1 1 STUDENTEXAMENSNÄMNDEN

28.9.2016

MATEMATIKPROV KORT LÄROKURS

Del B Uppgifterna i B-delen bedöms med 0–6 poäng. Lösningen på uppgift 5 skriver du på ett helark. Lösningarna på de övriga uppgifterna skriver du på var sitt eget halvark. Om du inte löser uppgift 5 ska du lägga in uppgifterna i ett helark som endast bär dina namnuppgifter. Du får använda tabellbok och räknare som hjälpmedel, men du får tillgång till din räknare först när du returnerat ditt provhäfte för A-delen. I både B1- och B2-delen ska du lösa tre uppgifter.

Del B1 Lös tre av uppgifterna 5–9.

Del B1 Del B1

5. En bordduk har ursprungligen storleken 2 m gånger 4 m. Den krymper i tvätten med 5. En har ursprungligen storleken m många gånger procent 4 m. Den krymper i tvättenarea? med 5 %bordduk i både längdoch breddriktning. Med 2hur minskar borddukens 5 % i både längd- och breddriktning. Med hur många procent minskar borddukens area? 6. Tommy köper en ny mulltoalett, vars innerdel är en rotationskropp med tvärsnitt enligt 6. Tommy en volymen ny mulltoalett, vars innerdel är en rotationskropp med tvärsnitt enligt figuren. köper Beräkna hos toalettens innerdel. figuren. Beräkna volymen hos toalettens innerdel.

. Hämtad 28.4.2015.

7. För sannolikheterna för två oberoende händelser A och B gäller formeln 7. För sannolikheterna för två oberoende händelser A och B gäller formeln P (A och B) = P (A)P (B). P (A och B) = P (A)P (B). a) Ge ett exempel på två oberoende händelser. a) Ge ett exempel på två oberoende händelser. b) Ge ett exempel på två händelser som inte är oberoende. b) Ge ett exempel på två händelser som inte är oberoende. Exempel kan tas från situationer med tärningskast. Även andra exempel är möjliga. Exempel kan tas från situationer med tärningskast. Även andra exempel är möjliga. 8. Då en gummiboll faller från höjden h studsar den upp till höjden 0,8 · h. Bollen faller 8. Då faller studsar till höjden 0,8 ·golvet h. Bollen faller frånen engummiboll meters höjd. Hurfrån långhöjden sträckahhar bollenden rörtupp sig när den träffar för tionde från en meters höjd. Hur lång sträcka har bollen rört sig när den träffar golvet för tionde gången? gången? 9. Bisektrisen till en vinkel i en triangel delar den motstående sidan i de närliggande 9. Bisektrisen till en vinkel i en triangel delar den motstående sidan de närliggande sidornas förhållande. En triangels hörnpunkter är A(0, 0), B(2, 1) och iC(1, 3). sidornas förhållande. En triangels hörnpunkter är A(0, 0), B(2, 1) och C(1, 3). |AC| a) Beräkna ,

P (A och B) = P (A)P (B).

2 2

a) Ge ett exempel på två oberoende händelser. b) Ge ett exempel på två händelser som inte är oberoende. Exempel kan tas från situationer med tärningskast. Även andra exempel är möjliga.

8. Då en gummiboll faller från höjden h studsar den upp till höjden 0,8 · h. Bollen faller från en meters höjd. Hur lång sträcka har bollen rört sig när den träffar golvet för tionde gången? 9. Bisektrisen till en vinkel i en triangel delar den motstående sidan i de närliggande sidornas förhållande. En triangels hörnpunkter är A(0, 0), B(2, 1) och C(1, 3). |AC| a) Beräkna |AB| , b) Vi betecknar skärningspunkten mellan sidan BC och bisektrisen till vinkeln A med bokstaven D. Beräkna koordinaterna för punkten D.

