (Vervollständigung),

" ( Dedekind) »390. * Dedekind ! , ;> , « ! " " "

2 3

6 -

»391. 383

P. Dugac, Richard Dedekind et les fondements des mathématiques. Préface J. Dieudonné. Paris Vrin 1976 p. 217. 384 O Lipschitz !. 385 P. Dugac, Idem. 386 R. Dedekind, Gesammelte mathematische Werke. Braunschweig Vieweg (hrsg.) R. Fricke, E. Noether, O. Ore Bd. III 1932 pp. 470-47. 387 " ! >

", . 388 R. Dedekind, op. cit. p. 472. 389 Id. pp. 472-473. 390 Id. p. 473. 391 Id. p. 474.

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102 256

! ; , , > 2 3 6. ' 5 5 $ 4 & A * , + Lipschitz !, " B ' (, ) νA ! μB ν* ! μ' νA ! μB ν* ! μ' νA ! μB ν* ! μ' . % Dedekind ! . =" ! ! !, " ! , '

, ! ' ', ! '. ' ; , Lipschitz, Dedekind ! « + », " ". ' " ! (Gebiet) " ! . , o ; > , Dedekind " 5 $ ! ! " ! . 392 Dedekind ! Lipschitz, (6.7.1876) " ! ! . * ! Lipschitz > «! , »393. * ! 27 1876 Dedekind ! , + ! ;>, . 392 393

P. Dugac, op. cit. append. XXXVI pp. 218-220. Idem. pp. 219-220.

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II. ...

103 257

' , ! Lipschitz ;>, ! ! ,

" , " "

>! . < " / ;394 (1888). % Dedekind + " ", + Cantor > , ! 395, > ! ; , ! ! < ! ". % Dedekind ; , ! , ! , !+ .396 ! > ! : «= ! " !

».397 # ! ! >

Dedekind Lipschitz ! !

;> !> " Dedekind

« "». = !, 2 + ! " <2 ( d 2) " t 2 ( >2). = : " !> , 394 Was sind und was sollen die Zahlen? Braunschweig Vieweg. 1888. $. R. Dedekind, Gesammelte mathematische Werke. Bd III pp. 335-391. <! Dedekind + !+ ’ 1872. 1 ! ! + ! «< ,

> ». ' Helmholtz, Zahlen und Messen (1887) Kronecker, Ueber den Zahlbegriff (1887) " Dedekind " . 395 Idem. p. 339. 396 Idem. p. 479. 397 R. Dedekind, ' $ Lipschitz 10 % 1876. R. Dedekind, op. cit. Bd. III 1930-1932 p. 470.

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258 104

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II. ...

259 105

" " ! t 2 , > ! ! " ! . # ! , !

. = " , + " ". «= ! ! ... ! ! ! ! ».398 # Dedekind !+ Lipschitz. ;

J. Dieudonné

& ! &! Jean Dieudonné ! ;>, Dedekind «

(" ;> > + " )».399 398

' $ Lipschitz 27 %$ 1876 ib. p. 475. Jean Dieudonné, Dedekind. Encyclopaedia Universalis V, Paris 1969 p. 374. <

, Dieudonné, + Dedekind « ! ». " « Dedekind ("

! ) " >! " ». Idem pp. 374-375. 399

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260 106

O. Zariski

% O. Zariski (1899-1986), !+ ! Dedekind,400 > + " Dedekind

" . % > ! !

, ! . &"+ « ! ».401 O W. Krull Dedekind '?402 ! 5 $ 4 & ! , ! . 5 $ ! " " !+ " . % Dedekind, >" " , ;> " " _ +

! ! , ,

". ' > Dedekind _ + ! \ +, _ + ’ ! > . ' " ! > + . #! Dedekind ! " ! , ’ 400

Essenza e significato dei numeri. Continuità e numeri irrazionali. Roma Stock. 1926. P. Dugac, op. cit. p. 57. 402 Zahlen und Grossen. Dedekind und Eudoxos. Mitteilungen mathematische Seminar. Giessen 90. 1971. pp. 29-47. 401

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II. ...

