Problema 1 Seja H o hiperbol´oide de equa¸c˜ao 3x2 + 3y 2 − z 2 − 1 = 0 . a) Prove que todo ponto (x, y, z) ∈ H pertence a exatamente duas retas contidas em H. b) Prove que todas as retas contidas em H formam o mesmo ˆangulo com o plano de equa¸c˜ ao z = 0, e determine esse ˆangulo. Problema 2 Seja A a matriz real quadrada  x+y x  x x + y  A= .. ..  . . x

x

de ordem n:  ... x ... x    .. ..  . . ... x + y

Diga para quais valores de x e y a matriz A ´e invers´ıvel e calcule A−1 . Problema 3 Prove que n˜ ao existe polinˆomio P (x) = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a0 com coeficientes inteiros e de grau maior do que 1 com a propriedade que P (0), P (1), P (2), . . . s˜ ao todos n´ umeros primos. Problema 4 Sejam x1 , x2 , x3 , . . . uma sequˆencia de inteiros tais que 1 = x1 < x2 < x3 < . . .

e

xn+1 < 2n

para n > 0

Mostre que qualquer inteiro positivo k ´e igual a xi − xj para algum i e j. Problema 5 Determine todas as solu¸c˜oes reais da equa¸c˜ao r q √ x= 2+ 2− 2+x

Leandro Farias 3◦ ano - Engenharia de Computa¸c˜ ao Instituto Militar de Engenharia [email protected]

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Dicas Problema 1 Uma reta pertence a um Hiperbol´oide(est´a contida) quando todos os pontos da reta satisfazem a equa¸c˜ ao do Hiperbol´oide. Problema 2 V´ arios escalonamentos! Problema 3 Estude os polinˆ omios P (ka0 ). Problema 4 Princ´ıpio das casas dos pombos. Problema 5 Tente trabalhar com substitui¸c˜oes trigonom´etricas.

Leandro Farias 3◦ ano - Engenharia de Computa¸c˜ ao Instituto Militar de Engenharia [email protected]

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