1A - Verifica di Matematica del 18 Gennaio 2016 Testo e soluzioni

Esercizio 1 (Pittangram). (FF) Nella figura a lato regioni indicate nello stesso modo sono sovrapponibili. Perch´e ci` o fornisce di fatto una nuova dimostrazione del Teorema di Pitagora?

` sufficiente constatare che Dimostrazione. E i quadrati costruiti sui cateti possono essere disassemblati e poi riassemblati nel quadrato costruito sull’ipotenusa. Ci`o comporta che l’area di quest’ultimo sia la somma delle aree dei primi due, ossia c2 = a2 + b2 .

Esercizio 2. (FFF) Sapendo che i lati di un certo triangolo misurano 20 cm, 21 cm e 29 cm, `e possibile determinare se tale triangolo `e retto (ossia ha un angolo di 90◦ ), acutangolo (ossia con tre angoli pi` u piccoli di un angolo retto) oppure ottusangolo ◦ (ossia con un angolo pi` u ampio di 90 )? Se s`ı, come?

Dimostrazione. Poich´e 292 = 202 + 212 , l’area del quadrato costruito sul lato pi` u lungo `e pari alla somma delle aree dei quadrati costruiti sui lati pi` u corti, dunque tale triangolo `e rettangolo.

Esercizio 3. (FFFF) Sappiamo che: acquistando 3 Kg di mele, 2 Kg di pere e 1 Kg di banane acquistando 2 Kg di mele, 1 Kg di pere e 3 Kg di banane acquistando 1 Kg di mele, 3 Kg di pere e 2 Kg di banane

spendiamo 5,60 euro, spendiamo 6,70 euro, spendiamo 6,30 euro.

Quanto costano 5 Kg di banane?

Dimostrazione. Abbiamo che 6 Kg di mele, 6 Kg di pere e 6 Kg di banane costano 5,60 + 6,70 + 6,30 = 18,60 euro, dunque 1 Kg di mele, 1 Kg di pere e 1 Kg di banane costano 3,10 euro. Per differenza, otteniamo che: acquistando 2 Kg di mele, 1 Kg di pere e 0 Kg di banane spendiamo 2,50 euro, acquistando 1 Kg di mele, 0 Kg di pere e 2 Kg di banane spendiamo 3,60 euro, acquistando 0 Kg di mele, 2 Kg di pere e 1 Kg di banane spendiamo 3,20 euro.

Consideriamo adesso quanto spendiamo prendendo il doppio di quanto riportato nella seconda riga assieme a quanto riportato nella terza: acquistando 2 Kg di mele, 2 Kg di pere e 5 Kg di banane

spendiamo

10,40 euro.

Ci` o comporta che il costo di 3 Kg di banane `e pari a 10,40 − 2 × 3,10 = 4,20 euro, dunque 1 Kg di banane costa 1,40 euro e 5 Kg di banane costano 7 euro.

Esercizio 4. (FF) Calcolate il valore della seguente espressione:
223 − 23 :




210 − 1 × 210 + 1 .

Suggerimento: cercate di ricorrere il pi` u possibile alle propriet` a delle potenze, anzich´e al calcolo esplicito.

Dimostrazione. Poich´e (a − b) × (a + b) = a2 − b2 , si ha che (210 − 1) × (210 + 1) = 220 − 1 = 220 − 20 e la quantit` a che vogliamo calcolare risulta pari a: 223 − 23 = 23 = 8. 220 − 20

Esercizio 5. (FFFF) I lati di un triangolo ABC √ misurano AB = 5 cm, BC = 7 cm e CA = 4 × 2 cm. D `e il piede dell’altezza uscente da A, ossia l’unico punto del segmento BC per cui AD ⊥ BC. Scelto un punto P sul segmento AD, la differenza P C 2 − P B2 dipende da dove `e stato scelto P oppure no? In ogni caso, perch´e?

Dimostrazione. Risposta negativa, inoltre i dati sulla lunghezze dei lati di ABC sono in realt`a irrilevanti. P DB, P DC, ADB, ADC sono quattro triangoli retti in D, dunque in virt` u del Teorema di Pitagora si ha: P C 2 − P B2

=

(P C 2 − P D2 ) − (P B 2 − P D2 )

= CD2 − BD2 =

(CD2 + AD2 ) − (BD2 + AD2 )

= AC 2 − AB 2 , ma l’ultima quantit` a, che nel nostro caso `e pari a 32 − 25 = 7 cm2 , non dipende dalla posizione di P su AD, ma solo dalle lunghezze dei lati di ABC.

Esercizio 6. (FF) Si dispongano in ordine crescente (ossia dalla pi` u piccola alla pi` u grande) le quantit` a di seguito riportate: 34 − 43

45 − 54

102 − 2 × 72

13 + 23 + 33 + 43 − 102 .

Dimostrazione. Tali quantit` a sono pari a: 34 − 43 = 81 − 64 = 17,

45 − 54 = 1024 − 625 = 399,

102 − 2 × 72 = 100 − 98 = 2,

13 + 23 + 33 + 43 − 102 = 0,

si dispongono dunque in ordine crescente come segue:



13 + 23 + 33 + 43 − 102 < 102 − 2 × 72 < 34 − 43 < 45 − 54 .

Esercizio 7. (FFF) Quanto vale la somma di tutti i numeri naturali compresi tra 1 e 111 la cui cifra delle unit` a risulta essere pari a 5? In altri termini, quanto vale 5 + 15 + 25 + . . . + 95 + 105 ?

Dimostrazione. Tale somma `e pari a 5 × (1 + 3 + 5 + . . . + 17 + 19 + 21), dove: (1 + 3 + 5 + . . . + 17 + 19 + 21) + (21 + 19 + 17 + . . . + 5 + 3 + 1) = 22 + 22 + 22 + . . . + 22 + 22 + 22 = 22 × 11 = 242. Segue che la quantit` a che vogliamo calcolare `e pari a 5 × 121 = 605.

Esercizio 8. (FFF) Si dimostri che, preso un qualunque numero naturale avente 5 come cifra delle unit` a, il suo quadrato `e un numero che termina con 25.

Dimostrazione. Un numero naturale che termina con la cifra 5 si pu`o sempre esprimere come 10 × a + 5, con a ∈ N. Tuttavia: (10 × a + 5)2 = 100 × a2 + 100 × a + 25 = 100 × a × (a + 1) + 25 `e la somma tra 25 e un multiplo di 100, dunque un numero che termina con 25, CVD.

Jacopo D’Aurizio [email protected] http://www.matemate.it