BINOMNA FORMULA Upoznajmo se najpre sa nekim oznakama: n ! - čita se “en faktorijel” a označava sledeći proizvod: n!=n
(n-1)
(n-2)
…
3
2
1 Primer: 5!=5
4
3
2
1= 120

ili

7! = 7
6
5
4
3
2
1 = 5040

Po definiciji je 0!=1 U zadacima često koristimo trik da faktorijel rastavimo kao proizvod nekoliko članova i novog faktorijela. Tako je recimo:

(n+2)! = (n+2)(n+1)n(n-1)
…
2
1 (n+2)! = (n+2)(n+1)n ! ili (n+2)! = (n+2)(n+1)n (n-1)! itd.

Primer 1. Skrati razlomak: Rešenje:

(n − 1)! (n − 3)!

(n − 1)! (n − 1)(n − 2)(n − 3)! (n − 1)(n − 2) (n − 3)! = =(n-1)(n-2) = (n − 3)! (n − 3)! ( n − 3)!

Primer 2. Reši jednačinu :

(2 x)! 20 x! = (2 x − 3)! ( x − 2)! (2 x)! 20 x! = (2 x − 3)! ( x − 2)!

Rešenje:

(2 x)(2 x − 1)(2 x − 2)(2 x − 3)! 20 x( x − 1)( x − 2)! = (2 x − 3)! ( x − 2)! (2 x)(2 x − 1)(2 x − 2) (2 x − 3)! (2 x − 3)!

=

20 x( x − 1) ( x − 2)! ( x − 2)!

(2x)(2x-1)(2x-2)= 20x(x-1) 2x (2x-1)2(x-1)= 20 x(x-1) [skratimo sa 2x-1 = 5 a odavde je x=3

4x(x-1)]

1

n Ako su n i k prirodni brojevi, onda možemo definisati simbol: ( ) k On se čita “ en nad ka”, a izračunava se : n n(n − 1)(n − 2)...(n − k + 1) ( )= k k!

Primeri: (

10 2

)=

10
9 = 45 2
1

ili

(

15 3

)=

15
14
13 = 455 3
2
1

Da bi imali brzinu u radu moramo zapamtiti da je : n ( ) =1 0 n ( ) =1 n

5 na primer: ( ) = 1 0 7 na primer: ( ) = 1 7

n n ( )=( )=n 1 n −1

12 ( ) = 1 itd. 0 100 ( ) = 1 itd. 100

4 4 na primer: ( ) = ( ) = 4 1 3

50 50 ( ) = ( ) = 50 1 49

n n I najvažnije : ( ) = ( ) k n−k

Na primer dobijemo da rešimo

20 ( ) . Koristeći ovo pravilo mi rešavamo : 18

20 20 20
19 = 190. Mnogo je lakše ovako! ( )=( )= 18 2 2
1 Sada možemo videti kako izgleda binomni obrazac:

n n n n n (a+b)n = ( ) anb0 + ( ) an-1b1 + ( ) an-2b2+ …+ ( ) a1bn-1 + ( ) a0bn 0 1 2 n −1 n

Ova formula se lako dokazuje primenom matematičke indukcije.

2

Šta je važno uočiti? -

U razvoju uvek ima n+1 članova

-

a počinje sa n-tim stepenom, pa u svakom sledećem članu opada dok ne doñe do nule, dok b počinje sa nulom pa u svakom sledećem članu raste dok ne doñe do ntog stepena

-

n n n n n Izrazi ( ) , ( ) , ( ) ,…, ( ) i ( ) su binomni koeficijenti , i za njih važi 0 1 2 n −1 n jedna zanimljiva stvar:

Ako poñemo od nekoliko prvih razvoja dobićemo takozvani Paskalov trougao.

(a+b)0 = 1

1

koeficijent je 1

(a+b)1 = a+b

koeficijenti

(a+b)2 = a2+2ab+b2

koeficijenti

(a+b)3 = a3+3a2b+3ab2+b3

1

su 1 i 1 1

su 1, 2, 1

koeficijenti

(a+b)4 = a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 koeficijenti

su 1, 4, 6, 4, 1

1

su 1, 3, 3, 1 1

1 2

3 4

1 3

6

1 4

1

itd.

