BINOMNA FORMULA Upoznajmo se najpre sa nekim oznakama: n ! - čita se “en faktorijel” a označava sledeći proizvod: n!=n (n-1) (n-2) … 3 2 1 Primer: 5!=5 4 3 2 1= 120
ili
7! = 7 6 5 4 3 2 1 = 5040
Po definiciji je 0!=1 U zadacima često koristimo trik da faktorijel rastavimo kao proizvod nekoliko članova i novog faktorijela. Tako je recimo:
(n+2)! = (n+2)(n+1)n(n-1) … 2 1 (n+2)! = (n+2)(n+1)n ! ili (n+2)! = (n+2)(n+1)n (n-1)! itd.
Primer 1. Skrati razlomak: Rešenje:
(n − 1)! (n − 3)!
(n − 1)! (n − 1)(n − 2)(n − 3)! (n − 1)(n − 2) (n − 3)! = =(n-1)(n-2) = (n − 3)! (n − 3)! ( n − 3)!
Primer 2. Reši jednačinu :
(2 x)! 20 x! = (2 x − 3)! ( x − 2)! (2 x)! 20 x! = (2 x − 3)! ( x − 2)!
Rešenje:
(2 x)(2 x − 1)(2 x − 2)(2 x − 3)! 20 x( x − 1)( x − 2)! = (2 x − 3)! ( x − 2)! (2 x)(2 x − 1)(2 x − 2) (2 x − 3)! (2 x − 3)!
=
20 x( x − 1) ( x − 2)! ( x − 2)!
(2x)(2x-1)(2x-2)= 20x(x-1) 2x (2x-1)2(x-1)= 20 x(x-1) [skratimo sa 2x-1 = 5 a odavde je x=3
4x(x-1)]
1
n Ako su n i k prirodni brojevi, onda možemo definisati simbol: ( ) k On se čita “ en nad ka”, a izračunava se : n n(n − 1)(n − 2)...(n − k + 1) ( )= k k!
Primeri: (
10 2
)=
10 9 = 45 2 1
ili
(
15 3
)=
15 14 13 = 455 3 2 1
Da bi imali brzinu u radu moramo zapamtiti da je : n ( ) =1 0 n ( ) =1 n
5 na primer: ( ) = 1 0 7 na primer: ( ) = 1 7
n n ( )=( )=n 1 n −1
12 ( ) = 1 itd. 0 100 ( ) = 1 itd. 100
4 4 na primer: ( ) = ( ) = 4 1 3
50 50 ( ) = ( ) = 50 1 49
n n I najvažnije : ( ) = ( ) k n−k
Na primer dobijemo da rešimo
20 ( ) . Koristeći ovo pravilo mi rešavamo : 18
20 20 20 19 = 190. Mnogo je lakše ovako! ( )=( )= 18 2 2 1 Sada možemo videti kako izgleda binomni obrazac:
n n n n n (a+b)n = ( ) anb0 + ( ) an-1b1 + ( ) an-2b2+ …+ ( ) a1bn-1 + ( ) a0bn 0 1 2 n −1 n
Ova formula se lako dokazuje primenom matematičke indukcije.
2
Šta je važno uočiti? -
U razvoju uvek ima n+1 članova
-
a počinje sa n-tim stepenom, pa u svakom sledećem članu opada dok ne doñe do nule, dok b počinje sa nulom pa u svakom sledećem članu raste dok ne doñe do ntog stepena
-
n n n n n Izrazi ( ) , ( ) , ( ) ,…, ( ) i ( ) su binomni koeficijenti , i za njih važi 0 1 2 n −1 n jedna zanimljiva stvar:
Ako poñemo od nekoliko prvih razvoja dobićemo takozvani Paskalov trougao.
(a+b)0 = 1
1
koeficijent je 1
(a+b)1 = a+b
koeficijenti
(a+b)2 = a2+2ab+b2
koeficijenti
(a+b)3 = a3+3a2b+3ab2+b3
1
su 1 i 1 1
su 1, 2, 1
koeficijenti
(a+b)4 = a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 koeficijenti
su 1, 4, 6, 4, 1
1
su 1, 3, 3, 1 1
1 2
3 4
1 3
6
1 4
1
itd.