261 107

". «" ! ! ! (A1 ,A 2 ) , ! , , ! , (A1 ,A 2 ) »403. # , !

, ! , Dedekind !+ . ! !, " . % Dedekind ;> ’ A m ", !> " " ! B n m$>n' m$ >

+ ! ’ . % J. Dhombres404 , / /. ' $ % « ; ! ! - " ", ! ! "

! -" . =! ; " , ". # , '$ »405. < 406 1888 / ; (Was sind und was sollen die Zahlen?) Dedekind, +

" 403

R. Dedekind, Stetigkeit und irrationale Zahlen. Braunschweig Vieweg 1872 Werke. Bd 3. p. 325. 404 J. Dhombres, Nombre, mesure et continu. Epistémologie et Histoire. Paris Fernand Nathan 1978. 405 Idem pp. 56-57. 406 Dedekind " 1872 1878. ' " > =! ! " , 1888 > .

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262 108

"+ K , " «'

!+ . ! " . < ! " ! !+ , + ».407

G. Cantor

% Georg Cantor408 (1845-1918), Weierstrass409, ! = Halle, Eduard Heine410 (1821-1881), !+ 1872 411 "

>! .412

407

R. Dedekind, Was sind und was sollen die Zahlen? Branuschweig Vieweg. 1901 p. 33. Ueber die Ausdehnung eines Satzes aus der Theorie der trigonometrischen Reihen. Math. Ann. Bd. 5 1872 pp. 123-132. 409 + Cantor !+ = $ (1863-1866) Weierstrass, !+ " ". 410 Die Elemente der Functionlehre. Journ. für die reine und angewandte Mathematik Bd. 74 pp. 172-188. 411 ' !+ Heine – Cantor. #! Heine Cantor, + , . E. Heine, Die Elemente der Functionenlehre, Journal für die reine und angewandte Mathematik Bd 74, 1872 pp. 172-188. 412 $. P. E. B. Jourdain, The Introduction of Irrational Numbers, Mathematical Gazette IV 1908 pp. 201-209. 408

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II. ...

109 263

E. Heine

Heine + #413, (Zahlenreihen) " " ^αi ` " an anr o 0 414 4 * /415

an o 0 . ^αi ` ^βi ` !+ ! ^αi βi ` " . " " ^αi ` !

' " A an o 0 , ' + ^αi `. ' ! ' , ' !. & ! 1 ! 0.1, 0.11, 0.111 ... 9 1

! {0.1, 0.11, 0.111 ...}416. 9 413

= Heine #,

!+ ! Cantor !+ (Fundementalreihen). 414 /! : H ! 0 n ` : a a n n v ε n ` v ] ! !> Heine, ". 415 " ! ( ) Heine ' Méray !+ ! . 1 1 1 1 « >’ ! { , , ...}. ; , 0 9 9 9 9 1 1 1 {0.1- , 0.11- , 0.111- ,...} " . ; > 9 9 9 " {0,0,0...}, 1 1 1 . {0.1, 0.11, 0.111...} { , , ...} « » 9 9 9 ». J. Manheim, op. cit. p. 87.

416

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264 110

« A t B ! " n ! N , an β n ! . " ( " ), !+ , ! D () ! n : cn v D v . ; , ! D, ! d. #! Heine ! , ! d, ! D. # "

! : ' ' ( ) ^A Bn ` o 0 , ' $. ' , + , Heine > " : « ' ai " ». > ... ! d, A an d , ! ! n. ' " Cauchy. > . # > ! + > »417. + ! Heine ’

! , > " ": «%!+ ! ! , > " " + ».418 * Cantor,419 Dedekind, >! ". ! 420 : «%

! 417

J. Manheim, op. cit. pp. 87-88. P. E. B. Jourdain, The Development of the Theory of transfinite Numbers. Archiv der Mathematik und Physik Bd. 16 1910 p. 29 . 4. 419 & . A. A. Fraenkel, Georg Cantor, Jahresbericht der Deutschen Mathematiker Vereinigung Bd 39, 1930 pp. 189-266 " H. Meschkowski, Probleme des Unendlichen. Werk und Leben Georg Cantors. Braunschweig. Vieweg 1967 . ! I. Grattan-Guinness, Towards a Biography of Georg Cantor. Annals of Science Vol 27 1971 pp. 345-391. 420 Ueber die Ausdehnung eines Satzes aus der trigonometrischen Reihen. Math. Ann. Bd 5. 1872 pp. 123-132. 418

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II. ...

