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Relatividad General Avanzada-I, 2015-2

Tarea II Relatividad General Avanzada-I

2 de noviembre de 2015 Considere una geometr´ıa de background definida por un vielbein e¯a y una conexi´on de esp´ın ω ¯ ab . Sobre esta geometr´ıa, estudiaremos el comportamiento a primer orden de perturbaciones infinitesimales 1 e¯a → ea = e¯a + ha , 2 ω ¯ ab → ω ab = ω ¯ ab + υ ab + v ab , en donde υ ab , v ab y ha son 1-formas. Aqu´ı υ ab est´ a definida como una perturbaci´on de la conexi´on de esp´ın que no altera el valor de la ¯ ea . torsi´on de background T¯a = D¯ En esta tarea estudiaremos la teor´ıa de perturbaciones a primer orden, lo cual es u ´til como una primera aproximaci´ on. Sin embargo, en general es necesario ir a segundo orden y separar las perturbaciones por frecuencias con respecto al background. Eso se hace cuando se estudia la teor´ıa completa de ondas gravitacionales; para un excelente an´ alisis al respecto vea el libro de M. Maggiore, Gravitational Waves. 1.

Demuestre que 1¯ a Dh + υ a b ∧ e¯b = 0, 2 y T a = T¯a + v a b ∧ e¯b .

2.

Demuestre que la perturbaci´ on de la contorsi´on δκa b puede despejarse de la ecuaci´on 1 (δκa b − v a b ) ∧ e¯b + κa b ∧ hb = 0. 2

3.

Demuestre que   ¯ ab + D ¯ υ ab + v ab . Rab = R

4.

Considere un background que satisface las ecuaciones de campo de Einstein,as ecuaciones de campo de Einstein 1 ¯ ab ∧ e¯c − 1 Λabcd e¯a ∧ e¯b ∧ e¯c = κ4 ¯∗T¯d , abcd R 2 3! abcd T¯c ∧ e¯d = κ4 ¯∗σ ¯ab .

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Parametricemos nuestra ignorancia en cuanto a como se perturba la materia en respuesta a la geometr´ıa a trav´es de ¯∗T¯d → ∗Td = ¯∗T¯d + ¯∗τd , ¯∗σ ¯ab → ∗σab = ¯∗σ ¯ab + ¯∗ςab . Demuestre que en este caso, se tienen las ecuaciones para las perturbaciones     1 ¯ ab − Λ¯ ¯ υ ab + v ab ∧ e¯c + 1 abcd R abcd D ea ∧ e¯b ∧ hc = κ4 ¯∗τd , 2 4 1 abcd T¯c ∧ hd + abcd v c e ∧ e¯e ∧ e¯d = κ4 ¯∗ςab . 2

5.

Considere un background de Universo vac´ıo T¯d = 0, σ ¯ab = 0 con curvatura constante, ¯ ab = Λ e¯a ∧ e¯b , R 3 T¯a = 0. Considere as´ı mismo que la materia es puramente cl´asica, o sea que no presentar´a perturbaciones con esp´ın, ςab = 0. Para esta configuraci´on demuestre que a) Se cumple v a b = 0. b) Las ecuaciones para las perturbaciones se reducen a   1 ¯ ab ∧ e¯c − 1 Λ¯ abcd Dυ ea ∧ e¯b ∧ hc = κ4 ¯∗τd . 2 3 c) Que las perturbaciones est´ an relacionadas con hab a trav´es de υab =


1 ¯ + ¯ a h+ ec − 1 Dh ¯ −, Db hac − D bc 2 2 ab

¯ a = ea λ D ¯ λ y estamos considerando en donde D 1 ha = hab eb 2 y sus partes sim´etricas y antisim´etricas, h± ab =

6.

1 (hab ± hba ) 2

Demuestre que en la base coordenada, υαβγ =

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 1 ¯ + ¯ α h+ − ∇ ¯ γ h− , ∇β hαγ − ∇ βγ αβ 2 2

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y la ecuaci´ on para las perturbaciones viene dada por  Λ  + λ  + λ 1  ¯ ¯  + λ + ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ∇λ ∇µ h ∇ h ∇ h − h + ∇ − ∇ ν ν λ µ ν µ λ µν − 2 3



 λ 1 g¯µν h+ λ + h+ µν 2



  1 = κ4 τµν − g¯µν τ λ λ . 2 (1)

Esta ecuaci´ on es la que nos indica la existencia de ondas gravitacionales para las perturbaciones h+ . µν 7.

Considere ahora una configuraci´on a escala ‘del sistema solar’ en donde tenemos ‘masas puntuales’, las cuales corresponden a un τµν de flu´ıdo perfecto de presi´on cero. Considere tambi´en que la constante cosmol´ ogica es tan peque˜ na que es despreciable de nuestro anal´ısis (y que por lo tanto g¯µν = ηµν ). Usando el marco de referencia propio de las part´ıculas y considerado que ellas se mueven tan lentamente (v << c) que para efectos pr´acticos es una configuraci´on est´atica, demuestre que la ec. 1 se reduce a ¯ 2 h+ = −κ4 c2 ρm , ∇ 00 en donde ρm es la densidad de materia.

8. Demuestre que en el contexto de gravedad newtoniana, el potencial gravitacional Φ satisface la ecuaci´on de Poisson ∇2 Φ = 4πGρm 9. Recordando que para que Relatividad General pueda contener gravedad newtoniana, se deduce 1 Φ = − c2 h+ 00 2 de la ecuaci´ on de las geod´esicas, demuestre que κ4 =

10.

s2 8πG −43 = 2, 0765 × 10 . c4 kg · m

En una nave espacial, usted debe viajar entre dos puntos A y B de un espaciotiempo que satisface las ecuaciones las ecuaciones de campo de Einstein, con coordenadas xµA y xµB respectivamente. Al salir de A, usted decide que el punto B del espaciotiempo es desagradable, as´ı que escoger´ a la trayectoria que tome el mayor en tiempo en su sistema de referencia. ¿Cu´al es la ecuaci´on diferencial que describe esa trayectoria entre los puntos A y B del espaciotiempo?

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