Vidimo da su simetrični koeficijenti u razvijenom obliku binoma jednaki. Oni prave Paskalov trougao, gde su na kracima sve jedinice , a unutrašnji član se dobija sabiranjem gornja dva! 1 1 1 1 1 1

1

2

4

6 10

1

3

3 4

5

1

10

1 5

1

itd.

3

Opšti (bilo koji) član u razvijenom obliku binoma se traži po formuli:

n Tk+1 = ( ) an-k bk k

1) (3 + 2 x) 5 =? Rešenje: (3 + 2 x) 5 = [Ovde je a = 3 , b = 2 x i n = 5 ] 5 5  5 5  5 5  5  3 (2 x) o +  34 (2 x)1 +  33 (2 x) 2 +  32 (2 x)3 +  31 (2 x) 4 +  3o (2 x)5 0 1   2  3  4  5 Ako vam je lakše izdvojite binomne koeficijente ''na stranu'', pa ih rešite:

 5   5   =   = 1  0   5  5  5    =   = 5 1   4  5 5⋅ 4  5   = = 10 =    2  2 ⋅1  3 Sad ovo vratimo u razvoj: = 1 ⋅ 32 ⋅1 + 5 ⋅ 34 ⋅ 2 ⋅ x + 10 ⋅ 33 ⋅ 2 2 x 2 + 10 ⋅ 32 ⋅ 23 ⋅ x 3 + 5 ⋅ 3 ⋅ 2 4 ⋅ x 4 + 1 ⋅1 ⋅ 25 ⋅ x 5 = = 243 + 810 x + 1080 x 2 + 720 x 3 + 240 x 4 + 32 x 5

4

2) (1 + i ) 6 =? Rešenje: (1 + i ) 6 = [Ovde je a = 1 , b = i

i

n = 6]

 6  6 6 6 6  6 6 =  16 ⋅ i o +  15 ⋅ i 1 +  14 ⋅ i 2 +  13 ⋅ i 3 +  12 ⋅ i 4 +  11 ⋅ i 5 +  1o ⋅ i 6  4 5  6 0 1   2 3 6 6   =   = 1 0 6 6 6   =   = 6 1   5  6 6⋅5 6   = = 15 =    2  2 ⋅1  4 6 6 ⋅5 ⋅ 4   = = 20  3  3 ⋅ 2 ⋅1 Da vas podsetimo:

i1 = i   i 2 = −1 i5 = i 4 ⋅ i = i pa je  i 3 = −i  i 6 = i 4 ⋅ i 2 = −1 i 4 = 1  Vratimo se u zadatak: = 1 ⋅1 ⋅ 1 + 6 ⋅ 1 ⋅ i + 15 ⋅ 1 ⋅ (−1) + 20 ⋅ 1 ⋅ (−i ) + 15 ⋅ 1 ⋅ 1 + 6 ⋅ i + 1 ⋅ 1(−1) = 1 + 6i − 15 − 20i + 15 + 6i − 1 = −8i

5

12

2  12   3) Odrediti peti član u razvijenom obliku binoma  x + x 3    Rešenje: 2

1

Odavde je a = x 2 , b = x 3 , n = 12 Iskoristićemo formulu: n Tk +1 =   a n − k b k k  Pošto traže peti član, to je T5 = T4+1 12 − 4

12   1  =   x2   4   8  12  =   x4 ⋅ x 3 4 

T5 = T4 +1

=

 23  x   

Pazi ovde je k = 4 4

12 ⋅11 ⋅10 ⋅ 9 4 + 83 x 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1 20

= 495 ⋅ x 3

(

4) Odrediti član koji ne sadrži x u razvijenom obliku binoma x + x − 2 Rešenje:

)

12

Odavde je a = x, b = x −2 , n = 12 Upotrebićemo formulu TK +1 i naći k: n Tk +1 =   a n − k ⋅ b k k k 12  =   x12 − k ( x −2 ) k  12  =   x12 − k ⋅ x −2 k k  12  =   x12 −3k k  Pošto nam treba član koji ne sadrži x, izvršićemo uporedjivanje:

x12−3 k = x 0 12 − 3k = 0 3k = 12 k =4  12   12  Znači, u pitanju je (T4+1 = T5 ) peti član. Tk +1 =   x12−3 k → T5 =   k  4 

6

n

1  5) Zbir koeficijenta prvog, drugog i trećeg člana u razvoju binoma  x 2 +  jednak x  je 46. Naći koji član ne sadrži x .

