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5 Expresiones algebraicas ANTES DE COMENZAR LA UNIDAD... El templo de Apis La acción nos traslada al antiguo Egipto, que es la cuna, junto con Mesopotamia, del nacimiento de la cultura occidental. Los legados matemáticos de las dos civilizaciones que han llegado a nuestros días han sido más bien escasos, en especial en el caso de los egipcios que escribían sobre papiro, ya que este se degrada con el paso del tiempo más que las tablillas de arcilla que utilizaban en Mesopotamia para escribir. El papiro egipcio más importante del que tenemos noticia dedicado a las Matemáticas es, sin duda, el papiro de Rhind, llamado así porque fue comprado por el escocés Henry Rhind en el año 1858 y actualmente se encuentra en el Museo Británico. También se le conoce como el papiro de Ahmés por ser este el escriba que lo copió. El papiro fue escrito hacia el año 1650 a.C. y su propio autor reconoce que lo copió, de un escrito unos 200 años anterior, es decir, el escrito original habría sido redactado hace 4.000 años. Contiene 87 problemas matemáticos concretos, sin generalizaciones de ningún tipo, sobre cuestiones aritméticas, fracciones, áreas, volúmenes, progresiones, repartos proporcionales, reglas de tres, ecuaciones lineales y trigonometría básica.

COMPETENCIA LECTORA

El juego de símbolos que proponemos se basa en el sistema de numeración egipcio, es un sistema aditivo (no posicional) en el que cada símbolo recibe un valor, por ejemplo:

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F

1 unidad

F

10 unidades

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5 CURIOSIDADES MATEMÁTICAS RECURSOS PARA EL AULA

El primer simbolista François Viète (1540-1603) era un abogado y jurista francés, miembro del Parlamento y hombre de confianza del rey Enrique IV de Francia, cuya verdadera vocación era las Matemáticas. Su notable aportación a esta ciencia es debida a que llevó el Álgebra a su fase simbólica tal y como hoy se utiliza. Viète introdujo la primera anotación algebraica sistemática en su libro Introducción al arte analítico, publicado en 1571. En él demostró el valor y la utilidad de los símbolos, abandonó el uso de palabras en el Álgebra y utilizó, en sus cálculos, las letras minúsculas latinas: las vocales representaban magnitudes desconocidas, y las consonantes, magnitudes conocidas. Fue también el primero en reducir expresiones matemáticas a «fórmulas» en el verdadero sentido del término. La palabra «coeficiente» deriva de su vocabulario y aparece en uno de sus problemas geométricos. Viète mejoró la teoría de ecuaciones y presentó métodos para resolver ecuaciones de segundo, tercer y cuarto grado. Sin embargo, no las resolvía tal como se hace en la actualidad, sino que las asociaba a problemas geométricos, aplicando lo que él llamaba el principio de homogeneidad. Así, la ecuación x 2 + x = 6, según ese principio, no se podía resolver tal cual porque los sumandos x 2 y x no eran homogéneos, es decir, tenían distinta dimensión, ya que él asociaba el término x 2 con áreas y x con líneas. Viète intentaba siempre resolver ecuaciones en las que las dimensiones de cada sumando o término (es decir, su grado) fueran iguales.

Poesía matemática COMPETENCIA LECTORA

EL BURRO EN LA ESCUELA Una y una, dos. Dos y una, seis. El pobre burrito contaba al revés. ¡No se lo sabe! –¡Sí me lo sé! –¡Usted nunca estudia! Dígame, ¿por qué? –Cuando voy a casa no puedo estudiar, mi amo es muy pobre, hay que trabajar. Trabajo en la noria todo el santo día. ¡No me llame burro, profesora mía! GLORIA FUERTES

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5 Expresiones algebraicas CONTENIDOS PREVIOS CONVIENE QUE… Recuerdes la propiedad distributiva del producto.

PROPIEDAD DISTRIBUTIVA DEL PRODUCTO RESPECTO DE LA SUMA Y DE LA DIFERENCIA

a ⋅ (b + c) = a ⋅ b + a ⋅ c a ⋅ (b − c) = a ⋅ b − a ⋅ c 7 ⋅ (5 + 2) = 7 ⋅ 5 + 7 ⋅ 2 = 35 + 14 = 49

PORQUE… Tendrás que aplicarla en la resolución de ecuaciones.

CONVIENE QUE… Repases las características del lenguaje algebraico.

8 ⋅ (4 − 3) = 8 ⋅ 4 − 8 ⋅ 3 = 32 − 24 = 8

El LENGUAJE ALGEBRAICO utiliza números y letras unidos mediante operaciones aritméticas. Las expresiones de ese tipo se denominan EXPRESIONES ALGEBRAICAS. 2x + 3y − 5z 4x + 9z 2

PORQUE… Lo utilizarás para trabajar con ecuaciones.