3 3

Del B2 Lös tre av uppgifterna 10–13. Del B2 Del B2 Del B2 10. Förutom Finland har även Tyskland, Senegal och Singapore tagit sig till semifinalerna i 10. Förutom Finland har även Från Tyskland, Senegal och Singapore sig tilltill semifinalerna i en fotbollsturnering. båda semifinalerna fortsättertagit vinnaren finalen. I följande 10. Förutom Finland har även Tyskland, Senegal och Singapore tagit sig till semifinalerna i en fotbollsturnering. Från båda semifinalerna fortsätter vinnaren till matcher finalen. Itillåts följande tabell är vinstsannolikheterna i procent uppräknade. Oavgjorda inte och en fotbollsturnering. Från båda semifinalerna fortsätter vinnaren till finalen. I följande tabellsannolikheterna är vinstsannolikheterna i procent uppräknade. Oavgjorda matcher tillåts inte och gäller i både semifinalen och finalen. tabell är vinstsannolikheterna i procent uppräknade. Oavgjorda matcher tillåts inte och sannolikheterna gäller i både semifinalen finalen. Tyskland och vinner över Senegal 65 % sannolikheterna gällerTyskland i både semifinalen och finalen. vinnervinner över Senegal 65 % 55 % Tyskland över Singapore Tyskland över Senegal 55 % 65 % Tyskland vinnervinner över Singapore Tyskland vinner över Finland 100 % Tyskland vinner över Singapore 55 % Tyskland vinner överöver Finland 100 % 40 Senegal vinner Singapore % Tyskland vinner över Finland 40 %100 % Senegal vinner över Singapore Senegal vinner över Finland 60 % Senegal vinner över Singapore60 % 40 % Senegal vinner över Finland Singapore vinner över Finland 50 % Senegal vinner över Finland 50 % 60 % Singapore vinner över Finland a) Vilken är sannolikheten att Finland spelar mot Tyskland i finalen om matchparen Singapore vinnermot över Finland i finalen 50 %om matchparen a) Vilkeni semifinalerna är sannolikheten att Finland spelar Tyskland är Tyskland–Senegal och Singapore–Finland? (2 p.) a) Vilken är är sannolikheten att Finland spelar mot Tyskland finalen om matchparen i semifinalerna Tyskland–Senegal och Singapore–Finland? (2i p.) i semifinalerna är Tyskland–Senegal och Singapore–Finland? (2 p.)

b) För vilka semifinalpar är sannolikheten för att Finland vinner hela turneringen b) För vilka semifinalpar är sannolikheten för fall? att (4 Finland störst? Vilken är sannolikheten i detta p.) vinner hela turneringen b) För vilka semifinalpar är sannolikheten för att Finland vinner hela turneringen störst? Vilken är sannolikheten i detta fall? (4 p.) störst? Vilken är sannolikheten i detta fall? (4 p.) 11. I Finland använder man för förvärvsinkomst en progressiv beskattning med skattesatser 11. I Finland för Företagsledaren förvärvsinkomst Björn en progressiv med skattesatser enligtanvänder tabellen man nedan. vill lockabeskattning rika invandrare till landet genom 11. I Finland använder man för förvärvsinkomst en progressiv beskattning med genom skattesatser enligtatt tabellen nedan. Företagsledaren Björn vill locka rika invandrare till landet ta i bruk en modell för plattskatt, där man använder samma förvärvsskatteprocent enligt tabellen nedan. Företagsledaren Björn vill locka rika invandrare till landet genom att taoberoende i bruk en av modell för plattskatt, därmed manhjälp använder sammaoch förvärvsskatteprocent inkomstnivå. Bedöm av tabellen tidningsurklippet vilken att taav i bruk en modellBedöm för plattskatt, däravman använder samma förvärvsskatteprocent oberoende hjälp ochfåtidningsurklippet vilken skattesatsinkomstnivå. för plattskatt som skamed användas för tabellen att man ska in lika mycket skatteintäkter oberoende av inkomstnivå. Bedöm med hjälp av tabellen och tidningsurklippet vilken skattesats för plattskatt som skamodellen. användasGör för att man ska fåantaganden in lika mycket som med den nuvarande nödvändiga omskatteintäkter inkomstfördelning skattesats för plattskatt som ska användas för att man ska få in lika mycket skatteintäkter som med den nuvarande modellen. Gör nödvändiga antaganden om inkomstfördelning och anteckna dem tydligt. som med den nuvarande modellen. Gör nödvändiga antaganden om inkomstfördelning och anteckna dem tydligt. Skatt för den inkomst och anteckna dem tydligt. Beskattningsbar Skatt vid nedre Skatt för den inkomst som överskrider nedre Beskattningsbar Skattgränsen, vid nedree Skatt för den inkomst inkomst, e som överskrider gränsen, % nedre Beskattningsbar Skatt inkomst, e gränsen, e vid nedre som överskrider nedre gränsen, 16 500–24e700 8gränsen, e 6,5 % inkomst, % 16 500–24 700 300 8 6,5 gränsen, 24 700–40 541 17,5 16 500–24 24 700–40 300 700 541 83 271 17,5 6,5 40 300–71 400 21,5 24 700–40 300 541 40 300–71 400 000 3 271 9 957,50 21,5 17,5 71 400–90 29,75 40 300–71 400 3 271 21,5 71 400–90 000 9 957,50 29,75 90 000– 15 491 31,75 71 400–90 000 90 000– 15 4919 957,50 31,7529,75 90 000– 15 491 31,75 Längst har toppen fjärmat sig i Grankulla, där den procent av invånarna Längst harde toppen sig i Grankulla, där den av per invånarna som har högstafjärmat inkomsterna förtjänar minst 293procent 362 euro år. I grannLängst har toppen fjärmat sig i Grankulla, där den procent invånarna som har de högstaEsbo inkomsterna förtjänar 293 362bara eurodrygt per år. Iavgrannkommunen är de allra högsta minst inkomsterna hälften så stora, som har de högsta inkomsterna förtjänar minst 293 362 euro per år. I grannkommunen Esbo är de allra högsta inkomsterna bara drygt hälften så stora, 155 273 euro per år. kommunen 155 273 euro per Esbo år. är de allra högsta inkomsterna bara drygt hälften så stora, 155 273 euro per år.