Vidimo da su simetrični koeficijenti u razvijenom obliku binoma jednaki. Oni prave Paskalov trougao, gde su na kracima sve jedinice , a unutrašnji član se dobija sabiranjem gornja dva! 1 1 1 1 1 1
1
2
4
6 10
1
3
3 4
5
1
10
1 5
1
itd.
3
Opšti (bilo koji) član u razvijenom obliku binoma se traži po formuli:
n Tk+1 = ( ) an-k bk k
1) (3 + 2 x) 5 =? Rešenje: (3 + 2 x) 5 = [Ovde je a = 3 , b = 2 x i n = 5 ] 5 5 5 5 5 5 5 3 (2 x) o + 34 (2 x)1 + 33 (2 x) 2 + 32 (2 x)3 + 31 (2 x) 4 + 3o (2 x)5 0 1 2 3 4 5 Ako vam je lakše izdvojite binomne koeficijente ''na stranu'', pa ih rešite:
5 5 = = 1 0 5 5 5 = = 5 1 4 5 5⋅ 4 5 = = 10 = 2 2 ⋅1 3 Sad ovo vratimo u razvoj: = 1 ⋅ 32 ⋅1 + 5 ⋅ 34 ⋅ 2 ⋅ x + 10 ⋅ 33 ⋅ 2 2 x 2 + 10 ⋅ 32 ⋅ 23 ⋅ x 3 + 5 ⋅ 3 ⋅ 2 4 ⋅ x 4 + 1 ⋅1 ⋅ 25 ⋅ x 5 = = 243 + 810 x + 1080 x 2 + 720 x 3 + 240 x 4 + 32 x 5
4
2) (1 + i ) 6 =? Rešenje: (1 + i ) 6 = [Ovde je a = 1 , b = i
i
n = 6]
6 6 6 6 6 6 6 = 16 ⋅ i o + 15 ⋅ i 1 + 14 ⋅ i 2 + 13 ⋅ i 3 + 12 ⋅ i 4 + 11 ⋅ i 5 + 1o ⋅ i 6 4 5 6 0 1 2 3 6 6 = = 1 0 6 6 6 = = 6 1 5 6 6⋅5 6 = = 15 = 2 2 ⋅1 4 6 6 ⋅5 ⋅ 4 = = 20 3 3 ⋅ 2 ⋅1 Da vas podsetimo:
i1 = i i 2 = −1 i5 = i 4 ⋅ i = i pa je i 3 = −i i 6 = i 4 ⋅ i 2 = −1 i 4 = 1 Vratimo se u zadatak: = 1 ⋅1 ⋅ 1 + 6 ⋅ 1 ⋅ i + 15 ⋅ 1 ⋅ (−1) + 20 ⋅ 1 ⋅ (−i ) + 15 ⋅ 1 ⋅ 1 + 6 ⋅ i + 1 ⋅ 1(−1) = 1 + 6i − 15 − 20i + 15 + 6i − 1 = −8i
5
12
2 12 3) Odrediti peti član u razvijenom obliku binoma x + x 3 Rešenje: 2
1
Odavde je a = x 2 , b = x 3 , n = 12 Iskoristićemo formulu: n Tk +1 = a n − k b k k Pošto traže peti član, to je T5 = T4+1 12 − 4
12 1 = x2 4 8 12 = x4 ⋅ x 3 4
T5 = T4 +1
=
23 x
Pazi ovde je k = 4 4
12 ⋅11 ⋅10 ⋅ 9 4 + 83 x 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1 20
= 495 ⋅ x 3
(
4) Odrediti član koji ne sadrži x u razvijenom obliku binoma x + x − 2 Rešenje:
)
12
Odavde je a = x, b = x −2 , n = 12 Upotrebićemo formulu TK +1 i naći k: n Tk +1 = a n − k ⋅ b k k k 12 = x12 − k ( x −2 ) k 12 = x12 − k ⋅ x −2 k k 12 = x12 −3k k Pošto nam treba član koji ne sadrži x, izvršićemo uporedjivanje:
x12−3 k = x 0 12 − 3k = 0 3k = 12 k =4 12 12 Znači, u pitanju je (T4+1 = T5 ) peti član. Tk +1 = x12−3 k → T5 = k 4
6
n
1 5) Zbir koeficijenta prvog, drugog i trećeg člana u razvoju binoma x 2 + jednak x je 46. Naći koji član ne sadrži x .