CONVIENE QUE… Sepas obtener el valor numérico de una expresión algebraica.

El VALOR NUMÉRICO de una expresión algebraica, para unos valores dados de las letras, se obtiene sustituyendo estos en la expresión y operando. Valor numérico de 7x − 11y, para x = 1 e y = −1:

LEER Y COMPRENDER MATEMÁTICAS

7 ⋅ 1 − 11 ⋅ (−1) = 7 + 11 = 18

PORQUE… Te será útil para verificar las soluciones de una ecuación.

CONVIENE QUE… Sepas llevar a cabo la simplificación de fracciones.

SIMPLIFICAR una fracción consiste en hallar otra fracción equivalente que no tenga factores comunes en el numerador y el denominador.

120 23 ⋅ 3 ⋅ 5 2⋅2⋅2⋅3⋅5 2 = 2 2 = = 180 2⋅2⋅3⋅3⋅5 3 2 ⋅3 ⋅5 a 3b 2c a ⋅a ⋅a ⋅b ⋅b ⋅c a ⋅ b2 = = 2 a ⋅a ⋅c ⋅d d a cd

PORQUE… La usarás para realizar divisiones de monomios y para simplificar la solución de una ecuación.

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5

¿QUÉ SIGNIFICA?

¿CÓMO LO ESCRIBIMOS?

x+y−z

Las incógnitas de una expresión algebraica se representan con letras minúsculas. Las más usuales son x, y, z, t, u, v…

Indica una expresión algebraica con tres incógnitas.

¿QUÉ SIGNIFICA?

¿CÓMO LO ESCRIBIMOS?

−5 ⋅ a ⋅ b3 −5ab3

Indican el mismo monomio.

El signo de multiplicación entre un número y una incógnita, o entre dos incógnitas, se puede omitir.

7 ⋅ (3x − 2) Indican la misma operación. 7(3x − 2)

El signo de multiplicación anterior a un paréntesis también se puede omitir.

¿QUÉ SIGNIFICA?

¿CÓMO LO ESCRIBIMOS?

ax

n

Es la expresión general de un monomio.

RECURSOS PARA EL AULA

NOTACIÓN MATEMÁTICA

En la expresión general de un monomio se distinguen diferentes partes. Coeficiente F

LEER Y COMPRENDER MATEMÁTICAS

F

ax n Parte literal

¿QUÉ SIGNIFICA?

¿CÓMO LO ESCRIBIMOS?

P (x ) Q (x ) R (x )

Un polinomio cualquiera con una variable se denota por P (x ), Q (x ), R (x )…

Indican polinomios que solo tienen una variable, x.

P (x ) = x 4 + 3x 3 − 2x − 7

P (x, y ) Indica un polinomio con dos variables, x e y.

P (3) = 34 + 3 ⋅ 33 − 2 ⋅ 3 − 7 = 149

P (3)

P (2, 1) = 2 ⋅ 22 ⋅ 1 + 3 ⋅ 2 ⋅ 12 − 22 − 4 = 6

Indica el valor del polinomio P (x ) para x = 3.

P (x , y ) = 2x 2y + 3x y 2 − x 2 − 4

P (2, 1) Indica el valor del polinomio P (x, y ) para x = 2, y = 1.

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5 Expresiones algebraicas EN LA VIDA COTIDIANA... Álgebra y calculadora En este proyecto pretendemos que aprendas a: • Usar de forma eficiente la calculadora científica para validar y realizar cálculos algebraicos. • Resolver ecuaciones de primer grado por métodos numéricos mediante la calculadora.

1

Valor numérico de una expresión algebraica

Para realizar cálculos numéricos largos, normalmente se van escribiendo los resultados parciales en el cuaderno, hasta llegar al resultado final. Por ejemplo, para averiguar el valor numérico de la expresión algebraica 3x 3 − 2x 2 + 5x − 1, para x = −2, hacemos: 3 ⋅ (−2)3 − 2 ⋅ (−2)2 + 5 ⋅ (−2) − 1 = = 3 ⋅ (−8) − 2 ⋅ (4) − 10 − 1 = = −24 − 8 − 10 − 1 = −43 Las calculadoras científicas permiten realizar los cálculos de una forma más eficaz sin necesidad de efectuar cálculos parciales, ni de ir anotándolos.

Las teclas usadas en este caso serían: 3

×

[(---

2

±

xy

3

---)]

−

2

×

[(---

2

±

xy

2

---)]

+

5

×

2

±

−

1

=

Observa que solamente se han utilizado las funciones (o teclas) siguientes.

