ENCUENTRO # 38 TEMA: Logaritmos. Propiedades CONTENIDOS: 1. Propiedades de los logaritmos

Ejercicio reto √

√ 1+x− 1−x 1. El dominio de f (x) = es: x A)[−1, 1] − {0} B)(−1, 1) − {0} C)(−1, 1)

D)[−1, 1]

2. Examen UNI 2015 Si xx = 3, entonces el valor de √ √ √ B) 3 C)3 2 D)2 E)6 A)2 3

E)R − {0}

q

xxx+1 − x2x es de:

1. Introducción El término logaritmo lo acuñó el matemático escocés John Napier, a partir de los términos griegos lógos (razón) y arithmós (número) para designar a la correspondencia, que había descubierto, entre los términos de una progresión aritmética y otra geométrica. Al principio los llamó "números artificiales", pero luego cambió de opinión. Al logaritmo que tiene por base el número e se le llama, en su honor, neperiano. Pero fue el inglés Henry Briggs, un amigo de Napier, quien comenzó a usar los logaritmos con base 10. Briggs escribió acerca de su nuevo descubrimiento: "Los logaritmos son números que se descubrieron para facilitar la solución de los problemas aritméticos y geométricos, con su empleo se evitan todas las complejas multiplicaciones y divisiones, y se transforman en algo completamente simple, a través de la sustitución de la multiplicación por la adición y la división por la sustracción. Además, el cálculo de las raíces también se realiza con gran facilidad".

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Definición 1. Logaritmo El logaritmo de un número en una base determinada es el exponente al cual hay que elevar la base para obtener dicho número. logb N = a

⇔

ab = N

con N y b números reales positivos y b diferente de 1. Nota: El logaritmo de base 10 se puede omitir la escritura de la base Ejemplo 1.1. log10 a = log a Nota: El logaritmo de base e se escribe como ln y se nombra logaritmo natural

Ejemplo 1.2. loge a = ln a Ejemplo 1.3. Calcula 1. log3 9

5. log 1 2

2. log2 8

6. ln e

1 2

7. ln 1

3. log2

4. log 1 5 25

9. log0.1 1

2

10. log0.25 16

8. log9 3

Solución log3 9 = 2 → 32 = 9 log2 8 = 3 → 23 = 8 log2 12 = −1 → 2−1 = 21 1 − 21 ) =5 log 1 5 = − 21 → ( 25 25 1 ln e = 1 → e = e

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ln 1 = 0 → e0 = 1 1 log9 3 = 21 → 9 2 = 3 1 −1 ) = 10 log0.1 10 = −1 → (0.1)−1 = ( 10 −2 log0.25 16 = −2 → (0.25) = ( 41 )−2 = 16

2

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Identidad logarítmica aloga b = b Ejemplo 1.4. 2

C) ( 41 )log0.25 2

A) 4log4 x = x2

x−2

B) eln(a+b) = a + b

D) 9

log9



x2 −4 3x2 −2x−5

= 2x−2 

=

x2 −4 3x2 −2x−5

Propiedades de los logaritmos Si a > 0; a 6= 1; b > 0; c > 0 1. loga b = x si y solo si ax = b (Definición) 2. loga 1 = 0 3. loga a = 1 4. aloga b = b 5. loga b + loga c = loga (a · b) 6. loga b − loga c = loga (b ÷ c) (c 6= 0) 7. x · loga b = loga bx 8. loga c · logc b = loga b, (c 6= 1) 9. 10.

loga b loga c 1 x

= logc b, (c 6= 1)

loga b = logax b

11. loga b = loga c ←→ b = c Ejemplo 1.5. Desarrolla la expresión log3 x12 aplicando propiedades de los logaritmos solución log3 x12 = 12 log3 x

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3

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Ejemplo 1.6. √ Desarrolla la expresión log2 3x4 y aplicando propiedades. Solución 1 √ log2 3x4 y = log2 3 + log2 x4 + log2 y 2 = log2 3 + 4 log2 x + 21 log2 y

Ejemplo 1.7. q Desarrolla la expresión logy 4 (x − 5)3 aplicando propiedades. Solución 1

1

logy ((x − 5)3 ) 4 = logy (x − 5)3· 4 = 34 logy (x − 5) Ejemplo 1.8. Desarrolla la expresión loga Solución (x+y)3 (x−y)2

loga

(x+y)3 (x−y)2

aplicando propiedades.

