Black Scholes model
Modeli vrednovanja opcija • Modeli s analitičkim rješenjem – Black-Scholes model (B/S model) (1973) – Model skoka (Cox i Ross, 1975) – Model konstantne elastičnosti varijance (Cox, 1975) – Kombinirani skok-difuzijski model (Merton, 1976)
• Binomni model • Metode konačne diferencije
Black-Scholes model ln P0 / E k F 12 2 t ln P0 / E k F 12 2 t k F t Ee N C0 P0 N t t odnosno
C0 P0 N d1 Ee kF t N d 2
d1
ln P0 / E k F 12 2 t
t
d 2 d1 t
Black-Scholes model C0 P0 N d1 Ee d1
ln P0 / E k F 12 2 t
t
kF t
N d 2
d 2 d1 t
P0 tekuća tržišna cijena dionice E izvršna cijena E k F t sadašnja vrijednos t izvršne cijene k F nerizična kamatna stopa za kontinuirano ukamaćivan je
N d1 i N d 2 vjerojatnosti za d1 i d 2 očitane vrijednos ti ispod normalne krivulje
t - vrijeme do istjecanja važenja opcije σ - volatilnost cijena dionice mjeren standardnom devijacijo m kontinuirano ukamaćenog godišnjeg prinosa na dionice
Black-Scholes model • Prema formuli vrijednost call opcije ovisi o pet inputa: – – – – –
Tržišnoj cijeni dionice P0 Izvršnoj cijeni opcije E Vremenu do dospijeća opcije t Nerizičnoj kamatnoj stopi kF Volatilnosti dionice σ
• Izraz N(d) treba promatrati kao riziku prilagođenu vjerojatnost da će call opcija završiti u novcu
Pretpostavke B/S modela • Kratkoročna, nerizična kamatna stopa poznata je i konstantna kroz životni vijek opcije, • Cijena dionice slijedi geometrijsko Brownovo gibanje (slučajni pomak u kontinuiranom vremenu), • Distribucija mogućih cijena dionica na kraju nekog konačnog intervala je log-normalna, a varijanca prinosa na dionicu je konstantna, • Dionica ne nosi dividende kroz životni vijek opcije, • Call opcija se može izvršiti samo o dospijeću,
Pretpostavke B/S modela • Nema transakcijskih troškova pri kupnji ili prodaji dionice ili opcije, • Kupci vrijednosnih papira mogu se zadužiti po nerizičnoj kamatnoj stopi, • Dozvoljena je kratka prodaja vrijednosnih papira s korištenjem utrška od prodaje, • Trgovanje vrijednosnim papirima je kontinuirano, • Ne postoje nerizični arbitražni oportuniteti.
Strategija repliciranja i B/S model • U osnovi vrednovanja opcija je strategija repliciranja • Problem vrednovanja opcija riješen je sastavljanjem repliciranog portfolia, – odnosno opciji ekvivalentnog portfolia kombinacijom dionice i zaduživanja uz nerizičnu kamatnu stopu koji ima iste tokove zarada kao i opcija
• Vrijednost opcije jednaka vrijednosti repliciranog portfolia
Strategija repliciranja i B/S model
Replicirani portfolio imanentan je Black-Scholes modelu, pa se B/S model može zapisati kao
N d1 P N d 2 E e kF t
Vrijednost opcije delta cijena dionice - iznos duga
• B/S model uključuje izračunavanje troška investicijske strategije – uključuje kupnju dionica i zaduživanja i – ima iste tokove zarada u vremenu T (o dospijeću opcije) kao i call opcija
Strategija repliciranja i B/S model • Broj dionica potreban za repliciranje jedne call opcije predstavlja odnos živičenja ili deltu opcije • U B/S modelu delta call opcije odgovara veličini N(d1)
