UP4-1 RESUMEN UNIDAD 4 - REDES ACOPLADAS MAGNÉTICAMENTE – EL TRANSFORMADOR LISTADO DE CONCEPTOS SOBRE LAS REDES MAGNÉTICAMENTE ACOPLADAS

CONCEPTOS

{

• • • • • • • • •

( ) ( )

BOBINA, CAMPO MAGNÉTICO, CIRCUITO MAGNÉTICO AUTOINDUCCIÓN Inductancia PROPIA (Josep Henry ) INDUCCIÓN Inductancia MUTUA (Michael Faraday ) CONVENCIÓN DE LOS PUNTOS PARA DETERMINAR LOS SIGNOS DE LOS VOLTAJES DE AUTOINDUCCIÓN Y DE INDUCCIÓN EL TRANSFORMADOR IDEAL EL AUTOTRANSFORMADOR IDEAL EL TRANSFORMADOR TRIFÁSICO IDEAL EL AUTOTRANSFORMADOR TRIFÁSICO IDEAL EL TRANSFORMADOR REAL

DOCUMENTOS A UTILIZAR Archivo principal: UP4 Redes magnéticas-el transformador UP4 A Listado de conceptos- modelos matemáticos Archivos adicionales: UA1-u4 – Fórmulas del inductor y del transformador UA2-u4 – Campo magnético y aplicaciones UA3-u4 – Esquemas eléctricos de transformadores y autotransformadores trifásicos UA4-u4 – Problemas sobre el transformador monofásico

06/02/15 Página 1 de 7 Profesor : Luis Rodolfo Dávila Márquez

CÓDIGO : 00076 UFPS

INDUCCIÓN EN CORRIENTE ALTERNA

i1

i2

t = 0

v1(t)

CARGA

v2(t)

N1

N2

Bobina 1

Bobina 2

Las componentes de los flujos son las siguientes: Φ11 Flujo en la bobina 1 producido por la corriente en la bobina 1, i1 Este flujo se presenta en dos formas, a saber: Φ11 = Φi 1 + Φ21 Φi 1 Flujo en la bobina 1 que no alcanza la bobina 2 Φ21 Flujo en la bobina 1 que alcanza la bobina 2 o el flujo en la bobina 2 producido por la corriente en la bobina 1, i1 Φ22 Flujo en la bobina 2 producido por la corriente en la bobina 2, i2 Este flujo se presenta en dos formas, a saber: Φ22 = Φi 2 + Φ12 Φi 2 Flujo en la bobina 2 que no alcanza la bobina 1 Φ12 Flujo en la bobina 2 que alcanza la bobina 1 o el flujo en la bobina 1 producido por la corriente en la bobina 2, i2

Φ1

Flujo total en la bobina 1 ;

Φ1 =

Φ11 ± Φ12

En donde el flujo total en la bobina 1, es el flujo propio producido por la corriente i1, más o menos, el flujo que alcanza la bobina 1 y producido por la bobina 2. El más o menos depende de si los flujos tienen igual o dirección contraria.

Φ2

Flujo total en la bobina 2;

Φ2 =

Φ22 ± Φ21

En donde el flujo total en la bobina 2es el flujo propio producido por la corriente i2, más o menos, el flujo que alcanza la bobina 2 y producido por la bobina 1 v1(t) = N1

d 1 d11 d12 = N1 + N1 dt dt dt

v1(t) = L1 d i1 dt

Donde:

+ M

d i2 dt

v2(t) = N2

d 2 d 22 d 21 = N2 + N2 dt dt dt

v2(t) =

- L2

di d i2 - M 1 dt dt

L1 y L2 son las inductancias propias o autoinductancias

06/02/15 Página 2 de 7 Profesor : Luis Rodolfo Dávila Márquez

CÓDIGO : 00076 UFPS

M es la inductancia mutua

CONVENCIÓN DE PUNTOS EN LA INDUCCIÓN Para determinar el signo que se utiliza en el voltaje inducido por inductancia mutua, se considera la dirección de los flujos magnéticos, si los flujos están en la misma dirección el signo del voltaje inducido por inductancia mutua debe ser el mismo del voltaje autoinducido, si los flujos están en dirección contraria el signo del voltaje por inductancia mutua debe ser contrario al del voltaje autoinducido.