× tecla de multiplicar [(---

x

y

---)]

teclas de paréntesis

tecla de elevar a una potencia

± tecla de cambio de signo DETERMINA CON LA CALCULADORA EL VALOR NUMÉRICO DE LAS SIGUIENTES EXPRESIONES, PARA LOS VALORES INDICADOS. a) 3 x2 − 5 x + 8

para x = −1

b) 6(x + 8) − 5 x + 4 x − 3 3

COMPETENCIA MATEMÁTICA

c) (x − 5) 3 −

2

4(x − 3 ) 3

2

+ 4x

d) 4 x3 + 3 x2 − 2 x + 5

2

para x = 4 para x =

1 2

Validación de resultados en cálculos algebraicos

La calculadora científica no efectúa cálculos simbólicos, pero permite comprobarlos. Así, para ver si está bien hecho el cálculo algebraico: (3x − 5) ⋅ (4x 2 + 5x − 2) = 12x 3 − 5x 2 − 30x + 10 damos a x un valor cualquiera y hallamos con la calculadora cuánto vale cada miembro. Tomamos el valor x = 10, y en el miembro izquierdo obtenemos: (3 ⋅ 10 − 5) ⋅ (4 ⋅ 102 + 5 ⋅ 10 − 2) = 25 ⋅ 448 = 11.200 Y en el derecho: 12 ⋅ 103 − 5 ⋅ 102 − 30 ⋅ 10 + 10 = 11.210 La multiplicación algebraica no está bien realizada.

84

para x = 4

Ten en cuenta que obtener el mismo resultado no significa que la operación esté bien realizada. El método nos sirve únicamente para saber si está mal hecha.

HAZ ESTAS OPERACIONES CON LA CALCULADORA. a) Comprueba si el siguiente producto está mal realizado, dando a x el valor 1: (2 x2 + 3 x − 5) ⋅ (3 x2 − 5) = = 6 x 4 + 9 x3 − 25 x2 − 15 x + 25 b) Realiza el siguiente producto y comprueba el resultado con la calculadora, dando a x el valor 2: (2 x2 + 3 x − 1) ⋅ (3 x + 7 )

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5 Resolver ecuaciones de primer grado por métodos numéricos mediante la calculadora

La calculadora permite también resolver ecuaciones. Vamos a verlo con un ejemplo. Dos amigos, Pedro y Ana, juegan con sus calculadoras. Pedro tiene en la pantalla de su calculadora el número 8 y Ana el número 118. Pedro suma a su número 3 unidades y Ana le resta al suyo 5 unidades de forma simultánea. Obtienen como resultados 11 y 113, respectivamente.

Se plantean el siguiente problema: si realizan este proceso repetidas veces, ¿llegarán a tener el mismo resultado en la pantalla? ¿Cuántas veces serán necesarias? Y si no es así, ¿cuándo estarán más cerca de lograrlo?

Ambos pueden anotar los resultados sucesivos en una tabla, en la que x es el número de veces que cada uno tendrá que apretar la tecla = . x Pedro Ana

0 8 118

1 11 113

2 14 108

3 17 103

4 20 98

… … …

Como ves, con la calculadora podemos resolver ecuaciones usando métodos de resolución numéricos en vez de algebraicos.

RECURSOS PARA EL AULA

3

REALIZA LAS SIGUIENTES ACTIVIDADES. a) ¿Crees que llegarán a ser iguales los números de Pedro y Ana? b) ¿Para qué valor de x opinas que los números serán más parecidos? c) Resuelve el problema con la calculadora y comprueba tus anteriores hipótesis. d) Resuelve algebraicamente la ecuación y contesta de nuevo a las preguntas de los apartados a) y b).

Una suma repetida con la calculadora, con sumando constante 3, se puede hacer así:

+

3

=

=

8

g) De la misma manera que con la suma y la resta, se actúa con el producto. Así, si tecleamos la secuencia:

y obtenemos en la pantalla:

11. A partir de entonces, bastará con pulsar = damente y obtendremos: 14, 17, 20…

3

repeti-

Lo mismo podrá hacer Ana. En este caso, es una resta repetida con sustraendo constante 5. Pulsando: 5

−

−

1

1

f) Ahora partimos de los números −5 y 255. El primero aumenta de 8 en 8 y el segundo disminuye de 5 en 5. ¿Se obtendrá el mismo número? ¿Después de cuántas veces? ¿Qué secuencias de teclas usarías? Plantea la ecuación y resuélvela algebraicamente.