N d1 d1
Ee k F t N d 2
EN d 2
ln P0 / E k F 12 2 t
t
Iznos novca koji investitor posuđuje kao drugi dio strategije Nominalna vrijednost duga, odnosno iznos koji se mora vratiti do datuma istjecanja važenja opcije
Strategija repliciranja i B/S model • Tekuća cijena dionice 100, Kamatna stopa 10% • Standardna devijacija 50%, Izvršna cijena 95 • Dospijeće 3 mjeseca
ln 100 / 95 0,10 0,52 / 2 0,25 d1 0,43 0,5 0,25
d 2 0,43 0,5 0,25 0,18
N(d1) = N(0,43) = 0,6664 N(d2) = N(0,18) = 0,5714
C0 100 0,6664 95e 0,100, 25 0,5714 = 66,64 – 52,94 = 13,70kn
Strategija repliciranja i B/S mod N d1 0,6664
Ee kF t N d 2 52,94
• Investicijska strategija koja uključuje kupnju 0,6664 dionica i posuđivanje 52,94 u vremenu 0, imat će identične tokove zarada kao i call opcija • Obzirom da se standardni opcijski ugovor sastavlja na dionice u punom lotu, znači da je potrebno kupiti 66,64 dionica • Ako se navedena opcija trenutno prodaje za 20, prema B/S modelu ona je precijenjena • Ako se ista opcija prodaje za 10, ona je prema B/S modelu podcijenjena
Black-Scholes model i put opcija • B/S model vrednovanja call opcije može se prilagoditi i za vrednovanje put opcije • Put-call paritet
Black-Scholes model i put opcija ln P0 / E k F 12 2 t ln P0 / E k F 12 2 t k F t Ee N X 0 P0 N t t
X 0 P0 N d1 Ee kF t N d 2 Svojstvo kumulativne normalne distribucije
N x 1 N x
X 0 P0 N d1 1 Ee
kF t
1 N d 2
Dokaz da put i call opcija zadovoljavaju put-call paritet C0 X 0 P0 Ee P0 100 E 95
• • • •
k F 0,10
kF t
0,5
t 0,25
Vrijednost call opcije = 13,70 N(d1) = 0,6664 N(d2) = 0,5714 Vrijednost put opcije?
X 0 100 0,6664 1 95e0,100, 25 1 0,5714 6,35
Dokaz da put i call opcija zadovoljavaju put-call paritet • Put-call paritet je zadovoljen jer je uz navedene vrijednosti
C0 X 0 P0 Ee
kF t
C0 X 0 13,70 6,35 7,35
P0 Ee kF t 100 95e0,100, 25 7,35
Primjer 1: • • • • • •
Cijena dionice $42 Izvršna cijena 40 Standardna devijacija 20% godišnje Istjecanje važenja opcije 6 mjeseci (0,5 g) Kamatna stopa 10% godišnje Izračunajte vrijednost opcije B/S modelom
Primjer 2: • Izračunajte vrijednost europske put opcije na dionicu koja ne isplaćuje dividende ako je • Izvršna cijena 50 • Istjecanje važenja opcije 3 mjeseca • Tekuća tržišna cijena dionice 50 • Nerizična kamatna stopa10% godišnje • Volatilnost 30% godišnje
• Izračunajte novu cijenu put opcije pod pretpostavkom da će dionica odbaciti 1,5 dividendi za 2 mjeseca
Primjer 3: • Izračunajte vrijednost europske call opcije na dionicu koja ne nosi dividende ako je • Tekuća tržišna cijena 52 • Izvršna cijena 50 • Nerizična kamatna stopa 12% godišnje • Volatilnost 30% godišnje • Opcija istječe za 3 mjeseca
Primjer 4: • Izračunajte cijenu europske put opcije na dionicu ako je • Tekuća tržišna cijena dionice 69 • Izvršna cijena 70 • Nerizična kamatna stopa 5% godišnje • Volatilnost 35% • Dospijeće opcije za 6 mjeseci