i1

•

•

i2

Los flujos están en igual dirección

i1 + V1(t)

• L1

_

M

i1

•

Los flujos están en dirección contraria

i1

i2 • L2

+ V2(t) _

i2

•

+ V1(t) _

• L1

i2

M •

+

L2

V2(t) _

Los flujos están en igual dirección

Los flujos están en dirección contraria

Para utilizar la convención de los signos se colocan puntos en un terminal de cada bobina, de modo que si las corrientes entran o salen de ambos terminales con puntos los flujos producidos por esas corrientes están en igual dirección, si una de las corrientes entra por un terminal con punto y la otra sale por un terminal con punto los flujos producidos por esas corrientes estarán en dirección contraria. Los signos para los voltajes autoinducidos depende de la convención de signos pasivos o activos que se utilice, y los signos para los voltajes inducidos por inductancia mutua dependen de los voltajes autoinducidos y de la convención de los puntos. Convención de puntos: Si los flujos están en igual dirección, el signo del voltaje inducido por inductancia mutua es igual al signo del voltaje por autoinducción (Inductancia Propia), si los flujos están en dirección contraria, entonces los signos de los voltajes son contrarios.

06/02/15 Página 3 de 7 Profesor : Luis Rodolfo Dávila Márquez

CÓDIGO : 00076 UFPS

DETERMINACIÓN DE LOS MODELOS MATMÁTICOS QUE REPRESENTAN A LOS VOLTAJES DE AUTOINDUCCIÓN E INDUCCIÓN SEGÚN LAS POLARIDADES DE LOS VOLTAJES Y DIRECCIONES DE LAS CORRIENTES DIFERENTES EJEMPLOS DE POLARIDADES DE VOLTAJE Y DIRECCIONES DE LAS CORRIENTES Ejemplo n° 1:

M12

i1

i2

•

• v1

v2

v1 = - L1

- M12

V1 = - jw L1 I1 - jw M12 I2

v2 = - L2

- M21

V2 = - jw L2 I2 - jw M21 I1

Ejemplo n° 2: Cambio de polaridad de v1, con relación al ejemplo N° 1. M12

i1

i2

•

• v1

v1 = L1

v2 + M12

v2 = - L2

- M21

V1 = jw L1 I1 + jw M12 I2 V2 = - jw L2 I2 - jw M21 I1

Ejemplo n° 3: Cambio de dirección de la corriente i2, con relación al ejemplo N° 1. M12

i1

i2

•

• v1

v1 = - L1 v2 = L2

v2 + M12 - M21

V1 = - jw L1 I1 + jw M12 I2 V2 = jw L2 I2 - jw M21 I1

06/02/15 Página 4 de 7 Profesor : Luis Rodolfo Dávila Márquez

CÓDIGO : 00076 UFPS

Ejemplo n° 4: PRESENCIA DE MÁS DE DOS BOBIBNAS M12 i1

i2 •

• v1

v2 M13

M23

• v3

i3

v1 = L1

- M12

+ M13

V1 = jw L1 I1 - jw M12 I2 + jw M13 I3

v2 = L2

- M21

- M23

V2 = jw L2 I2 - jw M21 I1 - jw M23 I3

v3 = - L3

- M31

+ M32

V2 = jw L2 I2 - jw M31 I1 + j w M32 I3

Problema resuelto:

M12

Vf = 60∟30° v

Vab

1° Para el circuito de la figura anterior, determine el voltaje Vab (Fasor, RMS) con la polaridad indicada sí: Vf = 60 ∟30°v, R = 20 ohm ZL1 = 10j, ZL2 = 20j, ZM12 = 5j Rta: Vab = 40.245 ∟93.43°

Desarrollo: Asignando polaridades de voltajes y direcciones de las corrientes tendremos: VL2 I1