265 111

421 (Zahlengrosse). ! (Gebiet) ' ! ».422 % Cantor,

Dedekind, ! " ( !>, ! > ). : an m an ε n, m t n1 <’ (1872) ! ( Cantor !+ !423 (Fundemental Reihe)424, !+ Cauchy.425 «<

"

! " "426 a1a2 a3 ...an ... " ! anm an ! n >!, m , ! , ( ), ! n1 " an m an ε n t n1 m . !+ (1): “ (1) " ”»427. < " + (an ) ε ! 0 n1 ` : an m an ε n, m t n1 .428 421

<’ Cantor « ». ;/$ ... (Grundlagen...) (reel) , \ (real) « » ! ! . 422 G. Cantor, op. cit. p. 123. 423 + Cantor !+ Méray $ >$. 424 % , !+ 1883, ! Ueber unendliche lineare Punktmannigfaltigkeiten 3. Math. Ann. Bd. 21 1883 pp. 545-586. $. ; G. Cantor, Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen Inhalts. ed. E. Zermelo Berlin Springer 1932. pp. 92-102. 425 = " (, ). 426 G. Cantor, Ges. Abh. p. 92. 427 Idem. 428 + " Cauchy, , Cours d’ Analyse de l’ Ecole Polytechnique. Paris Debure 1821. $ Oeuvres Complètes 2e série t. III Paris Gauthier-Villars 1897 p. 125. &! Cauchy, . (. / Augustin Louis Cauchy, + $" '? # . = ' 2009 . 385-445.

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112 266

'! ;/$ ;& 4$& « (1) " » ! " D v «

, !

! (aQ ) , ! Heine».430 = > , " Ê > ! . 429

.L. Cauchy

& Cauchy . * " ! ! , Cantor " Cauchy ! , " Ê > . Cantor . ! "

. = " ' " (1) ! a1 , a2 ,...an ...

Cauchy " ". «! (1) , ! ! (1). 429

Grundlagen einer Mannigfaltigkeitslehre. Ein mathematisch-philosophischer Versuch in der Lehre des Unendlichen. Leipzig. Teubner 1883 $. G. Cantor, Ges. Abh. pp. 165-208. 430 G. Cantor, Ges. Abh. p. 185.

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II. ...

113 267

(1)¿ ! a1c , a2c ,...anc ...,

¿. ' (1) (1)¿ , =¿

" >¿ <¿. ' ! " " ( anc ) n ` anc a n (an ) n ` = , " > < . «' », + Cantor, «

, (1),

E an n >! , ! " ’ ! (1), ».431 ! β an , (an ) n ` ’ " Cantor . < 1883 / & 4$& Cantor ": «'’ , " " # / , (aQ ) , β aν , >! ! Lim aν β .

ν of

> , >! : , + «» (aQ ) . !, ! + * ( Weierstrass), ! ! ? Lim aQ . ! Q of , " ,

! > ! : Lim aν !ν of ».432

431 432

G. Cantor, idem. p. 125. Idem p. 187.

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114 268

Cantor + , +

(aQ ) , ! > Lim aν β , > . ν of

= + ! > . ": « ! , , > " " ... ! ! (gewinnen) , ! ,

! !

».433 Cantor ! , , « » " > Lim aν β . ν of

' , 1895, 4>$ $& & $&434 ! « "

"» (zusammengehörigen Reihen) > " " . < – 435. ' " , . % ! ! – 436 ! !+.