Rešenje: Zbir koeficijenta prva tri člana je: n n n   +   +   = 46  0  1   2  n(n − 1) = 46 2 2 + 2n + n 2 − n = 92

1+ n +

n 2 + n − 90 = 0 n1, 2 =

− 1 ± 19 ⇒ n1 = 9; n 2 = −10 2

n=9 Kako je a = x 2 i b =

1 , n=9 x

n Tk +1 =   a n − k ⋅ b k k  9  1 =   ( x 2 )9 − k   x k  9  =   x18− 2 k ⋅ x k k 

k

9  =   x18−3k k  Sada mora biti: x18−3k = x o 18 − 3k = 0 3k = 18 k =6

Znači da je u pitanju sedmi član.  9   9 9 ⋅8⋅ 7 Ako profesor insistira, nadjite baš i rešenje: T7 =   =   = = 84  6   3  3 ⋅ 2 ⋅1

7

 1  6) Odrediti koeficijente uz x 3 u razvoju binoma  − 2x 2   4x 

12

Rešenje:  1  − 2x 2    4x 

12

odavde je a =

1 , b = −2 x 2 , n = 12 4x

n TK +1 =  a n − K ⋅ b K k  12 − k

12  1  =     k  4 x 

12 − k

12  1  =     k  4 

)

k

x k −12 ⋅ (− 2 ) ⋅ x 2 k k

12 − k

12  1  =     k  4 

(

⋅ − 2x2

k −12 ⋅ (− 2 ) ⋅  x 3  k

Ovo je x 3

Dakle: x 3k −12 = x 3 3k − 12 = 3 3k = 15 k =5 Pa će koeficijent uz x 3 biti 12 − k

12  1      k  4 

(− 2)k =

7

12  1  12 ⋅11 ⋅10 ⋅ 9 ⋅ 8 1 5    ⋅ (− 2 ) = ⋅ ⋅ (−32) 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1 4 7  5  4  99 =− = −1,546875 64

8

n

 x y  odnosi se prema 7) Koeficijenat drugog člana u razvoju binoma  +  4  x   koeficijentu trećeg člana kao 2:11. Odrediti peti član.

Rešenje:

n n   :   = 2 : 11 1   2  n(n − 1) n: = 2 : 11 2 11n = n(n − 1) 11n = n 2 − n n 2 − 12n = 0 n(n − 12) = 0 ⇒ n = 0 Pošto je a =

∨

n = 12 , pazi: n=0 nije rešenje!

y x ,b = , n = 12 a traži se peti član, to je: x 4

n TK +1 =  a n− K ⋅ b K k  n TK +1 =  a n− K ⋅ b K k 

12  x  T5 = T4+1 =    4  y  12  x 8 y 2 =   4 ⋅ 4 4  y x 12 ⋅11 ⋅10 ⋅ 9 x 4 = ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1 y 2

8

 y  ⋅  x   

4

= 495 x 4 y − 2

9

8) Na železničku stanicu treba da stigne iz istog pravca n ljudi. Na koliko mogućih načina, s obzirom na vreme dolaska, mogu da stignu na stanicu? Rešenje:

Razmišljamo: -

mogu da stignu svi u različiti vreme mogu da stignu dva zajedno, ostali u različito vreme mogu da stignu tri zajedno, ostali u različito vreme itd mogu da stignu u grupama po 2 mogu da stignu u grupama po 3 itd

Broj svih mogućnosti je:

C1n + C2n + C3n + ... + Cnn = n n n n   +   +   + ... +   = 1   2   3  n Da bi smo ovo izračunali podjimo od binomne formule: n n n (a + b) n =  a nb o +  a n−1b1 + ... +  a ob n o 1  n Ako umesto a i b stavimo jedinice, dobićemo: n n n (1 + 1) n =   ⋅ 1 ⋅ 1 +   ⋅ 1 ⋅ 1 + ... +   ⋅ 1 ⋅ 1 o 1  n n n n n 2 n =   +   +   + ... +    o  1   2  n n n n n   +   + ... +   = 2 n −   1   2  n o n n n   +   + ... +   = 2 n − 1 1   2  n

Dakle broj svih mogućnosti je: 2 n − 1

10