UA1-u6 TRANSFORMADAS DE LAPLACE PARA DERIVADAS DIFERENTES NOTACIONES DE LA FUNCIÓN, SUS DERIVADAS Y ECUACIONES DIFERENCIALES FUNCIONES Y SUS DERIVADAS Una función con y como variable dependiente y t como variable independiente, tiene la siguiente notación: y = f(t) El valor de la función para t = 0 :

y(0) = f(0)

La primera derivada de la función podrá tener las notaciones siguientes:

=

=

=

El valor de la primera derivada para t = 0, podrá tener las notaciones siguientes:

=

=

=

La segunda derivada de la función podrá tener las notaciones siguientes:

=

=

=

El valor de la segunda derivada para t = 0, podrá tener las notaciones siguientes:

=

=

=

La tercera derivada de la función podrá tener las notaciones siguientes:

=

=

=

El valor de la tercera derivada para t = 0, podrá tener las notaciones siguientes:

=

=

=

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ECUACIONES DIFERENCIALES La ecuación diferencial lineal de primer orden podrá tener las notaciones siguientes:

+ a y = Q(t) ;

+ a y = Q(t) ;

+ a f(t) = Q(t)

La ecuación diferencial lineal de segundo orden podrá tener las notaciones siguientes:

+

+ b y = Q(t)

+ a

+ b f(t) = Q(t)

;

+a

+ b y = Q(t)

La ecuación diferencial lineal de tercer orden podrá tener las notaciones siguientes:

+ + a

+b +b

+ c y = Q(t)

;

+a

+b

+ c y = Q(t)

+ c f(t) = Q(t)

TRANSFORMADAS DE LAPLACE DE DERIVADAS TRANSFORMADA DE LAPLACE DE LA PRIMERA DERIVADA

Diferentes notaciones:

L[

]=S L[

] - f(0)

L[

]=S L[

] - y(0)

;

L[

]=S L[

] - y(0)

TRANSFORMADA DE LAPLACE DE LA SEGUNDA DERIVADA

Diferentes notaciones:

L[

] = S2 L [

L[

] = S2 L [

] - S f(0) -

;

L[

] = S2 L [

] - S y(0) -

] - S y(0) -

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TRANSFORMADA DE LAPLACE DE LA TERCERA DERIVADA

Diferentes notaciones:

L[

] = S3 L [

] – S2 f(0) - S

-

L[

] = S3L [

] – S2 y(0) - S

-

L[

] = S3 L [ ] – S2 y(0) - S

-

EJEMPLOS DE SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES UTILIZANDO TRANSFORMADA DE LAPLACE 1° Ejemplo: Solución de ecuación diferencial de primer orden. Desarrollar el problema de valor inicial siguiente:

- 2 y = e3t , para y(0) = 1 Solución: Aplicando el operador transformada de Laplace a ambos lados de la ecuación, tendremos:

L[

– 2 y ] = L [e3t ] , simplificando

L[

] – L [2 y ] = L [e ] , aplicando la fórmula de la primera derivada y 3t

simplificando los términos siguientes, tendremos:

S L [ ] - y(0) - 2 L [ ] = Reemplazando el valor de la función y(0) y factorizando la transformada de la función y, tendremos:

L[ ](S- 2)–1 =

;

L [ ] (S - 2) =

+1 =

, despejando la

transformada de la función, quedará:

L[ ] =

= F(S)

Aplicando el operador transformada inversa a F(S), obtendremos la función f(t) , esto es:

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L – 1 (F(S) ) = L – 1 (

) = L – 1 (L [ ] ) =

= f(t) = e3t

Por lo tanto, la solución específica de la ecuación diferencial es:

= f(t) = e3t

2° Ejemplo: Solución de ecuación diferencial de segundo orden. Desarrollar el problema de valor inicial siguiente: - 4 y = 0 , para y(0) = 0, = -6

Solución: Aplicando el operador transformada de Laplace a ambos lados de la ecuación, tendremos:

L[

- 4 y ] = L [ 0 ] = 0, simplificando

L [

] - 4 L [ y ] = 0, aplicando la fórmula de la segunda derivada y

simplificando los términos siguientes, tendremos:

S2 L [

- 4 L [y] = 0

] - S y(0) -

Reemplazando las condiciones iniciales y factorizando la transformada de la función y, tendremos: S2L [

] – S (0) - ( -6 ) - 4 L [ y ] = 0 ; L [ ] ( S2 – 4 ) + 6 = 0

Despejando la transformada de la función, quedará:

L[ ] =

= F(S)

Aplicando el operador transformada inversa a F(S), obtendremos la función f(t) , esto es:

L – 1 (F(S) ) = L – 1 ( L – 1 (L [ ] ) =

) = - 3 L–1 (

) = - 3 Senh(2t)

= f(t) = - 3 Senh(2t)

Por lo tanto, la solución específica de la ecuación diferencial es:

= f(t) = - 3 Senh(2t)

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