433

Idem. p. 187. Beiträge zur Begrundung der Mannigfaltigkeitslehre 2. Math. Ann. Bd 49 1895 pp. 481-512. $. ; G. Cantor, Ges. Abh. pp. 282-311. 435 Idem. p. 309. 436 E. Iligens, Zur Weierstrass – Cantorschen Theorie der irrationalen Zahlen. Math. Ann. Bd. 33. 1889 pp. 155-166. M. Pasch, Ueber die Einführung der irrationalen Zahlen. Math. Ann. Bd. 40 1892. pp. 149-152. 434

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II. ...

115 269

J. Tannery

# > " J. Tannery, ' & & >$,437 " > P. Bachmann, & &438 + ! !> " " a1 , a2 ,...an ... β1 , β 2 ,... β n ... " β n ! β n 1 ! an 1 ! an ! , , β n an ε ! , > ! . ! " ". ' ! " ! , ! .

437

Introduction à l’ étude des Fonctions d’ une variable. Paris Hermann 1886. #! J. Tannery : «# ’ " '! +

. !+ ! > , ! … ! , , ! ! · > « ! »

. ! ", ! > ». op. cit. p. viii. 438 Vorlesungen ueber die Natur der Irrationalzahlen. Leipzig 1892

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270 116

P. du Bois – Reymond

! Paul du Bois – Reymond (18311889), " 439 ! ! ! " 440 . « ! ! , , + , , ! »441. #! !> # " ! , !+ " "

! ! ’ > Cantor – Dedekind.442

439

$. Die allgemeine Funktiontheorie, Tuebingen 1882 . ! : G. Milhaud et A. Girot, Nice. 1887. 440 & (linéaire) . 441 P. du Bois – Reymond, op. cit. p. 61. 442 < >" P. du Bois – Reymond ! ! . * " ! ! ! !

! , > ! + > Cantor.

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II. ...

271 117

L. Kronecker

* L. Kronecker (1823-1891) ’ , 443 ! , ! .444 * , . «= " !

"

" " ( , " "), , > »445. ' !

(Weierstrass, Cantor, Dedekind), Kronecker446 443

% " Kronecker, . & . L. Kronecker, Ueber den Zahlbergriff. Journal für reine und angenwandte Mathematik Bd. 101. 1887. p. 338. 444 & . H. M. Edwards, Kronecker’s views on the foundations of mathematics. History of Modern Mathematics. t. I.: Ideas and their Reception. Academic Press 1989. =. " Kronecker « / ;, $ #$$ #&». (Die ganzen ahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschwerk). $. St. Hawking, God created the Integers. Running Press 2005. 445 L. Kronecker, op cit. p. 340. 446 O Kronecker Helmholtz ! Ueber den Zahlbegriff ( ) 50 ! E. Zeller, 1887. = ! Crelle, Journal für reine und angewandte Mathematik . Bd 101, 1887 pp.

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272 118

! 447

. % ! & ! !, , ! !

« »

, " · ! 448. 449, ! , ! 450,451. & Kronecker ! , ! , " Dedekind ! . , + Kronecker. #!

+ « , " ", ,

, a priori

! »452. 337-355. $. Werke Bd. 3 pp. 249-274. " !+ ! = $ ! >! 1891 . $ = L. Pasteur < . 447 =. " Gauss « ! ; "

# "». $. W. Sartorius V. Walterhaussen, In Memoriam Gauss. Leipzig 1856 p. 79. < (p. 97) ! Gauss, «Ý X Z +». 448 % Kronecker ! ! ! # " ( ). 449 & Kronecker . 450 # # " , . .. M. Margenstern, L’ école constructive de Markov. Revue d’ Histoire des Mathématiques. 1995. p. 272. 451 O Kronecker « "

" ! » L. Kronecker, op. cit. p. 338. 452 Idem p. 339.

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II. ...

273 119

H. Hankel

= H. Hankel, (18391873), , " ", ". «*! ! " ! "

! ! ! , , ,

!, > ».453 O Hankel454 " : «< , ! > !

’ , >! , ! = . ; , + > " !

+ . & ! , ! , »455.