= loga (x + y)3 − loga (x − y)2 = 3 loga (x + y) − 2 loga (x − y)

Ejemplo 1.9. i h 3x (x+1) 3 Desarrolla la expresión ln e 2x aplicando propiedades. 2 Solución 

 e3x (x+1) 3 2x2



(ex )3 (x+1) 2x2



= 3 ln ln = 3[ln(ex)3 (x + 1) − ln 2x2 ] = 3[3 ln ex + ln(x + 1) − (ln 2 + 2 ln x)] = 3[3x + ln(x + 1) − (ln 2 + 2 ln x)] Ejercicios de las propiedades de los logaritmos I-Utiliza las propiedades de los logaritmos para desarrollar las siguientes: 1. log3 x3 y 2 z 2. ln(3e4 x2 )2

8. log2

2

3. ln exy 3z4 4.

3x2 (1−2x)6 log5 2x y (x2 −y 2 )

5. log4 6. log

√

9. log

3x2 y 4 10. ln

√ 3x √ y

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√ a3 b √ 3 2 c d

7. log

4

√ 3

r

s 3

x2 x−3(x+z)2

(x+3)(y−5) √ (x+6)4 y−2

e2

√

(x+1)4 (x−1)3

√

ex 5

(x2 −1)4

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II-Aplica las propiedades de los logaritmos para expresar los siguientes logaritmos como el logaritmo de un solo argumento: 1. 2 ln 5 + 2 ln x 2. 3 log m − 2 log n 3.

1 5

log m + 4 log n

4. − 32 logb (x + 1) − 41 logb (x + 2) 5. log 3 + log y − log x 6. log2 x − log2 y − log2 z 7. 1 − log4 (m − 1) − log4 (m + 1) 8.

1 8

log x + 31 log y − 41 log z

9. ln 5 + 1 + ln y − 7 ln x 10. 2 − x + 3 ln(x + y) − 3 ln(x − y) 11.

2 3

log(x − 2) − 54 log(x + 2) + 2 log(x + 1)

12. x2 + x + 1 − 2 log x + 3 log(x + 1) 13. 2 ln 9 + 4 ln m + ln p − 2 ln 7 − 2 ln x − 6 ln y

Ejercicios de entrenamiento 1

1

1. Reducir: 36 log2 6 + e−2 ln( 2 ) A)9

B)8

C)6

D)e

E)1

C)2

√ D) 2

E)

C)3

D)7

E)21

q

log4 2 + log4 5 + 1 2. Reducir W = log2 2 + log2 5 + 1 A)1 3. Reducir E = A)1

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B) 21 ln 21 ln 3

−

B)2

√

2 2

ln 7 ln 3

5

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4. El valor de Q =

√

log3 2

4log3 4

√ B) 2

A)4

√ C) 3 4

D)16

E)8

C)3

D)4

E)5

D)11

E)12

D)ee

E)ee

log5 2

5. Si A = 36 log5 6 , calcular: logA 16 A)1

B)2

6. Hallar x en la ecuación: e3 ln 2 − 4log2 A)8

B)9

√

x

=0

C)10

7. La solución de ln[ln(ln x)] = 1 es: A)e

B)2e

C)ee

e

ee

8. La solución de loglog x (4) = 3 es: A)1000

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B)100

√

C)10

6

2

D)10

√ 3

2

E)10

√ 3

4

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