8

×

×

4

=

resulta 12 y, cada vez que volvamos a pulsar = , obtendremos el producto por 3: 36, 108… ¿Cuántas veces hemos de pulsar para obtener el número 2.916? ¿Sabrías plantear la ecuación?

se obtiene 113. Luego, pulsando repetidamente la tecla = , se obtendrá: 108, 103, 98… La traducción algebraica del problema de Pedro y Ana es la ecuación: 8 + 3x = 118 − 5x 쮿 MATEMÁTICAS 2.° ESO 쮿 MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. 쮿

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COMPETENCIA MATEMÁTICA

e) Si partimos de los números 10 y 200, y aumentamos el primero de 6 en 6 y disminuimos el segundo de 3 en 3, ¿se obtendrá el mismo número? ¿Después de cuántas veces? Plantea la ecuación y resuélvela algebraicamente.

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5 Expresiones algebraicas ESTRATEGIAS DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Hacer un esquema Estrategia En problemas de tipo algebraico, un esquema nos puede ayudar a traducir

e interpretar el enunciado de un problema. A continuación, vamos a comprobarlo en problemas de móviles, en los que: espacio = velocidad ⋅ tiempo.

PROBLEMA RESUELTO Dos móviles están a una distancia d = 50 km en un instante dado. Si ambos circulan por el mismo camino y sus velocidades son v1 = 120 km/h y v2 = 80 km/h, ¿al cabo de cuánto tiempo y en qué punto se encontrarán?

Planteamiento y resolución Distinguiremos dos posibles casos: • Que vayan en sentido opuesto A 6

v1 = 120 km/h C x

56

50 − x

v2 = 80 km/h B 5

APLICACIÓN DE ESTRATEGIAS

Los dos móviles se encuentran en un punto C, situado entre A y B. Si x es la distancia entre A y C, 50 − x será la distancia entre B y C. El tiempo que tardan en encontrarse es el mismo, t. Así, resultan las siguientes ecuaciones. x = v1t = 120t Móvil 1: Móvil 2: d − x = v2t = 180t d 50 1 = = hora. Sumando ambas ecuaciones: d = (v1 + v2)t = 200t → t = 200 200 4 1 = 30 km . Conocido el valor de t, se obtiene: x = v1t = 120 ⋅ 4 Se encuentran al cabo de 15 minutos, a 30 km del punto A. • Que vayan en el mismo sentido v1 = 120 km/h A

6

d = 50 km

v2 = 80 km/h B

56

x

C

5

Los dos móviles se encontrarán en el punto C, habiendo recorrido el primero una distancia 50 + x, y el segundo, x. Móvil 1: d + x = v1t → 50 + x = 120t Móvil 2: x = v2t → x = 180t Restando: d = (v1 − v2)t → t =

d 50 5 = = hora. v1 − v 2 120 − 80 4

Conocido el valor de t , se obtiene: x = v2 ⋅

5 d = 80 ⋅ = 100 km. 4 v1 − v 2

Se encuentran al cabo de 1 hora y cuarto, a 100 km del punto B.

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5 MATEMÁTICAS EN EL ORDENADOR

Abre el libro NUMEROS2 de tu carpeta personal. Inserta una nueva hoja mediante → con el nombre: Unidad05_1a.

PRÁCTICA 1

(ejercicio 59 a), pág. 108)

1. Escribe los rótulos de las celdas con el fondo en amarillo:

RECURSOS PARA EL AULA

PRÁCTICA EXCEL

2. Introduce los valores de los coeficientes de los diferentes polinomios: A(x), B(x) y C(x) en las celdas de las columnas B, D y H. Por ejemplo, en la celda B3 coloca un 2, en la celda D3 coloca un −3, y así sucesivamente. Observa cómo queda el polinomio A(x): 3. Introduce en la celda B7: =B3+B4+B5 y, después, copia la fórmula en las celdas D7, y verás que aparece =D3+D4+D5 , y lo mismo en F7 y H7. 4. Observa cómo queda el resultado: Es decir, que A(x) + B(x) + C(x) = 3x 3 + 2x 2 − 2x − 12. 5. Copia el resultado en tu cuaderno. (ejercicio 62 a), pág. 108)

1. Abre una nueva hoja Unidad05_2a y realiza las operaciones señaladas en el ejercicio; pon los rótulos de la tabla, tal como se ve en la figura del margen. 2. Introduce la fórmula siguiente en B5: =B3*$B$4 y cópiala en D5 y en F5. 3. Observa el resultado: P (x) = 6x + 8. 4. Copia el resultado en tu cuaderno.

EJERCICIOS 1

De forma análoga a la Práctica 1, crea una nueva hoja Unidad05_2a, y cambia las fórmulas del apartado a) para realizar el resto de operaciones del ejercicio. Por ejemplo, para calcular el apartado c) tendrás que poner =B3−B4 en la celda B7.

2

De forma análoga a la Práctica 2, realiza el resto de apartados del ejercicio 62.

3

Guarda el libro con

→

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NUEVAS TECNOLOGÍAS

PRÁCTICA 2