VR

I2 M12

Vf = 60∟30° v

Vab

VL1 I3

Como el circuito se encuentra abierto en los terminales a-b, entonces: I2 = 0 A, e I1 = I3 . Las relaciones entre el voltaje y la corriente para cada uno de los elementos en el dominio del tiempo y en el dominio de la frecuencia es respectivamente:

vR = R x i1 = 20 i1

;

VR = R x I1 = 20 I1

vL1 = L1

- M12

; VL1 = jw L1 I3 - jw M12 I2 = ZL1 I1 – ZM12 I2 = ZL1 I1 = 10 j I1 = VL1

vL2 = L2

- M12

; VL2 = jw L2 I2 - jw M12 I3 = ZL2 I2 – ZM12 I3 = – ZM12 I3 = -5 j I3 = VL2

Por LVK a la malla que contiene la fuente, tendremos: Vf - VR – VL1 = 0 , o sea que, 20 I1 + 10 j I1 = 60∟30° Por lo tanto: I1 = (60∟30° )/ (20+10j) = 2.683 ∟3.43°. Por LVK al otro camino que incluye Vab , tendremos: Vab = VL1 - VL2 = 10 j I1 – (-5 j I3 ) = 15 j I1 O sea que: Vab = 15 ∟90° (2.683 ∟3.43°) = 40.245 ∟93.43° = Vab

06/02/15 Página 5 de 7 Profesor : Luis Rodolfo Dávila Márquez

CÓDIGO : 00076 UFPS

Problema propuesto:

Vf = 60∟30° v

Vab

1° Para el circuito de la figura anterior, determine el voltaje Vab (Fasor, RMS) con la polaridad indicada sí: Vf = 60 ∟30°v, R = 20 ohm ZL1 = 10j, ZL2 = 20j, ZM12 = 5j Rta: Vab = 13.415 ∟ 93.43°

EL TRANSFORMADOR

iP

•

•

iS

t=0

vaplic vP = vautoind

NP

NS

vS = vind

CARGA

P - S =  ≈ 0

En donde:  P es el flujo total en la bobina del primario y  S es el flujo total en la bobina del secundario  es el flujo neto en el transformador ideal, aproximadamente igual a cero Lp es la inductancia en la bobina del primario, incluida la inductancia mutua LS es la inductancia en la bobina del secundario, incluida la inductancia mutua

06/02/15 Página 6 de 7 Profesor : Luis Rodolfo Dávila Márquez

CÓDIGO : 00076 UFPS

vaplic =

Vmax Cos( w t ) ;

iP =

Vmax (R bob ) 2  (w L P ) 2

Cos[wt – Tg-1(

wL bob )] R bob

IP

vautoind = vP = vind

Np

d = vS = NS = dt

di -LS S dt

Vmax sec

iS =

+

d d iS d iP = LP - M dt dt dt

(R c arg a ) 2  (w L carga ) 2

•

VP

NS

NP

_

d iP + M dt

+ VS _

• IS

Cos[wt – Tg-1(

wL c arg a R c arg a

)]

IS =

VS Z c arg a

VP N P  VS N S

IP NS 1   IS N P a

RELACIONES DE LAS VARIABLES ENTRE EL PRIMARIO Y EL SECUNDARIO DEL TRANSFORMADOR

IP • VP

NP

IP

IS

•

• NS

VS

VP

IP

IS

NP

•

• NS

VS

IP • VP

N VP NP I 1 ; P  S     a V_S NS IS NP a IP

IS VS VP

NP •

NP

NS

VS

N VP N I 1   P a; P   S  VS NS IS NP a IP

IS •

NS

VP

•

__

_

N VP N P I 1  a ; P  S  VS N S IS NP a

IS

NP

NS

•

VS

•

IS

VP

NP

NS

VS

•

__

_

N I VP N 1  P a ; P  S  VS NS IS NP a

I N 1 VP N P _  a ; P   S  VS N S IS NP a

06/02/15 Página 7 de 7 Profesor : Luis Rodolfo Dávila Márquez

N VP N P I 1  a; P  S  VS N S IS NP a

CÓDIGO : 00076 UFPS