453

H. Hankel, Theorie der complexen Zahlensystem inbesondere der gemeinen imaginären Zahlen und der Hamiltonschen Quaternionen, Leipzig Voss 1867 pp. 46-47. 454 + Hankel Riemann = GÙttingen = $ Weierstrass Kronecker. 455 H. Hankel, op. cit. §2.

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120 274

J. Thomae

, o J. Thomae456 (1840-1921), 4 * ;& & $ * &457 … !+

! 458 " . !

! " Weierstrass !

Heine Cantor. '> ! : « " " + ’ , " . ! , ! !+ . & " , ! !. # ( ) ! , ’ ! ! ! ! ( ). ’ ! ! , ! , " ! >! ’ . & , ! ! ! ! 456

< 1860 Weierstrass = $ . ' 1872 = Halle, Heine Cantor, " ! = Freiburg, ! P. du Bois – Reymond. ' 1879 = Iena. 457 Elementare Theorie der analytischen Functionen einer complexen Veränderlichen 1e Aufl. 1880. Halle Nebert; 2e Aufl. 1898. Halle, Nebert. 458 .. + Hankel +

« ! ».

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II. ...

121 275

. % ! , " " >! " ! 459 (anschauliche Mannigfaltigkeiten). " . ! ! z »460,461.

G. Frege

1884 G. Frege (1848-1925) 5 / 462 … # !

463, !+ 459

Thomae " Dedekind > , > . 460 J. Thomae, op. cit. p. 3. 461 % Frege Thomae, !+ !>. # > Frege Thomae ! , & # ; (Jahresbericht der Deutschen Mathematiker Vereinigung). 462 Die Grundlagen der Arithmetik, eine logischmathematische Untersuchung ueber den Begriff der Zahl, Breslau p. 1884. $. Breslau 1934. $. , ;/$ , – ! – &. É ' . 1990. 463 1879 Frege "

", (Begriffschrift) ! > ! ! ( !

, ). « ! > " ,

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… » Begriffschrift, eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens. Halle, Nebert p. vi. 464 ' Frege " . $. .. M. Dummert, Frege – Philosophy of Mathematics 1991 London. Duckworth, G. Currie, Frege, an Introduction to his Philosophy. The Harvester Press, Sussex 1982 H. D. Sluga, Gottlob Frege, London, Boston, Henley, Routledge and Kegan Paul 1980 " M. D. Resnik, Frege and the Philosophy of Mathematics. Ithaca. London Cornell Univ. Press 1980. 465 G. Frege, op. cit. p. 99. 466 Idem. 467 + " , + Dedekind, / 1888 « ( ! , ! ) ! » op. cit. p. 335. 468 Grundgesetze der Arithmetik, Begriffschriftlich abgeleitet. Jena Bd. 1893 ( Olms, Hildesheim 1963). Bd 2 Iena, Pohle 1903 ( Olms, Hildescheim 1968). 469 G. Frege, op. cit. 1es Bd. p. vi.

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II. ...

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& . F. Kutschera, Freges Begründung der Analysis. Archiv für mathematische Logik und Grundlagenforschung Bd 9 1966 pp. 102-111. M. Schirn, Studien zu Frege I Logik und Philosophie der Mathematik Stuttgart, F. Frommann und G. Holzboog 1976 " L. Haaparanta and J. Hintikka, Frege synthetised. Dordrecht, Boston, Lancaster, Tokyo, D. Reidel Publishing Co. 1986. 471 G. Frege, op. cit. § 156. 472 $. M. Epple, Das bunte Geflecht der mathematischen Spiele: Ein Diskurs ueber die Natur der Mathematik. Mathematische Semesterberichte 1994 Bd. 41 pp. 113-133. 473 C. Parsons, Frege’s «Theory of Number» M. Black (ed.). Philosophy in America London 1965 pp. 180-203.

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474

G. Frege, Grundgesetze der Arithmetik Iena 1903. Bd. 2 § 159. $. J. Ferreirós, Labyrinth of thought: A history of set theory in modern mathematics Basel: Birkhäuser 1999 M. Hallet, Cantorian set theory and the limitation of size. Oxford. Oxford University Press 1984.

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