Rešenje: Zbir koeficijenta prva tri člana je: n n n + + = 46 0 1 2 n(n − 1) = 46 2 2 + 2n + n 2 − n = 92
1+ n +
n 2 + n − 90 = 0 n1, 2 =
− 1 ± 19 ⇒ n1 = 9; n 2 = −10 2
n=9 Kako je a = x 2 i b =
1 , n=9 x
n Tk +1 = a n − k ⋅ b k k 9 1 = ( x 2 )9 − k x k 9 = x18− 2 k ⋅ x k k
k
9 = x18−3k k Sada mora biti: x18−3k = x o 18 − 3k = 0 3k = 18 k =6
Znači da je u pitanju sedmi član. 9 9 9 ⋅8⋅ 7 Ako profesor insistira, nadjite baš i rešenje: T7 = = = = 84 6 3 3 ⋅ 2 ⋅1
7
1 6) Odrediti koeficijente uz x 3 u razvoju binoma − 2x 2 4x
12
Rešenje: 1 − 2x 2 4x
12
odavde je a =
1 , b = −2 x 2 , n = 12 4x
n TK +1 = a n − K ⋅ b K k 12 − k
12 1 = k 4 x
12 − k
12 1 = k 4
)
k
x k −12 ⋅ (− 2 ) ⋅ x 2 k k
12 − k
12 1 = k 4
(
⋅ − 2x2
k −12 ⋅ (− 2 ) ⋅ x 3 k
Ovo je x 3
Dakle: x 3k −12 = x 3 3k − 12 = 3 3k = 15 k =5 Pa će koeficijent uz x 3 biti 12 − k
12 1 k 4
(− 2)k =
7
12 1 12 ⋅11 ⋅10 ⋅ 9 ⋅ 8 1 5 ⋅ (− 2 ) = ⋅ ⋅ (−32) 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1 4 7 5 4 99 =− = −1,546875 64
8
n
x y odnosi se prema 7) Koeficijenat drugog člana u razvoju binoma + 4 x koeficijentu trećeg člana kao 2:11. Odrediti peti član.
Rešenje:
n n : = 2 : 11 1 2 n(n − 1) n: = 2 : 11 2 11n = n(n − 1) 11n = n 2 − n n 2 − 12n = 0 n(n − 12) = 0 ⇒ n = 0 Pošto je a =
∨
n = 12 , pazi: n=0 nije rešenje!
y x ,b = , n = 12 a traži se peti član, to je: x 4
n TK +1 = a n− K ⋅ b K k n TK +1 = a n− K ⋅ b K k
12 x T5 = T4+1 = 4 y 12 x 8 y 2 = 4 ⋅ 4 4 y x 12 ⋅11 ⋅10 ⋅ 9 x 4 = ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1 y 2
8
y ⋅ x
4
= 495 x 4 y − 2
9
8) Na železničku stanicu treba da stigne iz istog pravca n ljudi. Na koliko mogućih načina, s obzirom na vreme dolaska, mogu da stignu na stanicu? Rešenje:
Razmišljamo: -
mogu da stignu svi u različiti vreme mogu da stignu dva zajedno, ostali u različito vreme mogu da stignu tri zajedno, ostali u različito vreme itd mogu da stignu u grupama po 2 mogu da stignu u grupama po 3 itd
Broj svih mogućnosti je:
C1n + C2n + C3n + ... + Cnn = n n n n + + + ... + = 1 2 3 n Da bi smo ovo izračunali podjimo od binomne formule: n n n (a + b) n = a nb o + a n−1b1 + ... + a ob n o 1 n Ako umesto a i b stavimo jedinice, dobićemo: n n n (1 + 1) n = ⋅ 1 ⋅ 1 + ⋅ 1 ⋅ 1 + ... + ⋅ 1 ⋅ 1 o 1 n n n n n 2 n = + + + ... + o 1 2 n n n n n + + ... + = 2 n − 1 2 n o n n n + + ... + = 2 n − 1 1 2 n
Dakle broj svih mogućnosti je: 2 n − 1
10