4

Förvilka vilkasemifinalpar semifinalparärärsannolikheten sannolikhetenförförattattFinland Finlandvinner vinnerhela helaturneringen turneringen 4 b)b)För störst? störst?Vilken Vilkenärärsannolikheten sannolikheteni detta i dettafall? fall?(4(4p.)p.) 11. 11.I Finland I Finlandanvänder använderman manförförförvärvsinkomst förvärvsinkomstenenprogressiv progressivbeskattning beskattningmed medskattesatser skattesatser enligt enligttabellen tabellennedan. nedan.Företagsledaren FöretagsledarenBjörn Björnvill villlocka lockarika rikainvandrare invandraretilltilllandet landetgenom genom attatttatai bruk i brukenenmodell modellförförplattskatt, plattskatt,där därman mananvänder användersamma sammaförvärvsskatteprocent förvärvsskatteprocent oberoende oberoendeavavinkomstnivå. inkomstnivå.Bedöm Bedömmed medhjälp hjälpavavtabellen tabellenoch ochtidningsurklippet tidningsurklippetvilken vilken skattesats skattesats förför plattskatt plattskatt som som ska ska användas användas förför attatt man man ska ska fåfå inin lika lika mycket mycket skatteintäkter skatteintäkter som sommed medden dennuvarande nuvarandemodellen. modellen.Gör Görnödvändiga nödvändigaantaganden antagandenom ominkomstfördelning inkomstfördelning och ochanteckna antecknadem demtydligt. tydligt. Skatt Skattförförden deninkomst inkomst Beskattningsbar Beskattningsbar Skatt Skattvid vidnedre nedre som somöverskrider överskridernedre nedre inkomst, inkomst,e e gränsen, gränsen,e e gränsen, gränsen,%% 1616 500–24 500–24 700 700 88 6,56,5 2424 700–40 700–40 300 300 541 541 17,5 17,5 4040 300–71 300–71 400 400 3 271 3 271 21,5 21,5 7171 400–90 400–90 000 000 9 957,50 9 957,50 29,75 29,75 9090 000– 000– 1515 491 491 31,75 31,75 Längst Längsthar hartoppen toppenfjärmat fjärmatsigsigi Grankulla, i Grankulla,där därden denprocent procentavavinvånarna invånarna som somhar hardedehögsta högstainkomsterna inkomsternaförtjänar förtjänarminst minst293 293362 362euro europer perår.år.I grannI grannkommunen kommunenEsbo Esboärärdedeallra allrahögsta högstainkomsterna inkomsternabara baradrygt drygthälften hälftensåsåstora, stora, 155 155273 273euro europer perår.år. Lägst är inkomsterna som ger en plats i kommunens topprocent i Rautavaara, granne till Sotkamo (52 286 e). I Grankulla behöver man alltså nästan en kvarts miljon euro mer per år för att ta sig in i inkomsteliten, jämfört med Rautavaara. Också de som förtjänar minst i Finland bor i Grankulla, där den tiondel som har de lägsta inkomsterna förtjänar mindre än 3 073 euro per år. De nästlägsta inkomsterna för motsvarande tiondel hittas i Helsingfors (3 698 euro per år) följt av Joensuu (4 588 euro per år). Suomen Kuvalehti Suomen Kuvalehti , översättning SEN. , översättning SEN. 12. Vi säger att en deriverbar funktion är konvex om dess derivata är en växande funktion. a) Visa att funktionen f (x) = x3 + 2x2 − 1 inte är konvex. b) Undersök för vilka värden på konstanten a ∈ R funktionen g(x) = x4 + ax2 + 2 är konvex. 13. Allan vill köpa en terrängcykel som kostar 1 800 e. Mormor ger honom 700 e. Allan deponerar 30.12.2014 pengarna som han fått av mormor på ett konto vars årliga ränteavkastning är 0,6 %. Dessutom ställer Allan upp ett månatligt sparmål: han deponerar första dagen i varje månad ett visst belopp, med början från februari 2015. Hur mycket ska Allan spara varje månad så att han i slutet av år 2015 har fått ihop 1 800 e? Vi antar att varje månad har 30 dagar och att källskatten är 30 %.